Luận văn dưới vi phân tổng quát và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊm BÌNH DƯỚI VI PHÂN TÓNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán gỉảỉ tích Mã sổ: 60 4601 02 LUẬN Sĩ TOÁN HỌC • VĂN THẠC • • Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận văn, tác giả nhận động viên, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp, người thân, thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, thầy, cô phòng Sau đại học thầy, cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin cảm ơn tấ t người hỗ trợ để hoàn thành Luận văn Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Trần Văn Bằng, người thầy định hướng bảo tận tình để hoàn thành Luận văn Tôi xin trân trọn g cảm ơn! Hà Nội, 20 tháng năm 20ỉ Tác giả N g ô T h ị B ìn h Lời cam đoan Luận văn kết thân tác giả đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn tác giả tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài “Dưới v i phân tổ n g quát v ứ n g d ụ n g ” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, 20 tháng năm 2015 Tác giả N g ô T h ị B ìn h M ục lục B ản g kí hiệu M đầu Chương M ột số kiến th ứ c chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm không gian Banach Hàm khả vi không gian Banach Chương Dưới vi phân tổ n g quát ứng dụng 14 2.1 Dưới vi phân tổng quát 14 2 Quy tắc tổng mờ 22 2.3 ứ ng dụng 29 K ết luận 37 Tài liệu th am khảo 38 B ảng kí hiệu M: Tập số thực M: Tập hợp số thực mở rộng R = R u X : Là không gian Banach X* : Là không gian đối ngẫu không gian Banach X X ** : Là không gian liên hợp thứ hai không gian X Xp\ Là không gian đối ngẫu không gian Banach (+ 00) X với tô pô hội tụ tập /3 Bỵ : Hình cầu đơn vị X Sỵ ■ Mặt cầu đơn vị X E : Là tập đóng X L : Là không gian hữu hạn chiều X L 1- Là không gian trực giao L / : X —>■Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y II • II : (x*, x) Chuẩn không gian Banach X : Giá trị hàm X* X /3 : họ tập đóng, bị chặn, sup : Cận in f : Cận diam(S) : s Đường kính tập cl : Bao đóng co : Bao lồi đối xứng tâm X cl со : Bao lồi đóng ỉ.s.c Nửa liên tục и, V : Các lân cận / ' (x, d) : Đạo hàm / theo phương d X D Ff (X) : Tập tấ t đạo hàm nhớt Fréchet / X D Gf (я) : Tập tấ t đạo hàm nhớt G âteaux / X Dß f (X) : Tập tấ t ß — đạo hàm nhớt / X D ß f (я) : Tập tấ t ß —trên đạo hàm nhớt / X V f (x) : Đạo hàm Fréchet / X f (x) : ß — đạo hàm / X d ß f (x) : ß — vi phân / X dGf (x) : Dưới vi phân G âteaux / X Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích không trơn đời năm 70 kỷ 20 nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho toán với kiện không trơn, với kiện Lipschitz hay với kiện nửa liên tục Cho tới có nhiều khái niệm "đạo hàm suy rộng" đưa thường gọi tên "dưới vi phân" như: vi phân suy rộng Clark, vi phân Frechet, vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đáp ứng phần yêu cầu đặt Dưới vi phân chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân "đơn" vi phân "ngặt" Dưới vi phân đơn định nghĩa điểm không đòi hỏi tính chất khả vi hàm lân cận điểm Thường vi phân đơn khái quát hóa khái niệm đạo hàm cổ điển (như vi phân Frechet, Gâteaux, Dini ) Ngược lại với vi phân đơn, vi phân ngặt đòi hỏi tính khả vi hàm lân cận điểm định nghĩa Thông thường, vi phân ngặt biểu diễn giới hạn vi phân đơn Những khái niệm không ngừng phát triển ngày tỏ có nhiều ứng dụng giải tích phi tuyến lý tuyết tối ưu Tuy nhiên nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần tiếp tục tìm hiểu khai thác Được hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, chọn đề tài nghiên cứu: "Dưới vi phân tổng quát ứng dụng" M ục đích nghiên cứu Tìm hiểu vi phân tổng quát ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi N h iệm vụ nghiên cứu Hệ thống tổng hợp kiến thức vi phân tổng quát số ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi Đ ối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân tổng quát ứng dụng Phạm vi: Nghiên cứu lớp hàm nửa liên tục Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết tối ưu N hữ ng đóng góp Luận văn Tìm hiểu khái niệm vi phân tổng quát Tổng hợp, hệ thống số kết nhà khoa học nghiên cứu công bố vi phân tổng quát ứng dụng Chương M ột số kiến thức chuẩn bị Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Banach, hàm khả vi không gian Banach tính chất hàm Lipschitz Những kiến thức chương lấy chủ yếu từ [1],[2],[3],[4],[9],[10] 1.1 M ột số khái niệm không gian Banach Mục trình bày khái niệm, tính chất không gian Banach không gian liên hợp Cho X không gian vectơ tập số thực R Đ ịn h ngh ĩa 1.1 ([!], trang 11-12) Một chuẩn X , kí hiệu II • II, ánh xạ từ X vào R thỏa mãn tiên đề sau: Với Vw, V e X OL e R (i) ||w|| > (với ||w|| số thực không âm) (ii) ||w|| = u = (iii) ||cm|| = |qí| ||w|| (iv) IIu + v|| < ||w|| + ||ĩ;|| (bất đẳng thức tam giác ) Từ ( О ) ( Q N N n= f n (X) = lim i^ỳ-oc fn « ) n=l Do fn với n = 1, , N hàm nửa liên tục nên lim f n ( < ) = fn ( z ) , n = i->00 , N Hơn nữa, theo Bổ đề 2.15 biểu thức(|2 2Ị) kéo theo (2.4) lim tị [diam ( { ^ i , Æjv} ) ] = i—>00 Do V^ll • II (я) bị chặn ||:r||, kết hợp (2.4) (2.3) ta lim ||я*.|| dỉam ({^i, = 0, với n = , N Do ỉ đủ lớn II2^ —я|| < £, Ifn (xị) — f n(x) I < £ I I II dỉam ({я*1 , Æjv}) < £ với n = 1, 2, , N Bằng cách lấy x n = х {п x*n = Æ*., n = ta có điều phải chứng minh □ Tiếp theo ta trình bày ba định lí quy tắc tổng với ß —dưới đạo hàm nhớt Đ ịn h lý 2.17 (И , Định lý 2.10 ) Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương ß —trön /i , / j v X , với X G ỉà cáchàm N ^ nửa liên tục - í N \ n d o m (f n ) K h i với m ọ i X* G D a ( ^2 fn ) (x) ,E > n—1 Vn=l J lân cận yếu* V X * , tồn x n G x + eB, x*n G D ßfn (Xn) , n = 1, N cho \fn {Xn) - f n { x ) 24 I< £ |[rr* |Ị d i a m ( { ^ ! , X N } ) < £ , vối n = 1, , N N X * « E < +yn= Chứng minh Cho £ > V lân cận yếu* X * Cố định r > 0, tồn không gian hữu hạn chiều L X chứa X Vß lân cận Xß cho Vß + L 1- + rBỵ* с V N f n\I (æ) , nên tồn hàm g Lipschitz địa phương Do X* G D ß- Ịí ^2 N cho g ß —trơn X với v ßg (X) = X* ^2 fn — đạt tới cực 71= tiểu địa phương X Chọn < TỊ < (£, r) cho \\y — æ|| < TỊ < £ suy v ßg (я) — jV v ß9 (у) £ Vß gọi ồL hàm L Khi ^2 fn — + Sl đạt n= cực tiểu địa phương X Theo Mệnh đề 2.14 ( / i , f N, —g, Ỗl ) nửa liên tục địa phương T heo x\\ < ĩ) Đ ịn h < £ , n - V ßg ( x N + 1) l í |2 б[ t ứ c lí = tồn tạ i x n với n 1, x*N + If n { x n ) - + , ?; G D ßß ff ({ xx n n ) ) ,, n n D p ỗ L (iCjv+2 ) £ f n ( x )I = 77 < th ỏa < | K | | d i a m ( { a ; i , , 2^ + } ) < V < £ v i n = £, , m ãn + = = 1 kết cho , N , lu ậ n IIя п — X* = Đ ịn h |K ||d ia m ({ a ; i, ,a ; j v } ) < |“ < ^ ( ^ + ) = L -1 v X * - T iế p th e o m ộ t kết q u ả m n h 25 V ßg (x N+1) e Vß □ Đ ịn h lý 2.18 (|z |, Định lý 2.11) Cho ß m ột borno lồi X không gian Banach với chuẩn tương đương ß —trön Cho /i, ,/tv ỉà hàm nửa ỉiên tục X £ / N dß ( N П dom (f n) Khi với X* € 71=1 \ fn ) ( z ) 5£ > v ỉầ n c ậ n y ế u * V c ủ a t r ê n X *, t n t i x n e x+eB,x*n £ D ~ f n (xn) với 71 = 1, N £, Ця* II dỉam ({æ1 XN}) < E, n = , , N cho Ifn (xn) - fn (ж)| < N X n= Chứng minh Cho £ > V lân cận yếu * X* Cố định r > 0, tồn không gian hữu hạn chiều L X chứa X cho L 1- + 2rBx* с V Lấy X* £ dß / n^ ( x ) Khi đó, với К e ß ' N lim inf inf t ^ Ưn {x + h ) ~ f n (z)) - ( x \ h) t —>0+ hetK _n= > (2.5) Chọn К £ ß chứa giao L với hình cầu nhỏ tâm Khi (2.5) suy ' N lim inf inf t ^ ơn (x + h ) - fn (z)) - ( x \ h) 0+ hetBnL _n= > Do L không gian hữu hạn chiều, nên điều tương đương với N lim ||0 -ж||->О ưn{y) - fn{x)) - {x*,y - x)} > inf inf \\y y-xeL n= Do đó, tồn TỊ < r cho hàm N У - ^ ^ f n { y ) ~ { x* , y ) + r \ \ y - x \ \ + Ỗ L (у ) n= 26 đạt cực tiểu theo y X + Ĩ]B y = X Theo Mệnh đề 2.14 ( / (2/), ,/7 v(3/), — Ánh xạ y 2/ ) ,rIỊ2/ - rrII,ỗL{y)) nửa liên tục địa phương Áp dụng Định lý 2.16 tồn x n, với n = TỊ < £, n = , N +3, x*n e D d f (x n) , n = , iV + với \\xn — z|| < N , X *N+ — x * xJN + r D \\xN + - XII x*N+ĩ £ D ß 5L {xN+i) cho \fn(ocn) - f n ( x ) \ < TỊ < ||x* \\diam{{x1, : %}) < 11^\\diam{{xl , C N+Ĩ}) < TỊ < £ với n = , N, \ỖL (xN+s) - ỗL { x ) \ t u(y) = v (у ) < I e-7* / (x (s , y , u ) , u (s))ds + e“7*F (x ( t , y , u ) ) (2 8) Do iú ß —trơn Lipschitz địa phương X, nên tồn TỊ > cho iú Lipschitz v ßuj tồn у + ĩịB Khi Ш = V я U) у + TỊв Thấy khả vi Hadam ard {x (s, y, u) : s G [0, ]} compact, t > đủ nhỏ ta có ^-[e“7ío;(:r(í, 2/,u))] = - e “ 7í7 u)(x(t,y,u)) _l_ e ~ ^ ( V ßu y, u)), g(x(t, y, u), u{t))) Do đó, ta viết (2.8) sau t Г Ị e~'Ỵt[/yto(x(s, y, u)) - { Vßuj(x(s, y, u) ) , g( x ( s , y, u), u( s))) - /(x(s,y,w ),w (s))]ds < C ố định tùy ý V G и đặt и (s) = V với s G [0, í] ta Г Ị e~'yt[/ytũ(x(s, y, u)) - {V ßuj(x(s, y, u)),g(x(s, y, u), v)) / ( z ( s , 2/,u ), v)]ds - Lấy giới hạn t —>■0, để ý hàm dấu tích phân liên tục 34 theo s ж (о, у, и) = у , ta có i V (у) - ip, д(у, v)) - f ( y , V) = ш(у) - ( V ß иj(y),g(y, v)) - f ( v , v ) < Do 'ỴV (у ) + H (у, p) < Điều có nghĩa là, V ß —nghiệm nhớt (2.7) b Nghiệm nhớt Cho phần ixt у £ X cho p G D ß V (y) Khi tồn hàm iú ß —trơn cho v ßuj (y) = p y cực tiểu (địa phương) V —iú {V —Lư) (y ) = Theo nguyên lý quy hoạch động với số nguyên i, tồn u ' e l l cho ị2' /i (2.9) > J e“ 7S/ ( z , (в,2/,и*)>и*М)Ж* + e~'t/iV ( x ( ị ì y ì ui)) Lí luận tương tự ta có ĩỊi - + i j е~^[уи(х(8, у,и*)) - (уРи(х(8,у,и*)),д(х(8,у,и*),и*(8))) о - /(a7(s, 2/, гл*), < о Ta viết lại bất đẳng thức sau 1/i iu{y) + i J [ - { ^ ри;(х(у)), д(у, и\8))) - f (у, ứ(s))]ds > h(i) h (г) = - Т + hi (i) + h2 (i) + /i3 (i) % 35 hị xác định sau 1/i hịỉ) := tư{y) - i Ị e “ 7S7 íư{x{sì y ì ui))dsì 1/i /i2(i) := i Ị [e“ 7S(V^ 0;(a;(s, 2/, u4)), p(a;(s, 2/, u4), u ^s))) - (V ^a;(y),ớ(ỉy,^(s)))]ds 1/i M O := ỉ J [e_/yí/ M s , 2/, «*(«)) - f ( y , ứ (s))]ds Hiển nhiên ta có - ( v^a; ( y) , (ỉ/, ứ (s ))) - / (y, ứ (s)) < H ( y , p ) Do (2 10) 'ỴV (y) + H ( y , p ) > h ( i ) Do sup ] ||rr (« , 2/ , ^ ) - J/|| : s G , ỉ ỉ —^ 00, lim hi (i) = lim /i3 (i) = ỉ—y00 i— >00 Do hàm g Lipschitz theo X u g (y, u{ (s)) /3—tập K, tính /3—trơn cư y cho ta lim h2 (i) = Do lim h (i) = i— >00 i— >00 Cho i —^ 00 (|2 10Ị), ta thu rằng, V /3—nghiệm nhớt (2.7), V /3—nghiệm nhớt (2.7) 36 □ K ết luận Luận văn tìm hiểu vi phân tổng quát khả ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi 37 Tài liêu tham khảo [A] Tài liệu tiế n g V iệt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hầm, NXB Giáo dục [2] Đỗ Văn Lưu, Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kỹ th u ật Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ th u ật Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2003), Hầm thực Giải tích hàm , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ [B] Tài liệu tiế n g A nh [6] J M Borwein, J S Treiman and Q J Zhu, Necessary condi­ tions for constrained optimization problems with semicontinuous and continuous data, Transactions of the American M athem atical Society Vol 350, No (Jun., 1998), pp 2409-2429 38 [...]... Y 13 Chương 2 Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng Trong chương này ta sẽ trình bày khái quát những kiến thức về hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, dưới vi phân tổng quát, quy tắc tổng mờ và ứng dụng của nó trong vi c nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi Các kiến thức trong phần này chủ yếu được lấy từ [7],[8],[9] 2.1 Dưới vi phân tổ n g quát Cho X là... 2.1) Cho / : X —>■ R là hàm nửa liên tục dưới và / (я) < + 00 Ta nói rằng / là ß dưới khả vi nhớt và X* là một ß dưới đạo hàm nhớt của / tại X nếu tồn tại một hàm g là Lipschitz địa phương, sao cho g là ß —trơn tại X, v ßg (X) = X* và / —g đạt cực tiểu địa phương tại X Ta kí hiệu tập tấ t cả các ß dưới đạo hàm nhớt của / tại X là Dß f ( x ) và gọi là ß dưới vi phẫn nhớt của / tại X Cho / : X R là... —V là liên tục đều và bị chặn dưới Theo nguyên lý biến phân trơn, tồn tại X £ X và X* e D p ( v — ù) (z) sao cho X* + ị v c V và (u — V) (z) < inf (v — u) + £ X Theo Định lý 2.19 với /1 = V và /2 = —u, tồn tại Xi, X2 D p v { x 1) và x\ G Dp u (x2) thỏa mãn (i) II2?! — x\ị < Tj và \\x2 - z|| < 77; (ii) |l> (xi) —V (z)| < £ và \u (x2) — u ( x ) I < £] (iii) ||a;ĩ|| lỊrri - x 2\\ < £ và ll^ll 11^1 - x... đối với một số hàm tại cực tiểu của tổng Quy tắc này có ứng dụng quan trọng trong vi c chứng minh tính duy nhất nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi Đ ịn h lý 2.16 ([2], Định lý 2.9 ) Cho X ỉà không gian Banach với chuẩn tương đương P-trơn và /i, ,/jv ỉà các hầm nửa liên tục dưới trên X Giả sử rằng ( /i, ,/jv ) ỉà các hàm nửa liên tục dưới đều địa N phương và ^2 fn đạt cực tiểu địa phương tại... 0 là hằng số và u> : X X Xp —>■R là hàm liên tục với uj( 0,0) = 0 Giả sử u và V là hai hàm liên tục đều sao cho V bị chặn dưới và u bị chặn trên Nếu u là một /3—nghiệm nhớt dưới của (12.61) và V là một /3—nghiệm nhớt trên của (2.6) thì u < V 30 Chứng minh Cho E > 0 là một số dương tùy ý Theo giả thiết (j4), tồn tại TỊ £ (0,e) và một lân cận V của 0 trên x*p sao cho nếu 11^1 —£ 2II < 2TỊ và x\ — x *2... phải chứng minh rằng M > inf fn (z)- Để làm được điều X&E đó, để ý rằng ịịx^ — x* II —>■0 khi í —>■00 và ( / i , / j v ) là nửa liên tục n _ ị dưới đều trên E Khi đó ta có / M = U m N N í ^ 2 ỉn K ) + t X I \n=l I t I\x n — ( ||2 x «1 I n,m= l JV > lim i n f £ / n K ) > n= 1 JV i n f X I ĩn • n=l □ 21 2.2 Q uy tắ c tổ n g mờ Các định lí dưới đây là các quy tắc tổng mờ (quy tắc tính dưới vi phân của tổng. .. địa phương và khả vi Gâteaux (do đó khả vi Fréchet) sao cho к (0) = g (0) = 0, V Gfc(0) = V е g (0) = 0 và к < g trong một lân cận của 0 Do đó, I/ (0 + h) - / (0) - V е / (0) h\ ^ IN I k ( h ) - k ( 0 ) ^ \ k (h) - к (0)1 IN I IWI ' Có nghĩa rằng / khả vi Fréchet tại 0, mâu thuẫn □ Đ ịn h lý 2 12 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, [8J, Định lý 1.6) Cho f : X —>■R ỉ.s.c, £ > 0 và X > 0 Giả... điều phải chứng minh □ H ệ q u ả 2.22 ([7J, Hệ quả 3.3 ) Dưới giả thiết của Định ỉý 2.21, bất ỳ P—nghiệm nhớt của (2 6 ) bị chặn và liên tục đều là duy nhất Tiếp theo ta đề cập tới một ứng dụng cụ thể của /3—nghiệm nhớt thông qua vi c chỉ ra hàm giá trị tối ưu của một bài toán điều khiển tối ưu là /3—nghiệm nhớt của phương trình HJ tương ứng Cho X là không gian Banach với chuẩn /3—trơn và u là không... đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Fréchet ii) Họ W H gồm tấ t cả mọi tập con compac yếu, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard yếu iii) Họ H gồm tấ t cả mọi tập con compac, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard iv) Họ G gồm tấ t cả mọi tập con hữu hạn, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Gâteaux Từ nay về sau... tục dưới thì /1 + / 2cũng nửa liên tục dưới là một họ các hàm l.s.c thì f ( x ) = supiej fi(x) cũng Ỉ S C 16 g) Nếu f l s с và E с X là tập compac thì f đạt giá trị lớn nhất trên E Từ nay về sau chúng ta luôn xét các hàm với giá trị thực mở rộng, nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) và chính thường(proper) Đ ịn h n g h ĩa 2.7 (Hàm ß —khả vi) Cho hàm / xác định trên X , ta nói rằng / là ß -khả vi