tổng quát và ứng dụng nguyên lý bù trừ

Đề tài NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ TỔNG QUÁT & ỨNG DỤNG NHĨM STT Họ tên Cơng việc (theo mục lục) Chương 1: Đại cương tổ Lê Diêm Hùng Hồ Thị Mộng Điệp Chương 2: Lý thuyết bù trừ Đào Thị Anh Thư Chương 3: Ứng dụng Nguyễn Thị Phương Anh hợp Chương 3: Ứng dụng báo cáo MỤC LỤC Chữ ký Nhận xét giáo viên Chương Đại cương tổ hợp …………………………………………………3 1.1 Bài toán tổ hợp…………………………………… ……………………….3 1.2 Các cấu hình tổ hợp bản…………………………………………………4 1.3 Các cấu hình tổ hợp mở rộng………………………… ………………… Chương Nguyên lý bù trừ tổng quát……………………….…………………6 2.1 Nguyên lý bù trừ……………………………………… ………………… 2.2 Phân hoạch tập hợp, số sterling loại số bell………….……………… 2.3 Tổ hợp lặp tổng quát…………………………… …… …………………7 2.4 Nguyên lý bù trừ tổng quát……………………… ……………………… Chương Ứng dụng nguyên lý bù trừ……………….…………………….9 3.1 Bài toán đếm số sinh viên…………… ……… …………………………10 3.2 Bài tốn đếm số nghiệm ngun khơng âm nhỏ số phương trình………………………….…………………………………………….13 3.2.1 Bài tốn 1……………… ………………….…………………………… 13 3.2.1 Bài toán 2…… …………………………….…………………………… 14 3.3 Ứng dụng nguyên lý bừ trừ tổng quát để tính hàm trọng lượng…… …… 15 Kết luận………………………………………………………………………… 16 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… … 17 CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP Tư tổ hợp đời sớm Tuy nhiên nói rằng, lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học vào kỷ 17 Các tốn tổ hợp có đặc trưng bùng nổ với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Từ máy tính phát triển thịnh hành, nhiều vấn đề tổ hợp giải máy tính tổ hợp trở thành lĩnh vực tốn ứng dụng với phát triển mạnh mẽ Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bù trừ phương pháp đếm nâng cao giải tốn đếm, có nhiều ứng dụng hay từ ứng dụng ta giải lớp tốn tương tự mà việc giải chúng giúp củng cố rèn luyện việc sử dụng linh hoạt cấu hình tổ hợp mở rộng 1.1 Bài toán tổ hợp Cho tập hợp A1, A2, …, An Giả sử s sơ đồ xếp phần tử R1, R2, …, Rm mô tả quy tắc xếp A1, A2, …, An điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ S Khi cách xếp phần tử A1, A2, …, An thỏa mãn điều kiện R1, R2, …, Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1, A2, …, An Trong tổ hợp người ta thường gặp dạng toán sau: Bài toán tồn Bài toán đếm Bài toán liệt kê Bài toán tối ưu tổ hợp Bài tốn đếm 1.2 Các cấu hình tổ hợp 1.2.1 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.2 Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần lặp lại Định lí 1.1 Nếu ký hiệu số tất chỉnh hợp lặp chập k n phần tử AR(n,k) AR(n,k) = nk 1.2.2 Chỉnh hợp không lặp Định nghĩa 1.3 Một chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử khác có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n phần tử cho Các thành phần khơng lặp lại Định lí 1.2 Nếu ký hiệu số tất chỉnh hợp không lặp chập k n phần tử A(n,k) 1.3.3 Hốn vị Định nghĩa 1.4 Một hoán vị n phần tử khác cách xếp có thứ tự n phần tử Định lý 1.3 Nếu ký hiệu số hoán vị n phần tử P(n) P(n) = n! 1.3.4 Tổ hợp Định nghĩa 1.5 Một tổ hợp chập k n phần tử khác không kể thứ tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử cho (có thể coi tổ hợp chập k n phần tử khác tập có k phần tử từ n phần tử cho) Định lý 1.4 Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử khác C(n,k) 1.3 Các cấu hình tổ hợp mở rộng 1.3.1 Hốn vị lặp Định nghĩa 1.6 Hoán vị lặp hoán vị mà phần tử ấn định số lần lặp lại cho trước Định lý 1.5 Số hoán vị lặp k phần tử khác nhau, phần tử thứ lặp n1 lần, phần tử thứ lặp n2 lần, …, phần tử thứ k lặp nk lần P ( n1 , n , , n k ) = n! n1! n ! n k ! với n = n1 + n2 +… +nk Định lý 1.6 Số cách phân phối n đồ vật khác vào k hộp khác cho có ni vật đặt vào hộp thứ i với i = 1,2, ,k n! n1! n ! n k ! 1.3.2 Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.7 Tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử cho, phần tử lặp lại Định lý 1.7 Nếu ký hiệu số tổ hợp lặp chập k từ tập n phần tử CR(n,k) CR(n,k) = C(n-1+k,n-1) = C(k+n-1, k) 1.3.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp Định nghĩa 1.9 Cho X tập gồm n phần tử khác nhau, r ≤ n S ⊂ X có r phần tử Một phân hoạch {S1, S2,…,Sk} có thứ tự S gọi phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r X Nếu r = n gọi phân hoạch thứ tự X Cho số nguyên dương n1, n2,…,nk thoả n1 + n2 +… +nk = r Số phân hoạch thứ tự tổ hợp chập r X dạng {S1, S2,…,Sk}có |S1| = n1, |S2| = n2,…, |Sk| = nk ký hiệu C(n, n1, n2,…,nk) 1.3.4 Phân hoạch không thứ tự Định nghĩa 1.10 Cho X tập gồm n phần tử khác n1, n2,…,nk , p1, p2,…,pk số nguyên dương thoả n1p1 + n2p2 +…+ nkpk = n Một hệ thống tập X gồm p1 tập có n1 phần tử, p2 tập có n2 phần tử, …, pk tập có nk phần tử gọi phân hoạch không thứ tự X Định lý 1.9 Số phân hoạch không thứ tự X với p1 tập có n1 phần tử, p2 tập có n2 phần tử, …, pk tập có nk phần tử C ( n, n1 , , n1 , n , , n , , n k , , n k ) n! = n1 p1! p ! p k ! p1!( n1! ) p ! ( n ! ) n2 p k !( n k ! ) nk (trong C(n,n1,…,n1, n2,…,n2,…,nk,…,nk ) số n1 lặp lại p1 lần, số n2 lặp lại p2 lần, …, số nk lặp lại pk lần) CHƯƠNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ TỔNG QUÁT 2.1 Nguyên lý bù trừ Đơn giản Cho hai tập A,B Có |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| (Cơng thức 1) Cho ba tập A,B,C Có |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| -|A∩B|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C| Định lý 2.1 (Nguyên lý bù trừ) Cho X1, X2,…, Xn tập hữu hạn Khi X ∪ X ∪ ∪ X n = X(n,k) = ∑| X i | − 1≤i ≤ n ∑| X i1 1≤i1 ≤i2 ≤ ≤ik ≤ n n ∑ | X i ∩ X j | + + (−1) n−1 | X ∩ X ∩ ∩ X n | = ∑ (−1) k −1 X (n, k ) 1≤i < j ≤ n k =1 ∩ X i2 ∩ ∩ X ik | (Công thức 2) Trong tổng X(n,k), (i1,i2,…,ik) lấy tất tổ hợp chập k n X(n,k) tổng C(n,k) số hạng n k Hệ 2.1 (Công thức Sieve) | X ∩ X ∩ ∩ X n |= ∑ (−1) X (n, k ) k =0 X(n,0) = |X| 2.2 Phân hoạch tập hợp, số Sterling loại số Bell Cho tập X có n phần tử khác nhau, k ≤ n {X1, X2, …, Xn}là phân hoạch k khối X Số tất phân hoạch k khối tập có n phần tử gọi số Sterling loại ký hiệu S(n,k) Hiển nhiên ta có S(n,0) = S(n,n)=1 Số Tn = S(n,1) + S(n,2) + … + S(n,n) gọi số Bell Như vậy, số Bell số tất phân hoạch tập có n phần tử Bây ta giải tốn sau: Bài tốn: Tính số Sterling loại Giải Mỗi phân hoạch k khối tập X có n phần tử xem phân bố n phần tử tập X vào k thùng B1, B2, …, Bk (không kể thứ tự) cho thùng có phần tử X Hoán vị thùng B1, B2, …, Bk ta thấy phân bố sinh k! toàn ánh từ tập X vào tập { B1, B2, …, Bk} k r n Suy k! S ( n, k ) = ∑ ( −1) C ( k , r ).( k − r ) nên S ( n, k ) = r =0 k ∑ (−1) r C (k , r ).(k − r ) n k! r =0 2.3 Tổ hợp lặp tổng quát Định nghĩa 3.1 Tổ hợp lặp tổng quát chập k từ n phần tử khác nhóm khơng phân biệt thứ tự gồm k phần tử trích từ n phần tử cho, phần tử thứ i lặp lại không ki lần (i = 1,2,…,n) với k1 + k2 + …+kn ≥ k Ký hiệu Ckn(k1, k2, …,kn) Định lý 3.1 Số tổ hợp lặp tổng quát chập k từ n phần tử khác phần tử thứ i lặp lại không ki lần (i=1,2,…,n) với k1 + k2 + …+kn ≥ k n   m k C n ( k1 , , k n ) = C ( k + n − 1, k ) + ∑  ( − 1) ∑i Cn (n − + k − (ki1 + + kim + m), n −    m =1  1≤i1 < < m ≤  ( ) 2.4 Nguyên lý bù trừ tổng quát Cho tập X tập Π = { a1 , a , , a m } gồm m tính chất phần tử X Với tập k (1≤ k ≤ m) tính chất {a i , a i , , a i } ⊂ Π , ký hiệu X i ,i , ,i tập k k phần tử X thoả mãn tính chất a i , a i , , a i n( a i , a i , , a i )=| X i ,i , ,i | Tiếp theo, ký hiệu s0 = |X|, sk = ∑ n(a 1≤i1 ≤i2 ≤ ≤ik ≤ m i1 k , a i2 , , a ik ), k ∀k = 1,2, , m ek số phần tử thoả mãn k tính chất, k = 0,1,…,m fk số phần tử thoả mãn k tính chất, k = 1,2,…,m Định lý 2.2 ek = sk – C(k+1,1).sk+1 + C(k+2,2).sk+2 - … + (-1)m-kC(m,m-k).sm Chứng minh: Với tập k (1≤ k ≤ m) tính chất {a i , a i , , a i } ⊂ Π , xét tập X i ,i , ,i k k Trên tập X i ,i , ,i ta có (m – k) tính chất αj, j ϵ J = {1,2,…,m}\{i1, i2, …, ik} k k Kí hiệu ei ,i , ,i phần tử X thỏa mãn k tính chất α i , α i , , α ik không thỏa k mãn (m – k ) tính chất αj, j ϵ J Như vậy, ei ,i , ,i số phần tử X i ,i , ,i không k k thõa mãn (m – k) tính chất αj, j ϵ J Ký hiệu: Yj = { x ϵ X i ,i , ,i | x thỏa tính chất αj }, ∀ j ϵ J k n k Theo công thức X ∩ X ∩ ∩ X n = ∑ ( −1) X ( n, k ) k =0 Trong đó: X(n,0) = |X| Và X (n, k ) = 1≤i ∑ ≤X i ∩ X i ∩ ∩ X ik ∀k = 1, , n < i n 1 k Ta có ei1 ,i2 , ,ik = Y j j∈J = X i1 ,i2 , ,ik − ∑ Y j + j∈J ∑Y } { j1 , j2 ⊂J j1 ∩ Y j − + (−1) m−k Y j j∈J = n(α i1 ,α i , ,α ik ) − ∑ n(α i1 , α i , , α ik , a j ) + j∈J ∑ n(α { j1 , j2 } ⊂ J i1 ,α i , ,α ik , a j1 , a j2 ) − + (−1) m−k n(α i1 , , α ik , a j1 , , a jm − k ) Suy ek = ∑e i1 ,i2 , ,ik 1≤ i1 < < i k ≤ m = ∑ n(α 1≤ i1 < < ik ≤ m i1 , α i , , α ik ) − ∑ ∑ n(α 1≤ i1 < < i k ≤ m j∈J − + ( −1) m − k i1 ∑ n(α 1≤ i1 < < ik ≤ m , α i , , α ik , a j ) + i1 ∑ ∑ n(α 1≤ i1 < < i k ≤ m { j1 , j } ⊂ J , , α ik , a j1 , , a jm − k ) = s k − C ( k + 1,1).s k +1 + C ( k + 2,2).s k + − + ( −1) m − k C (m, m − k ).s m Định lý 2.3 fk = sk – C(k,1).sk+1 + C(k+1,2).sk+2 - … + (-1)m-kC(m-1,m-k).sm Qui nạp (ngược) k = m, m-1,…,1 Hiển nhiên công thức với k = m, fm = sm = em Giả sử công thức với (k +1), ta chứng minh cơng thức với k Ta có : fk – fk+1 = ek i1 , α i , , α ik , a j1 , a j2 ) Từ suy fk = ek + fk+1 = sk – C(k+1,1).sk+1 + C(k+2,2).sk+2 - … + (-1)m-kC(m,mk).sm + sk+1 - C(k+1,1).sk+2 + C(k+2,2).sk+3 - … + (-1)m-k-1C(m-1,m-k-1).sm = sk – C(k,1).sk+1 + C(k+1,2).sk+2 - … + (-1)m-kC(m-1,m-k).sm CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Dựa vào nguyên lý bù trừ ta đếm số phần tử tập X không thoả mãn tính chất n tính chất Thật vậy, với k = 1,2,…,n kí hiệu Xk = {x ϵ X/x thoả mãn tính chất k} Khi ͞Xk = {x ϵ X/x khơng thoả mãn tính chất k} Như vậy, số phần tử X khơng thoả mãn tính chất n tính chất n số phần tử tập hợp x i i =1 Ta có X = n n  i =1 n nên X i = i =1 Xi +  Xi ⇒ n  i =1 Xi = X − i =1 n  i =1 n  Xi = X − i =1 n  Xi i =1 n Xi = X − ∑ Xi + i =1 ∑X 1≤i ≤ j ≤ n n i ∩ X j − + ( −1) n X i i =1 Theo ý tưởng nguyên lý bù trừ, có số tốn, việc đếm trực tiếp cấu hình thoả yêu cầu nhiều phức tạp, ta thường giải tốn ngược (hay tốn lấy phần bù) để từ suy kết yêu cầu 3.1 Bài toán (Đếm số sinh viên) Sinh viên khóa đăng ký học ngoại ngữ Có 12 sinh viên học tiếng Trung (A), 20 sinh viên học tiếng Anh (B), 20 sinh viên học tiếng Pháp (C), sinh viên học tiếng Nhật (D) Trong có: sinh viên học A B, sinh viên học A C, sinh viên học A D, 16 sinh viên học B C, sinh viên học B D, sinh viên học C D Và sinh viên học A, B, C; sinh viên học A, B D; sinh viên học B, C D; sinh viên học A, C D Có sinh viên học A, B, C D 71 sinh viên không đăng ký học ngoại ngữ a Hãy tính số sinh viên khóa học b Tính số sinh viên học 1, 2, ngoại ngữ c Tính số sinh viên học 1, 2, ngoại ngữ Giải Gọi N tổng số sinh viên khóa học Khi đó, |X| = N Kí hiệu: XA số sinh viên học A, XB số sinh viên học B, XC số sinh viên học C, XD số sinh viên học D Ta có tập X có tập XA, XB, XC, XD Trong đó, theo đề ta có |XA| = 12 ; |XB| = 20 ; |XC| = 20 ; |XD| = |XA∩XB| = ; |XA∩XC| = ; |XA∩XD| = ; |XB∩XC| = 16 ; |XB∩XD| = ; |XC∩XD| =3 | XA∩ XB∩XC| = 3; | XA∩ XB∩XD| = ; | XB∩ XC∩XD| = ; | XA∩ XC∩XD| = | XA∩ XB∩XC∩XD | = | ͞XA∩ XB∩ ͞XC∩ XD| = 71 ͞ ͞ 10 a Hãy tính số sinh viên khóa học Theo cơng thức thức 2, ta có | ͞XA∩ XB∩ ͞XC∩ XD| = |X| - | XA∪ XB∪XC∪XD | ͞ ͞ => |X| = | XA∩ XB∩ ͞XC∩ XD| + | XA∪ XB∪XC∪XD | = 71 + | XA∪ XB∪XC∪XD |(*) ͞ ͞ ͞ Trong : | XA∪ XB∪XC∪XD | = ∑ ( −1) k −1 X ( 4, k ) k =1 = (-1)1-1X(4,1) + (-1)2-1X(4,2) + (-1)3-1X(4,3) + (-1)4-1X(4,4) = X(4,1) - X(4,2) + X(4,3) - X(4,4) = s1 – s2 + s3 – s4 (*) => |X| = 71 + s1 – s2 + s3 – s4 Mà s1 = X(4,1) = |XA| + |XB| + |XC| + |XD| = 12 + 20 + 20 + = 60 s2 = X(4,2) = |XA∩XB| + |XA∩XC| + |XA∩XD| + |XB∩XC| + |XB∩XD| + |XC∩XD| = + + + 16 + + = 39 s3= X(4,3) = | XA∩ XB∩XC|+ | XA∩ XB∩XD| + | XB∩ XC∩XD| + | XA∩ XC∩XD| = + + + = 10 s4 = X(4,4) = | XA∩ XB∩XC∩XD | = Vậy: N = |X| = 71 + s1 – s2 + s3 – s4 = 71 + 60 – 39 + 10 – = 100 b Tính số sinh viên học 1, 2, ngoại ngữ ek với k = 1, 2, ek = sk – C(k+1,1).sk+1 + C(k+2,2).sk+2 - … + (-1)m-kC(m,m-k).sm • Số sinh viên học ngoại ngữ k= e1 = s1 – C(1+1,1).s1+1 + C(1+2,2).s1+2 – C(1+3,3).s1+3 = s1 – C(2,1).s2 + C(3,2).s3 – C(4,3).s4 = 60 – C(2,1).39 + C(3,2).10 – C(4,3).2 =4 • Số sinh viên học ngoại ngữ k= 11 e2 = s2 – C(2+1,1).s2+1 + C(2+2,2).s2+2 = s2 – C(3,1).s3 + C(4,2).s4 = 39 – C(3,1).10 + C(4,2).2 = 21 • Số sinh viên học ngoại ngữ k= e3 = s3 – C(3+1,1).s3+1 = s3 – C(4,1).s4 = 10 – C(4,1).2 =2 c Tính số sinh viên học 1, 2, ngoại ngữ fk với k = 1, 2, fk = sk – C(k,1).sk+1 + C(k+1,2).sk+2 - … + (-1)m-kC(m-1,m-k).sm • Số sinh viên học 1ngoại ngữ k=1 f1 = s1 – C(1,1).s1+1 + C(1+1,2).s1+2 – C(1+2,3).s1+3 = s1 – C(1,1).s2 + C(2,2).s3 – C(3,3).s4 = 60 – C(1,1).39 + C(2,2).10 – C(3,3).2 = 29 • Số sinh viên học ngoại ngữ k= f2 = s2 – C(2,1).s2+1 + C(2+1,2).s2+2 = s2 – C(2,1).s3 + C(3,2).s4 = 39 – C(2,1).10 + C(3,2).2 = 25 • Số sinh viên học ngoại ngữ k= f3 = s3 – C(3,1).s3+1 = s3 – C(3,1).s4 = 10 – C(3,1).2 =4 3.2 Bài tốn đếm số nghiệm ngun khơng âm nhỏ số phương trình 12 3.2.1 Bài tốn 1: Phương trình x1 + x2 +x3 =11 có nghiệm nguyên không âm thoả mãn x1 ≤ 3, x2 ≤ 4, x3 ≤ 6? Giải Gọi A, A1, A2 A3 là tập tất nghiệm ngun khơng âm phương trình, tập tất nghiệm ngun khơng âm phương trình cho x1 ≥ 4, x2 ≥ 5, x3 ≥ Mỗi nghiệm ngun khơng âm phương trình đă cho ứng với cách chọn 11 phần tử từ tập có ba loại cho có xi phần tử loại i với i = 1,2,3 Vì vậy, số nghiệm ngun khơng âm phương trình số tổ hợp lặp chập 11 từ tập có ba phần tử nên |A| = CR(3,11) = C(13,2) = 78 Mỗi nghiệm nguyên khơng âm phương trình cho x1 ≥ ứng với cách chọn 11 phần tử từ tập có ba loại thoả có xi phần tử loại i với i =1,2,3, có phần tử loại Vì thế, chọn phần tử loại chọn thêm phần tử nên |A 1| = CR(3,7) = C(9,2) = 36 Tương tự, ta có |A2| = CR(3,6) = C(8,2) =28, |A3| = CR(3,4) = C(6,2) = 15, |A1∩A2| = CR(3,2) = C(4,2) = 6, |A1∩A3| = CR(3,0) = C(2,2) = 1, |A2∩A3| = |A1∩A2∩A3| = Vậy, theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm nguyên không âm phương trình cho | ͞A1∩ ͞A2∩ ͞A3| = |A| - | A1∪ A2∪A3| Trong đó: | A1∪ A2∪A3 | = ∑ (−1) k −1 A(3, k ) k =1 = (-1)1-1A(3,1) + (-1)2-1A(3,2) + (-1)3-1A(3,3) = A(3,1) - A(3,2) + A(3,3) = s1 – s2 + s3 Mà 13 s1 = A(3,1) = |A1| + |A2| + |A3| = 36 + 28 + 15 = 79 s2 = A(3,2) = |A1∩A2| + |A1∩A3| + |A2∩A3| = + + = s3= A(3,3) = | A1∩ A2∩A3| = Kết luận: số nghiệm nguyên không âm phương trình thỏa mãn điều kiện cho | ͞A1∩ ͞A2∩ ͞A3| = |A| - | A1∪ A2∪A3 | = |A| - (s1 – s2 + s3 ) = 78 – (79 – + ) =6 3.2.1 Bài tốn 2: Cho phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 29 có nghiệm nguyên không âm thoả mãn x1 < 4, x2 < 13, x3 < 6, x4 < 11? Giải Gọi A tập tất nghiệm nguyên không âm phương trình A1 tập nghiệm với x1 ≥ A2 tập nghiệm với x2 ≥ 13 A3 tập nghiệm với x3 ≥ A4 tập nghiệm với x4 ≥ 11 Mỗi nghiệm nguyên không âm phương trình cho ứng với cách chọn 29 phần tử từ tập có bốn loại cho có xi phần tử loại i với i=1,2,3,4 Vì vậy, số nghiệm ngun khơng âm phương trình số tổ hợp lặp chập 29 từ tập có bốn phần tử nên |A| = CR(4,29) = C(29+4-1, 4-1) = C(32,3)= 4960 Mỗi nghiệm ngun khơng âm phương trình cho x1 ≥ ứng với cách chọn 29 phần tử từ tập có bốn loại thoả có xi phần tử loại i với i = 1,2,3,4 có phần tử loại Vì thế, chọn phần tử loại chọn thêm 25 phần tử nên |A1| = CR(4,25) = C(25+4-1,4-1) = C(28,3) = 3276 Tương tự, ta có |A2| = CR(4,16)= C(19,3) = 969, |A3| = CR(4,23) = C(26,3)= 2600, |A4| = CR(4,18) = C(21,3)=1330 14 Mặt khác, x1 + x2 ≥ + 13 = 17 có nghĩa chọn 17 phần tử loại hai, chọn thêm 29 – 17 = 12 phần tử nên ta có |A1∩A2| = CR(4,12)= C(15,3)= 455 Tương tự ta có |A1∩A3| = CR(4,19)= C(22,3)= 1540, |A1∩A4| = CR(4,14)= C(17,3)= 680, |A2∩A3| = CR(4,10)= C(13,3)= 286, |A2∩A4| = CR(4,5)= C(8,3)= 56, |A3∩A4| = CR(4,12)= C(15,3)= 455 |A1∩A2∩A3| = CR(4,6)= C(9,3)= 84, |A1∩A2∩A4| = CR(4,1)= C(4,3)= 4, |A2∩A3∩A4| =0, | A1∩ A3∩A4|= CR(4,8)=C(11,3) = 165, |A1∩A2∩A3∩A4| = Vậy, theo nguyên lý bù trừ, số nghiệm nguyên không âm phương trình cho | A1∩ A2∩ A3∩ A4| = |A| - | A1∪ A2∪A3∪A4 | ͞ ͞ ͞ ͞ Trong đó: | A1∪ A2∪A3∪A4 | = ∑ ( −1) k −1 A( 4, k ) k =1 = (-1)1-1A(4,1) + (-1)2-1A(4,2) + (-1)3-1A(4,3) + (-1)4-1A(4,4) = A(4,1) - A(4,2) + A(4,3) - A(4,4) = s1 – s2 + s3 – s4 Mà s1 = A(4,1) = |A1| + |A2| + |A3| + |A4| = 3276 + 969 + 2600 + 1330 = 8175 s2 = A(4,2) = |A1∩A2| + |A1∩A3| + |A1∩A4| + |A2∩A3| + |A2∩A4| + |A3∩A4| = 455 + 1540 + 680 + 286 + 56 + 455 = 3472 s3= A(4,3) = | A1∩ A2∩A3| + | A1∩ A2∩A4| + | A2∩ A3∩A4| + | A1∩ A3∩A4| = 84 + + + 165 = 253 s4 = X(4,4) = | XA∩ XB∩XC∩XD | = Kết luận: số nghiệm nguyên không âm phương trình thỏa mãn điều kiện cho | ͞A1∩ ͞A2∩ ͞A3∩ ͞A4| = |A| - | A1∪ A2∪A3∪A4 | = |A| - (s1 – s2 + s3 – s4) 15 = 4960 – (8175 – 3472 + 253 – 0) =4 3.3 Ứng dụng nguyên lý bừ trừ tổng quát để tính hàm trọng lượng Định nghĩa 3.2 Một hàm ω từ tập X vào tập số thực gọi hàm trọng lượng X Nếu X hữu hạn A tập X trọng lượng A, kí hiệu ω(A), tổng tất ω(x) với x ϵ A Nếu ∏ tập có m tính chất, Aj với j = 0,1,…,m tập tất phần tử X thỏa mãn j tính chất Bj với j=1,2,…,m tập tất phần tử X thỏa mãn j tính chất Với j, đặt Ej = ω(Aj) Fj = ω(Bj) Nếu Q tập ∏, ω(Q) định nghĩa tổng trọng lượng phần tử X thỏa mãn tính chất Q Sau cùng, tương tự sk, ta định nghĩa Sk = ω(X) k=0 Sk = ∑ ω (Q ) Q⊂Π Q =k k =1,2,… m Định lý 3.2 Với j=1,…,m ta có Ej = Sj – C(j+1,1).Sj+1+ C(j+2,1).Sj+2-…+ (-1)m-jC(m,m-j).Sm Định lý 3.3 Với j=1,…,m ta có Fj = Sj – C(j,1).Sj+1+ C(j+1,1).Sj+2-…+ (-1)m-jC(m-1,m-j).Sm 16 KẾT LUẬN Từ ứng dụng nguyên lý bù trừ ta giải lớp tốn Bằng cách thay đổi tập hợp, số lượng phần tử tập hợp quan hệ phần tử ta tạo nhiều tốn khác mà việc giải chúng giúp cho ta củng cố rèn luyện việc sử dụng linh hoạt cấu hình tổ hợp mở rộng 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO • [1] Tiếng Việt Trần Quốc Chiến (2005), Giáo trình lý thuyết tổ hợp (Giáo trình cho học viên cao học Tốn, ĐHĐN.) [2] Hà Văn Chương (2004), Tuyển chọn 351 toán giải tích tổ hợp, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [3] Vũ Đình Hồ (2003), Lý thuyết tổ hợp toán ứng dụng, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Ngọc Thu (2003), Hướng dẫn giải toán tổ hợp, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh 18 ... …………………7 2.4 Nguyên lý bù trừ tổng quát? ??…………………… ……………………… Chương Ứng dụng nguyên lý bù trừ? ??…………….…………………….9 3.1 Bài toán đếm số sinh viên…………… ……… …………………………10 3.2 Bài toán đếm số nghiệm nguyên không... ………………… Chương Nguyên lý bù trừ tổng quát? ??…………………….…………………6 2.1 Nguyên lý bù trừ? ??…………………………………… ………………… 2.2 Phân hoạch tập hợp, số sterling loại số bell………….……………… 2.3 Tổ hợp lặp tổng quát? ??…………………………... hợp trở thành lĩnh vực toán ứng dụng với phát triển mạnh mẽ Trong lý thuyết tổ hợp, nguyên lý bù trừ phương pháp đếm nâng cao giải tốn đếm, có nhiều ứng dụng hay từ ứng dụng ta giải lớp toán tương