LÝ THUYẾT tổ hợp Nguyên lý bù trừ và ứng dụng.

MỤC LỤC MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 4 1.1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ 4 1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP 4 1.2.1. Cấu hình tổ hợp 5 1.2.2. Các dạng bài toán tổ hợp 5 1.3. BÀI TOÁN ĐẾM 7 1.3.1. Giai thừa 7 1.3.2. Nguyên lý nhân và nguyên lý cộng 7 1.3.2.1. Nguyên lý nhân 7 1.3.2.2. Nguyên lý cộng 7 1.3.3. Các cấu hình tổ hợp cơ bản 7 1.3.3.1. Chỉnh hợp lặp 7 1.3.3.2. Chỉnh hợp không lặp 8 1.3.3.3. Hoán vị 8 1.3.4. Cấu hình tổ hợp mở rộng 9 1.3.4.1. Hoán vị lặp 9 1.3.4.2. Tổ hợp lặp 9 1.3.4.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp 9 1.3.4.4. Phân hoạch không thứ tự 10 CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 11 CHƯƠNG III: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VÀ CÁC VÍ DỤ 13 3.1.BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13 3.1.1. Bài toán bỏ thư 13 3.1.2. Bài toán xếp n cặp vợ chồng (Lucas) 14 3.1.3. Bài toán đếm số toàn ánh 16 3.2. CÁC VÍ DỤ 17 KẾT LUẬN 22 MỞ ĐẦU Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự phân bố, sắp xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp. Thông thường các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu cầu của bài toán cần nghiên cứu. Mỗi cách phân bố như vậy gọi là một cấu hình tổ hợp. Chủ đề này đã được nghiên cứu từ thế kỉ XVII, khi những vấn đề về tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi may rủi, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,… Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm). Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển như vũ bảo, thì nó như nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,… Các bài toán tổ hợp thường được phân thành các dạng sau: bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu. Liệt kê, đếm, sắp xếp các đối tượng có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp. Trong bài toán đếm, khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lập, vì những cách làm cả hai việc sẽ được tính hai lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc đó là nội dung của nguyên lý bù trừ. Nhóm chúng tôi mong muốn hiểu sâu về vấn đề này nên chọn đề tài nghiên cứu là : Nguyên lý bù trừ và ứng dụng. Đề tài gồm 3 chương xoay quanh nguyên lý bù trừ. Chương 1 nêu đại cương về tổ hợp, chương 2 nghiên cứu sâu về nguyên lý bù trừ, chương 3 nêu những ứng dụng của nguyên lý này. STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 2 3 4 Trần Thị Ngân ( nhóm trưởng) Hà Thị Thu Sương Phạm Đức Khanh Nguyễn Tấn Duy Chương 1, chương 3 Chương 1, chương 3 Chương 2 Chương 2 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ Có thể nói tổ hợp ra đời từ rất sớm. Vào thời nhà Chu Trung quốc người ta đã biết đến những hình vuông thần bí. Thời cổ Hy Lạp,thế kỷ IV trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số có tính chất đặc biệt. Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên. Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của hai số khác. Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp nhất định. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp đã được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ XVII bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Euler, Leibnitz,.. Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất cả chục năm). Vì vậy trong thời gian dài khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, phương trình vi phân,…phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ việc nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp trở thành một ngành toán học phát triển mạnh mẽ với một số bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử như: bài toán tháp Hà Nội, bài toán xếp n cặp vợ chồng, bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ, hình vuông la tinh, hình lục giác thần bí. 1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau.

Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự phân bố, sắp xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp. Thông thường các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu cầu của bài toán cần nghiên cứu. Mỗi cách phân bố như vậy gọi là một cấu hình tổ hợp. Chủ đề này đã được nghiên cứu từ thế kỉ XVII, khi những vấn đề về tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi may rủi, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,… Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm). Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển như vũ bảo, thì nó như nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 2 thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,… Các bài toán tổ hợp thường được phân thành các dạng sau: bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu. Liệt kê, đếm, sắp xếp các đối tượng có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp. Trong bài toán đếm, khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lập, vì những cách làm cả hai việc sẽ được tính hai lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc đó là nội dung của nguyên lý bù trừ. Nhóm chúng tôi mong muốn hiểu sâu về vấn đề này nên chọn đề tài nghiên cứu là : Nguyên lý bù trừ và ứng dụng. Đề tài gồm 3 chương xoay quanh nguyên lý bù trừ. Chương 1 nêu đại cương về tổ hợp, chương 2 nghiên cứu sâu về nguyên lý bù trừ, chương 3 nêu những ứng dụng của nguyên lý này. STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 2 3 4 Trần Thị Ngân ( nhóm trưởng) Hà Thị Thu Sương Phạm Đức Khanh Nguyễn Tấn Duy Chương 1, chương 3 Chương 1, chương 3 Chương 2 Chương 2 GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 3 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ Có thể nói tổ hợp ra đời từ rất sớm. Vào thời nhà Chu Trung quốc người ta đã biết đến những hình vuông thần bí. Thời cổ Hy Lạp,thế kỷ IV trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số có tính chất đặc biệt. Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên. Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của hai số khác. Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp nhất định. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp đã được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ XVII bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Euler, Leibnitz, Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất cả chục năm). Vì vậy trong thời gian dài khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, phương trình vi phân,…phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 4 ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ việc nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp trở thành một ngành toán học phát triển mạnh mẽ với một số bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử như: bài toán tháp Hà Nội, bài toán xếp n cặp vợ chồng, bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ, hình vuông la tinh, hình lục giác thần bí. 1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau. Có thể nói một cách tổng quát rằng lý thuyết tổ hợp nghiên cứu sự phân bố, sắp xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Một cách phân bố, sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp. 1.2.1. Cấu hình tổ hợp Cho các tập A 1 , A 2 ,…,A n . Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của A 1 , A 2 , …,A n , được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R 1 ,R 2 , …,R m là các điều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S. Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của A 1 , A 2 , …,A n thỏa mãn các điều kiện R 1 ,R 2 , …,R m gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A 1 , A 2 ,…,A n. • Ví dụ . Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua. Mỗi thế cờ có thể coi là một cấu hình tổ hợp. Ở đây ta có thể định nghĩa A là tập hợp các quân cờ trắng B là tập hợp các quân cờ đen S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua. • Ví dụ .Bài toán tháp Hà Nội A là tập hợp n đĩa S là sơ đồ sắp xếp các đĩa trên 3 cọc R 1 là điều kiện mỗi lần chuyển 1 đĩa từ một cọc sang cọc khác GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 5 R 2 là điều kiện đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên Cấu hình tổ hợp là một cách sắp xếp các đĩa trên 3 cọc thỏa mãn các điều kiện R 1 , R 2 . 1.2.2. Các dạng bài toán tổ hợp Với các cấu hình tổ hợp ta thường gặp các dạng bài toán sau: Bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu. Bài toán tồn tại Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của một cấu hình tổ hợp nào đó. Có những bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy sự phát triển nhiều hướng nghiên cứu toán học. • Ví dụ .Cho n nguyên dương A là tập hợp n x n điểm A={[i,j] | i,j = 1,…,n} S là tập hợp 2n điểm trong A R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng Với 152 ≤≤ n cấu hình tổ hợp tồn tại. Nhưng bài toán chưa có lời giải với n >15. Bài toán đếm Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đang xét?”. Phương pháp đếm cấu hình tổ hợp thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý đếm (nguyên lý cộng và nguyên lý nhân) và phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản. Khi việc xác định số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên và cận dưới của nó. Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán, • Ví dụ . Đếm số tập con của một tập hợp S={x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n }. GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 6 Giải. Một tập con của S có thể được xây dựng trong n bước kế tiếp như sau: Nhặt hoặc không nhặt x 1 , nhặt hoặc không nhặt x 2 ,…, nhặt hoặc không nhặt x n . Mỗi bước được thực hiện nhiều nhất là 2 cách. Như vậy số tập con là 2.2.2… 2=2 n Bài toán liệt kê Các bài toán này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp đã cho. Nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau thường được đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không. • Ví dụ . Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử. Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn đề, mỗi cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số( chẳng hạn như hiệu quả sử dụng, hay chi phí thực hiện). Khi đó bài toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu ( lớn nhất hoặc nhỏ nhất). • Ví dụ (Bài toán ba lô). Một nhà thám hiểm dùng một cái ba lô trọng lượng không quá b để mang đồ vật. Có n đồ vật 1,2,3,…,n. Đồ vật thứ j có trọng lượng a j và giá trị sử dụng là c j , j=1,2,…,n. Hỏi nhà thám hiểm cần mang theo những đồ vật nào để tổng giá trị sử dụng là lớn nhất ? 1.3. BÀI TOÁN ĐẾM 1.3.1. Giai thừa Định nghĩa: Giai thừa của số tự nhiên n khác 0, kí hiệu n!, là tích số của n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Quy ước: 0! = 1 Tính chất: (n+k)! = n!.(n+1)…(n+k) 1.3.2. Nguyên lý nhân và nguyên lý cộng 1.3.2.1. Nguyên lý nhân GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 7 Giả sử một cấu hình tổ hợp được xây dựng qua k bước, bước 1 có thể được thực hiện n 1 cách, bước 2 có thể được thực hiện n 2 cách, …, bước k có thể được thực hiện n k cách. Khi đó số cấu hình tổ hợp là n 1 . n 2 …. n k 1.3.2.2. Nguyên lý cộng Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 , m 2 cách chọn đối tượng x 2 , …, m n cách chọn đối tượng x n và nếu cách chọn x i không trùng với bất kỳ cách chọn x j nào (i ≠ j, i, j = 1, ,n) thì có m 1 + m 2 +… + m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho. 1.3.3. Các cấu hình tổ hợp cơ bản 1.3.3.1. Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần có thể được lặp lại. Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đề-Các X k , với X là tập n phần tử. Như vậy số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n là AR(n,k) = n k 1.3.3.2. Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa: Một chỉnh lợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho. Các thành phần không được lặp lại. Một chỉnh hợp không lặp chập k của n có thể được xây dựng qua k bước kế tiếp như sau: Chọn thành phần đầu tiên: có n khả năng Chọn thành phần thứ hai: có n -1 khả năng … Chọn thành phần thứ k: có n – k + 1 khả năng Như vậy theo nguyên lý nhân, số tất cả chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử là A(n,k) = n.(n - 1)…. (n – k + 1) = n! (n k)! − GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 8 1.3.3.3. Hoán vị Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử khác nhau là một cách sắp xếp thứ tự các phần tử đó. Hoán vị có thể coi như trường hợp riêng của chỉnh hợp không lặp chập k của n trong đó k = n. Ta có số hoán vị là P(n) = n! 1.3.3.4. Tổ hợp Định nghĩa: Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho. Nói cách khác ta có thể coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần tử đã cho. Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là C(n, k). Ta có A(n, k) = C(n, k).k! Suy ra C(n, k) = n! k!(n k)! − 1.3.4. Cấu hình tổ hợp mở rộng 1.3.4.1. Hoán vị lặp Định nghĩa: Hoán vị lặp là hoán vị trong đó mỗi phần tử được ấn định số lần lặp cho trước. Định lý: Số hoán vị lặp của k phần tử khác nhau trong đó số phần tử thứ nhất lặp n 1 lần, số phần tử thứ 2 lặp n 2 lần, , số phần tử thứ k lặp n k lần là P( n; n 1 , n 2 , n k ) = 1 2 ! ! ! ! k n n n n Hệ quả: Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, trong đó có n 1 phần tử kiểu 1, n 2 phần tử kiểu 2, , n k phần tử kiểu k. Khi đó số các hoán vị n phần tử của tập S là P( n; n 1 , n 2 , , n k ) = 1 2 ! ! ! ! k n n n n GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 9 1.3.4.2. Tổ hợp lặp Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể lặp lại. Định lý: Giả sử X có n phần tử khác nhau. Khi đó số tổ hợp lặp chập k từ n phần tử của X, ký hiệu CR(n, k) là: CR(n, k) = C(k+n–1,n-1) = C(k+n-1, k) 1.3.4.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp Định nghĩa: Cho X là tập n phần tử khác nhau, nr ≤ và S ⊂ X có r phần tử. Một phân hoạch {S 1 , S 2 ,…, S n } có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X. Nếu r = n, thì ta gọi là phân hoạch thứ tự của X. Cho các số nguyên dương n 1 , n 2 , …, n k thỏa rnnn k =+++ 21 . Số các phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S 1 , S 2 ,…, S n } có |S 1 | = n 1 , |S 2 | = n 2 , , |S k | = n k được ký hiệu là C(n; n 1 , n 2 , , n k ). Một cấu hình tổ hợp kiểu này được xây dựng qua các bước như sau Bước 1: chọn n 1 phần tử X cho S 1 , có C(n,n 1 ) khả năng Bước 2: chọn n 2 phần tử X \ S 1 cho S 2 , có C(n-n 1 ,n 2 ) khả năng Bước k: chọn n k phần tử ) (\ 121 − ∪∪∪ k SSSX cho S, có ), ( 121 kk nnnnnC − −−−− khả năng Theo nguyên lý nhân suy ra ), () ,().,(), ,,;( 12121121 kkk nnnnnCnnnCnnCnnnnC − −−−−−= ),, ,,;( )!!.(! !. ! 21 21 rnnnnnP rnnnn n k k −= − = Định lý: ),, ,,;( )!!.(! !. ! ), ,,;( 21 21 21 rnnnnnP rnnnn n nnnnC k k k −= − = ), ,,;( 21 k nnnnC được gọi là hệ số đa thức. GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 10 1.3.4.4. Phân hoạch không thứ tự Định nghĩa: Cho X là tập n phần tử khác nhau, các số nguyên dương n 1 , n 2 , …, n k và p 1 , p 2 , …,p k thỏa npnpnpn kk =+++ 2211 Một hệ thống các tập con của X gồm p 1 tập lực lượng n 1 , p 2 tập lực lượng n 2 , …, p k tập lực lượng n k gọi là phân hoạch không thứ tự của X. Định lý: Số phân hoạch không thứ tự của X với p 1 tập lực lượng n 1 , p 2 tập lực lượng n 2 , …, p k tập lực lượng n k là k p kk pp k kk npnpnp n ppp nnnnnnnC )!(! )!(!)!(! ! !! ! ), ,, ,, ,,, ,;( 21 2211 21 2211 = (trong tử số ), ,, ,, ,,, ,;( 2211 kk nnnnnnnC số n 1 lặp lại p 1 lần, số n 2 lặp lại p 2 lần, …, số n k lặp lại p k lần). CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát biểu nguyên lí đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp. Công thức 1: Cho 2 tập hợp A,B. Theo nguyên lý cộng ta có: BA∪ = A + B - BA∩ Công thức 2: Cho tập hợp X và n tập con X 1 , X 2 , … , X n , ta có: n XXX ∪∪∪ 21 = ),()1( 1 1 knX k n k − = ∑ − Trong đó: ∑ ≤<<≤ ∩∩∩= nii iii k k xxxknX 1 1 21 ),( GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 [...]... đề tài này GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Chí Thành (2001), Giáo trình tổ hợp, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, Giáo Trình Lý Thuyết Tổ Hợp, Đà Nẵng _2010 [3] Vũ Đình Hoà (2003), Lý thuyết tổ hợp và các bài toán ứng dụng, NXB Giáo dục GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm... GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 21 KẾT LUẬN Nguyên lý bù trừ là đề tài rất hay, nó khơi dậy khả năng toán học cho người học, đồng thời nó cũng kích thích được óc sáng tạo và tư duy định hướng cho người học Nguyên lý này đã cuốn hút được sự quan tâm của nhiều người bởi tính đa dạng và sự ứng dụng của nó Do vậy, việc học tập, nghiên cứu chủ đề này... PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 18 A2 là tập các học sinh giải được bài đại số A3 là tập các học sinh giải được bài tổ hợp Khi đó: A1 ∩ A2 là tập các học sinh giải được bài hình học và đại số A2 ∩ A3 là tập các học sinh giải được bài đại số và tổ hợp A1 ∩ A3 là tập các học sinh giải được bài hình học tổ hợp Số học sinh giải được ít nhất một bài thi là :...Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 11 Trong tổng X(n,k), bộ (i1,i2, … ,ik) lấy tất cả các tổ hợp chập k của n và như vậy X(n,k) là tổng của C(n,k) số hạng Nói riêng ta có X (n,1) = X 1 + X 2 +……+ X n X (n, n) = X 1 ∩ X 2 ∩ ∩ X n và Từ công thức 2,sử dụng tính chất: X 1 ∩ X 2 ∩ ∩ X n = X 1 ∪ X 2 ∪ ∪ X n = X − X 1 ∪ X... Số Un gọi là số phân bố Xét tập hợp X các hoán vị f của {1, 2, ….,n} Ta gọi Pi là tính chất f(i) = i và Qi là tính chất f(i) = i +1 GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 15 Ký hiệu Pn+i là tính chất Qi Tiếp theo ký hiệu Xi là các số hoán vị của trong X thỏa mãn tính chất Pi , i = 1,…, 2n Như vậy theo nguyên lý bù trừ số cách xếp chỗ là: 2n U n =... thi học sinh giỏi toán của một trường phổ thông gồm 3 bài: hình học, đại số và tổ hợp Có 100 em tham gia dự thi Kết quả cho thấy có 80 em giải được bài hình học, 70 em giải được bài đại số, 50 em giải được bài tổ hợp, 60 em giải được bài hình học và đại số, 50 em giải được bài hình học và tổ hợp, 40 em giải được bài đại số và tổ hợp, 30 em giải được cả ba bài Hỏi có bao nhiêu em giải được ít nhất một... vậy phần bù của X k là: X k = { x ∈ X x không thỏa mãn α k } Ký hiệu N là số cần đếm, theo công thức 3 ta có: N = X 1 ∩ X 2 ∩ ∩ X n = X + n ∑ (−1) k =1 k X (n, k ) trong đó X (n,0) = X GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 12 và X(n,k)= ∑X 1≤i1 < < ik ≤ n i1 ∩ X i2 ∩ ∩ X ik ∀k = 1 , n CHƯƠNG III: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VÀ CÁC VÍ DỤ 3.1 BÀI TOÁN ỨNG DỤNG... địa chỉ (k = 1,….,n) Ký hiệu N(n,r) là só cách bỏ thư sao cho có đúng r lá thư đúng địa chỉ (r = 0, 1, …., n) Như vậy theo nguyên lý bù trừ số cách bỏ thư sao cho không có lá thư nào gửi đúng địa chỉ là GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 13 N ( n,0) = ∑ (−1) k X (n, k ) Trong đó N (n, 0) = X = n ! X (n, k ) = ∑X 1≤ik < . n!.(n+1)…(n+k) 1.3.2. Nguyên lý nhân và nguyên lý cộng 1.3.2.1. Nguyên lý nhân GVHD: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm thực hiện: Nhóm 5 Đề tài nguyên lý bù trừ và ứng dụng 7 Giả sử một cấu hình tổ hợp được. cấu hình tổ hợp thuộc dạng đang xét?”. Phương pháp đếm cấu hình tổ hợp thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý đếm (nguyên lý cộng và nguyên lý nhân) và phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn. tài gồm 3 chương xoay quanh nguyên lý bù trừ. Chương 1 nêu đại cương về tổ hợp, chương 2 nghiên cứu sâu về nguyên lý bù trừ, chương 3 nêu những ứng dụng của nguyên lý này. STT Họ tên Công việc