Nguyên lý bù trừ và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ TÚ NGỌC NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ TÚ NGỌC NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Trần Quốc Chiến Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Trần Thị Tú Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu CHƢƠNG ĐẠI CƢƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1 SƠ LƢỢC VỀ LỊCH SỬ 1.2 BÀI TOÁN TỔ HỢP 1.2.1 Bài toán tồn 1.2.2 Bài toán đếm 1.2.3 Bài toán liệt kê 1.2.4 Bài toán tối ƣu tổ hợp 1.3 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN 1.3.1 Nguyên lý cộng nguyên lý nhân 1.3.2 Chỉnh hợp lặp 1.3.3 Chỉnh hợp không lặp 10 1.3.4 Hoán vị 11 1.3.5 Tổ hợp 12 1.4 MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13 1.4.1.Bài toán 13 1.4.2 Bài toán 14 1.4.3 Bài toán 14 1.5 CẤU HÌNH TỔ HỢP MỞ RỘNG 15 1.5.1 Hoán vị lặp 15 1.5.2 Tổ hợp lặp 16 1.5.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp 18 1.5.4 Phân hoạch không thứ tự 19 CHƢƠNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 21 2.1 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 21 2.2 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP, SỐ STERLING LOẠI VÀ SỐ BELL 25 2.3 TỔ HỢP LẶP TỔNG QUÁT 26 2.4 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ TỔNG QUÁT 27 CHƢƠNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 30 3.1 ỨNG DỤNG NGUN LÝ BÙ TRỪ ĐỂ TÍNH CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP30 3.1.1 Bài toán thƣ 30 3.1.2 Bài toán xếp n cặp vợ chồng (Lucas) 32 3.1.3 Bài tốn đếm số tồn ánh 36 3.1.4 Bài toán đếm số sinh viên 37 3.1.5 Bài toán mở rộng giản đồ Ven phổ thông nguyên lý bù trừ 41 3.1.6 Bài tốn đếm số th a mãn tính chất số học 42 3.1.7 Bài toán đếm số nghiệm nguyên 45 3.2 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ KẾT HỢP PHƢƠNG PHÁP ÁNH XẠ 50 3.2.1 Bài toán 50 3.2.2 Bài toán 51 3.2.3 Bài toán 52 3.2.4 Bài toán 53 3.2.5 Bài toán 54 3.2.6 Bài toán 55 3.3 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ ĐỂ TÍNH HÀM TRỌNG LƢỢNG 58 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết tổ hợp ngành toán học Từ di truyền học đến ngành khoa học kinh tế xã hội, lĩnh vực áp dụng lý thuyết không ngừng đƣợc mở rộng Làm loại b vận may ván hay quản lý tốt cung cầu bn bán hàng hóa hay hiểu sâu tổ chức gen vi khuẩn? Khoa học toán học đƣợc gọi lý thuyết tổ hợp cho phép tiếp cận lĩnh vực Nó cho đời nhiều khả kết hợp khác từ hoàn cảnh cho trƣớc từ suy diễn kiện xảy sau Vì lý thuyết tổ hợp có tầm quan trọng lớn nhƣ nên đƣợc đƣa vào giảng dạy mơn tốn học phổ thông trung học số nƣớc từ năm học 2003 Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán học rời rạc, chuyên nghiên cứu phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp Thông thƣờng phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thoả mãn điều kiện định đó, tùy theo u cầu tốn cần nghiên cứu Mỗi cách phân bố nhƣ gọi cấu hình tổ hợp Chủ đề đƣợc nghiên cứu từ kỉ XVII, vấn đề tổ hợp đƣợc nêu công trình nghiên cứu trị chơi may rủi, đƣợc áp dụng nhiều lĩnh vực khác nhƣ lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học,… Các ài tốn tổ hợp có đặc trƣng ng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải ch ng đòi h i khối lƣợng t nh tốn khổng lồ có trƣờng hợp hàng chục năm Vì thời gian ài, mà ngành toán học nhƣ ph p t nh vi phân, ph p t nh t ch phân, phƣơng trình vi phân…phát triển nhƣ v ảo, nhƣ nằm ngồi phát triển ứng ụng tốn học ình thay đổi từ uất máy t nh phát triển toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp đƣợc giải máy t nh chỗ nghiên cứu trò chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, đƣợc áp ụng nhiều lĩnh vực khác nhƣ lý thuyết số, hình học, đại số, ác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy t nh, hoá học,… Các ài toán tổ hợp thƣờng đƣợc phân thành ạng sau ài toán tồn tại, ài toán đếm, ài toán liệt kê ài toán tối ƣu Liệt kê, đếm, ếp đối tƣợng có t nh chất phần quan trọng lý thuyết tổ hợp rong ài toán đếm, hai c ng việc đƣợc làm đồng thời, ch ng ta kh ng thể ng quy tắc cộng để t nh số cách thực nhiệm vụ gồm hai việc cộng số cách làm việc n đến tr ng lập, cách làm hai việc đƣợc t nh hai lần Để t nh đ ng số cách thực nhiệm vụ ta cộng số cách làm hai việc trừ số cách làm đồng thời hai việc Đó c ng ch nh nội ung nguyên lý trừ i mong Mục tiêu đề tài nhằn nghiên cứu nội ung nguyên lý trừ muốn hiểu sâu vấn đề nên chọn đề tài nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu ứng ụng nguyên lý trừ tổ hợp Nội dung đề tài đƣợc chia thành chƣơng Chƣơng Đại cƣơng tổ hợp Chƣơng Nguyên lý trừ Chƣơng Ứng ụng nguyên lý trừ 3 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu luận văn Nguyên lý trừ Phạm vi nghiên cứu luận văn xây dựng sở lý thuyết hệ thống mở rộng nguyên lý bù trừ ứng dụng nguyên lý bù trừ Phƣơng pháp nghiên cứu a Thu thập tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến nguyên lý bù trừ ứng dụng b Tham gia buổi seminar thầy hƣớng d n để trao đổi kết nghiên cứu rao đổi qua email, blog, forum với chuyên gia ứng dụng nguyên lý bù trừ CHƢƠNG ĐẠI CƢƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1 SƠ LƢỢC VỀ LỊCH SỬ Có thể nói tƣ uy tổ hợp đời từ sớm Vào thời nhà Chu Trung quốc ngƣời ta iết đến hình vng thần bí Thời cổ Hi – lạp, kỷ thứ trƣớc Công nguyên, nhà triết học K enokrat iết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trƣớc Nhà toán học Pitagor học trị tìm đƣợc nhiều số có tính chất đặc biệt Chẳng hạn 36 tổng số chẵn số lẻ đầu tiên, mà tổng lập phƣơng số tự nhiên 36          13  23  33 Từ định lý Pitagor ngƣời ta c ng tìm số mà ình phƣơng tổng ình phƣơng số khác Các ài tốn nhƣ địi h i phải có nghệ thuật tổ hợp định Tuy nhiên nói rằng, lý thuyết tổ hợp đƣợc hình thành nhƣ ngành toán học vào kỷ 17 loạt cơng trình nghiên cứu nhà toán học xuất sắc nhƣ Pascal, Fermat, Euler, Lei nitz,… Các tốn tổ hợp có đặc trƣng ng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải ch ng đòi h i khối lƣợng tính tốn khổng lồ (có trƣờng hợp hàng chục năm Vì thời gian dài, mà ngành toán học nhƣ Ph p t nh vi phân, Ph p t nh t ch phân, phƣơng trình vi phân,…phát triển nhƣ v ão, ƣờng nhƣ nằm ngồi phát triển ứng dụng tốn học Tình thay đổi từ xuất máy tính phát triển tốn học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp đƣợc giải máy tính Từ chỗ nghiên cứu trị chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học, tin học… 1.2 BÀI TOÁN TỔ HỢP 1.2.1 Bài toán tồn Mục tiêu toán tồn chứng minh tồn không tồn cấu hình tổ hợp Có tốn loại khó việc cố gắng giải ch ng th c đẩy phát triển nhiều hƣớng nghiên cứu tốn học Ví dụ 1.1 Cho n nguyên ƣơng   A tập hợp n  n điểm A  i, j  i, j  1, , n S tập hợp 2n điểm A R điều kiện kh ng có điểm S thẳng hàng Với  n  15 cấu hình tổ hợp tồn Nhƣng ài tốn chƣa có lời giải với n  15 1.2.2 Bài toán đếm Nội ung ài toán đếm trả lời câu h i “Có ao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng t?” Phƣơng pháp đếm cấu hình tổ hợp thƣờng dựa vào số quy tắc, nguyên lý đếm phân rã đƣa cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc ác định xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, ƣớc lƣợng cận cận ƣới Bài tốn đếm đƣợc áp dụng vào cơng việc nhƣ t nh ác suất hay t nh độ phức tạp thuật tốn Ví dụ 1.2 Đếm số tập tập hợp Ví dụ 1.3 Đếm số nghiệm nguyên ƣơng phƣơng trình x  y  z  10 1.2.3 Bài toán liệt kê Các toán loại nghiên cứu thuật toán hiệu để xây dựng tất cấu hình tổ hợp cho Nhiều vấn đề lĩnh vực khác thƣờng đƣợc đƣa toán liệt kê kiểm tra xem cấu hình tổ hợp có th a mãn tính chất cho trƣớc hay khơng 48 Vì thế, chọn phần tử loại chọn thêm 25 phần tử nên A1  CR  4,25  C  25   1,4  1  C  28,3  3276 ƣơng tự, ta có A2  CR  4,16   C 19,3  969, A3  CR  4,23  C  26,3  2600, A4  CR  4,18  C  21,3  1330 Mặt khác, x1  x2   13  17 có nghĩa chọn 17 phần tử loại hai, chọn thêm 29 –17  12 phần tử nên ta có A1  A2  CR  4,12   C 15,3  455 ƣơng tự ta có A1  A3  CR  4,19   C  22,3  1540, A1  A4  CR  4,14   C 17,3  680, A2  A3  CR  4,10   C 13,3  286, A2  A4  CR  4,5  C  8,3  56, A3  A4  CR  4,12   C 15,3  455 A1  A2  A3  CR  4,6   C  9,3  84, A1  A2  A4  CR  4,1  C  4,3  4, A2  A3  A4  A1  A3  A4  CR  4,8  C 11,3  165, A1  A2  A3  A4  Vậy, theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm ngun khơng âm phƣơng trình cho A1  A2  A3  A4  A  A1  A2  A3  A4 49 rong A1  A2  A3  A4   (1)k 1 A(4, k ) k 1  1 A  4,1   1 A  4,2    1 A  4,3   1 A  4,4     A  4,1  A  4,2   A  4,3  A  4,4  11  31 1 1   s1 – s2  s3 – s4 Mà s1  A  4,1  A1  A2  A3   A4  3276  969  2600  1330  8175 s2  A  4,2   A1  A2  A1  A3  A1  A4  A2  A3  A2  A4  A3  A4  455  1540  680  286  56  455  3472 s3  A  4,3  A1  A2  A3  A1  A2  A4  A2  A3  A4  A1  A3  A4  84    165  253 s4  X  4,4   X A  XB  XC  XD  Kết luận: số nghiệm nguyên không âm phƣơng trình th a mãn điều kiện cho A1  A2  A3  A4  A  A1  A2  A3  A4  A   s1 – s2  s3 – s4   4960 –  8175 –3472  253 –  4 50 3.2 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ KẾT HỢP PHƢƠNG PHÁP ÁNH XẠ 3.2.1 Bài toán Gọi M tập tất số nguyên ƣơng (viết theo hệ thập phân) có n chữ số 1, n chữ số khơng cịn chữ số khác; N tập tất số nguyên ƣơng có n chữ số thuộc tập 1,2,3,4 số chữ số chữ số CMR: M  N  C2nn Giải Ta chứng minh tồn song ánh từ N vào M Ta có : Số có n chữ số bao gồm chữ số 1, 2, 3, số chữ số số chữ số đƣợc nhân đ i thành số có 2n chữ số theo quy tắc :  Đầu tiên hai số ƣợc viết kề thành số có 2n chữ số  Sau chữ số n chữ số đầu đƣợc đổi thành chữ số 1, chữ số n chữ số sau đƣợc đổi thành chữ số  ƣơng tự chữ số n chữ số đầu đƣợc đổi thành chữ số 2, chữ số n chữ số sau đƣợc đổi thành chữ số Nhƣ ta thu đƣợc số có đ ng n chữ số n số Vậy ta chứng minh đâylà đơn ánh iếp theo để chứng minh song ánh, ta xây dựng ánh xạ ngƣợc nhƣ sau Với số có n chữ số n chữ số 2,ta cắt n chữ số đầu n chữ số cuối đặt chúng song song với nhƣ thực phép cộng Thực phép cộng theo quy tắc:   2;2   2;1   3;2   Ta thu đƣợc số có n chữ số gồm chữ số 1,2,3,4 với số chữ số số chữ số Vậy song ánh hai tập hợp đƣợc thiết lập, ta chứng minh đƣợc: M  N  C2nn 51 3.2.2 Bài tốn Có n ngƣời xếp hàng dọc H i có cách chọn k ngƣời cho kh ng có hai ngƣời liên tiếp đƣợc chọn? Giải a đánh số n ngƣời số thứ tự 1,2, ,n Một cách chọn thích hợp số  a1  a2   ak  n th a mãn điều kiện ai1   (tức  ) Vậy ta cần tìm số phần tử  A   a1 , a2 , , ak  /  a1  a2   ak  n, ai1   với i  1,2, , k  1 Xét ánh xạ f  a1 , a2 , , ak    b1, b2 , , bk  với bi   i  rõ ràng ta có b1  a1  1;   bi1  bi  ai1   i  1     i  1  ai1    bk  ak  k   n  k  Suy  b1 , b2 , , bk  phần tử tập hợp B:   B   b1 , b2 , , bk  /  b1  b2   bk  n  k  Dễ thấy f đơn ánh Ngoài ra, ánh xạ g  b1 , b2 , , bk    a1 , a2 , , ak  với  bi  i  cho đơn ánh từ B vào A Vậy A  B  Cnkk 1 52 3.2.3 Bài toán Cho n cầu C1 , , Cn n hộp H1 , , Hn Có cách b cầu vào hộp, hộp cầu cho hộp H i không chứa cầu Ci ,i  1, , n Ta phát biểu toán dạng khác: Cho hai tập hợp hữu hạn khác rỗng có số phần tử : X  a1 , a2 , an  Y  b1 , b2 , bn  Hãy tìm số song ánh f : X  Y : cho f    bi , i  1,2, , n Giải Ta ký hiệu A tập song ánh f : X  Y thoả mãn điều kiện toán; Với i  1, , n Ta đặt Ai tập hợp song ánh f : X  Y mà f    bi ; S tập hợp song ánh từ X lên Y Ta có nhận xét: Nếu tập hợp khác rỗng, hữu hạn P,Q có số phần tử k có k ! song ánh từ P lên Q (mỗi song ánh tƣơng ứng với hoán vị k phần tử) Từ nhận t ễ thấy: S  n! Ai   n  1!, i  1,2, , n Ai  Ai   n  !, i  j; i, j  1,2, , n Ai  Ai   Aik   n  k !, i1, i2 , , ik thoả mãn:  i1  i2    ik  n Vậy A  n! Cn1  n  1! Cn2  n  !   1 Cnn1  n  n ! n 53 n    n   n! n! n ! 1 n 1   n!     1 Cn  n!      2! 3! 1! 2! n! n!    3.2.4 Bài toán H i từ số 1, 2, 3, 4, lập đƣợc số có 10 chữ số th a mãn đồng thời điều kiện sau : a) Trong số, chữ số có mặt đ ng hai lần? b) Trong số, hai chữ số giống kh ng đứng cạnh nhau? Giải Gọi s số cần tìm A tập gồm tất số có 10 chữ số, lập đƣợc từ chữ số 1,2,3,4,5 th a mãn điều kiện a) tốn Với i  1,5 ,kí hiệu Ai tập tất số thuộc A , mà số có hai chữ số i đứng cạnh Khi theo Nguyên lý Ta có s  A \ i 1 Ai  A   A   Ai  i 5   1i1 i2 i3 i4 5 Ta có :  1i1 i2 5 i 1 Ai Ai1  Ai   1i1 i2 i3 5  Ai1  Ai  Ai  Ai   A trừ : i 1 Ai1  Ai  Ai Ai 10! 25 (1) (2) Xét k thuộc tập 1,2,3,4,5 xét i1 , i2 , ik th a mãn  i1  i2   ik  Gọi T tập tất số có 10  k chữ số, lập đƣợc từ chữ số 1,2,3,4,5 mà số đó, chữ số i1 , i2 , ik có mặt đ ng lần, cịn chữ số khác, chữ số có mặt đ ng lần 54 Đặt tƣơng ứng số a  Ai  Ai   Ai Với số nhận đƣợc từ a k cách b đồng thời a chữ số i1 ,một chữ số i , , chữ số ik Ta chứng minh tƣơng ứng nói xác lập song ánh từ Ai  Ai   Ai đến T Khi đó: k Ai1  Ai   Aik  T  (10  k )! 25k (3) Vậy từ (1), (2), (3) ta có s 10! 9! 8! 7! 6! 5!  C  C  C  C  C  39480 5 5 25 2 2 3.2.5 Bài toán Cho n số tự nhiên Ta nói hốn vị  x1 , x2 , , x2 n  tập hợp 1,2, ,2n có tính chất P xi  xi1  n với i 1, ,2n  1 Chứng minh với n, số hốn vị có tính chất P lớn số hốn vị khơng có tính chất P Giải Với số n, ta chia số 1,2,,2n thành n cặp số sau: (1; n  1),(2; n  2), ,(n;2n) Ta thiết lập tƣơng ứng từ tập hợp hốn vị khơng có tính chất P đến tập hợp hốn vị có tính chất P nhƣ sau Giả sử x1 , , xk 1 , xk , xk 1 , , x2 n hoán vị khơng có tính chất P Ta xét phần tử x2n , chọn xk phần tử cặp với x2n Đặt tƣơng ứng hoán vị vừa xét với hốn vị có tính chất P là: x1 , , xk , x2 n , x2 n1 , , xk 1 a chứng minh đƣợc tƣơng ứng đơn ánh kh ng phải tồn ánh đpcm 55 3.2.6 Bài tốn Cho số nguyên n  cho đa giác 2n đỉnh Ngƣời ta tô tất đỉnh đa giác ởi n màu cho điều kiện sau đƣợc đồng thời thoả mãn: 1) Mỗi đỉnh đƣợc tô màu; 2) Mỗi màu đƣợc ng để t cho đ ng hai đỉnh không kề Hai cách tô màu, thoả mãn điều kiện trên, đƣợc gọi tƣơng đƣơng cách tô màu nhận đƣợc từ cách tơ màu nhờ phép quay quanh tâm đa giác cho H i có tất ao nhiêu cách t màu đ i kh ng tƣơng đƣơng? Giải Xuất phát từ đỉnh đó, lần lƣợt theo chiều kim đồng hồ, ký hiệu ởi A1 , A2 , , A2 n Ký hiệu màu đỉnh đa giác ng để t m1 , m2 , , mn gọi M tập tất n màu Gọi f  n  số cách tô màu thoả mãn điều kiện 1), 2) tốn  Ta có f  n   A , với A  mi , , mi 2n  , ộ  m , , m  có thứ tự; i1 i2 n mi , i  1, n , có mặt đ ng hai lần bộ; mi  mi , j  1,2n Quy ƣớc j 1 j mi n 1 : mi )  Xét tập B  n   mi , , mi 2n  , ộ  m , , m  có thứ tự; i1 i2 n mi , i  1, n , có mặt đ ng hai lần bộ; mi  mi , j  1,2n  j j 1 Đặt g  n   B  n  Ta có: f  n   g  n   ng  n  1 (4) 56  Thật vậy, ký hiệu C  n  tập tất mi , , mi 2n  B  n  th a mi  mi , ta có A  B  n  \ C  n  Mỗi C  n  ác định 2n ƣớc nhƣ sau ƣớc chọn màu i đặt vào vị trí 2n , ƣớc có n cách chọn; ƣớc ta lấy  n  1 màu cịn lại đặt vào vị trí 2, 3, , 2n  , ƣớc có g(n  1) cách chọn (vì 2n  thành phần B(n  1) ) Vậy, theo quy tắc nhân, Cn  n.g(n  1) Từ suy  Tiếp theo ta tính g  n  Ký hiệu T tập có thứ tự mi , , mi 2n  với mi có mặt đ ng hai lần Ti , i  1, , n, tập T có mi chiếm hai vị trí liên tiếp Hiển nhiên ta có B  n   T \ g  n   Bn  T  n n i 1  T   Ti  i 1   (1)k n i 1 Ti Theo nguyên lý bù trừ ta có: Ti  1i1 i2  n  Ti  Ti  1i1 i2  ik 5  1i1 i2 i3  n Ti  Ti  Ti Ti  Ti   Ti   (1)n k (5) n i 1 Ti rƣớc tiên ta có T  (2n)! 2n (6) Xét k thuộc tập 1,2, , n xét  i1 , i2 , , ik  th a mãn  i1  i2   ik  n Đặt tƣơng ứng b  k j 1 Ti j với phận đƣợc từ b cách b đồng thời kh i b phần tử mi1 , phần tử mi2 , , phần tử mik Dễ dàng chứng minh đƣợc tƣơng ứng nói xác lập cho ta 57 k song ánh từ tập j 1 th a mãn  Ti j đến tập V gồm tất có thứ tự mi1 , , mi2 nk mi j , j  1, k ,   Ti j  V   2n  k  ! có đ ng mặt lần,  mi  M \ mi1 , , mik có mặt đ ng hai lần Vậy k j 1 2n  k Từ (5) (6) suy g  n  2n  !   2n n   1 k  2n  k !.C k 2n  k k 1 (7) n Áp ụng cho g(n  1) ta có : n (2n  2)! n1 (2n   k )! k 1 k (2n   k )! k g(n  1)    (1) Cn1   (1)k Cn1 (8) n1 n1k 2 2nk k 1 k 1 hay vào ta đƣợc: n (2n)! n (2n   k )! k 1 k (2n  k )! k f  n   n   (1) Cn  n. (1)k Cn1 nk 2 2nk k 1 k 1  (2n)! n (2n   k )! k 1  k  (2 n  k )! k  (  1) C  Cn1 n    n nk nk 2n 2 k 1   (2n)! n (2n   k )! (2n  k ).Cnk  Cnk11.n   n   (1)k nk   2 k 1 (2n)! n (2n   k )! (2n  k ).Cnk  Cnk k   n   (1)k n k   2 k 1 Đơn giản biểu thức cuối ta nhận đƣợc: n f  n   2n   1 k 0 k  2n   k !.C k 2n  k n Tiếp theo ta nhận xét cách tô màu mà tồn k  1, 2, , n cho Ak Ak  n khác màu, có đ ng 2n cách t màu tƣơng đƣơng với nó; 58 cịn cách tơ màu màu Ak Ak  n màu, k  1, n , có đ ng n cách t màu tƣơng đƣơng với Hơn nữa, dễ thấy, có tất n ! cách tơ màu mà cách có Ak Ak  n màu k  1, n Từ suy ra, số cách t màu đ i kh ng tƣơng đƣơng f (n)  n! n! n (2n   k )! k (n  1)!    (1)k Cn  2n n k 1 2nk 3.3 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ ĐỂ TÍNH HÀM TRỌNG LƢỢNG Đị h hĩa 3.1 Một hàm  từ tập X vào tập số thực đƣợc gọi hàm trọng lƣợng X Nếu X hữu hạn A tập X trọng lƣợng A , kí hiệu  A  , tổng tất   x  với x  A Nếu  tập có m tính chất, A j với j  0,1,, m tập tất phần tử X th a mãn đ ng j tính chất B j với j  1,2,, m tập tất   phần tử X th a mãn j tính chất Với j, đặt E j   Aj   Fj   B j Nếu Q tập ,  Q  đƣợc định nghĩa nhƣ tổng trọng lƣợng phần tử X th a mãn tính chất Q Sau c ng, tƣơng tự nhƣ Sk , ta định nghĩa Sk   X  k  Sk   (Q) Q  Q k k  1,2,m Định lý 3.1 Với j  1,, m ta có E j  S j – C  j  1,1 S j 1  C  j  2,1 S j 2   1 m j C  m, m  j  Sm Định lý 3.2 Với j  1,, m ta có Fj  S j – C  j,1 S j 1  C  j  1,1 S j 2   1 m j C  m  1, m  j  Sm 59 Ví dụ 3.1 Cho X  a, b, c, d , e, f  tập với trọng lƣợng lần lƣợt 2,3,4,5,6 và   ,, ,  tập tính chất Biễu diễn (i) a, b, c, e f có tính chất ; (ii) b, c, d f có tính chất ; (iii) a, d , e f có tính chất ; (iv) b, c, d e có tính chất  Tính tất E j , Fj , S j Giải Ta có A0 , A1 , A4 tập rỗng, A2  a, A3  b, c, d , e, f  Vì E0  0, E1  0, E2  2, E3       25, E4  Hơn B1  B2  X , B3  A3 B4 tập rỗng nên F1  F2  27, F3  25 F4  Ta có S0   X         27        b     c     d     f   19, S  22  19  20  18  79      a     d     e     f   20,      b     c     d     e   18 ,    b     c     f   14,  ,     a     e     f   15, ,     b     c     e   13,  ,     d     f   12, ,     b     c     d   12,   ,     d     e   11      a     b     c     e     f   22, S2  14  15  13  12  12  11  77     , ,     e   6,  , ,     d    ,,     f   7,  ,,     b     c   7, S3      25 Cuối S4  E4  Ví dụ 3.2 Hãy kiểm chứng định lý 3.1 3.2 với liệu cho ví dụ 3.1 Giải Kiểm tra công thức đinh lý 3.1 với j  0,1,2,3,4 60 S0  C 1,1 S1  C  2,2  S2  C  3,3 S3  C  4,4  S4  27  79  77  25    E0 S1  C  2,1 S2  C  3,2  S3  C  4,3 S4  79  154  75    E1 S2  C  3,1 S3  C  4,2  S4  77  75    E2 S3  C  4,1 S4  25   25  E3 S4   E4 Kiểm tra công thức định lý 3.2 với j  1,2,3,4 S1  C 1,1 S2  C  2,2  S3  C  3,3 S4  79  77  25   27  F1 S2  C  2,1 S3  C  3,2  S4  77  50   27  F2 S3  C  3,1 S4  25   25  F3 S4   F4 61 KẾT LUẬN Luận văn trình ày cách hệ thống tổng quan lý thuyết tổ hợp, đặc biệt nguyên lý bù trừ ứng dụng Từ ứng dụng nguyên lý bù trừ ta giải lớp toán cách thay đổi tập hợp, số lƣợng phần tử tập hợp quan hệ phần tử ta tạo nhiều toán khác mà việc giải chúng giúp cho ta củng cố rèn luyện việc sử dụng linh hoạt cấu hình tổ hợp ản mở rộng Mặc tham khảo lƣợng lớn tài liệu với nổ lực thân nhiên o trình độ hiểu biết có hạn nên chắn khơng tránh kh i thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp q thầy giáo bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [2] PGS SKH rần Quốc Chiến (2010), Gi ế ợ NXB Đại học Đà Nẵng [3] Hà Văn Chƣơng (2004), Tuyển chọn 351 toán giải tích t hợp, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [1] V Đình Hồ 2003 , Lý thuyết t hợp toán ứng dụng, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Các toán rời rạc t hợp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn hành (2009), Gi ời ạc, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Xuân Quỳnh (1995), Cơ sở Toán rời rạc ứng dụng, NXB Giáo dục [7] Hồng Chí Thành (2001), Giáo trình T hợp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Ngọc Thu (2003), Hướng dẫn giải toán t hợp, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [9] V.K Balakrishnan, Ph.D, Sc a m’s Combinatorics i e f e a d b ems f ... nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu luận văn Nguyên lý trừ Phạm vi nghiên cứu luận văn xây dựng sở lý thuyết hệ thống mở rộng nguyên lý bù trừ ứng dụng nguyên lý bù trừ Phƣơng pháp nghiên cứu a Thu thập... 19 CHƢƠNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 21 2.1 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 21 2.2 PHÂN HOẠCH TẬP HỢP, SỐ STERLING LOẠI VÀ SỐ BELL 25 2.3 TỔ HỢP LẶP TỔNG QUÁT 26 2.4 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ TỔNG QUÁT... TỔNG QUÁT 26 2.4 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ TỔNG QUÁT 27 CHƢƠNG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 30 3.1 ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ ĐỂ TÍNH CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP30 3.1.1 Bài toán thƣ 30 3.1.2