nguyên lý bù trừ tổng quát và ướng dụng trong tổ hợp

nguyên lý bù trừ tổng quát và ướng dụng trong tổ hợp

Định nghĩa 0.0.1 Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này, ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc Ta có thể phát biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp Cho A1, A2 là hai tập hữu hạn, khi đó

| A1∪ A2 |=| A1 | + | A2 | − | A1∩ A2 |

Từ đó, với ba tập hữu hạn A1, A2, A3, ta có:

| A1∪ A2∪ A3 |=| A1 | + | A2 | + | A3 | − | A1∩ A2 | − | A1∩ A3 | − | A2∩ A3 |

+ | A1∩ A2∩ A3 |,

và bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1, A2, , Ak, ta có:

| A1∪ A2∪ ∪ Ak |= N1− N2 + N3− · · · + (−1)k−1Nk, trong đó Nm (1 6 m 6 k) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập đã cho, nghĩa là

16i 1 <i 2 <···<i m 6k

| Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aim |

Bây giờ, ta đồng nhất tập Am (16 m 6 k) với tính chất Am cho trên tập vũ trụ hữu hạn U nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của U sao cho không thỏa mãn bất kỳ một tính chất Am nào Gọi N là số cần đếm, N là số phần tử của U Ta có:

N = N − | A1∪ A2∪ ∪ Ak|= N − N1+ N2− N3+ · · · + (−1)kNk,

trong đó Nm là tổng các phần tử của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất đã cho Công thức này được gọi là nguyên lý bù trừ

Ví dụ 0.0.1

1) Có bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7?

Ký hiệu A = {1, 2, , 1000}, A2 = {a ∈ A | a chia hết cho 2}, A3 = {a ∈ A |

a chia hết cho 3}, A7 = {a ∈ A | a chia hết cho 7} Theo nguyên lý bù trừ, số các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7 là:

|A \ (A2∪ A3∪ A7)| = |A| − |(|A2| + |A3| + |A7|) + (|A2∩ A3| + |A2∩ A7| + |A3∩ A7|)

− |A2∩ A3∩ A7|, trong đó, |A2| = [1000/2] = 500, |A3| = [1000/3] = 333, |A7| = [1000/7] = 142,

|A2 ∩ A3| = [1000/6] = 166, |A2 ∩ A7| = [1000/14] = 71, |A3 ∩ A7| = [1000/21] =

47, |A2 ∩ A3 ∩ A7| = [1000/42] = 23, với [x] là phần nguyên của x được định nghĩa ở Định nghĩa ??

Thay vào công thức trên, ta có số cần tìm là: 286

2) Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào bì sao cho mỗi phong bì chỉ chứa một lá thư Hỏi xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng địa chỉ là bao nhiêu?

Có tất cả n! cách bỏ thư Vấn đề còn lại là đếm số cách bỏ thư sao cho không có

lá thư nào đúng địa chỉ Gọi U là tập hợp tất cả các cách bỏ thư | U |= n!, và Am là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ (m = 1, 2, · · · , n) Theo nguyên lý bù trừ

N = n! − N1+ N2− N3+ · · · + (−1)nNn, trong đó, ta ký hiệu Nm (1 6 m 6 n) là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có đúng m

lá thư đúng địa chỉ Nhận xét rằng Nm là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ n lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (n − m)! cách bỏ để m lá thư này đúng địa chỉ, nên ta có

Nm = Cnm(n − m)! = n!

m!(n − m)!(n − m)! =

n!

m!.

N = n! 1 − 1

1! +

1 2! − · · · + (−1)n 1

n!
, trong đó Cm

n là tổ hợp chập m của tập n phần tử (xem Mục 1.4) Xác suất cần tìm là:

1 − 1 1!+

1 2!− · · · + (−1)n 1

n!.

Một điều lý thú là xác suất này dần đến e−1 (nghĩa là còn lớn hơn 1

3) khi n khá lớn.

0.1 Nguyên lý bù trừ suy rộng

Định nghĩa 0.1.1 Xét m vật a1, a2, , am Các vật này tương ứng được gắn với các trọng số ω(a1), ω(a2), , ω(am), mà là các phần tử của một vành giao hoán K nào đó Mỗi vật ai đã cho có thể có hay không có các tính chất P1, P2, , Pn Ký hiệu

S0 =

m

X

i=1

ω(ai), Sk= X

1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n

M (Pi1, Pi2, , Pik),

ở đây M (Pi1, Pi2, , Pik) là tổng trọng số của tất cả các vật có các tính chất Pi1, Pi2, , Pik,

M (r) là tổng trọng số của tất cả các vật có đúng r tính chất,

Mr là tổng trọng số của tất cả các vật có không ít hơn r tính chất

Định lý 0.1.1 (Nguyên lý bù trừ suy rộng)

M (r) =

n

X

k=r

(−1)k−rCkrSk, Mr =

n

X

k=r

(−1)k−rCk−1r−1Sk,

với mọi r = 0, 1, , n

Chứng minh Trọng số của các vật có đúng r tính chất được tính đúng một lần trong tổng Sr và không tham gia vào việc tính các tổng Sr+1, , Sn Vì vậy trọng số của các vật đó tham gia trong tổng

n

P

k=r

(−1)k−rCr

kSk với hệ số bằng (−1)0Cr

r = 1

Trọng số của các vật có t > r tính chất được tính Ck

t lần trong tổng Sk với k ≥ r Vì vậy trọng số của các vật đó tham gia trong tổng

n

P

k=r

(−1)k−rCr

kSk với hệ số bằng

n

X

k=r

(−1)k−rCkrCtk =

n

X

k=r

(−1)k−rCtrCt−rk−r= Ctr

n

X

k=r

(−1)k−rCt−rk−r

= Ctr

n−r

X

j=0

(−1)jCt−rj = Ctr

t−r

X

j=0

(−1)jCt−rj = 0

Trọng số của các vật có t < r tính chất không tham gia vào việc tính tổng Sr, , Sn

Vì vậy trọng số của các vật đó cũng tham gia trong tổng

n

P

k=r

(−1)k−rCkrSk với hệ số bằng 0 Vậy

n

X

k=r

(−1)k−rCkrSk= M (r)

Bây giờ ta chứng minh công thức tính Mr Ta có

Mr =

n

X

j=r

M (j) =

n

X

j=r

 n

X

k=j

(−1)k−jCkjSk

=

n

X

k=r

(−1)k−rCkrSk+

n

X

k=r+1

(−1)k−(r+1)Ckr+1Sk+ · · · +

n

X

k=n

(−1)k−nCknSk

=

n

X

k=r

Sk

k

X

j=r

(−1)k−jCkj =

n

X

k=r

Sk

k−r

X

t=0

(−1)tCkk−t =

n

X

k=r

Sk

k−r

X

t=0

(−1)tCkt

=

n

X

k=r

Sk

k−r

X

j=0

(−1)jCkj

Theo Mệnh đề 2.1.2, ta có (1 − x)−1 = 1 + x + x2+ x3+ · · · Do đó

(1 − x)k(1 − x)−1 =h1 − Ck1x + Ck2x2− · · · + (−1)kCkkxki(1 + x + x2+ x3+ · · · )

Hệ số của xk−r trong chuỗi biểu diễn (1 − x)k(1 − x)−1 ở trên bằng

k−r

X

j=0

(−1)jCkj

Mặt khác,

(1 − x)k(1 − x)−1 = (1 − x)k−1 =1 − Ck−11 x + Ck−12 x2− · · ·

+ (−1)jCk−1j xj + · · · + (−1)k−1Ck−1k−1xk−1

Do đó hệ số của xk−r bằng (−1)k−rCk−1k−r Vì vậy

k−r

X

j=0

(−1)jCkj = (−1)k−rCk−1k−r

⇒ Mr =

n

X

k=r

(−1)k−rCk−1k−rSk =

n

X

k=r

(−1)k−rCk−1r−1Sk

Nếu ω(a1) = · · · = ω(am) = 1 thì M (r) bằng số các vật có đúng r tính chất trong

số các tính chất P1, P2, , Pn đã cho Ký hiệu Ai là tập tất cả các vật có tính chất

Pi, i = 1, 2, , n Khi đó

M (Pi1, Pi2, , Pik) = |Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik|,

M1 = |A1∪ A2∪ ∪ An|,

1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n

|Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik|

⇒ |A1∪ A2∪ · · · ∪ An| =

n

X

k=1

(−1)k−1Ck−10 Sk =

n

X

k=1

(−1)k−1Sk

=

n

X

k=1

1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n

|Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik|,

tức là ta nhận được nguyên lý bù trừ dạng kinh điển

Ví dụ 0.1.1 Giả sử B = {0, 1} và n là một số nguyên dương Khi đó hàm f :

Bn −→ B được gọi là hàm Boole n biến và được ký hiệu là f (x1, x2, , xn) Hàm

Boole f (x1, x2, , xn) được gọi là phụ thuộc thật sự vào biến xi nếu có hai bộ giá trị

(b1, , bi−1, bi, bi+1, , bn) và (b1, , bi−1, b0i, bi+1, , bn) với bi 6= b0

i sao cho f (b1, , bi−1, bi, bi+1, , bn) 6=

f (b1, , bi−1, b0i, bi+1, , bn) Trong trường hợp ngược lại, hàm Boole f (x1, x2, , xn)

được gọi là phụ thuộc không thật sự vào biến xi

Hãy tính số Mn(r) tất cả các hàm Boole f (x1, x2, , xn) mà phụ thuộc không thật

sự vào đúng r biến

Giả sử Pi là tính chất “phụ thuộc không thật sự vào biến xi” Khi đó với ω(f ) = 1

cho mọi hàm f (x1, x2, , xn) ta có M (Pi1, Pi2, , Pik) bằng số các hàm Boole n biến

có các tính chất Pi1, Pi2, , Pik và Mn(r) bằng số các hàm Boole n biến có đúng r tính

chất trong số các tính chất P1, P2, , Pn Dễ thấy rằng

M (Pi1, Pi2, , Pik) = 22n−k

Vì vậy theo nguyên lý bù trừ suy rộng,

Mn(r) =

n

X

k=r

(−1)k−rCkrSk =

n

X

k=r

(−1)k−rCkrCnk22n−k

=

n

X

k=r

(−1)k−rCnrCn−rk−r22n−k

= Cnr

n−r

X

j=0

(−1)jCn−rj 22n−r−j