Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET max= 2 khi = . = √ − √ − với a dương và n nguyên dương Điều kiện 0 ≤≤ Ta có = √ − √ − = − ( − ) = 1 2 + 1 2 ( − ) > 0 ⟹ hàm số đã cho luôn đồng biến. ⟹ ( 0 ) ≤ ( ) ≤ ( ) ,∀∈ [ 0, ] Vậy min= ( 0 ) = − √ max= ( ) = √ = | | . | | với p và q lớn hơn 1 Đặt = | cos | ,∈ [ 0,1 ] ⟹ | sin | = 1− ⟹= ( ) = . ( 1 − ) ⟹ ( ) = 2 . . ( 1 − ) − . 2 . ( 1 − ) = . ( 1 − ) . 2 ( 1 − ) − 2 = . ( 1 − ) . 2 −. + 2 ( ) = 0⟺ = 0 1 −= 0 2 −. + 2 = 0 ⟺ = 0 = 1 = + ( 0 ) = ( 1 ) = 0 + = + + > 0 Vậy min= ( 0 ) = ( 1 ) = 0 max= + = + + Bài 2/91:Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3 + 17 ≥18 với mọi a và b không âm; > ∑ ! với mọi > 0 và hãy mở rộng kết quả này. LG: 3 + 17 ≥18 với mọi a và b không âm. Nếu = 0 ⟹3 ≥0 luôn đúng do ≥0. Nếu ≠0 chia cả hai vế của bất phương trình cho ta được: 3 + 17 ≥ 18 ⟺3 −18 + 17 ≥0 ( 1 ) Đặt= ,≥0 ⟹ ( 1 ) ⟺3 −18+ 17≥0 Xét ( ) = 3 −18+ 17 ( ) = 9 −18 ( ) = 0⟺ = − √ 2 <0(ạ) = √ 2 Bảng biến thiên √ 2 = 6 √ 2 −18 √ 2 + 17 =−12 √ 2 + 17> 0 ⟹ ( ) ≥0∀∈ [ 0,+∞ ) ⟹3 + 17 ≥18 ( đ ) a. > ∑ ! với mọi > 0 Ta có: > ! ⟺ − ! > 0 Đặt ( ) = − ! ⟹′ ( ) = − ( −1 ) ! ′′ ( ) = − ( −2 ) ! ……………… () ( ) = > 0∀ ⟹ () ( ) đồng biến trên [ 0,+∞ ) ⟹ () ( ) > () ( 0 ) > 0∀ ⟹ () ( ) đồng biến trên [ 0,+∞ ) ⟹ () ( ) > () ( 0 ) > 0∀ …………………… Tương tự như vậy ta có ( ) > 0∀∈ [ 0,+∞ ) ⟹() đồng biến trên [ 0,+∞ ) ⟹ ( ) = − ! > ( 0 ) > 0∀∈ [ 0,+∞ ) Bài 3/91: Với x, y dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 4 + + 4 LG: Đặt= 4 + + 4 Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho ta được: = 4 + + 4 Đặ= ,> 0⇒= ( ) = 4 + √ + 4 Khi đó A đạt giá trị lớn nhất khi ( ) đạt giá trị lớn nhất. Ta có ( ) = 4 + √ + 4 −4.3 + √ + 4 .1 + √ + 4 + √ + 4 = 4 √ + 4 −12 + √ + 4 . √ + 4 ( ) = 0⟺4 + 4 −12= 0⟺ + 4 = 3 ⟺ + 4 = 9 ⟺8 = 4⟺ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ = − 1 √ 2 < 0 ( ạ ) = 1 √ 2 Bảng biến thiên Vậymax= 1 8 Bài 1/94: Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: = | | − | | với > 0; = √ − ± √ − với > ; = 3 | | −4 | | với > 0; = với n nguyên dương. LG: = | | − | | với > 0 Ta có −1 ≤− | | ≤ | | − | | ≤ | | ≤1 nên −1 ≤≤1 = −1 ⟺= 2 + = 1⟺= Vậy min=−1 và max= 1. = √ − ± √ − với > = √ − + √ − Điều kiện ≤≤ Ta có = √ − + √ − = ( − ) + ( − ) = 1 2 ( − ) − 1 2 ( − ) = 0⟺ 1 2 ( − ) = 1 2 ( − ) ⟺= + 2 ( ) = ( ) = √− + 2 =2 + 2 > √− Vậy min= √ − khi = hoặc = . max= 2 khi = . = √ − − √− Ta có − √ − ≤− √ − ≤ √ − − √ − ≤ √ − ≤ √ − ⟹−√− ≤≤ √− = −√− ⟺= = √− ⟺= Vậy min=− √ − max= √ − = 3 | | −4 | | với > 0 Ta có −4 ≤−4 | | ≤3 | | −4 | | ≤3 | | ≤3 ⟹−4 ≤≤3 = −4 ⟺ | | = 1 | | = 0 ⟺x= 2 + = 3⟺ | | = 1 | | = 0 ⟺= Vậy min=−4 max= 3 = với n nguyên dương Ta có 0 ≤sin ≤1 0 ≤cos ≤1 ⟹ 0 ≤sin ≤sin ≤1 0 ≤cos ≤cos ≤1 ⇒sin + cos ≤sin + cos ⇒ đạt giá trị lớn nhất ⟺sin + cos = sin + cos ⟺ cos= 0 sin= ±1 cos= ±1 sin= 0 ⟺= 2 . Chương 1: Một Vài Nguyên Lí Cơ Bản NGUYÊN LÝ DIRICHLET max= 2 khi = . = √ − √ − với a dương và n nguyên dương Điều kiện 0 ≤≤. 4 .1 + √ + 4 + √ + 4 = 4 √ + 4 −12 + √ + 4 . √ + 4 ( ) = 0 4 + 4 −12= 0⟺ + 4 = 3 ⟺ + 4 = 9 ⟺8 = 4 ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ = − 1 √ 2 <. 4 Đặ= ,> 0⇒= ( ) = 4 + √ + 4 Khi đó A đạt giá trị lớn nhất khi ( ) đạt giá trị lớn nhất. Ta có ( ) = 4 + √ + 4 4 .3 + √ + 4 .1