Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng: = 1 + √ 5 2 + 1 − √ 5 2 Với ∀≥0 Mà theo giả thiết ta lại có: = 0; = 1 ⇒ += 0 1 + √ 5 2 + 1 − √ 5 2 = 1 ⇒ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = √ 5 5 = − √ 5 5 Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci là: = √ √ − √ với∀≥0 Ví dụ 2:Tìm số hạng tổng quát của dãy số { } xác định như sau: = = 0, = 6 −9 (∀≥0) Giải: Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là: −6+ 9 =0 Nghiệm của phương trình đặc trưng là: = = 3 Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy đã cho là: = 3 + 3 (∀≥0) Theo giả thiết : = = 1 ⇒ = 1 = −2 Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là: = 3 −23 (∀≥1) Ví dụ 3:Tìm số hạng tổng quát của dãy { } xác định như sau: = 0; = 1 = − Giải: Phương trình đặc trưng của dãy đã cho là −+ 1 =0 có nghiệm là: = √ ; = √ Ta có: | | = | | = 1, = = Do đó số hạng tổng quát của dãy đã cho là: = 1 + sin Với ∀≥1 Theo giả thiết ta có: = 0, = 1 nên = 0;= √ Vậy dãy đã cho có số hạng tổng quát là: = √ sin ∀≥0. BÀI TẬP: Bài 2: Tính số hạng tổng quát của dãy { } xác định bởi u 0 = 0;u 1 = 1 và 2 = 2 − với n0 Giải: Phương trình đặc trưng: 2 −2+ 1 = 0 có nghiệm : = 1 + 2 ; = 1 − 2 Ta có: | | = | | = 1 2 ; = = 4 Do đó số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng là: = 1 √ 2 4 + 4 ∀≥0 Theo giả thiết ta có: = 0; = 1 nên p = 0 Vậy dãy đã cho có số hạng tổng quát là: = 2sin 4 1 √ 2 ∀≥0 Bài 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy: ( ) biết rằng = > 0, = > 0 và = ∀≥0 Giải: Ta có: = (1) Dễ thấy: ≠0∀≥1. Lấy ln hai vế của (1): ln = ln . ⇔3 = 2ln + ln Đặt ln = . Vậy ta có: 3 = 2 + (2) với = ln; = Phương trình đặc trưng của (2) là3 −2−1 = 0có nghiệm là: = 1; = − từ đó suy ra số hạng tổng quát có dạng: = .1 + − 1 3 ;∀≥0 Mà ta có: = ln = ln ⇒ + = − 1 3 = ln ⇒ = = 3 4 ln Vậy số hạng tổng quát của dãy là: = = .1 + 3 4 ln ).( − 1 3 ;∀≥0 Bài 4: Xác định số hạng tổng quát của dãy ( ) biết rằng = > 0, = > 0 và = (3) ∀≥0 Giải: Dễ thấy: ≠0;∀≥1. Do đó, đặt = . Khi đó ta có: 1 = 2.1 1 1 + 1 ⇒ 1 = 2 + ⇒ + = 2 Với = 1 ; = 1 ∀≥0 Phương trình đặc trưng của (4) là2 −−1 = 0 có nghiệm là: t=1; = − từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng = .1 + − ;∀≥0 Ta lại có: = 1 ; = 1 ⇒ + = 1 − 1 2 = 1 ⇒ = +2 3 = 2 3 − Vậy số hạng tổng quát của (3) là: = = .1 + .− ;∀≥0 CHƯƠNG 3 Bài 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài 1/91: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau đây: = | | + | | với là một hằng số dương; = 3−5+ + 1; = √ + √ − với a dương và n nguyên dương; = √ − √ − với a dương và n nguyên dương; = | | . | | với p và q lớn hơn 1. LG: = | cos | + | sin | với là một hằng số dương. Đặt = | cos | ,∈ [ 0,1 ] ⟹ | sin | = 1 − ⟹= + ( 1 − ) = 2 . − 2 . ( 1 − ) = 0 ⟺ 2 . − 2 . ( 1 − ) = 0 ⟺= 1 2 ( 0 ) = ( 1 ) = 1 1 2 = 1 2 = 1 2 Nếu = 2 ⟹= 1, ∀∈ℝ Nếu< 2⟹ 1 2 > 1⟹max= 1 2 = 1 2 min= 1 Nếu> 2⟹ 1 2 <1⟹min= 1 2 = 1 2 max= 1 = cos3−cos5+ cos+ 1 = 4cos −3cos−5 ( 2cos −1 ) + cos+ 1 = 4cos −10cos −2cos+6 Đặt = cos, ∈ [ −1,1 ] ⟹= ( ) = 4 −10 −2+ 6 ( ) = 12 −20−2 ( ) = 0 ⟺6 −10−1 = 0 ∆ = 25+ 6 = 31 = 5 + √ 31 6 > 1 ( ạ ) = 5 − √ 31 6 Bảng biến thiên Vậy min= −10 max= 5 − √ 31 6 = √ + √ − với a dương và n nguyên dương Điều kiện 0 ≤≤ Ta có = √ + √ − = + ( − ) = 1 2 − 1 2 ( − ) = 0 ⟺ 1 2 = 1 2 ( − ) ⟺= 2 ( 0 ) = ( ) = √ 2 = 2 2 > √ Vậy min= √ khi = 0 hoặc = . . Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Từ đó suy ra số hạng tổng quát của dãy có dạng: = 1. = 1 − 1 2 = 1 ⇒ = +2 3 = 2 3 − Vậy số hạng tổng quát của (3) là: = = .1 + .− ;∀≥0 CHƯƠNG 3 Bài 3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ. 0 ∆ = 25+ 6 = 31 = 5 + √ 31 6 > 1 ( ạ ) = 5 − √ 31 6 Bảng biến thiên Vậy min= −10 max= 5 − √ 31 6 = √ + √ − với a dương và n nguyên dương Điều