Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng (LV01636)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGÔ THỊ BÌNH DƯỚI VI PHÂN TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận văn, tác giả nhận động viên, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp, người thân, thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, thầy, cô phòng Sau đại học thầy, cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin cảm ơn tất người hỗ trợ để hoàn thành Luận văn Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến TS Trần Văn Bằng, người thầy định hướng bảo tận tình để hoàn thành Luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, 20 tháng năm 2015 Tác giả Ngô Thị Bình Lời cam đoan Luận văn kết thân tác giả đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cô khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn tác giả tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài “Dưới vi phân tổng quát ứng dụng” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, 20 tháng năm 2015 Tác giả Ngô Thị Bình Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm không gian Banach 1.2 Hàm khả vi không gian Banach Chương Dưới vi phân tổng quát ứng dụng 14 2.1 Dưới vi phân tổng quát 14 2.2 Quy tắc tổng mờ 22 2.3 Ứng dụng 29 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Bảng kí hiệu R: Tập số thực R: Tập hợp số thực mở rộng R = R ∪ (+∞) X: Là không gian Banach X∗ : Là không gian đối ngẫu không gian Banach X X ∗∗ : Là không gian liên hợp thứ hai không gian X Xβ∗ : Là không gian đối ngẫu không gian Banach X với tô pô hội tụ tập β BX : Hình cầu đơn vị X SX : Mặt cầu đơn vị X E: Là tập đóng X L: Là không gian hữu hạn chiều X L⊥ Là không gian trực giao L f : X → Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y · : Chuẩn không gian Banach X x∗ , x : Giá trị hàm x∗ x β: họ tập đóng, bị chặn, đối xứng tâm X sup : Cận inf : Cận diam(S) : Đường kính tập S cl : Bao đóng co : Bao lồi cl co : Bao lồi đóng l.s.c Nửa liên tục U, V : Các lân cận f (x, d) : Đạo hàm f theo phương d x DF f (x) : Tập tất đạo hàm nhớt Fréchet f x DG f (x) : Tập tất đạo hàm nhớt Gâteaux f x Dβ− f (x) : Tập tất β− đạo hàm nhớt f x Dβ+ f (x) : Tập tất β−trên đạo hàm nhớt f x ∇f (x) : Đạo hàm Fréchet f x ∇β f (x) : β− đạo hàm f x ∂β f (x) : β− vi phân f x ∂G f (x) : Dưới vi phân Gâteaux f x Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích không trơn đời năm 70 kỷ 20 nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho toán với kiện không trơn, với kiện Lipschitz hay với kiện nửa liên tục Cho tới có nhiều khái niệm "đạo hàm suy rộng" đưa thường gọi tên "dưới vi phân" như: vi phân suy rộng Clark, vi phân Frechet, vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đáp ứng phần yêu cầu đặt Dưới vi phân chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân "đơn" vi phân "ngặt" Dưới vi phân đơn định nghĩa điểm không đòi hỏi tính chất khả vi hàm lân cận điểm Thường vi phân đơn khái quát hóa khái niệm đạo hàm cổ điển (như vi phân Frechet, Gâteaux, Dini ) Ngược lại với vi phân đơn, vi phân ngặt đòi hỏi tính khả vi hàm lân cận điểm định nghĩa Thông thường, vi phân ngặt biểu diễn giới hạn vi phân đơn Những khái niệm không ngừng phát triển ngày tỏ có nhiều ứng dụng giải tích phi tuyến lý tuyết tối ưu Tuy nhiên nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần tiếp tục tìm hiểu khai thác Được hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, chọn đề tài nghiên cứu: "Dưới vi phân tổng quát ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vi phân tổng quát ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống tổng hợp kiến thức vi phân tổng quát số ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân tổng quát ứng dụng Phạm vi: Nghiên cứu lớp hàm nửa liên tục Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết tối ưu Những đóng góp Luận văn Tìm hiểu khái niệm vi phân tổng quát Tổng hợp, hệ thống số kết nhà khoa học nghiên cứu công bố vi phân tổng quát ứng dụng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Banach, hàm khả vi không gian Banach tính chất hàm Lipschitz Những kiến thức chương lấy chủ yếu từ [1],[2],[3],[4],[9],[10] 1.1 Một số khái niệm không gian Banach Mục trình bày khái niệm, tính chất không gian Banach không gian liên hợp Cho X không gian vectơ tập số thực R Định nghĩa 1.1 ([1], trang 11-12) Một chuẩn X, kí hiệu · , ánh xạ từ X vào R thỏa mãn tiên đề sau: Với ∀u, v ∈ X α ∈ R (i) u ≥ (với u số thực không âm) (ii) u = u = (iii) αu = |α| u (iv) u + v ≤ u + v (bất đẳng thức tam giác ) x∗n diam ({x1 , , xN }) < ε, với n = 1, 2, , N N ∗ x∗n + V x ∈ n=1 Chứng minh Cho ε > V lân cận yếu* X ∗ Cố định r > 0, tồn không gian hữu hạn chiều L X chứa x Vβ lân cận Xβ∗ cho Vβ + L⊥ + rBX ∗ ⊂ V Do x∗ ∈ Dβ− N fn (x) , nên tồn hàm g Lipschitz địa phương n=1 cho g β−trơn x với ∇β g (x) = x∗ N fn − g đạt tới cực n=1 tiểu địa phương x Chọn < η < (ε, r) cho y − x < η < ε suy ∇β g (x) − ∇β g (y) ∈ Vβ gọi δL hàm L Khi N fn − g + δL đạt n=1 cực tiểu địa phương x Theo Mệnh đề 2.14 (f1 , , fN , −g, δL ) nửa liên tục địa phương Theo Định lí 2.16 tồn xn với n = 1, , N + cho xn − x < η < ε, n = 1, , N + 2, x∗n ∈ Dβ− f (xn ), n = 1, , N, x∗N +1 = −∇β g(xN +1 ) x∗N +2 ∈ Dβ δL (xN +2 ) thỏa mãn kết luận Định lí 2.16, tức |fn (xn ) − fn (x)| < η < ε, x∗n diam({x1 , , xN }) ≤ x∗n diam({x1 , , xN +2 }) < η < ε với n = 1, , N, |δL (xN +2 )−δL (x)| < η tức xN +2 ∈ L N x∗n − ∇β g(xN +1 ) + x∗N +2 ∈ rBX ∗ n=1 Chú ý Dβ− δL (xN +2 ) = L⊥ x∗ − ∇β g(xN +1 ) ∈ Vβ Tiếp theo kết mạnh 25 Định lý 2.18 ([7], Định lý 2.11) Cho β borno lồi X không gian Banach với chuẩn tương đương β−trơn Cho f1 , , fN N hàm nửa liên tục x ∈ ∩ dom (fn ) Khi với x∗ ∈ n=1 N fn (x) , ε > lân cận yếu* V X ∗ , tồn ∂β n=1 xn ∈ x+εB, x∗n ∈ Dβ− fn (xn ) với n = 1, , N cho |fn (xn ) − fn (x)| < ε, x∗n diam ({x1 , , xN }) < ε, n = 1, 2, , N N ∗ x∗n + V x ∈ n=1 Chứng minh Cho ε > V lân cận yếu * X ∗ Cố định r > 0, tồn không gian hữu hạn chiều L X chứa x cho L⊥ + 2rBX ∗ ⊂ V Lấy x∗ ∈ ∂β N fn (x) Khi đó, với bất n=1 kì K ∈ β N lim+ inf inf t −1 (fn (x + h) − fn (x)) − x∗ , h h∈tK t→0 ≥ (2.5) n=1 Chọn K ∈ β chứa giao L với hình cầu nhỏ tâm Khi (2.5) suy N lim+ inf inf t t→0 −1 h∈tB∩L (fn (x + h) − fn (x)) − x∗ , h ≥ n=1 Do L không gian hữu hạn chiều, nên điều tương đương với N lim y−x →0 inf inf y−x∈L y−x −1 (fn (y) − fn (x)) − x∗ , y − x ] ≥ [ n=1 Do đó, tồn η < r cho hàm N fn (y) − x∗ , y + r y − x + δL (y) y→ n=1 26 đạt cực tiểu theo y x + ηB y = x Theo Mệnh đề 2.14 Ánh xạ y → (f1 (y), , fN (y), − x∗ , y , r y − x , δL (y)) nửa liên tục địa phương Áp dụng Định lý 2.16, tồn xn , với n = 1, , N + với xn − x < η < ε, n = 1, , N +3, x∗n ∈ Dβ− f (xn ) , n = 1, , N x∗N +1 = −x∗ , x∗N +2 ∈ rDβ− xN +2 − x x∗N +3 ∈ Dβ− δL (xN +3 ) cho |fn (xn ) − fn (x)| < η < ε x∗n diam({x1 , , xN }) < x∗n diam({x1 , , xN +3 }) < η < ε với n = 1, , N, |δL (xN +3 ) − δL (x)| < η tức xN +3 ∈ L N x∗n − x∗ + x∗N +2 + x∗N +3 ∈ rBX ∗ n=1 Thấy Dβ− δL (xN +3 ) = L⊥ rDβ− xN +2 − x ⊂ rBX ∗ , ta thu N ∗ N x∗n x ∈ ⊥ x∗n + V + L + 2rBX ∗ ⊂ n=1 n=1 Định lý 2.19 ([7], Định lý 2.12 ) Cho X không gian Banach với chuẩn β−trơn tương đương Cho f1 , , fN hàm nửa liên tục dưới, với (có thể trừ một) hàm fn , n = 1, , N liên tục địa N phương x ∈ ∩ dom (fn ) n=1 Khi đó, với x∗ ∈ Dβ− ( N fn )(x), ε > β−lân cận V n=1 Xβ∗ tồn xn ∈ x + εB, x∗n ∈ Dβ− fn (xn ), n = 1, , N, cho 27 |fn (xn ) − fn (x)| < ε, x∗n diam ({x1 , , xN }) < ε, với n = 1, 2, , N N ∗ x∗n + V x ∈ n=1 Chứng minh Cho ε > V lân cận Xβ∗ Với r > 0, giả sử U lân cận ∈ Xβ∗ cho U + rBX ∗ ⊂ V N Lấy x∗ ∈ Dβ− fn (x) Khi tồn hàm g β−trơn x n=1 N cho ∇β g (x) = x∗ fn − g đạt cực tiểu địa phương x Chọn n=1 < η < ε cho y − x < η < ε suy ∇β g (x) − ∇β g (y) ∈ U Theo Mệnh đề 2.14, (f1 , , fN , −g) nửa liên tục địa phương Theo Định lí 2.16, tồn xn , n = 1, , N + với xn − x < η < ε, n = 1, , N + 1, x∗n ∈ Dβ− fn (xn ) với n = 1, , N x∗N +1 = −∇β g (xN +1 ) , cho |fn (xn ) − fn (x)| < η < ε, x∗n diam ({x1 , , xN }) < ε với n = 1, , N N x∗n − ∇β g (xN +1 ) < r n=1 Do đó, N ∗ x ∈ ⊂ x∗n + ∇β g (x) − ∇β g (xN +1 ) + rBX ∗ n=1 N x∗n n=1 N x∗n + V + U + rBX ∗ ⊂ n=1 28 2.3 Ứng dụng Trong phần ta tìm hiểu nghiệm nhớt phương trình HamiltonJacobi (gọi tắt phương trình HJ) không gian X nói chung không gian Banach có chuẩn tương đương β−trơn Cụ thể ta xét phương trình đạo hàm riêng F (x, u, Du) = 0, x ∈ X, (2.6) F : X × R × X ∗ → R hàm cho u : X → R ẩn hàm cần tìm Phương trình chứa lớp phương trình HJ liên kết với hàm giá trị tối ưu số toán điều khiển tối ưu Nói chung, (2.6) nghiệm cổ điển Khái niệm nghiệm nhớt phương trình Crandall Lions giới thiệu từ đầu thập niên 80 kỉ trước Cho đến nay, khái niệm chứng minh thích ứng tốt không với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp mà với lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai Khái niệm ban đầu nghiệm nhớt định nghĩa thông qua đạo hàm Fréchet, áp dụng tốt không gian Banach có chuẩn tương đương Fréchet-trơn (thường gọi tắt không gian trơn Fréchet) Đối với không gian không trơn Fréchet, ta cần có khái niệm tương thích Định nghĩa 2.20 ([7], Định nghĩa 3.1 ) Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương β−trơn Một hàm u : X → R β−nghiệm nhớt (2.6) u nửa liên tục với x ∈ X 29 x∗ ∈ Dβ+ u (x) ta có F (x, u (x) , x∗ ) ≤ Một hàm u : X → R β−nghiệm nhớt (2.6) u nửa liên tục với x ∈ X x∗ ∈ Dβ− u (x) ta có F (x, u (x) , x∗ ) ≥ Một hàm liên tục u gọi β−nghiệm nhớt u vừa β−nghiệm nhớt trên, vừa β−nghiệm nhớt Đối với nghiệm nhớt phương trình không gian Banach trơn Fréchet, tính chất định tính đề cập đầy đủ, từ tồn tại, phụ thuộc liên tục, tính (xem [7], [11] tài liệu đó), vấn đề nghiệm đặc biệt ý Sau kết tính chất β−nghiệm nhớt Định lý 2.21 ([7], Định lý 3.2 ) Cho X không gian Banach với chuẩn tương đương β−trơn Giả sử γ > 0, F (x, u, x∗ ) = γu + H (x, x∗ ) H : X × Xβ∗ → R thỏa mãn giả thiết sau: (A) Với x1 , x2 ∈ X x∗1 , x∗2 ∈ Xβ∗ , |H(x1 , x∗1 ) − H(x2 , x∗2 )| ≤ ω(x1 − x2 , x∗1 − x∗2 ) + M max( x∗1 , x∗2 ) x1 − x2 , M > số ω : X × Xβ∗ → R hàm liên tục với ω (0, 0) = Giả sử u v hai hàm liên tục cho v bị chặn u bị chặn Nếu u β−nghiệm nhớt (2.6) v β−nghiệm nhớt (2.6) u ≤ v 30 Chứng minh Cho ε > số dương tùy ý Theo giả thiết (A), tồn η ∈ (0, ε) lân cận V Xβ∗ cho x1 − x2 < 2η x∗1 − x∗2 ∈ V, |H (x1 , x∗1 ) − H (x2 , x∗2 )| ≤ ε + M max ( x∗1 , x∗2 ) x1 − x2 Hàm u − v liên tục bị chặn Theo nguyên lý biến phân trơn, tồn x ∈ X x∗ ∈ Dβ− ( v − u) (x) cho x∗ + 21 V ⊂ V (u − v) (x) < inf (v − u) + ε X Theo Định lý 2.19 với f1 = v f2 = −u, tồn x1 , x2 ∈ X, x∗1 ∈ Dβ− v (x1 ) x∗2 ∈ Dβ+ u (x2 ) thỏa mãn (i) x1 − x < η x2 − x < η; (ii) |v (x1 ) − v (x)| < ε |u (x2 ) − u (x)| < ε; (iii) x∗1 x1 − x2 < ε x∗2 x1 − x2 < ε; (iv) x∗1 − x∗2 − x∗ ∈ 21 V Do hàm u nghiệm nhớt (2.6) nên ta có F (x2 , u (x2 ) , x∗2 ) = γu (x2 ) + H (x2 , x∗2 ) ≤ Tương tự F (x1 , v (x1 ) , x∗1 ) = γv (x1 ) + H (x1 , x∗1 ) ≥ 31 Khi x1 − x2 < 2η x∗1 − x∗2 ∈ V nên inf (v − u) > (v − u) (x) − ε > v (x1 ) − u (x2 ) − 3ε X ≥ γ −1 [H (x2 , x∗2 ) − H (x1 , x∗1 )] − 3ε ≥ −γ −1 [ε + M max ( x∗1 , x∗2 ) x1 − x2 ] − 3ε ≥ −γ −1 [(1 + M ) + 3] ε Do ε tùy ý nên inf (v − u) ≥ Vậy ta có điều phải chứng minh X Hệ 2.22 ([7], Hệ 3.3 ) Dưới giả thiết Định lý 2.21, β−nghiệm nhớt (2.6) bị chặn liên tục Tiếp theo ta đề cập tới ứng dụng cụ thể β−nghiệm nhớt thông qua việc hàm giá trị tối ưu toán điều khiển tối ưu β−nghiệm nhớt phương trình HJ tương ứng Cho X không gian Banach với chuẩn β−trơn U không gian metric Bây ta xét toán điều khiển tối ưu sau X ∞ P(x): Min J (x, u) := e−γs f (x (s) , u (s)) ds với điều kiện · x (s) = g (x (s) , u (s)) x (0) = x, u ∈ U g : X × U → R liên tục Lipschitz theo x U tồn K ∈ β cho g (x, U ) ⊂ K với x ∈ X, f : X × U → R liên tục, bị chặn, liên tục theo x U 32 U := {u : u đo u (t) ∈ U với t ∈ [0, ∞) h.k.n} · Dưới giả thiết đó, cho x ∈ X u ∈ U, x (s) = g (x (s) , u (s)), x (0) = x toán có nghiệm xác định [0, ∞), kí hiệu x (s, x, u) Do f bị chặn nên toán xác định Kí hiệu hàm giá trị P (x) V (x) Khi ta có định lý sau Định lý 2.23 ([7], Định lý 3.9, Nguyên lý quy hoạch động) Với t>0 t V (x) = inf { e−γs f (x(s, x, u), u(s))ds + e−γt V (x(t, x, u))} u∈U Cho H : X × X ∗ → R xác định H (x, p) = sup {− p, g (x, u) − f (x, u)} u∈U Ta chứng minh định lý sau Định lý 2.24 ([7], Định lý 3.10) V β-nghiệm nhớt phương trình HJ γV (x) + H (x, DV (x)) = (2.7) Chứng minh Do f bị chặn nên V bị chặn Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, f liên tục theo x U nên ta chứng minh V liên tục đều.Ta trực tiếp kiểm tra H(x, p) thỏa mãn giả thiết (A) Khi tính suy trực tiếp từ Hệ 2.22 Do đó, ta cần V β−nghiệm nhớt (2.7) a Nghiệm nhớt Cho phần tử y ∈ X cho p ∈ Dβ+ V (y) Khi tồn hàm ω β−trơn Lipschitz địa phương cho ∇β ω (y) = p, 33 y cực đại (địa phương ) V − ω (V − ω) (y) = Để ý ω phụ thuộc vào y p không đổi từ sau Theo nguyên lý quy hoạch động với u ∈ U t > t e−γs f (x (s, y, u) , u (s))ds + e−γs V (x (t, y, u)) ω (y) = V (y) ≤ (2.8) Do ω β−trơn Lipschitz địa phương x, nên tồn η > cho ω Lipschitz ∇β ω tồn y + ηB Khi ω khả vi Hadamard ∇β ω = ∇H ω y + ηB Thấy {x (s, y, u) : s ∈ [0, 1]} compact, t > đủ nhỏ ta có d −γt [e ω(x(t, y, u))] = −e−γt γω(x(t, y, u)) dt + e−γt ∇β ω(x(t, y, u)), g(x(t, y, u), u(t)) Do đó, ta viết (2.8) sau t t−1 e−γt [γω(x(s, y, u)) − ∇β ω(x(s, y, u)), g(x(s, y, u), u(s)) − f (x(s, y, u), u(s))]ds ≤ Cố định tùy ý v ∈ U đặt u (s) = v với s ∈ [0, t] ta t−1 e−γt [γω(x(s, y, u)) − ∇β ω(x(s, y, u)), g(x(s, y, u), v) − f (x(s, y, u), v)]ds ≤ Lấy giới hạn t → 0, để ý hàm dấu tích phân liên tục 34 theo s x (0, y, u) = y, ta có γV (y) − p, g(y, v) − f (y, v) = γω(y) − ∇β ω(y), g(y, v) − f (y, v) ≤ Do γV (y) + H (y, p) ≤ Điều có nghĩa là, V β−nghiệm nhớt (2.7) b Nghiệm nhớt Cho phần tử y ∈ X cho p ∈ Dβ− V (y) Khi tồn hàm ω β−trơn cho ∇β ω (y) = p y cực tiểu (địa phương) V − ω (V − ω) (y) = Theo nguyên lý quy hoạch động với số nguyên i, tồn ui ∈ U cho ω(y) + 1 = V (y) + i i 1/i ≥ e −γs i i f (x, (s, y, u ), u (s))ds + e −γ/i V (x( , y, ui )) i (2.9) Lí luận tương tự ta có 1/i +i i e−γt [γω(x(s, y, ui )) − ∇β ω(x(s, y, ui )), g(x(s, y, ui ), ui (s)) − f (x(s, y, ui ), ui (s))]ds ≤ Ta viết lại bất đẳng thức sau 1/i [− ∇β ω(x(y)), g(y, ui (s)) − f (y, ui (s))]ds ≥ h(i) γω(y) + i h (i) = − + h1 (i) + h2 (i) + h3 (i) i 35 hj xác định sau 1/i e−γs γω(x(s, y, ui ))ds, h1 i) := γω(y) − i 1/i [e−γs ∇β ω(x(s, y, ui )), g(x(s, y, ui ), ui (s)) h2 (i) := i − ∇β ω(y), g(y, ui (s)) ]ds 1/i [e−γt f (x(s, y, ui ), ui (s)) − f (y, ui (s))]ds h3 (i) := i Hiển nhiên ta có − ∇β ω (y) , g y, ui (s) − f y, ui (s) ≤ H (y, p) Do γV (y) + H (y, p) ≥ h (i) (2.10) Do sup x s, y, ui − y : s ∈ 0, i →0 i → ∞, lim h1 (i) = lim h3 (i) = i→∞ i→∞ Do hàm g Lipschitz theo x U g y, ui (s) β−tập K, tính β−trơn ω y cho ta lim h2 (i) = Do lim h (i) = i→∞ i→∞ Cho i → ∞ (2.10), ta thu rằng, V β−nghiệm nhớt (2.7), V β−nghiệm nhớt (2.7) 36 Kết luận Luận văn tìm hiểu vi phân tổng quát khả ứng dụng việc nghiên cứu nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi 37 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Đỗ Văn Lưu, Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ [B] Tài liệu tiếng Anh [6] J M Borwein, J S Treiman and Q J Zhu, Necessary conditions for constrained optimization problems with semicontinuous and continuous data, Transactions of the American Mathematical Society Vol 350, No (Jun., 1998), pp 2409-2429 38 [7] J M Borwein and Q J Zhu (1996), Viscosity solutions and viscosity subderivatives in smooth Banach spaces applications to metric regularity, CECM Research Report 94-42 (1994), SIAM J Control and Optimization 34, 1568-1591 [8] J M Borwein and Q J Zhu (1999), A survey of subdifferential calculus with applications, Journal nonlinear analysis, Vol 38, p 687-773 [9] H Brezis (2011), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer [10] R Deville, G Godefroy and V Zizler (1993), Smoothness and renormings in Banach spaces, Longman Scientific Technical [11] M Bardi, I Capuzzo-Dolcetta (1997), Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, Birkhauser [12] A Y Kruger (2003), On Frechet subdifferentials, Journal of Mathematical Sciences 9, pp 3325-3358 39 [...]... Y 13 Chương 2 Dưới vi phân tổng quát và ứng dụng Trong chương này ta sẽ trình bày khái quát những kiến thức về hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, dưới vi phân tổng quát, quy tắc tổng mờ và ứng dụng của nó trong vi c nghiên cứu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi Các kiến thức trong phần này chủ yếu được lấy từ [7],[8],[9] 2.1 Dưới vi phân tổng quát Cho X là... nửa liên tục dưới và f (x) < +∞ Ta nói rằng f là β dưới khả vi nhớt và x∗ là một β dưới đạo hàm nhớt của f tại x nếu tồn tại một hàm g là Lipschitz địa phương, sao cho g là β−trơn tại x, ∇β g (x) = x∗ và f − g đạt cực tiểu địa phương tại x Ta kí hiệu tập tất cả các β dưới đạo hàm nhớt của f tại x là Dβ− f (x) và gọi là β dưới vi phân nhớt của f tại x Cho f : X → R là hàm nửa liên tục trên và f (x) >... chứng minh rằng M ≥ inf fn (x) Để làm được điều x∈E n=1 đó, để ý rằng xtn − xtm → 0 khi t → ∞ và (f1 , , fN ) là nửa liên tục dưới đều trên E Khi đó ta có N M = lim t→∞ N fn xtn xtn − xtm +t n=1 n,m=1 N ≥ lim inf t→∞ N fn xtn n=1 21 ≥ inf x∈E fn (x) n=1 2 2.2 Quy tắc tổng mờ Các định lí dưới đây là các quy tắc tổng mờ (quy tắc tính dưới vi phân của tổng các hàm) đối với một số hàm tại cực tiểu của tổng. .. u − v là liên tục đều và bị chặn dưới Theo nguyên lý biến phân trơn, tồn tại x ∈ X và x∗ ∈ Dβ− ( v − u) (x) sao cho x∗ + 21 V ⊂ V và (u − v) (x) < inf (v − u) + ε X Theo Định lý 2.19 với f1 = v và f2 = −u, tồn tại x1 , x2 ∈ X, x∗1 ∈ Dβ− v (x1 ) và x∗2 ∈ Dβ+ u (x2 ) thỏa mãn (i) x1 − x < η và x2 − x < η; (ii) |v (x1 ) − v (x)| < ε và |u (x2 ) − u (x)| < ε; (iii) x∗1 x1 − x2 < ε và x∗2 x1 − x2 < ε; (iv)... M > 0 là hằng số và ω : X × Xβ∗ → R là hàm liên tục với ω (0, 0) = 0 Giả sử u và v là hai hàm liên tục đều sao cho v bị chặn dưới và u bị chặn trên Nếu u là một β−nghiệm nhớt dưới của (2.6) và v là một β−nghiệm nhớt trên của (2.6) thì u ≤ v 30 Chứng minh Cho ε > 0 là một số dương tùy ý Theo giả thiết (A), tồn tại η ∈ (0, ε) và một lân cận V của 0 trên Xβ∗ sao cho nếu x1 − x2 < 2η và x∗1 − x∗2 ∈ V,... này có ứng dụng quan trọng trong vi c chứng minh tính duy nhất nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi Định lý 2.16 ([7], Định lý 2.9 ) Cho X là không gian Banach với chuẩn tương đương β-trơn và f1 , , fN là các hàm nửa liên tục dưới trên X Giả sử rằng (f1 , , fN ) là các hàm nửa liên tục dưới đều địa N fn đạt cực tiểu địa phương tại x Khi đó với ε > 0 bất kì, ∃ phương và n=1 xn ∈ x + εB và x∗n... là Lipschitz địa phương và khả vi Gâteaux (do đó khả vi Fréchet) sao cho k (0) = g (0) = 0, ∇G k (0) = ∇G g (0) = 0 và k ≤ g trong một lân cận của 0 Do đó, f (0 + h) − f (0) − ∇G f (0) h k (h) − k (0) |k (h) − k (0)| ≤− ≤ h h h Có nghĩa rằng f khả vi Fréchet tại 0, mâu thuẫn Định lý 2.12 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss, [8], Định lý 1.6) Cho f : X → R l.s.c, ε > 0 và λ > 0 Giả sử u ∈ X thoả... có điều phải chứng minh X Hệ quả 2.22 ([7], Hệ quả 3.3 ) Dưới giả thiết của Định lý 2.21, bất kỳ β−nghiệm nhớt của (2.6) bị chặn và liên tục đều là duy nhất Tiếp theo ta đề cập tới một ứng dụng cụ thể của β−nghiệm nhớt thông qua vi c chỉ ra hàm giá trị tối ưu của một bài toán điều khiển tối ưu là β−nghiệm nhớt của phương trình HJ tương ứng Cho X là không gian Banach với chuẩn β−trơn và U là không gian... dưới thì f1 + f2 cũng nửa liên tục dưới f) Nếu (fi )i∈I là một họ các hàm l.s.c thì f (x) = supi∈I fi (x) cũng l.s.c 16 g) Nếu f l.s.c và E ⊂ X là tập compac thì f đạt giá trị lớn nhất trên E Từ nay về sau chúng ta luôn xét các hàm với giá trị thực mở rộng, nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên) và chính thường(proper) Định nghĩa 2.7 (Hàm β−khả vi) Cho hàm f xác định trên X, ta nói rằng f là β-khả vi. .. đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Fréchet ii) Họ W H gồm tất cả mọi tập con compac yếu, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard yếu iii) Họ H gồm tất cả mọi tập con compac, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Hadamard iv) Họ G gồm tất cả mọi tập con hữu hạn, đối xứng tâm của X là một borno trên X và gọi là borno Gâteaux Từ nay về sau ta