LÝ THUYẾT tổ hợp Nguyên lý bù trừ và ứng dụng.

MỤC LỤC MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 2 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 4 1.1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ 4 1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP 4 1.2.1. Cấu hình tổ hợp 5 1.2.2. Các dạng bài toán tổ hợp 5 1.3. BÀI TOÁN ĐẾM 7 1.3.1. Giai thừa 7 1.3.2. Nguyên lý nhân và nguyên lý cộng 7 1.3.2.1. Nguyên lý nhân 7 1.3.2.2. Nguyên lý cộng 7 1.3.3. Các cấu hình tổ hợp cơ bản 7 1.3.3.1. Chỉnh hợp lặp 7 1.3.3.2. Chỉnh hợp không lặp 8 1.3.3.3. Hoán vị 8 1.3.4. Cấu hình tổ hợp mở rộng 9 1.3.4.1. Hoán vị lặp 9 1.3.4.2. Tổ hợp lặp 9 1.3.4.3. Phân hoạch thứ tự tổ hợp 9 1.3.4.4. Phân hoạch không thứ tự 10 CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 11 CHƯƠNG III: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VÀ CÁC VÍ DỤ 13 3.1.BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13 3.1.1. Bài toán bỏ thư 13 3.1.2. Bài toán xếp n cặp vợ chồng (Lucas) 14 3.1.3. Bài toán đếm số toàn ánh 16 3.2. CÁC VÍ DỤ 17 KẾT LUẬN 22 MỞ ĐẦU Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiên cứu sự phân bố, sắp xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp. Thông thường các phần tử này là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào đó, tùy theo yêu cầu của bài toán cần nghiên cứu. Mỗi cách phân bố như vậy gọi là một cấu hình tổ hợp. Chủ đề này đã được nghiên cứu từ thế kỉ XVII, khi những vấn đề về tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi may rủi, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,… Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm). Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển như vũ bảo, thì nó như nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,… Các bài toán tổ hợp thường được phân thành các dạng sau: bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu. Liệt kê, đếm, sắp xếp các đối tượng có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp. Trong bài toán đếm, khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lập, vì những cách làm cả hai việc sẽ được tính hai lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc đó là nội dung của nguyên lý bù trừ. Nhóm chúng tôi mong muốn hiểu sâu về vấn đề này nên chọn đề tài nghiên cứu là : Nguyên lý bù trừ và ứng dụng. Đề tài gồm 3 chương xoay quanh nguyên lý bù trừ. Chương 1 nêu đại cương về tổ hợp, chương 2 nghiên cứu sâu về nguyên lý bù trừ, chương 3 nêu những ứng dụng của nguyên lý này. STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 2 3 4 Trần Thị Ngân ( nhóm trưởng) Hà Thị Thu Sương Phạm Đức Khanh Nguyễn Tấn Duy Chương 1, chương 3 Chương 1, chương 3 Chương 2 Chương 2 CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ Có thể nói tổ hợp ra đời từ rất sớm. Vào thời nhà Chu Trung quốc người ta đã biết đến những hình vuông thần bí. Thời cổ Hy Lạp,thế kỷ IV trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số có tính chất đặc biệt. Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên. Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của hai số khác. Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp nhất định. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp đã được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ XVII bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Euler, Leibnitz,.. Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất cả chục năm). Vì vậy trong thời gian dài khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, phương trình vi phân,…phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay đổi khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính. Từ việc nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp trở thành một ngành toán học phát triển mạnh mẽ với một số bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử như: bài toán tháp Hà Nội, bài toán xếp n cặp vợ chồng, bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ, hình vuông la tinh, hình lục giác thần bí. 1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau.

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 4

1.1 SƠ LƯỢC LỊCH SỬ 4

1.2 BÀI TOÁN TỔ HỢP 4

1.2.1 Cấu hình tổ hợp 5

1.2.2 Các dạng bài toán tổ hợp 5

1.3 BÀI TOÁN ĐẾM 7

1.3.1 Giai thừa 7

1.3.2 Nguyên lý nhân và nguyên lý cộng 7

1.3.2.1 Nguyên lý nhân 7

1.3.2.2 Nguyên lý cộng 7

1.3.3 Các cấu hình tổ hợp cơ bản 7

1.3.3.1 Chỉnh hợp lặp 7

1.3.3.2 Chỉnh hợp không lặp 8

1.3.3.3 Hoán vị 8

1.3.4 Cấu hình tổ hợp mở rộng 9

1.3.4.1 Hoán vị lặp 9

1.3.4.2 Tổ hợp lặp 9

1.3.4.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp 9

1.3.4.4 Phân hoạch không thứ tự 10

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 11

CHƯƠNG III: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VÀ CÁC VÍ DỤ 13

3.1.BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13

3.1.1 Bài toán bỏ thư 13

3.1.2 Bài toán xếp n cặp vợ chồng (Lucas) 14

3.1.3 Bài toán đếm số toàn ánh 16

3.2 CÁC VÍ DỤ 17

KẾT LUẬN 22

MỞ ĐẦU

Lý thuyết tổ hợp là một phần quan trọng của toán học rời rạc chuyên nghiêncứu sự phân bố, sắp xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp Thông thường các phần tửnày là hữu hạn và việc phân bố chúng phải thoả mãn những điều kiện nhất định nào

đó, tùy theo yêu cầu của bài toán cần nghiên cứu Mỗi cách phân bố như vậy gọi làmột cấu hình tổ hợp Chủ đề này đã được nghiên cứu từ thế kỉ XVII, khi những vấn

đề về tổ hợp được nêu ra trong những công trình nghiên cứu các trò chơi may rủi,cho đến nay đã được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hìnhhọc, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,

…

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợpkhổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợpmất hàng chục năm) Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học nhưphép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân…phát triển như vũ bảo,thì nó như nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học Tình thế thay đổi từkhi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp

đã được giải quyết trên máy tính Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trởthành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, cho đến nay đã được áp dụng trong nhiềulĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạchthực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,…

Các bài toán tổ hợp thường được phân thành các dạng sau: bài toán tồn tại,bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu Liệt kê, đếm, sắp xếp các đối tượng

có những tính chất nào đó là một phần quan trọng của lý thuyết tổ hợp

Trong bài toán đếm, khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng takhông thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việccộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lập, vì những cách làm cả hai việc sẽ

mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc đó là nội dungcủa nguyên lý bù trừ Nhóm chúng tôi mong muốn hiểu sâu về vấn đề này nên chọn

đề tài nghiên cứu là : Nguyên lý bù trừ và ứng dụng.

Đề tài gồm 3 chương xoay quanh nguyên lý bù trừ Chương 1 nêu đại cương

về tổ hợp, chương 2 nghiên cứu sâu về nguyên lý bù trừ, chương 3 nêu những ứngdụng của nguyên lý này

Chương 2

CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP

1.1 SƠ LƯỢC LỊCH SỬ

Có thể nói tổ hợp ra đời từ rất sớm Vào thời nhà Chu Trung quốc người ta đãbiết đến những hình vuông thần bí Thời cổ Hy Lạp,thế kỷ IV trước Công nguyên,nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cáicho trước Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số có tính chất đặcbiệt Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ đầu tiên, mà còn làtổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên

Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nóbằng tổng bình phương của hai số khác Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệthuật tổ hợp nhất định Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp đã được hìnhthành như một ngành toán học mới vào thế kỷ XVII bằng một loạt công trình nghiêncứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Euler, Leibnitz,

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợpkhổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợpmất cả chục năm) Vì vậy trong thời gian dài khi mà các ngành toán học như Phéptính vi phân, phương trình vi phân,…phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằmngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học Tình thế thay đổi khi xuất hiện máytính và sự phát triển của toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyếttrên máy tính Từ việc nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp trở thành một ngành toán họcphát triển mạnh mẽ với một số bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử như: bài toán

tháp Hà Nội, bài toán xếp n cặp vợ chồng, bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ,

hình vuông la tinh, hình lục giác thần bí

1.2 BÀI TOÁN TỔ HỢP

Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất đa dạng, liên quan đến nhiềulĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau

Có thể nói một cách tổng quát rằng lý thuyết tổ hợp nghiên cứu sự phân bố,sắp xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn một số điều kiện nào đó.

Một cách phân bố, sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp

1.2.1 Cấu hình tổ hợp

Cho các tập A1, A2 ,…,An Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của A1, A2 ,

…,An, được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R1,R2, …,Rm là các điều kiện ràngbuộc lên mỗi sắp xếp theo sơ đồ S Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của A1, A2 ,

…,An thỏa mãn các điều kiện R1,R2, …,Rm gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập

S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ

R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua

• Ví dụ Bài toán tháp Hà Nội

A là tập hợp n đĩa

S là sơ đồ sắp xếp các đĩa trên 3 cọc

R1 là điều kiện mỗi lần chuyển 1 đĩa từ một cọc sang cọc khác

R2 là điều kiện đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên

Cấu hình tổ hợp là một cách sắp xếp các đĩa trên 3 cọc thỏa mãn các điềukiện R1, R2

1.2.2 Các dạng bài toán tổ hợp

Với các cấu hình tổ hợp ta thường gặp các dạng bài toán sau: Bài toán tồn tại,bài toán đếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu

Bài toán tồn tại

Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại củamột cấu hình tổ hợp nào đó

Có những bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy sựphát triển nhiều hướng nghiên cứu toán học.

• Ví dụ Cho n nguyên dương

A là tập hợp n x n điểm

A={[i,j] | i,j = 1,…,n}

S là tập hợp 2n điểm trong A

R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng

Với 2 n 15 cấu hình tổ hợp tồn tại Nhưng bài toán chưa có lời giải với n

>15.

Bài toán đếm

Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợpthuộc dạng đang xét?” Phương pháp đếm cấu hình tổ hợp thường dựa vào một sốquy tắc, nguyên lý đếm (nguyên lý cộng và nguyên lý nhân) và phân rã đưa về cáccấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thểước lượng cận trên và cận dưới của nó Bài toán đếm được áp dụng vào những côngviệc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán,

• Ví dụ Đếm số tập con của một tập hợp S={x1,x2,x3, ,xn}

Giải Một tập con của S có thể được xây dựng trong n bước kế tiếp như sau: Nhặthoặc không nhặt x1, nhặt hoặc không nhặt x2,…, nhặt hoặc không nhặt xn Mỗi bướcđược thực hiện nhiều nhất là 2 cách Như vậy số tập con là

2.2.2… 2=2n

Bài toán liệt kê

Các bài toán này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả cáccấu hình tổ hợp đã cho Nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau thường được đưa

về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất chotrước hay không

• Ví dụ Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử

Bài toán tối ưu tổ hợp

Trong nhiều vấn đề, mỗi cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số( chẳnghạn như hiệu quả sử dụng, hay chi phí thực hiện) Khi đó bài toán tối ưu tổ hợpnghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu ( lớn nhất hoặc nhỏnhất)

• Ví dụ (Bài toán ba lô) Một nhà thám hiểm dùng một cái ba lô trọng lượng khôngquá b để mang đồ vật Có n đồ vật 1,2,3,…,n Đồ vật thứ j có trọng lượng aj và giátrị sử dụng là cj, j=1,2,…,n Hỏi nhà thám hiểm cần mang theo những đồ vật nào đểtổng giá trị sử dụng là lớn nhất ?

1.3 BÀI TOÁN ĐẾM

1.3.1 Giai thừa

Định nghĩa: Giai thừa của số tự nhiên n khác 0, kí hiệu n!, là tích số của n số

tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n

Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ có

thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần có thể được lặp lại.

Một chỉnh hợp lặp chập k của n có thể xem như một phần tử của tích Đề-Các

Xk, với X là tập n phần tử Như vậy số tất cả các chỉnh hợp lặp chập k của n là

AR(n,k) = n k

1.3.3.2 Chỉnh hợp không lặp

Định nghĩa: Một chỉnh lợp không lặp chập k của n phần tử khác nhau là một

bộ có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử đã cho Các thành phần không được

lặp lại

Một chỉnh hợp không lặp chập k của n có thể được xây dựng qua k bước kế

tiếp như sau:

Chọn thành phần đầu tiên: có n khả năng

Định nghĩa: Một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một bộ không kể

thứ tự gồm k thành phần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho Nói cách khác ta có thể

coi một tổ hợp chập k của n phần tử khác nhau là một tập con có k phần tử từ n phần

Hệ quả: Giả sử tập S có n phần tử khác nhau, trong đó có n 1 phần tử kiểu 1,

n 2 phần tử kiểu 2, , n k phần tử kiểu k Khi đó số các hoán vị n phần tử của tập S là

Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là một nhóm không phân biệt

thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử đã cho, trong đó các phần tử có thể lặp lại.

Định lý: Giả sử X có n phần tử khác nhau Khi đó số tổ hợp lặp chập k từ n

phần tử của X, ký hiệu CR(n, k) là:

CR(n, k) = C(k+n–1,n-1) = C(k+n-1, k)

1.3.4.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp

Định nghĩa: Cho X là tập n phần tử khác nhau, r  n và SX có r phần tử

Một phân hoạch {S1, S2,…, Sn} có thứ tự của S gọi là một phân hoạch thứ tự tổ

hợp chập r của X Nếu r = n, thì ta gọi là phân hoạch thứ tự của X.

Cho các số nguyên dương n 1 , n 2 , …, n k thỏa n1n2 n k r Số các phân

hoạch thứ tự tổ hợp chập r của X dạng {S1, S2,…, Sn} có |S 1 | = n 1 , |S 2 | = n 2 , , |S k |

= n k được ký hiệu là C(n; n 1 , n 2 , , n k ) Một cấu hình tổ hợp kiểu này được xây

dựng qua các bước như sau

Bước 1: chọn n 1 phần tử X cho S1, có C(n,n 1 ) khả năng

Bước 2: chọn n 2 phần tử X \ S 1 cho S2, có C(n-n 1 ,n 2 ) khả năng

Bước k: chọn n k phần tử (\S1S2 S k1) cho S, có C(n n1 n2   n k1,n k) khả năng

Theo nguyên lý nhân suy ra

) ,

( )

, ( ).

, ( ) , , ,

;

(n n1 n2 n k C n n1 C n n1 n2 C n n1 n2 n k 1 n k

) , , , ,

; ( )!

1

r n n n n n P r n n n n

n

k k

; ( )!

!.(

!

!.

! )

, , ,

;

2 1 2

r n n n n

n n

n n

;

(n n1 n2 n k

C được gọi là hệ số đa thức.

1.3.4.4 Phân hoạch không thứ tự

Định nghĩa: Cho X là tập n phần tử khác nhau, các số nguyên dương n 1 , n 2 ,

…, n k và p 1 , p 2 , …,p k thỏa n1.p1 n2.p2  n k.p k n

Một hệ thống các tập con của X gồm p 1 tập lực lượng n 1 , p 2 tập lực lượng n 2,

…, p k tập lực lượng n k gọi là phân hoạch không thứ tự của X.

Định lý: Số phân hoạch không thứ tự của X với p 1 tập lực lượng n 1 , p 2 tập lực

lượng n 2 , …, p k tập lực lượng n k là

p k k p p

k

k k

n p n

p n p

n p

p p

n n n n n n

n

C

)(

)()(

;

(

2 1

2 2 1 1 2

1

2 2 1 1



(trong tử số C(n;n1, ,n1,n2, ,n2, ,n k, ,n k)số n 1 lặp lại p 1 lần, số n 2 lặp lại p 2

lần, …, số n k lặp lại p k lần)

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng

để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc Để tính đúng số cách thực hiệnnhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làmđồng thời cả hai việc Ta có thể phát biểu nguyên lí đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp

Công thức 1: Cho 2 tập hợp A,B Theo nguyên lý cộng ta có:

X1 2   = ( 1) 1 ( , )

1

k n X

k n

x k

n X

1 1 1 2

) , (

Trong tổng X(n,k), bộ (i 1 ,i 2 , … ,i k ) lấy tất cả các tổ hợp chập k của n và như vậy

X(n,k) là tổng của C(n,k) số hạng Nói riêng ta có

1

) 1 , (n X

Công thức 3 (Sieve): ( 1) ( , )

0 2

i i

i

k

k

X X

X k

n X

) , ( k  1 ,n

Bây giờ: ta cho các tính chất  1 , , n trên tập X Xét bài toán:

* Bài toán đếm số phần tử trong X không thỏa mãn một tính chất k nào cả Giải:

Với mọi k  1 , ,n ta có ký hiệu:

và

X(n,k)=     

n i

X X

X

k  1 ,n

CHƯƠNG III: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG VÀ CÁC VÍ DỤ3.1 BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

3.1.1 Bài toán bỏ thư

Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào phong

bì

i) Hỏi xác suất để không lá thư nào đúng địa chỉ là bao nhiêu ?

ii) Hỏi xác suất để đúng r lá thư đúng địa chỉ là bao nhiêu ( r  n) ?

Giải:

i) Gọi X là tập hợp tất cả các cách bỏ thư Ta có X  n! Gọik (k là tínhchất lá thư k gửi đúng địa chỉ, Xk là tập hợp cách bỏ thư sao cho lá thư k không gửiđúng địa chỉ (k = 1,….,n) Ký hiệu N(n,r) là só cách bỏ thư sao cho có đúng r lá thưđúng địa chỉ (r = 0, 1, …., n) Như vậy theo nguyên lý bù trừ số cách bỏ thư sao chokhông có lá thư nào gửi đúng địa chỉ là

 

) 0 ,

i i

i

k k

k

X X

X k

n X

1

) , (

! 3

1

! 2

1

! 1

1 1

! 3

1

! 2

1

! 1

1 1

n

n

Một điều lý thú là xác suất trên tiến đến 1/ e khi n  

Số N(n,0) trên cũng chính là tổng số hoán vị f(i) của tập (1, 2, …, n) thỏamãn f(i) i Vì vậy N(n,0) được gọi là số mất thứ tự và được ký hiệu là Dn

ii) Cho tổ hợp i1 , i2 , …, ir Số cách bỏ thư để chỉ các lá thư i1 , i2 , …, ir gửiđúng địa chỉ đúng bằng N(n-r, 0) Như vậy số cách bỏ thư để có đúng r lá thứ gửiđúng địa chỉ là:

1 (

! 2

1

! 1

1 1

!

!

)! (

1 )

1 (

! 2

1

! 1

1 1 )!

).(

, ( ) 0 , ( ).

, ( ) ,

(

r n r

n

r n r

n r n C r

n N r n C r

n

N

r n

r n

1 (

! 3

1

! 2

1

! 1

1 1

!

1

r n r

r n

3.1.2 Bài toán xếp n cặp vợ chồng (Lucas)

Một bàn tròn 2n ghế Cần sắp n cặp vợ chồng sao cho đàn ông ngồi xen kẽ

với đàn bà và không có cặp nào ngồi cạnh nhau (có tính đến vị trí ghế và thứ tự chỗngồi) Hỏi có bao nhiêu cách xếp ?

Giải:

Gọi số phải tìm là M n Xếp các bà trước (cứ một ghế xếp thì dể một ghế trống

dành cho các ông) Với n ghế chẵn ta có n! cách xếp và với n ghế lẻ ta cũng có n! cách xếp Như vậy số cách xếp các bà là 2.n ! Gọi số cách xếp các ông ứng với một cách xếp các bà là U n , ta có:

M = 2.n ! U

Bây giờ ta đi tính U n

Đánh số các bà (đã xếp) từ 1 đến n Đánh số các ông tương ứng với các bà (ông i là chồng bà i) Đánh số các ghế trống theo nguyên tắc: ghế số i nằm giữa bà i

và i + 1 (quy ước n +1 = 1) Mỗi cách xếp các ông được biểu diễn bằng một hoán vị

f(i) của tập {1, 2, ……,n} , tức ghế i được xếp cho ông f(i) Để thỏa mãn yêu cầu

bài toán f(i) phải thỏa mãn

f(i) i & f(i) i 1 (*)

Như vậy số U n là số các hoán vị thỏa mãn (*) Số U n gọi là số phân bố

Xét tập hợp X các hoán vị f của {1, 2, ….,n} Ta gọi

2 0

k n X

X X

X

2

X( 2n,k) 0 kn

Và kéo theo: ( 1) (2 , )

0

k n X

Gọi g(2n,k) là số cách lấy ra k tính chất thỏa mãn không thể xảy ra đồng thời

P i và Q i hoặc đồng thời P i+1 và Q i (g(2n,0) = 1) Và với mỗi cách lấy k tính chất như vậy ta có (n-k)! cách phân bố các tính chất còn lại Như vậy ta có:

( 1) (2 , ).( )!

0

k n k n g

k



Bây giờ ta còn phải tính g(2n,k) Nếu xếp theo vòng tròn P 1 , Q 1 , P 2 , Q 2 ,….,

P n , Q n ta thấy g(2n,k) chính là số cách lấy ra k phần tử sao cho không có hai phần tử

kề nhau Đây chính là số cách xếp k số 0 với (2n - k) số 1 sao cho không có hai số 0

2)1(

0

k n k k n C k n

3.1.3 Bài toán đếm số toàn ánh

Cho hai tập X, Y có X  n, Y k,n k Hãy đếm số toàn ánh từ X vào Y

Giải:

Cho Y = {y 1 , ….,y k } Ký hiệu là tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào Y, T là tập

hợp tất cả toàn ánh từ X vào Y Hiển nhiên S  k n

Ký hiệu: