nguyên lý bù trừ tổng quát và ướng dụng trong tổ hợp

nguyên lý bù trừ tổng quát và ướng dụng trong tổ hợp

Định nghĩa 0.0.1. Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùngquy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số cáchthực hiện nhiệm vụ này, ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cáchlàm đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn ngữ tậphợp. Cho A1, A2là hai tập hữu hạn, khi đó| A1∪ A2|=| A1| + | A2| − | A1∩ A2| .Từ đó, với ba tập hữu hạn A1, A2, A3, ta có:| A1∪ A2∪ A3|=| A1| + | A2| + | A3| − | A1∩ A2| − | A1∩ A3| − | A2∩ A3|+ | A1∩ A2∩ A3|,và bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1, A2, ., Ak, ta có:| A1∪ A2∪ . ∪ Ak|= N1− N2+ N3− · · · + (−1)k−1Nk,trong đó Nm(1  m  k) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập đãcho, nghĩa làNm=1i1<i2<···<imk| Ai1∩ Ai2∩ · · · ∩ Aim|.Bây giờ, ta đồng nhất tập Am(1  m  k) với tính chất Amcho trên tập vũ trụ hữuhạn U nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của U sao cho không thỏa mãn bất kỳmột tính chất Amnào. Gọi N là số cần đếm, N là số phần tử của U. Ta có:N = N− | A1∪ A2∪ . ∪ Ak|= N − N1+ N2− N3+ · · · + (−1)kNk,trong đó Nmlà tổng các phần tử của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất đãcho. Công thức này được gọi là nguyên lý bù trừ.Ví dụ 0.0.1.1) Có bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, khôngchia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7?Ký hiệu A = {1, 2, ., 1000}, A2= {a ∈ A | a chia hết cho 2}, A3= {a ∈ A |a chia hết cho 3}, A7= {a ∈ A | a chia hết cho 7}. Theo nguyên lý bù trừ, số các sốnguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũngkhông chia hết cho 7 là:|A \ (A2∪ A3∪ A7)| = |A| − |(|A2| + |A3| + |A7|) + (|A2∩ A3| + |A2∩ A7| + |A3∩ A7|)− |A2∩ A3∩ A7|,trong đó, |A2| = [1000/2] = 500, |A3| = [1000/3] = 333, |A7| = [1000/7] = 142,|A2∩ A3| = [1000/6] = 166, |A2∩ A7| = [1000/14] = 71, |A3∩ A7| = [1000/21] =47, |A2∩ A3∩ A7| = [1000/42] = 23, với [x] là phần nguyên của x được định nghĩa ởĐịnh nghĩa ??Thay vào công thức trên, ta có số cần tìm là: 286.1 2) Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ. Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào bì saocho mỗi phong bì chỉ chứa một lá thư. Hỏi xác suất để xảy ra không một lá thư nàođúng địa chỉ là bao nhiêu?Có tất cả n! cách bỏ thư. Vấn đề còn lại là đếm số cách bỏ thư sao cho không cólá thư nào đúng địa chỉ. Gọi U là tập hợp tất cả các cách bỏ thư | U |= n!, và Amlàtính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ (m = 1, 2, · · · , n). Theo nguyên lý bù trừN = n! − N1+ N2− N3+ · · · + (−1)nNn,trong đó, ta ký hiệu Nm(1  m  n) là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có đúng mlá thư đúng địa chỉ. Nhận xét rằng Nmlà tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ n lá, vớimỗi cách lấy m lá thư, có (n − m)! cách bỏ để m lá thư này đúng địa chỉ, nên ta cóNm= Cmn(n − m)! =n!m!(n − m)!(n − m)! =n!m!.N = n!1 −11!+12!− · · · + (−1)n1n!,trong đó Cmnlà tổ hợp chập m của tập n phần tử (xem Mục 1.4). Xác suất cần tìm là:1 −11!+12!− · · · + (−1)n1n!.Một điều lý thú là xác suất này dần đến e−1(nghĩa là còn lớn hơn13) khi n khá lớn.0.1 Nguyên lý bù trừ suy rộngĐịnh nghĩa 0.1.1. Xét m vật a1, a2, ., am. Các vật này tương ứng được gắn với cáctrọng số ω(a1), ω(a2), ., ω(am), mà là các phần tử của một vành giao hoán K nào đó.Mỗi vật aiđã cho có thể có hay không có các tính chất P1, P2, ., Pn. Ký hiệuS0=mi=1ω(ai), Sk=1≤i1<i2<···<ik≤nM(Pi1, Pi2, . . . , Pik),ở đây M(Pi1, Pi2, . . . , Pik) là tổng trọng số của tất cả các vật có các tính chất Pi1, Pi2, . . . , Pik,M(r) là tổng trọng số của tất cả các vật có đúng r tính chất,Mrlà tổng trọng số của tất cả các vật có không ít hơn r tính chất.Định lý 0.1.1 (Nguyên lý bù trừ suy rộng).M(r) =nk=r(−1)k−rCrkSk, Mr=nk=r(−1)k−rCr−1k−1Sk,với mọi r = 0, 1, . . . , n.2 Chứng minh. Trọng số của các vật có đúng r tính chất được tính đúng một lần trongtổng Srvà không tham gia vào việc tính các tổng Sr+1, ., Sn. Vì vậy trọng số của cácvật đó tham gia trong tổngnk=r(−1)k−rCrkSkvới hệ số bằng (−1)0Crr= 1.Trọng số của các vật có t > r tính chất được tính Cktlần trong tổng Skvới k ≥ r. Vìvậy trọng số của các vật đó tham gia trong tổngnk=r(−1)k−rCrkSkvới hệ số bằngnk=r(−1)k−rCrkCkt=nk=r(−1)k−rCrtCk−rt−r= Crtnk=r(−1)k−rCk−rt−r= Crtn−rj=0(−1)jCjt−r= Crtt−rj=0(−1)jCjt−r= 0.Trọng số của các vật có t < r tính chất không tham gia vào việc tính tổng Sr, ., Sn.Vì vậy trọng số của các vật đó cũng tham gia trong tổngnk=r(−1)k−rCrkSkvới hệ sốbằng 0. Vậynk=r(−1)k−rCrkSk= M(r).Bây giờ ta chứng minh công thức tính Mr. Ta cóMr=nj=rM(j) =nj=rnk=j(−1)k−jCjkSk=nk=r(−1)k−rCrkSk+nk=r+1(−1)k−(r+1)Cr+1kSk+ · · · +nk=n(−1)k−nCnkSk=nk=rSkkj=r(−1)k−jCjk=nk=rSkk−rt=0(−1)tCk−tk=nk=rSkk−rt=0(−1)tCtk=nk=rSkk−rj=0(−1)jCjk.Theo Mệnh đề 2.1.2, ta có (1 − x)−1= 1 + x + x2+ x3+ · · · . Do đó(1 − x)k(1 − x)−1=1 − C1kx + C2kx2− · · · + (−1)kCkkxk(1 + x + x2+ x3+ · · · ).Hệ số của xk−rtrong chuỗi biểu diễn (1 − x)k(1 − x)−1ở trên bằngk−rj=0(−1)jCjk.Mặt khác,(1 − x)k(1 − x)−1= (1 − x)k−1=1 − C1k−1x + C2k−1x2− · · ·+ (−1)jCjk−1xj+ · · · + (−1)k−1Ck−1k−1xk−1.3 Do đó hệ số của xk−rbằng (−1)k−rCk−rk−1. Vì vậyk−rj=0(−1)jCjk= (−1)k−rCk−rk−1⇒ Mr=nk=r(−1)k−rCk−rk−1Sk=nk=r(−1)k−rCr−1k−1Sk.Nếu ω(a1) = · · · = ω(am) = 1 thì M(r) bằng số các vật có đúng r tính chất trongsố các tính chất P1, P2, ., Pnđã cho. Ký hiệu Ailà tập tất cả các vật có tính chấtPi, i = 1, 2, , n. Khi đóM(Pi1, Pi2, . . . , Pik) = |Ai1∩ Ai2∩ . . . ∩ Aik|,M1= |A1∪ A2∪ . . . ∪ An|,Sk=1≤i1<i2<···<ik≤n|Ai1∩ Ai2∩ . . . ∩ Aik|⇒ |A1∪ A2∪ · · · ∪ An| =nk=1(−1)k−1C0k−1Sk=nk=1(−1)k−1Sk=nk=1(−1)k−11≤i1<i2<···<ik≤n|Ai1∩ Ai2∩ . . . ∩ Aik|,tức là ta nhận được nguyên lý bù trừ dạng kinh điển.Ví dụ 0.1.1. Giả sử B = {0, 1} và n là một số nguyên dương. Khi đó hàm f :Bn−→ B được gọi là hàm Boole n biến và được ký hiệu là f(x1, x2, . . . , xn). HàmBoole f(x1, x2, . . . , xn) được gọi là phụ thuộc thật sự vào biến xinếu có hai bộ giá trị(b1, . . . , bi−1, bi, bi+1, . . . , bn) và (b1, . . . , bi−1, bi, bi+1, . . . , bn) với bi= bisao cho f(b1, . . . , bi−1, bi, bi+1, . . . , bn) =f(b1, . . . , bi−1, bi, bi+1, . . . , bn). Trong trường hợp ngược lại, hàm Boole f(x1, x2, . . . , xn)được gọi là phụ thuộc không thật sự vào biến xi.Hãy tính số Mn(r) tất cả các hàm Boole f(x1, x2, . . . , xn) mà phụ thuộc không thậtsự vào đúng r biến.Giả sử Pilà tính chất “phụ thuộc không thật sự vào biến xi”. Khi đó với ω(f) = 1cho mọi hàm f(x1, x2, ., xn) ta có M(Pi1, Pi2, ., Pik) bằng số các hàm Boole n biếncó các tính chất Pi1, Pi2, ., Pikvà Mn(r) bằng số các hàm Boole n biến có đúng r tínhchất trong số các tính chất P1, P2, ., Pn. Dễ thấy rằngM(Pi1, Pi2, ., Pik) = 22n−k.Vì vậy theo nguyên lý bù trừ suy rộng,Mn(r) =nk=r(−1)k−rCrkSk=nk=r(−1)k−rCrkCkn22n−k=nk=r(−1)k−rCrnCk−rn−r22n−k= Crnn−rj=0(−1)jCjn−r22n−r−j.4 . được tính đúng một lần trongtổng Srvà không tham gia vào việc tính các tổng Sr+1, ..., Sn. Vì vậy trọng số của cácvật đó tham gia trong tổngnk=r(−1)k−rCrkSkvới. · · + (−1)kNk ,trong đó Nmlà tổng các phần tử của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất đãcho. Công thức này được gọi là nguyên lý bù trừ. Ví dụ 0.0.1.1)