Dưới vi phân clarke và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— PHẠM THANH ĐỨC DƯỚI VI PHÂN CLARKE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— PHẠM THANH ĐỨC DƯỚI VI PHÂN CLARKE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Phạm Thanh Đức LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Phạm Thanh Đức v Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt vii Mở đầu ix Nội dung 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Tôpô yếu và tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Tôpô yếu và tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Hàm số khả vi trên không gian Banach . . . . . . . . . . 5 1.4 Hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dưới vi phân Clarke 14 2.1 Một số định nghĩa và những tính chất cơ bản . . . . . . 14 2.1.1 Khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương . . . . 14 2.1.2 Dưới vi phân Clarke và các tính chất . . . . . . . 17 2.2 Những phép tính cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Phép nhân với một số . . . . . . . . . . . . . . . 23 vi 2.2.2 Tổng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Gradient suy rộng của hàm hợp . . . . . . . . . . 25 2.2.4 Gradient suy rộng của tích và thương hai hàm . . 32 2.3 Những khái niệm hình học liên kết . . . . . . . . . . . . 32 3 Ứng dụng vào lý thuyết tối ưu 38 3.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Quy tắc nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 vii Bảng kí hiệu và viết tắt R : Tập hợp các số thực. R n : Không gian thực n chiều. X : Không gian Banach. X ∗ : Không gian đối ngẫu của không gian Banach X. X ∗∗ : Không gian liên hợp thứ hai của không gian X. sup : Cận trên đúng. inf : Cận dưới đúng. Γ : X → 2 Y : Ánh xạ đa trị từ X vào tập con của Y . domf : Miền xác định hữu hiệu của f. epif : Đồ thị của hàm f. L (X, Y ) : Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y . viii ·, · : Tích vô hướng. co : Bao lồi. · : Chuẩn trong không gian Banach. ∂f (x) : Dưới vi phân của hàm f tại x. Y ⊂ X : Y là tập con của X. max : Giá trị lớn nhất. f 0 (x; v) : Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương v tại x. B (0, k) : Hình cầu đóng tâm 0, bán kính k. ix Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong thực tiễn cũng như trong lý thuyết chúng ta thường gặp những bài toán đòi hỏi phải khảo sát những hàm số không khả vi. Với những bài toán như thế, công cụ toán học “ phép tính vi phân cổ điển” tỏ ra không đủ để giải quyết chúng. Để đáp ứng nhu cầu giải quyết những bài toán có chứa yếu tố “không khả vi”, nhiều khái niệm vi phân suy rộng đã ra đời. Những năm 60 của thế kỷ 20, Rockafellar [7] đã xây dựng lý thuyết dưới vi phân cho các hàm lồi. Những năm 70 của thế kỉ 20, Clarke [6] đã xây dựng dưới vi phân cho các hàm Lipschitz địa phương. Từ đó đến nay các lý thuyết này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ ra có nhiều ứng dụng hiệu quả. Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu những khía cạnh khác nhau của lý thuyết dưới vi phân Clarke (xem [6 ], [7] và những tài liệu dẫn trong đó). Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "Dưới vi phân Clarke và ứng dụng" 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về lý thuyết dưới vi phân Clarke và ứng dụng. x 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống, tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân Clarke cùng một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Clarke và ứng dụng. Phạm vi: Lý thuyết dưới vi phân Clarke cùng một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyết toán tử. 6. Dự kiến đóng góp mới Nghiên cứu và làm rõ được khái niệm dưới vi phân Clarke. Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về dưới vi phân Clarke và ứng dụng. [...]... sử f : X → Y khả vi đồng đều theo mọi phương v tại điểm x, thì đạo hàm theo phương f (x; ) là ánh xạ liên tục từ X vào Y Như vậy trong chương này tôi đã nêu ra nhiều kiến thức như đã nói ở trên, ngoài ra còn đưa thêm vào các kiến thức về hàm lồi và các kiến thức này sẽ được áp dụng vào chương sau nhằm hỗ trợ phần chứng minh các định lý, mệnh đề, hệ quả 14 Chương 2 Dưới vi phân Clarke Chương này... Đổi vai trò v và w ta nhận được: f 0 (x; w) ≤ f 0 (x; v) + K v − w (2.4) Từ (2.3) và (2.4) suy ra f 0 (x; v) − f 0 (x; w) ≤ K v − w Như vậy f 0 (x; ) Lipschitz với hằng số K trên X (iii) Chứng minh f 0 (x; −v) = −f 0 (x; v): f 0 (x; −v) = lim sup x →x t→0 = lim sup u→x t→0 f (x − tv) − f (x ) t (−f ) (u + tv) − (−f ) (u) t = (−f )0 (x; v) 17 ( Đặt u = x − t ) 2.1.2 Dưới vi phân Clarke và các tính chất... đối ngẫu của X (X ∗ gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X) Khi đó ∂f (x) = ∂c f 0 (x; 0) trong đó ∂c f 0 (x; 0) là dưới vi phân của hàm lồi f 0 (x; ) tại 0 Chứng minh Thật vậy, theo định lí (2.1.2i), f 0 (x; ) cộng tính và thuần nhất dương Suy ra f 0 (x; ) lồi Suy ra dưới vi phân của hàm lồi f 0 (x; ) tại 0 có dạng: ∂c f 0 (x; 0) = ξ ∈ X ∗ : f 0 (x; u) − f 0 (x; 0) ≥ ξ, u , ∀u ∈ X = ξ ∈ X ∗ :... ta có: i f 0 (xi ; vi ) − 1 f (yi + ti vi ) − f (yi ) ≤ i ti f (yi + ti v) − f (yi ) f (yi + ti vi ) − f (yi + ti v) = + (2.2) ti ti i trong đó f 0 (xi ; vi ) = lim sup f (y+tvt)−f (y) y→xi t→0 Để ý rằng: f (yi +ti vi )−f (yi +ti v) ti ≤ K vi − v với i đủ lớn Khi đó từ (2.2) ta có lim sup f 0 (xi ; vi ) ≤ f 0 (x; v) i→∞ Do đó f 0 (.; ) nửa liên tục trên Ta chứng minh f 0 (.; ) Lipschitz trên X Với... chương sau nhằm hỗ trợ phần chứng minh các định lý, mệnh đề, hệ quả 14 Chương 2 Dưới vi phân Clarke Chương này trình bày các định nghĩa và tính chất cơ bản của dưới vi phân Clarke, các phép tính sơ cấp, nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến 2.1 2.1.1 Một số định nghĩa và những tính chất cơ bản Khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương Giả sử X là không gian Banach, f : X → R là hàm Lipschitz địa phương tại... tính chất dưới cộng tính f 0 (x; v + w) = lim sup y→x t→0 ≤ lim sup y→x t→0 + lim sup y→x t→0 f (y + tv + tw) − f (y) t f (y + tv + tw) − f (y + tv) t f (y + tv) − f (y) t = f 0 (x; w) + f 0 (x; v) bởi vì y + tv → x khi y → x và t → 0 Lấy các dãy {xi } và {vi } hội tụ đến xvà v (tương ứng) Theo định nghĩa 16 limsup, với ∀i, ∃yi ∈ X, ∃ti > 0 sao cho: yi − xi + ti < 1 , ta có: i f 0 (xi ; vi ) − 1 f... chính qui tại x); (ii)g khả vi chặt tại h (x) và n = 1 (trong trường hợp này phép toán Co có thể bỏ được); (iii) g chính qui tại h (x) và h khả vi chặt tại x (Đồng thời suy ra rằng f chính qui tại x và phép toán Co có thể bỏ được) Chứng minh Đặt n αi ζi :ζi ∈ ∂hi (x) , α ∈ ∂g (h (x)) S := i=1 Ta có S compăc, yếu* suy ra CoS compăc, yếu* Đồng thời nếu dimX 0, tồn tại lân cận U của x sao cho: f (x) − ε ≤ f (y) (∀y ∈ U ) Định nghĩa 1.4.12 ([4], tr.57) Nếu f (x) = +∞, thì f được gọi là nửa liên tục dưới tại x, nếu với mọi N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho: f (y) ≥ N (∀y ∈ U ) 1.4.3 Dưới vi phân của hàm lồi Định nghĩa 1.4.13 Đạo hàm của f... Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu tập ∂C f (x) = ∅ Định nghĩa 1.4.17 ([4], tr.135) Hàm f xác định trên X được gọi là lồi địa phương tại điểm x ∈ X, nếu đạo hàm theo phương f (x, ) tồn tại và lồi Định nghĩa 1.4.18 ([4], tr.135) Ánh xạ f : X → Y được gọi là khả vi đồng đều theo phương v tại điểm x, nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của v trong X và số λ0 > 0 sao cho: . thức về dưới vi phân Clarke cùng một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Clarke và ứng dụng. Phạm vi: Lý thuyết dưới vi phân Clarke. mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu " ;Dưới vi phân Clarke và ứng dụng& quot; 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về lý thuyết dưới vi phân Clarke và ứng dụng. x 3 góp mới Nghiên cứu và làm rõ được khái niệm dưới vi phân Clarke. Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về dưới vi phân Clarke và ứng dụng. 1 Chương 1 Một