Nguyên lý Dirichlet

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 19 NGUYÊN LÝ DIRICHLET Nguyên lý Dirichlet gọi "nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng " "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" "nguyên tắc chuồng bồ câu" Nội dung nguyên lý đơn giản dễ hiểu, lại có tác dụng lớn giải toán Nhiều có toán, người ta dùng nhiều phương pháp toán học để giải mà chưa đến kết quả, nhờ nguyên lý Đirichlê mà toán trở nên dễ dàng giải Nguyên tắc Đirichlê phát biểu dạng toán sau đây: Nếu đem nhốt m thỏ vào n lồng, với m > n (nghĩa số thỏ nhiều số lồng) có lồng nhốt không thỏ Nếu đem xếp m đồ vật vào n ô ngăn kéo, với m > n (nghĩa số đồ vật nhiều số ngăn kéo), phải có ô ngăn kéo chứa không đồ vật Việc chứng minh khẳng định dễ dàng phương pháp phản chứng Nguyên lí Dirichlet định lí tập hợp hữu hạn Phát biểu xác nguyên lí sau: Cho A B tập không rỗng có số phần tử hữu hạn mà số phần tử A lớn số lượng phần tử B, với quy tắc đấy, phần tử A tương ứng với phần tử B tồn phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Mở rộng nguyên lí Dirichlet Cho A tập hữu hạn phần tử , Kí hiệu |A| số lượng phần tử thuộc A Nguyên lý Dirichlet phát biểu sau: Nếu A B tập hợp hữu hạn |A| > k|B| k số tự nhiên phần tử A cho tương ứng với phần tử B tồn k + phần tử A mà chúng tương ứng với phần tử B Thực hành: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt "thỏ" vào "chuồng" thỏa mãn điều kiện: - Số "thỏ" phải nhiều số "chuồng" - "Thỏ" phải nhốt hết vào "chuồng", không bắt buộc "chuồng" phải có "thỏ" - Thường phương pháp Dirichlet thường kèm với phương pháp phản chứng - Có nhiều tập có kết luận giống kết luận nguyên lý Dirichlet nhiên lời giải lại không dùng dùng Dưới số ví dụ áp dụng Bài 3.1 Chứng minh số người tùy ý, có hai người có số người quen Giải Ta chia người thành i nhóm, ≤ i ≤ 4, i biểu thị số người quen Khi xảy hai trường hợp: • Trường hợp 1: Có người không quen hết, ≤ i ≤ Theo nguyên lý Dirichlet tồn nhóm có hai người quen • Trường hợp 2: Ai có người quen, ≤ i ≤ Theo nguyên lý Dirichlet tồn nhóm có hai người quen GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 20 Luyện tập: Chứng minh số n người (n số nguyên dương lớn 2), có hai người có số người quen Bài 3.2 Giả sử nhóm người mà cặp bạn thù lẫn Chứng tỏ nhóm có người bạn lẫn có người kẻ thù lẫn Giải Gọi A người Theo nguyên lý Dirichlet số người lại nhóm có người bạn A có người kẻ thù A Trong trường hợp đầu ta gọi B, C, D bạn A Nếu người có người bạn họ với A lập thành người bạn ( không kẻ thù cả), ngược lại, tức người B, C, D bạn chứng tỏ họ ba người thù lẫn Tương tự ta chứng minh trường hợp có người kẻ thù A Bài tập có hình thức phát biểu khác, nhiên lập luận không thay đổi Bài 3.3 Có đội bóng thi đấu với (mỗi đội phải đấu trận với đội khác) Chứng minh vào lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Giải Giả sử đội bóng A, B, C, D, E, F Xét đội A, theo nguyên lý Dirichlet ta suy ra: A phải đấu không đấu với đội khác Không tính tổng quát, giả sử A đấu với B, C, D Nếu B, C, D cặp chưa đấu với toán chứng minh Nếu B, C, D có đội đấu với nhau, ví dụ B C đội A, C, D cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Luyện tập: Trong giải vô địch bóng đá có 11 đội tham gia Hai đội phải thi đấu với trận Chứng minh thời điểm giải có hai đội có số trận đấu Một nhóm có 10 người, người bạn thù lẫn Chứng minh nhóm có người mà người bạn người kẻ thù lẫn người kẻ thù lẫn người bạn Trên mặt phẳng cho điểm, ba điểm thẳng hàng Các điểm cho nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng tô hai màu: xanh đỏ Chứng minh tồn điểm số điểm cho tạo thành tam giác có cạnh màu Trên mặt phẳng cho 17 điểm, ba điểm thẳng hàng Các điểm cho nối với đoạn thẳng, đoạn thẳng tô ba màu: xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn điểm số 17 điểm cho tạo thành tam giác có cạnh màu GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 21 Bài 3.4 Trong hình vuông có cạnh đặt 51 điểm phân biệt Chứng minh có ba số 51 điểm nằm hình tròn bán kính Giải Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hình vuông (α) chứa số 51 điểm Đường tròn 1 ngoại tiếp (α) có bán kính √ < Vậy ba điểm nói nằm hình tròn đồng tâm với đường tròn ngoại tiếp (α) có bán kính Luyện tập: Một hình lập phương có cạnh 15 chứa 11000 điểm.Chứng minh có hình cầu bán kính đơn vị chứa điểm số 11000 điểm cho Cho điểm phân biệt nằm hình vuông đơn vị Chứng minh tìm điểm lập thành tam giác có diện tích nhỏ hay Chia hình vuông cho thành 25 hình vuông có cạnh Bài 3.5 Trong hình tròn có diện tích đặt 17 điểm phân biệt Chứng minh có ba điểm tạo thành tam giác có diện tích nhỏ Giải Chia hình tròn thành hình quạt nhau, hình quạt có diện tích Theo nguyên lý Dirichlet tồn hình quạt (α) chứa số 17 điểm Tam giác có ba đỉnh ba điểm nằm trọn hình tròn (α) nên có diện tích nhỏ diện tích hình quạt, tức bé Luyện tập: Trong hình tròn có diện tích S lấy 35 điểm, ba điểm thẳng hàng S Chứng minh tồn ba điểm đỉnh tam giác có diện tích nhỏ 17 Trong hình tròn có diện tích S lấy 2n + điểm(n ≥ 1, n ∈ N) Trong điểm thẳng hàng Chứng minh tồn ba điểm đỉnh tam giác có diện tích nhỏ S n Bài 3.6 Trong hình tròn (O; 2.5) cho 10 điểm Chứng minh tồn hai điểm số 10 điểm cho mà có khoảng cách nhỏ Giải Chia hình tròn thành phần hình vẽ, đường tròn bên có bán kính Theo nguyên lý Dirichlet có phần chứa hai điểm, giả sử A B, 10 điểm cho: • Nếu hai điểm nằm hình tròn nhỏ ta có điều phải chứng minh Bài toán khẳng định điểm, trung bình nằm hình vuông(vì hình tròn lấy ngoại tiếp hình vuông), chia 51−1 = 25 hình vuông GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 22 • Nếu hai điểm nằm hình thang cong lại Khi xét hình thang M N P Q có: QP < 1; QM = 1.5; P N = 1.5; M N < 2; QN < 2; P M < Do khoảng cách hai điểm M N P Q nhỏ Vậy – Nếu A, B nằm hình thang M N P Q ta có điều phải chứng minh – Nếu A, B không nằm hoàn toàn hình thang lấy đoạn OM điểm A cho OA = OA, lấy đoạn ON điểm B cho OB = OB Ta có   AOB ≤ A OB ⇒ AB ≤ A B < OA = OA   OB = OB Vậy trường hợp AB < Luyện tập: Bên tam giác ABC có cạnh 6cm, √ cho 13 điểm phân biệt Chứng minh tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 3cm Hướng dẫn: Chia tam giác theo hình Trong hình chữ nhật × có điểm Chứng minh √ tồn hai điểm A, B số điểm mà khoảng cách chúng không vượt Hướng dẫn: Chia hình chữ nhật theo hình Bên đường tròn bán kính cho điểm Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ Hướng dẫn: Chia đường tròn thành hình quạt Bên đường tròn bán kính cho điểm Chứng minh tồn hai điểm có khoảng GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 23 cách nhỏ Hướng dẫn: Chia đường tròn thành hình quạt bán kính qua điểm(xét trường hợp có điểm tâm, hai điểm bán kính) Bên hình tròn bánh kính cho 13 điểm Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ Hướng dẫn: Dùng phản chứng(bằng cách vẽ 13 đường tròn bán kính tâm điểm cho 13 đường tròn nằm tiếp xúc với nằm đường tròn tâm O bán kính 5+2=7 Tính tổng diện tích đường tròn diện tích đường tròn lớn.) Bên đường tròn bán kính cho 10 điểm Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ Hướng dẫn: Chia đường tròn đường tròn nhỏ bán kính chia hình vành khăn thành miền Bên đường tròn bán kính 6, a) Cho điểm, chứng minh tồi hai điểm có khoảng cách nhỏ b) Cho điểm, chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ c) Cho 17 điểm, chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ Bên hình chữ nhật kích thước × 4, a) Cho điểm, chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ 2,24 b) Cho điểm, chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ 2.24 c) Cho điểm, chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách không 2.5 d) Cho điểm, chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách không Bài 3.7 Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt 100 Chứng minh chọn số a, b, c, d cho a < b < c a + b + c = d Giải Giả sử số ≤ a1 < a2 < < a69 ≤ 100 Khi a1 ≤ 32 Xét hai dãy số sau: < a1 + a3 < a1 + a4 < < a1 + a69 ≤ 132 < a3 − a2 < a4 − a2 < < a69 − a2 ≤ 132 GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 24 Hai dãy có 134 số hạng đoạn [1;132], suy có hai số thuộc hai dãy Từ ta có điều phải chứng minh Luyện tập Chứng minh từ tập hợp tuỳ ý gồm n số tự nhiên tách tập hợp (khác rỗng ) chứa số mà tổng chúng chia hết cho n Hướng dẫn: Phản chứng, giả sử tồn n số tự nhiên a1 , a2 , , an mà không thỏa mãn khẳng định Xây dựng n tổng S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , ············ , Sn = a1 + · · · + an Sau xét số dư chia cho n Cho tập X = {1, 2, , 2009} Chứng minh số 1006 phần tử X có hai phần tử có tổng 2010 Hướng dẫn: Chia tập X thành 1005 cặp (1, 2009), (2, 2008), , (1005, 1005) Cho tập X = {1, 2, , 2010} Chứng minh số 1006 phần tử X có hai phần tử nguyên tố Hướng dẫn: Chia tập X thành 1005 cặp (1, 2), (3, 4), , (2009, 2010) Chứng minh n + số thuộc tập hợp {1, 2, , 2n} chọn hai số mà số bội số Hướng dẫn: Viết n + số cho dạng a1 = 2k1 b1 , , an+1 = 2kn +1 bn+1 , với ≤ b1 , , bn+1 ≤ 2n − số lẻ nên có hai số trùng Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 11 Hướng dẫn: Xét 20 số hạng đầu tiên, có hai số có tận số 0, hai số có hàng chục khác Gọi số N Xét 11 số thuộc 39 số cho N, N + 1, N + 2, , N + 9, N + 19, xét dãy mà số hạng tổng chữ số dãy Xét 100 số nguyên dương a1 , a2 , , a100 , ≤ 100 với i = 1, 2, , 100 a1 +a2 +· · ·+a100 = 200 Chứng minh 100 số tồn vài số có tổng 100 Hướng dẫn: Nếu = aj với i = j toán Nếu tồn hai số khác nhau, không tính tổng quát giả sử a1 = a2 Khi đó, xét 100 số hạng a1 , a2 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , , a1 + a2 + · · · + a99 Việc nghĩ hai dãy xuất phát từ phần kết luận toán a + b + c = d ⇒ d − a = b + c, nên nghĩ đến việc thiết lập dãy tổng, dãy hiệu, lập tổng hai số không kiểm soát miền giá trị tổng Nên phải thiết lập tổng với a1 hiệu với a2 GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 25 Chứng minh tìm số có dạng 19791979 197900 chia hết cho 2000 Hướng dẫn: Xét dãy số 1979, 19791979, , 19791979 1979 2001 cặp 1979 Cho tập X = {1, 2, , 2010} Chứng minh số 1006 phần tử X có hai phần tử a, b mà a − b = Chứng minh từ 52 số tụ nhiên bất kì, tìm hai số cho tổng chúng hiệu chúng chia hết cho 100 Kết luận không với 51 số? 10 Chứng minh từ 12 số tự nhiên chon hai số có hiệu chia hết cho 11 11 Cho n > n + số nguyên dương ≤ a1 < a2 < < an+2 ≤ 3n Chứng minh tồn hai số aj cho n < − aj < 2n Hướng dẫn: Ta giả sử an+2 = 3n(nếu không tịnh tiến tất phần tử) Nếu tồn mà n < < 2n n < an+2 − < 2n Nếu không tồn tại, xét n + cặp (1, 2n), (2, 2n + 1), , (n, 3n − 1) 12 Chứng minh 11 số tự nhiên tùy ý chọn hai số có hiệu bình phương chia hết cho 20 Bài 3.8 Cho số thực Chứng minh chúng chọn số, chẳng hạn x y cho √ x−y ≤ 0≤ + xy Giải Các số cho ký hiệu x1 , x2 , , x7 Biểu diễn số dạng xi = tan αi , αi số khoảng − π2 , π2 , i = 1, , Chúng ta chia đoạn thành đoạn nhỏ có độ dài π nhau, nghĩa có độ dài Dễ dàng thấy có hai số bảy số α1 , , α7 nằm đoạn Ta ký hiệu hai số αi , αj từ suy ≤ αi − αj ≤ π6 Suy ra: √ tan α1 − tan αj xi − xj π ≤ tan(αi − αj ) = = ≤ tan = + tan αi tan αj + xi xj Luyện tập: Cho tập X = {1, 2, 3, , 81} Chứng minh phần tử tùy ý X có hai phần tử a, b cho √ √ < a − b ≤ √ Hướng dẫn: Xét x1 , x2 , x3 X Đặt ci = xi , i = 1, 2, ≤ ci ≤ Chia đoạn [1, 3] thành hai đoạn [1, 2] [2, 3] Chứng minh gồm 11 số thực khác đoạn [1;1000] chọn hai √ số x = y thỏa mãn < x − y < + 3 xy √ Hướng dẫn: Với x ∈ [1, 1000] x ∈ [1, 10], chia đoạn thành 10 đoạn [1, 2], [2, 3], , [9, 10] từ 11 số có hai số thuộc đoạn, gọi x > y, < x − y < Lưu ý √ √ √ √ √ √ √ x − y − − 3 xy = x − y − x2 + y + − x − y − xy GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 26 Chứng minh số thực phân biệt bất kỳ, tồn hai số a b chon 0< √ a−b √ < − 1 + ab Cho bốn số bất kỳ, chứng minh có số số đó, chẳng hạn x,y thỏa mãn bất đẳng thức √ x−y 0≤ ≤ + x + y + xy Hướng dẫn: Sử dụng ví dụ Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + = 4xyz Chứng minh xy + yz + zx ≥ x + y + z Hướng dẫn Do có ba số x, y, z nên có hai số ≥ hai số ≤ Do tính đối xứng bất đẳng thức, ta giả sử hai số x, y Thế z= x+y+1 4xy − từ giả thiết vào kết luận ta z(x + y − 1) ≥ x + y − xy ⇔ (x + y − 1) x+y+1 ≥ x + y − xy 4xy − Khi vế trái ≥ 1, vế phải ≤ Cho a1 , a2 , , a7 , b1 , b2 , , b7 > thỏa mãn + bi ≤ 2, ∀i = 1, Chứng minh tồn i = j cho |ai − aj | + |bi − bj | ≤ Chứng minh số thực dương không nhỏ 1, có hai số a, b chon √ (a2 − 1)(b2 − 1) ≥ ab Bài 3.9 Một hội toán học gồm thành viên nước Danh sách thành viên gồm 1978 người đánh số từ đến 1978 Chứng minh tồn hội viên có số báo danh gấp đôi số báo danh hội viên khác nước, tổng hai số báo danh hai hội viên nước với Giải Từ 329 · < 1978 suy nước (kí hiệu A) có không 330 đại biểu đại hội viết số báo danh a1 < a2 < < a330 < Chúng ta xét hiệu xi = a330 − , i = 1, 2, , 329 Nếu có số xi trùng với (số báo danh đại biểu A ) có a330 = + aj toán chứng minh xong Nếu xi = aj với i, j số xi số báo danh đại biểu thuộc nước lại Bây 65 · < 329 nên nước (ký hiệu B) có không 66 thành viên mà số báo danh họ số x1 , x2 , , x329 Ký hiệu số báo danh B b1 < b2 < < b66 < với bi = xni , i = 1, 2, , 66 Chúng ta lại xét hiệu yi = b66 − bi , i = 1, 2, , 65 Nếu GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 27 hiệu trùng với số báo danh bj đại biểu B b66 = bi + bj ta có điều phải chứng minh Nếu với hai số i k có yi = ak ak = b66 − bi = xn66 − xni = a330 − an66 − (a330 − ani ) = ani − an66 hay ani = an66 + ak , ta có điều phải chứng minh Nếu hai trường hợp không xảy số số báo danh đại biểu nước lại suy nước lại có số hội viên 17 tiếp tục trình có kết luận toán Bài 3.10 Trên đường tròn cho 16 điểm tô ba màu: X(xanh), Đ(đỏ), V(vàng) Các dây cung nối điểm 16 điểm tô hai màu: T(trắng), Đ(đỏ) Chứng minh ta có 16 điểm tô màu cạnh tô màu Giải Có điểm tô màu Giả sử A, B, C, D, E, F Xét dây cung AB, AC, AD, AE ,AF có dây màu Giả sử màu T Nếu AB, AC, AD màu T Khi đó: BC màu T kết thúc, BC màu Đ xét CD: CD màu T kết thúc, CD màu Đ xét BD: BD T kết thúc, BD màu Đ tam giác BCD có ba cạnh màu Đ đỉnh B, C, D màu Tương tự với trường hợp khác Bài 3.11 Cho đa giác A1 A2 A1981 nội tiếp (O) Chứng minh số 64 đỉnh đa giác có đỉnh đỉnh hình thang Giải Nhận xét: Nếu có hai dây cung(được tạo thành từ 1981 đỉnh đa giác) có độ dài đỉnh chung ta có hình thang cân Xét độ dài dây cung A1 A2 , A1 A3 , , A1 A1981 Ta thấy A1 A2 = A1 A1981 , A1 A3 = A1 A1980 , , A1 A991 = A1 A992 độ dài đôi khác Vậy có 990 độ dài dây cung có đỉnh A1 tất độ dài dây cung tạo thành từ 1981 điểm cho GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 28 Trong 64 đỉnh có C64 = 2016 dây cung Vì có 990 độ dài suy có dây cung có độ dài Nếu dây cung đôi có đỉnh chung tạo thành tam giác đều(vì có dây cung chung đỉnh có độ dài) hình vẽ Khi đường tròn chia cung nhau, suy số đỉnh đa giác phải số nguyên lần 3, điều vô lý 1981 không chia hết cho Vậy dây cung có độ dài có hai dây cung chung đỉnh„ hai dây cung tạo thành hình thang cân có đỉnh đỉnh đa giác ban đầu Bài 3.12 Các số từ đến 200 chia thành 50 tập hợp Chứng minh tập hợp có ba số độ dài ba cạnh tam giác Giải Ta để ý với ba số < a < b < c điều kiện cần đủ để a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a + b > c Rõ ràng xét số từ 100 đến 200 ba số độ dài cạnh tam giác (a + b ≥ 100 + 101 = 201 > c) Từ cần xét 101 thỏ số từ 100 đến 200 áp dụng nguyên lý Dirichlet cho 50 chuồng tập hợp Bài 3.13 Tại hội nghị có 100 đại biểu Trong số có 15 người Pháp, người quen với 70 đại biểu 85 người Đức, người quen với không 10 đại biểu Họ phân vào 21 phòng Chứng minh có phòng không chứa cặp quen Giải Mỗi người Pháp phải quen với 70 – 14 = 56 người Đức Suy số cặp (Pháp, Đức) quen 15 × 56 = 840 Gọi n số người Đức quen ≤ đại biểu người Pháp (gọi Đ1) ta có: 840 ≤ (85 − n)10 + n.9 Suy n ≤ 10 Những người Đức lại (Đ2) quen 10 đại biểu người Pháp, quen với người Đức Vì có 21 phòng có 15 người Pháp nên có phòng có toàn người Đức Vì có nhiều 10 người Đức quen nên theo nguyên lý Dirichlet, phòng có phòng có nhiều người Đức thuộc Đ1 Phòng phòng cần tìm Bài 3.14 Bên hình tròn bán kính 33 có 1000 điểm Chứng minh tồn hình tròn bán kính nằm hình tròn ban đầu mà không chứa điểm 1000 cho Giải Vẽ 1000 hình tròn bán kính có tâm 1000 điểm cho Gọi P tâm hình tròn ban đầu Dựng hình tròn tâm P bán kính 32 = 33 − Gọi S1 diện tích hợp 100 hình tròn bán kính 1(có thể chờm lên nhau) Gọi S2 diện tích hình tròn tâm P bán kính 32 Ta có: S1 ≤ 1000π = 1000π < 1024π = 322 π = S2 Do tồn điểm Q nằm hình tròn (P ; 32), nằm hình tròn bán kính Vẽ hình tròn (Q, 1), hình tròn nằm hình tròn ban đầu (P, 33) mà không chứa điểm 1000 điểm cho Với cách làm ta chuyển toán tìm cách dựng đường tròn bán kính tìm điểm thỏa mãn tính chất Ý tưởng sau: Giả sử ta phải tìm đường tròn bán kính S(B, 1) không chứa điểm 1000 điểm A1 , A2 , , A1000 Đường tròn S(B, 1) không chứa GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 29 điểm A1 ⇔ BA1 > ⇒ B ∈ S(A1 , 1) Vậy B ∈ S(A1 , 1) ∩ S(A2 , 1) ∩ · · · ∩ S(A1000 , 1) Tuy nhiên yêu cầu "phụ" đường tròn S(B, 1) phải nằm đường tròn S(P, 33) nên điểm B không phép "gần" biên đường tròn S(P, 33) Để có B phải nằm đường tròn S(P, 32) Vậy ta phải tìm điểm B thỏa mãn hai điều kiện: B ∈ S(A1 , 1) ∩ S(A2 , 1) ∩ · · · ∩ S(A1000 , 1) B ∈ S(P, 32) Để có điều cần chứng tỏ diện tích SS(A1 ,1)∩S(A2 ,1)∩···∩S(A1000 ,1) < SS(P,32) (vì nhỏ chắn có điểm B Nếu diện tích lớn có điểm B hay không, nhỏ chắn có) Cần ý 1000 đường tròn không thiết nằm đường tròn S(P, 32) mà ta cần chứng tỏ miền diện tích 1000 đường tròn không phủ hết hình tròn S(P, 32) để có điểm B Bài 3.15 Bên hình vuông cạnh 100, người ta đặt 35 đồng xu hình tròn có bán kính Chứng minh đặt bìa hình tròn có bán kính nằm hình vuông mà không chờm lên đồng xu Giải Cách Vẽ 35 hình tròn bán kính + = 8, có tâm tâm 35 đồng xu cho Thu nhỏ hình vuông cạnh 100 phía hình vuông đồng tâm có cạnh: 100 − 14 = 86 Gọi S1 diện của hợp 35 hình tròn bán kính 8, gọi S2 diện tích hình vuông cạnh 86, ta thấy S1 < S2 vì: S1 ≤ 35π.82 < 35.3, 2.64 = 7168 < 7396 = 862 = S2 Do tồn điểm, gọi A, nằm hình vuông cạnh 86, nằm hình tròn bán kính Vẽ hình tròn (A, 7), hình tròn nằm hình vuông cạnh 100 mà không chờm lên đồng xu 100 = 16 Xét tâm 35 đồng Cách Chia hình vuông cạnh 100 thành 36 ô vuông có cạnh xu Theo nguyên lý Dirichlet, tồn ô vuông không chứa tâm đồng xu Thu nhỏ ô vuông lại để hình vuông đồng tâm cạnh 14 Miền hình vuông cạnh 14 không chờm lên đồng xu nào, hình tròn nội tiếp hình vuông có bán kính không chờm lên đồng xu Luyện tập: Bên hình chữ nhật kích thước 13 × 14 có bìa hình vuông cạnh Chứng minh tồn hình tròn bán kính nằm hình chữ nhật mà không chờm lên bìa Bên hình chữ nhật kích thước 12, × 14 có bìa hình vuông cạnh Chứng minh tồn hình tròn bán kính nằm hình chữ nhật mà không chờm lên bìa Bên hình vuông cạnh 100 đặt 63 đồng xu hình tròn bán kính Chứng minh đặt bìa hình vuông cạnh 10 nằm hình vuông ban đầu mà không chờm lên đồng xu Bài 3.16 Trong mặt phẳng cho 2009 điểm Biết điểm lấy từ điểm cho có hai điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh có 1005 điểm nằm hình tròn bán kính GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 30 Giải Lấy M điểm bất kỳ, vẽ đường tròn S(M, 1) Khi có hai khả xảy ra: • Nếu tất điểm lại nằm S(M, 1) toán chứng minh • Nếu có điểm N mà M N > vẽ S(N, 1) Khi với điểm P số điểm lại với ba điểm M, N, P , áp dụng giả thiết toán, ta có P phải thuộc hai đường tròn S(M, 1) S(N, 1) Có 2009 điểm, thuộc vào hai đường tròn trên, nên phải có đường tròn chứa 1005 điểm Bài toán chứng minh Dưới toán có nguồn gốc xuất phát từ hình học Người ta biết tính chất "điểm cố định hình học" reo vào chút "yếu tố tổ hợp", toán trở nên khó khăn nhiều so với yêu cầu hình học túy Bài 3.17 Cho hình vuông ABCD 2005 đường thẳng thỏa mãn đồng thời tính chất sau: a) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vuông b) Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích Chứng minh 2005 đường thẳng có 502 đường thẳng đồng quy Giải Gọi EF, HK trục đối xứng song song với AD, BC hình vuông Giả sử đường thẳng cắt AB, CD G, T Đoạn GT cắt HK J Khi SAGT D HJ = ⇒ = SBGT C JK Tức J điểm cố định Tương tự cho trường hợp ngược lại Khảo sát tương tự với trường hợp đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC hình vuông Vậy trường hợp đường thẳng qua bốn điểm cố định, điểm chia đoạn HK, EF thành ba phần Có 2005 đường thẳng, đường thẳng qua bốn điểm cố định trên, theo nguyên lý Dirichlet có 502 đường thẳng đồng quy Luyện tập: Cho hình bình hành ABCD 25 đường thẳng(mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vuông) Mỗi đường thẳng chia ABCD thành hình thang với tỉ số diện tích CMR 25 đường thẳng có đường thẳng đồng quy Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD Một tam giác gọi nội tiếp hình vuông ba đỉnh nằm ba cạnh hình vuông Chứng minh 6015 đường thẳng chứa cạnh 2005 tam giác nội tiếp hình vuông có 502 đường thẳng đồng quy Cho hình bình hành ABCD 25 đường thẳng, mà đường thẳng chia ABCD thành hình thang với tỉ số diện tích Chứng minh 25 đường thẳng có đường thẳng đồng quy Bài 3.18 Trong mặt phẳng cho n_giác lồi có tọa độ đỉnh số nguyên (n > 4) GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 31 a) Chứng minh cạnh bên đa giác có điểm nguyên khác b) Chứng minh bên ngũ giác lồi (n = 5) có điểm nguyên Giải a) Ta chia tập điểm nguyên thành loại: loại I(chẵn, chẵn), loại II(chẵn, lẻ), loại III(lẻ, chẵn), loại IV(lẻ, lẻ) Vì n > 4, tức đa giác có đỉnh, mà đỉnh rơi vào loại nên có đỉnh loại Khi trung điểm hai đỉnh nằm cạnh đa giác có tọa độ nguyên b) Gọi đỉnh ngũ giác lồi A, B, C, D, E Trong đỉnh A, B, C, D, E phải có hai đỉnh chung cạnh có tổng số đo hai góc > 1800 (vì không 6.1800 = 2(A + B + C + D + E) ≤ 5.1800 (vô lý)) Ta có B + A + ABC + AEC = 1800 ⇒ B + BCE ≥ 1800 A + AEC ≥ 1800 Giả sử B + BCE ≥ 1800 , ta kẻ hai tia Ax//BC, Ct//AB, chúng cắt I Vì A + B ≥ 1800 nên tia Ax nằm miền góc BAE, B + BCE ≥ 1800 nên tia Ct nằm miền góc BCE Do I nằm ngũ giác ABCDE Vì ABCI hình bình hành, A, B, C có tọa độ nguyên nên I có tọa độ nguyên Bài 3.19 Cho X tập hợp gồm 14 số nguyên dương phân biệt Chứng minh có số nguyên dương k ≤ có tập k_phần tử: {a1 , a2 , , ak }, {b1 , b2 , , bk } rời X cho: 1 + + ··· + a1 a2 ak − 1 + + ··· + b1 b2 bk < 1000 GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 32 Giải Ta có tất C14 = 3432 tập chứa phần tử X Tổng nghịch đảo phần tập không vượt 1 + + · · · + < 2.6 2 Do tập chứa phần tử có tổng nghịch đảo phần tử rời vào 2600 nửa khoảng , , 1000 1000 , , , 1000 1000 2500 2600 , 1000 1000 Vì có tới 3432 tập chứa phần tử, theo nguyên lý Dirichlet tồn hai tập khác có tổng nghịch đảo phần tử thuộc nửa khoảng Loại bỏ khỏi hai tập phần tử chung (hai tập chứa phần tử có tối đa phần tử chung), ta thu hai tập hợp k_phần tử (k ≤ 7, k ∈ N) thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập có kết luận gần giống kiểu áp dụng Dirichlet, nhiên lời giải lại không dùng đến Dirichlet Bài 3.20 (APMO 1991) Cho 997 điểm khác nằm mặt phẳng Chứng minh tồn 1991 trung điểm khác từ cặp cạnh Khi có 1991 trung điểm khác Giải Ta gọi A B điểm có khoảng cách cực đại số 997 điểm cho Ta xét trung điểm sau đây: Điểm M , trung điểm AB, trung điểm AX với điểm X thuộc tập hợp(khác với A B), trung điểm BX Ta chứng minh trung điểm khác Thật vậy, giả sử X Y hai điểm khác với A B Rõ ràng trung điểm AX AY phải khác nhau(nếu không thế, X Y trùng nhau) Tương tự vậy, trung điểm BX BY khác Trung điểm AX điểm M (vì không X trùng với B), trung điểm BX điểm M Sau cùng, ta giả sử N trung điểm chung AX BY , đó, AY XB hình bình hành, AX, BX phải có độ dài lớn AB, điều vô lí, AB đoạn lớn Như vậy, ta có 1991 trung điểm khác Ngoài xếp 997 điểm để có 1991 trung điểm khác Ví dụ trục số ta chọn điểm có toạ độ 1, 3, 5, , 1993, lúc có 1991 trung điểm nằm toạ độ 2, 4, , 1992 Thực toán có hai yếu tố mà ta cảm nhận dùng Di được: là: yếu tố tồn lớn, hai là: điều kiện ràng buộc điểm để ta nhốt "thỏ" vào "chuồng", mà toán xây dựng tập hợp Bài toán minh họa tư tưởng phương pháp cực hạn: Với hữu hạn R tồn phần tử nhỏ phần tử lớn Trong toán ta chọn AB độ dài dài số đoạn thẳng cho GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung [...]... độ các đỉnh là các số nguyên (n > 4) GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) Trường THPT chuyên Quang Trung Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 31 a) Chứng minh rằng ở trên cạnh hoặc bên trong đa giác đó còn có ít nhất một điểm nguyên khác nữa b) Chứng minh rằng bên trong một ngũ giác lồi (n = 5) còn có ít nhất một điểm nguyên nữa Giải a) Ta chia tập các điểm nguyên thành 4 loại:... góc BAE, và B + BCE ≥ 1800 nên tia Ct nằm trong miền của góc BCE Do đó I nằm trong ngũ giác ABCDE Vì ABCI là hình bình hành, A, B, C có tọa độ nguyên nên I cũng có tọa độ nguyên Bài 3.19 Cho X là 1 tập hợp gồm 14 số nguyên dương phân biệt Chứng minh rằng có 1 số nguyên dương k ≤ 7 và có 2 tập con k_phần tử: {a1 , a2 , , ak }, {b1 , b2 , , bk } rời nhau của X sao cho: 1 1 1 + + ··· + a1 a2 ak − 1... chứa 7 phần tử, theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại hai tập con khác nhau có tổng nghịch đảo các phần tử thuộc cùng một nửa khoảng Loại bỏ khỏi hai tập con đó các phần tử chung (hai tập con chứa 7 phần tử thì có tối đa 6 phần tử chung), thì ta thu được hai tập hợp con k_phần tử (k ≤ 7, k ∈ N) thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài tập dưới đây có kết luận gần giống như những kiểu bài áp dụng Dirichlet, tuy nhiên... trường hợp các đường thẳng luôn đi qua bốn điểm cố định, đó là các điểm chia đoạn HK, EF thành ba phần bằng nhau Có 2005 đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua một trong bốn điểm cố định trên, theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất 502 đường thẳng đồng quy Luyện tập: 1 Cho hình bình hành ABCD và 25 đường thẳng(mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình 1 vuông) Mỗi đường thẳng chia ABCD thành 2 hình... hình tròn (A, 7), hình tròn này nằm trong hình vuông cạnh 100 mà không chờm lên một đồng xu nào 2 100 = 16 Xét tâm của 35 đồng Cách 2 Chia hình vuông cạnh 100 thành 36 ô vuông có cạnh 6 3 xu Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại một ô vuông không chứa tâm của một đồng xu nào Thu nhỏ ô vuông đó lại để được hình vuông đồng tâm cạnh 14 Miền trong của hình vuông cạnh 14 đó không chờm lên một đồng xu nào, do... ít nhất 2 đỉnh cùng loại Khi đó trung điểm của hai đỉnh đó nằm trên cạnh của đa giác và có tọa độ nguyên b) Gọi 5 đỉnh của ngũ giác lồi là A, B, C, D, E Trong 5 đỉnh A, B, C, D, E phải có hai đỉnh chung một cạnh có tổng số đo hai góc > 1800 (vì nếu không thì 6.1800 = 2(A + B + C + D + E) ≤ 5.1800 (vô lý) ) Ta có B + A + ABC + AEC = 1800 ⇒ B + BCE ≥ 1800 A + AEC ≥ 1800 Giả sử B + BCE ≥ 1800 , ta kẻ... ta thu được hai tập hợp con k_phần tử (k ≤ 7, k ∈ N) thỏa mãn yêu cầu bài toán Bài tập dưới đây có kết luận gần giống như những kiểu bài áp dụng Dirichlet, tuy nhiên trong lời giải lại không dùng đến Dirichlet Bài 3.20 (APMO 1991) Cho 997 điểm khác nhau nằm trên một mặt phẳng Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1991 trung điểm khác nhau từ các cặp cạnh này Khi nào thì có đúng 1991 trung điểm khác nhau ... (n số nguyên dương lớn 2), có hai người có số người quen Bài 3.2 Giả sử nhóm người mà cặp bạn thù lẫn Chứng tỏ nhóm có người bạn lẫn có người kẻ thù lẫn Giải Gọi A người Theo nguyên lý Dirichlet. .. ABCDE Vì ABCI hình bình hành, A, B, C có tọa độ nguyên nên I có tọa độ nguyên Bài 3.19 Cho X tập hợp gồm 14 số nguyên dương phân biệt Chứng minh có số nguyên dương k ≤ có tập k_phần tử: {a1 , a2... cạnh đặt 51 điểm phân biệt Chứng minh có ba số 51 điểm nằm hình tròn bán kính Giải Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hình vuông (α) chứa số 51 điểm Đường tròn 1 ngoại tiếp (α) có bán kính √ <