Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET_6 pdf

Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bài 2.Tìm m để bpt > 2+1được thỏa mãn với mọi  thuộc (−1;1) Bài 3.Tìm  để bpt sau đây có nghiệm duy nhất  −2−1 ≥ 0 ( −1 ) −+3 ≤ 0 2.Bpt bậc nhất, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Xét bpt có dạng ++ > 0 hoặc + + ≥0 hoặc + + < 0 hoặc + + ≤0.Trong đó,  +   ≠0.Đây là bpt bậc nhất hai ẩn. Hệ các bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Để giải bpt + + > 0 ta vẽ tren đồ thị đường thẳng + + = 0. Đường thẳng này chia đồ thị thành hai miền (  ) ,().Lấy điểm bất kì (  ,  ) thuộc một trong hai miền nghiệm rồi xét dấu của   +   + . Nếu   +   + > 0 thì miền chứa (  ,  ) là miền nghiệm. Khi giải hệ bpt bậc nhất thì ta giải từng bpt và lấy giao các miền nghiệm Ví dụ.Giải bất phương trình sau  3+ 4+2 > 0 −2 > 0 Miền không bị gạch là miền nghiệm Lưu ý: Một dạng bài tập có liên quan đến việc giải hệ bpt bậc nhất hai ẩn là “Bài toán tối ưu” Cho hệ Bpt    +   ≤ 0 ⋮   +   ≥ 0 (1) Tìm cặp (;) thỏa mãn hệ bpt trên đồng thời làm cho biểu thức = (;) đạt già trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất Giải bài toán gồm 3 bước Bước 1. Xác định miền da giác     …  thỏa mãn hệ (1) Bước 2. Tính các giá trị   ,  …,  của hàm  tại các đỉnh   ,  …,  Bước 3. Ta có +)   = max{  ,  …,  } +)   = min{  ,  …,  } III.Bất phương trình bậc hai 1.Bất phương trình bậc hai một ẩn Các bất phương trình có dạng   + +> 0 hoặc   + + ≥ 0 hoặc   + +> 0 hoặc   + + ≥0 với ≠0 được gọi là Bất phương trình bậc hai một ẩn. Mọi bất phương trình bậc hai một ẩn đều được đưa về dạng   + + > 0 hoặc   + +≥0 với ≠0 Phương pháp giải được suy ra từ việc khảo sát dấu của tam thức bậc hai Giải và biện luận bpt   + + > 0 như sau Tính biệt thức △ Nếu △>0,> 0 tập nghiệm là −∞;  √ △  ⋃  √ △  ;+∞ Nếu △>0,< 0 tập nghiệm là   √ △  ;  √ △   Nếu △=0,< 0 bất phương trình vô nghiệm Nếu △=0,> 0 tập nghiệm là ℝ\{−   } Nếu △<0,< 0 tập nghiệm là ℝ Nếu △<0,> 0 bất phương trình vô nghiệm. Bài tập áp dụng Bài 4.(gt-182) Tìm m để 2 bpt sau có tập nghiệm như nhau   −2 ( + 3 ) +4+ 8> 0 (1)   − ( + 6 ) + 4+ 8 > 0 (2) Giải Giải pt   −2 ( + 3 ) +4+ 8= 0(1  ) ta có △  = ( + 3 )  − ( 4+ 8 ) = ( + 1 )  Suy ra pt có 2 nghiệm là 2+ 4 và 2 Giải pt   − ( + 6 ) + 4+ 8 = 0(1  ) ta có △  = ( + 6 )  − 4 ( 4+ 8 ) = ( −2 )  Suy ra pt có 2 nghiệm là + 2 và 4 Nhận thấy hệ số của   trong 2 bpt (1),(2) đều dương,Biện luận nghiệm của hai bpt bằng bảng sau m     − ∞ ( − ∞ ; 2  + 4 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) ( − ∞ ;  + 2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) − 1 ℝ \ { 2 } ( − ∞ ; 1 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) ( − ∞ ; 2 ) ∪ ( 2  + 4 ; + ∞ ) ( − ∞ ;  + 2 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) 2 ( − ∞ ; 2 ) ∪ ( 2  + 4 ; + ∞ ) ℝ \ { 4 } + ∞ ( − ∞ ; 2 ) ∪ ( 2  + 4 ; + ∞ ) ( − ∞ ; 4 ) ∪ (  + 2 ; + ∞ ) Suy ra để   =   thì  2 = + 2 2+ 4 = 4 −1 <  < 2 ⇒= 0 Vậy với =0 thì hai bất phương trình có tập nghiệm như nhau Bài 5.(gt-182) Cho bất phương trình  ( 1 + )( 3 − ) ≥  −2+ 2+ 8 a) Giải bất phương trình với = −10 b) Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình là [ −1;3 ] Giải a) với =−10 bất phương trình đã cho có dạng  ( 1 +  )( 3 − ) ≥  −2−12 ⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡    −2−12 ≤ 0 ( 1 +  ) (3 −) > 0     −2−12 ≥ 0 ( +1 ) (3 −) ≥ (   −2−12 )   ⇔ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡   1 − √ 13 ≤ ≤ 1+ √ 13 −1 < < 3     ≥ 1 + √ 13  ≤ 1 − ( 13 )  −  + 2+3 ≥ (   −2−12 )  Giảiphươngtrình: −  + 2+ 3 ≥ (   −2−12 )  Đặt −  + 2+3 = (> 0) Ta có ≥ ( −−9 )  ⟺  + 17+81 <+0⟺+     +   ≤0 Dễ thấy pt này vô nghiệm ∀> 0 ⟹ Pt trên vô nghiệm Vậy nghiệm của Bpt là ∈(−1;3) b)có 2 trường hợp xảy ra Trườnghợp1.    −2+ 2+ 8 ≤ 0(1) ( 1 +  ) (3 −) > 0(2) Dễ thấy (2) có nghiệm ∈(−1;3) suy ra (1) phải có nghiệm ∈ [ −1;3 ] Suy ra hệ sau phải có nghiệm  1 − √ −2−7 = 1 1 + √ −2−7 = 3 −2−7 > 0 hệ phương trình vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của m Trường hợp 2.    −2+ 2+ 8 ≥ 0 (3) ( 1 +  ) (3−) ≥ (   −2+ 2+ 8 )  (4) Pt (3) có ∆= −2−7 Bài 1.(gt-182) Giả sử   ,  là các nghiệm của phương trình   + 2+2006 = 0 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho        +        ≥2006 Giải  x      +  x      ≥2006 ⇔ [(   +   )  −2    ]  −2            ≥2006 Áp dụng định lý viet ta có    +   = −2     = 2006 thế vào (1) ta được ( 4  −2.2006 )  −2.2006  2006  ≥2006 ⇔ ( 4  −2.2006 )  −2008.2006  ≥0 ⇔16  −16.2006−2004.2006  ≥0 với =   Suy ra ∈  2006 + 1003 √ 502 2 ;+∞  Suy ra ∈  −∞;−  2006 + 1003 √ 502 2  ∪   2006+1003 √ 502 2 ;+∞  Bài 2.(gt-182) Tìm  thuộc khoảng ( −∞;−4 ] để nghiệm nhỏ của phương trình   + ( −3 ) −2−2 = 0 nhận giá trị nhỏ nhất. Giải Ta có ∆= ( −3 )  + 4 ( 2+ 2 ) = ( + 1 )  + 16 ≥0∀ Suy ra pt có 2 nghiệm phân biệt   = 3 −− ( + 1 )  + 16 2 ,  = 3 −+  ( +1 )  + 16 2 Dễ thấy   là nghiệm nhỏ của phương trình.Bài toán đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số = 3 −− ( + 1 )  + 16 2 . dụng định lý viet ta có    +   = −2     = 20 06 thế vào (1) ta được ( 4  −2.20 06 )  −2.20 06  20 06  ≥20 06 ⇔ ( 4  −2.20 06 )  −2008.20 06  ≥0 ⇔ 16  − 16. 20 06 −2004.20 06  ≥0 với. Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bài 2.Tìm m để bpt > 2+1được thỏa mãn với mọi  thuộc. 2+20 06 = 0 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho        +        ≥20 06 Giải  x      +  x      ≥20 06 ⇔ [(   +   )  −2    ]  −2            ≥20 06 Áp