Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET_6 pdf

Đường thẳng này chia đồ thị thành hai miền , .Lấy điểm bất kì , thuộc một trong hai miền nghiệm rồi xét dấu của + +.. Khi giải hệ bpt bậc nhất thì ta giải từng bpt và lấy giao các mi

Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản

NGUYÊN LÝ DIRICHLET

Bài 2.Tìm m để bpt > 2 + 1được thỏa mãn với mọi thuộc

(−1; 1)

Bài 3.Tìm để bpt sau đây có nghiệm duy nhất

− 2 − 1 ≥ 0 ( − 1) − + 3 ≤ 0

2.Bpt bậc nhất, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Xét bpt có dạng + + > 0 hoặc + + ≥ 0 hoặc + + < 0 hoặc + + ≤ 0.Trong đó, + ≠ 0.Đây là bpt bậc nhất hai ẩn

Hệ các bất phương trình trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Để giải bpt + + > 0 ta vẽ tren đồ thị đường thẳng + +

= 0 Đường thẳng này chia đồ thị thành hai miền ( ), ( ).Lấy điểm bất kì ( , ) thuộc một trong hai miền nghiệm rồi xét dấu của + + Nếu + + > 0 thì miền chứa ( , ) là miền

nghiệm

Khi giải hệ bpt bậc nhất thì ta giải từng bpt và lấy giao các miền nghiệm

Ví dụ.Giải bất phương trình sau

3 + 4 + 2 > 0

− 2 > 0 Miền không bị gạch là miền nghiệm

Lưu ý: Một dạng bài tập có liên quan đến việc giải hệ bpt bậc nhất hai

ẩn là “Bài toán tối ưu”

Cho hệ Bpt

+ ≤ 0

⋮ + ≥ 0

(1)

Tìm cặp ( ; ) thỏa mãn hệ bpt trên đồng thời làm cho biểu thức

= ( ; ) đạt già trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Giải bài toán gồm 3 bước

Bước 1 Xác định miền da giác … thỏa mãn hệ (1)

Bước 2 Tính các giá trị , … , của hàm tại các đỉnh

, … ,

Bước 3 Ta có

+) = max { , … , } +) = min { , … , }

III.Bất phương trình bậc hai

1.Bất phương trình bậc hai một ẩn

Các bất phương trình có dạng + + > 0 hoặc + + ≥

0 hoặc + + > 0 hoặc + + ≥ 0 với ≠ 0 được gọi

là Bất phương trình bậc hai một ẩn

Mọi bất phương trình bậc hai một ẩn đều được đưa về dạng + +

> 0 hoặc + + ≥ 0 với ≠ 0

Phương pháp giải được suy ra từ việc khảo sát dấu của tam thức bậc hai Giải và biện luận bpt + + > 0 như sau

Tính biệt thức △

Nếu △> 0, > 0 tập nghiệm là −∞; √△ ⋃ √△; +∞

Nếu △> 0, < 0 tập nghiệm là √△; √△

Nếu △= 0, < 0 bất phương trình vô nghiệm

Nếu △= 0, > 0 tập nghiệm là ℝ\{− }

Nếu △< 0, < 0 tập nghiệm là ℝ

Nếu △< 0, > 0 bất phương trình vô nghiệm

Bài tập áp dụng

Bài 4.(gt-182)

Tìm m để 2 bpt sau có tập nghiệm như nhau

− 2( + 3) + 4 + 8 > 0 (1)

− ( + 6) + 4 + 8 > 0 (2)

Giải

Giải pt − 2( + 3) + 4 + 8 = 0 (1 ) ta có △ = ( + 3) − (4 + 8) = ( + 1)

Suy ra pt có 2 nghiệm là 2 + 4 và 2

Giải pt − ( + 6) + 4 + 8 = 0 (1 ) ta có △ = ( + 6) −

4(4 + 8) = ( − 2)

Suy ra pt có 2 nghiệm là + 2 và 4

Nhận thấy hệ số của trong 2 bpt (1),(2) đều dương,Biện luận nghiệm của hai bpt bằng bảng sau

m

−∞ (−∞; 2

+ 4)

∪ (2; +∞)

(−∞;

+ 2)

∪ (4; +∞)

−1 ℝ\{2} (−∞; 1)

∪ (4; +∞)

(−∞; 2)

∪ (2

+ 4; +∞)

(−∞; + 2)

∪ (4; +∞)

2 (−∞; 2)

∪ (2

+ 4; +∞)

ℝ\{4}

+∞ (−∞; 2)

∪ (2

+ 4; +∞)

(−∞; 4)

∪ ( + 2; +∞)

Suy ra để = thì

2 = + 2

2 + 4 = 4

−1 < < 2

⇒ = 0

Vậy với = 0 thì hai bất phương trình có tập nghiệm như nhau

Bài 5.(gt-182)

Cho bất phương trình (1 + )(3 − ) ≥ − 2 + 2 + 8 a) Giải bất phương trình với = −10

b) Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình là [−1; 3]

Giải

a) với = −10 bất phương trình đã cho có dạng

(1 + )(3 − ) ≥ − 2 − 12

⇔

⎣

⎢

⎢

⎡ (1 + )(3 − ) > 0− 2 − 12 ≤ 0

− 2 − 12 ≥ 0

( + 1)(3 − ) ≥ ( − 2 − 12)

⇔

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎡

1 − √13 ≤ ≤ 1 + √13

−1 < < 3

≥ 1 + √13

≤ 1 − (13)

− + 2 + 3 ≥ ( − 2 − 12)

Giảiphươngtrình: − + 2 + 3 ≥ ( − 2 − 12)

Đặt − + 2 + 3 = ( > 0)

Ta có ≥ (− − 9) ⟺ + 17 + 81 < +0 ⟺ + + ≤ 0

Dễ thấy pt này vô nghiệm ∀ > 0 ⟹ Pt trên vô nghiệm

Vậy nghiệm của Bpt là ∈ (−1; 3)

b)có 2 trường hợp xảy ra

Trườnghợp1 − 2 + 2 + 8 ≤ 0 (1)

(1 + )(3 − ) > 0 (2)

Dễ thấy (2) có nghiệm ∈ (−1; 3) suy ra (1) phải có nghiệm ∈ [−1; 3]

Suy ra hệ sau phải có nghiệm

1 − √−2 − 7 = 1

1 + √−2 − 7 = 3

−2 − 7 > 0

hệ phương trình

vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của m

Trường hợp 2 − 2 + 2 + 8 ≥ 0 (3)

(1 + )(3 − ) ≥ ( − 2 + 2 + 8) (4)

Pt (3) có ∆= −2 − 7

Bài 1.(gt-182)

Giả sử , là các nghiệm của phương trình + 2 + 2006 = 0 Tìm tất cả các giá trị của a sao cho + ≥ 2006

Giải

x

+ x ≥ 2006 ⇔ [( + ) − 2 ] − 2

≥ 2006

Áp dụng định lý viet ta có + = −2

= 2006 thế vào (1) ta được (4 − 2.2006) − 2.2006

2006 ≥ 2006

⇔ (4 − 2.2006) − 2008.2006 ≥ 0

⇔ 16 − 16.2006 − 2004.2006 ≥ 0 với =

Suy ra

∈ 2006 + 1003√502

2 ; +∞

Suy ra

∈ −∞; − 2006 + 1003√502

2006 + 1003√502

2 ; +∞

Bài 2.(gt-182)

Tìm thuộc khoảng (−∞; −4] để nghiệm nhỏ của phương trình

+ ( − 3) − 2 − 2 = 0 nhận giá trị nhỏ nhất

Giải

Ta có ∆= ( − 3) + 4(2 + 2) = ( + 1) + 16 ≥ 0 ∀

Suy ra pt có 2 nghiệm phân biệt

= 3 − − ( + 1) + 16

2 , =

3 − + ( + 1) + 16

2

Dễ thấy là nghiệm nhỏ của phương trình.Bài toán đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

= 3 − − ( + 1) + 16

2