Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I —————— x —————— NGUYEN VĂN DƯƠNG DƯéI VI PHÂN FRÉCHET VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Hà N®i-2012 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I —————— x —————— NGUYEN VĂN DƯƠNG DƯéI VI PHÂN FRÉCHET VÀ ÚNG DUNG Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Năng Tâm LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm, ngưòi thay hưóng dan truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý hoc v nghiờn cỳu khoa hoc Thay luụn đng viờn khích l¾ đe tác giá vươn lên hoc t¾p vưot qua nhung khó khăn chun mơn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac nhat đoi vói thay Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u Trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Tốn thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Tác giá Nguyen Văn Dương LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Tác giá Nguyen Văn Dương Mnc lnc Báng kí hi¾u viet tat vii Má đau x N®i dung 1 M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Khơng gian Banach không gian đoi ngau 1.2 Hàm vi không gian Banach 1.3 Ánh xa đa tr% 1.4 Hàm loi 1.5 Hàm Lipschitz 11 Dưái vi phân Fréchet 13 2.1 Đ%nh nghĩa nhung tính chat bán 13 2.2 Nhung phép tính sơ cap 26 2.3 Dưói vi phân Fréchet đao hàm theo hưóng .33 2.4 Nón pháp Fréchet 36 2.5 Nón pháp dưói vi phân .46 2.6 Đoi đao hàm Fréchet .49 Úng dnng 3.1 52 Nghiên cúu hàm giá tr% toi ưu 54 3.2 Nghiên cúu đieu ki¾n can toi ưu cho toán toi ưu 58 3.3 Nghiên cúu tính quy metric cna ánh xa đa tr% 66 Ket lu¾n 70 Tài li¾u tham kháo 71 vii Báng kí hi¾u viet tat R : T¾p hop so thnc R : Tắp so thnc mú rđng X: Khụng gian Banach X : Không gian đoi ngau cna không gian Banach X X∗∗ : Không gian liên hop thú hai cna không gian X sup : C¾n inf : C¾n dưói F (x, d) : Đao hàm cna F theo phương d tai x r ∇f (x) : Đao hàm Fréchet (Gâteaux) cna f tai x (∇f (x)) ∗ : Đao hàm liên hop vói ∇f (x) Q: Hình nón F : X ⇒ Y : Ánh xa đa tr% tù X vào Y f : X → Y : Ánh xa đơn tr% tù X vào Y domF : Mien xác đ%nh huu hi¾u cna F gphF : Đo th% cna hàm F epif : Trên đo th% cna hàm f F −1 : Y ⇒ X : Ánh xa ngưoc cna ánh xa đa tr% F (x∗, x) : Giá tr% cna hàm x∗ tai x cl : Bao đóng co : Bao loi cl co : Bao loi đóng "·" : Chuan không gian Banach "·"∗ : Chuan khơng gian đoi ngau ∂f (x) : Dưói vi phân Fréchet cna f tai x ∂+ f (x) : Khá vi Fréchet cna f tai x df (x) (z) :Đao hàm dưói cna f tai x theo hưóng z dwf (x) (z) : Đao hàm dưói yeu cna f tai x theo hưóng z N (x |Ω) : Nón pháp Fréchet vói Ω tai x N ((x, y) |gphF ) : Nón pháp Fréchet vói gphF tai (x, y) Ω ⊂ X : Ω t¾p cna X δΩ (u) : Hàm chí δΩ cna Ω dΩ (u) : Hàm khoáng cách dΩ cna Ω T (x |Ω) : Nón tiep tuyen vói Ω tai x Tw (x |Ω) : Nón tiep tuyen yeu vói Ω tai x ∂F (x, y) : Đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x, y) µ (x) : Hàm giá tr% toi ưu Bρ (x) : Hình cau đóng tâm x bán kính ρ Dρ (x) : Hình cau mó tâm x bán kính ρ lsc : Núa liên tuc dưói usc : Núa liên tuc f u → x : u → x f (u) → f (x) Ω u → x : u tien đen x vói u ∈ Ω w u → x : u tien đen x theo tôpô yeu X t ↓ : t lón 0, t tien đen Má đau Lí chon đe tài Giái tích khơng trơn đòi nhung năm 70 cna the ký 20 nhung nhà đieu khien hoc nhung nhà l¾p trình phi tuyen muon tìm đieu ki¾n can toi ưu cho tốn vói du li¾u khơng trơn ho¾c vói nhung hàm khơng trơn xuat hi¾n nhung tốn vói du li¾u trơn Hai ví du sau minh hoa bán chat không trơn xáy nhung tốn vói du li¾u tưóng chùng trơn Ví du Ta thưòng quan tâm đen tốn cnc đai cna hai ho¾c nhieu hàm so Cho f (x) = max(f1(x), f2(x)) Vói nhung hàm trơn đơn gián R, f1(x) = x f2(x) = −x ta nhắn oc f (x) = |x| l mđt hm khơng trơn Ví du Xét tốn cnc tieu đơn gián sau: Cnc tieu hàm f (x) vói đieu ki¾n g(x) = a x ∈ R é a ∈ R m®t tham so cho phép nhieu cna ràng bu®c Trong thnc te, van đe quan làm the đe biet đưoc mơ hình tương úng vói nhieu a Đe làm đieu ta can xét, chang han, hàm giá tr% toi ưu µ (a) = inf {f (x) : g (x) = a} Như m®t hàm so cna a Xét m®t ví du cu the vói hai hàm trơn f (x) = − cos x, g(x) = sin(6x) − 3x a ∈ −π , π úng vói x ∈ −π , π 2 6 Ta có the chí đưoc hàm µ (a) khơng trơn (thnc te khơng liên tuc) Đe xú lí linh hoat vói nhung tốn the, nhieu khái ni¾m (ii) Neu x m®t giá tr% cnc tieu đ%a phương đoi vói hàm h2 F (x) t¾p compact F (x) ∩ −Q = ∅ x m®t Q- giá tr% cnc tieu yeu đoi vói tốn (II3) Chúng minh (i) Tù đ%nh nghĩa (3.0.1) suy ton tai lân c¾n U cna x y ∈ F (x) cho xr ∈ U, F (xr) ⊂ y + Q; Đ¾c bi¾t F (x) ⊂ y + Q ⊂ F (x) + Q F (x) + Q = y + Q Đang thúc: h2 (x) = d (F (x) , −Q) = d (0, F (x) + Q) = d (0, y + Q) = d (y, −Q) (ii) Vì F (x) compact, ton tai y ∈ F (x) cho h2 (x) = d (y, −Q) Tù giá thiet, ton tai lân c¾n U cna x cho ∀xr ∈ U, h2 (x) ™ h2 (xr) Tuy nhiên, ton tai xr ∈ U yr ∈ F (xr) cho y − yr ∈ int Q Theo chúng minh phan (i) cna 3.2.1 d (y, −Q) > d (yr, −Q) “ d (F (xr) , −Q) (mâu thuan) V¾y đ%nh lý đưoc chúng minh Nh¾n xét 3.2.3 Hàm h1 khơng cung cap thơng tin huu ích tốn (II2) neu g (x) ∩ −Q ƒ= ∅, g (x) = {g (x) |x ∈ X } Tuy nhiên, trưòng hop này, neu g hàm b% ch¾n dưói (túc ∃y ∈ Y cho y ™ g (xr) ∀xr ∈ X) Lay q ∈ Q |{0} ta có the thay the hàm g vói g (·) = g (·) − y + q đe đưoc m®t hàm h1 vói giá tr% khác khơng: d (g (xr) , −Q) = d (0, g (xr) − y + q + Q) “ d (0, q + Q) > Đoi vói hàm h2 tốn (II3) ta có nh¾n xét tương tn Đoi vói tốn (II1) ta có ket tương tn tốn (II2) (II3) Bây giò trình bày chúng minh đieu ki¾n can toi ưu đoi vói tốn (II1) Đ%nh lí 3.2.4 ([9] Theorem 2.1) Cho X, Y khơng gian Banach, mà có nh¾n C1 − hàm phan tăng tùng khúc, trơn Lipschitz Giá sú, vói kí hi¾u mà F có đo th% đóng núa liên tnc (kí hi¾u: usc) Neu x ∈ A m®t giá tr% cnc tieu đ%a phương đoi vói tốn (II1), vói ∀ε > 0, U ∗ V ∗ ∗ lân c¾n yeu cúa X ∗ Y , ∃uε ∈ A ∩ B (x, ε) , xε ∈ B (x, ε) , yε ∈ F (xε) , zε ∈ C ∈ ∂F (xε, yε) (N (zε |C ) + V ∗) + N (uε |A) + U ∗ Hơn nua, d (yε, C) < h (x) + ε d (zε, Pr y (gphF ∩ (B (x, ε) xY ))) < h (x) + ε Chúng minh Xét hàm so h : X → R ∪ {∞} , h (u) := d (F (u) , C) Tù giá thiet, F usc, ta có the chúng minh rang h lsc Th¾t v¾y, xét u ∈ X < r < h (u) = d (F (u) , C), có θ > cho F (u) ∩ D (C, λ + θ) = ∅ Vì F usc tai u có the tỡm (xem[9]v nhung ti liắu dan ú) mđt lân c¾n U cna u cho vói ∀ur ∈ U quan h¾ F (ur) ∩ D (C, λ + θ) = θ Đieu suy d (F (ur) , C) “ λ + θ > λ vói ∀ur ∈ U , bói v¾y h lsc Khi x m®t giá tr% cnc tieu đ%a phương đoi vói tốn (II1) h (x) (II1) ∀x ∈ A Chí rang x m®t giá tr% cnc tieu đ%a phương vói hàm h + IA, tù đ %nh lý 2.2.1, suy ∈ ∂ (h + IA ) (x) Nhưng ∂ (h + IA) (x) thóa mãn tính chat (P2) X bói moi khơng gian Banach mà có C − hàm phan tăng tùng khúc, trơn Lipschitz không gian Asplund, đó: túc ∈ w∗ − lim ,∂h (z) + ∂I (u) ; z x, u −A x, , → A sup h → ∈ w∗ − lim ,∂h (z) + N (u |A) ; sup z→ h x, u − A (3.15) x, − → Muc đích cna chúng minh bieu thúc ∂h (z) Chúng ta có the viet h (z) = inf {"v − s" + IgphF ×Y (u, v, s) + IX×Y ×C (z, v, s) ; v ∈ Y, s ∈Y} Xét ϕ1 (z, v, s) := "v − s" , ϕ2 (z, v, s) := IgphF ×Y (z, v, s) ϕ3 (z, v, s) := IX×Y ×C (z, v, s) Lay x∗ ∈ ∂h (z), áp dung tính chat (P3), ta có ∗ (x∗, 0, 0) ∈ "." − lim sup {∂ (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3) (zr , vr , sr) ; zr → z (zr, vr ) ∈ gphF, sr ∈ C, "vr − sr" → h (z)} ⊂ w∗ − lim sup {∂ (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3) (zr , vr , sr) ; zr → z, (zr, vr) ∈ gphF, sr ∈ C, "vr − sr" → h(z)} Tù tính chat (P2) ó tính tốn, có ∂F (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3) (zr , vr , sr) ⊂ w∗ − lim sup {∂ϕ1 (z1, v1.s1) + ∂ϕ2 (z2, v2, s2) ϕi +∂ϕ3 (z3, v3, s3) ; (zi, vi, si) →(zr, vr , sr), i = 1, Tù quan h¾ ta có (x∗, 0, 0) ∈ w∗ − lim sup {∂ϕ1 (z1, v1.s1) + ∂ϕ2 (z2, v2, s2) + ∂ϕ3 (z3, v3, s3) (zi, vi) ∈ gphF, si ∈ C, zi → z, "vi − si" → h(z), i = 1, Rõ ràng ϕ1 m®t hàm loi áp dung đ%nh lý 2.1.2, ta có ∂ϕ1 (z1, v1, s1) ⊂ {0} × {(y∗, −y∗) , "y∗" ™ 1} M¾t khác, tù tính chat (P4) ∂ϕ2 (z2, v2, s2) = gph∂F (z2, v2) × {0} ∂F ϕ3 (z3, v3, s3) = {0} × {0} × N∂F (C, s3) , bây giò ta xét ε > 0, U ∗ V ∗ lân c¾n yeu cna X ∗ Y ∗ (tùy ý co đ%nh) Lay V lân c¾n yeu đoi xúng cna ∗ U∗ X ∗ Y ∗ tương úng vói U ∗ + U ∗ ⊂ U ∗ −V ∗ − V ∗ ⊂ V ∗ 1 1 ε Tù quan h¾ (3.15) ton tai sε ∈ B x, , uε ∈ A ∩ B (x, ε) cho |h (sε) − h (x)| ε < ∈ ∂h (sε) + N (uε |A) + U ∗ Lay s∗ ε ∈ ∂h (sε); ton tai (xε, yε) ∈ gphF vói xε ∈ B ∗ ∗ s , ε , (x , y ) ∈ gph∂F (xε, yε) , zε ∈ C o o ε vói ε |"yε − zε" − h (sε)| < (xr , yr ) ∈ gphF vói o x roB∈ ε r sε, ε ,z r ∈ |"yC, o ε r ∗ r ∗ − z " − h (s ε)| ε , z ∗ ∈ N (z |C ) , y ∈ < UY ε ε ε cho (s∗, 0, 0) ∈ (0, y∗, −y∗) + (x∗, y∗, 0) + (0, 0, z∗) + U ∗ × V ∗ × V ∗ o ε ε ε 1 Ket s∗ o ∗ ∗ ∈ ∂F (xε, yε) (−yε ) + U1 ⊂ ∂F (xε, yε) (y∗ − V ∗) + U ∗ o ⊂ ∂F (xε, yε) (N (zr |C ) + V ∗) + U ∗ o Bây giò có the viet ∈ ∂F (xε, yε) (N (zr |C ) + V ∗) + U ∗ + N (uε |A) + U ∗ ε h¾ thúc đưa đoi vói uε, xε, yε, zr ε đúng, ta có ket lu¾n V¾y đ%nh lí đưoc chúng minh Nh¾n xét 3.2.5 Neu X Y huu han chieu C b% ch¾n, núa liên tuc cna F khơng can thiet Trong trưòng hop h lsc: cho < λ < h (u) F (u) ∩D (C, λ) = ∅, the gphF ∩ ({u} × D (C, λ)) = ∅ Tù gphF l úng v ({u} ì D (C, )) t¾p compact, ton tai ε > cho gphF ∩ (B (u, ε) × B (C, λ + ε)) = ∅ vói moi ur ∈ B (u, ε) , d (F (ur) , C) > λ 3.3 Nghiên cNu tính quy metric cúa ánh xa đa tr% Trong phan này, trình bày đieu ki¾n kiem chúng theo quan điem cna đoi đao hàm Fréchet cna hàm đa tr% thóa mãn m®t so tính chat metric quy Các ket q trình bày đưoc lay tù [9] Cho f : X × Y → R ∪ {∞} Neu hàm g (·) = f (·, y) : X → R ∪ {∞} vói y ∈ Y co đ%nh lsc ta kí hi¾u ∂f (x, y) := ∂g (x) Sú dung kí hi¾u f+ (x, y) := max (f (x, y) , 0) S (y) := {x ∈ X; f (x, y) ™ 0} ket q dưói Đ%nh lí 3.3.1 ([9] Theorem 3.1) Cho X Y m®t khơng gian Asplund f : X × Y → R ∪ {∞} hàm giá tr% thnc mó r®ng cho vói moi y ∈ Y, f (·, y) lsc Neu ton tai a > cho vói moi x ∈ X y ∈/ S −1 (x) , d (0, ∂f (x, y)) “ a−1 , vói moi x ∈ X y ∈Y d (x, S (y)) ™ af+ (x, y) Đ%nh lí 3.3.2 ([9] Theorem 3.2) Cho X Y m®t khơng gian Asplund f : X × Y → R ∪ {∞} hàm giá tr% thnc mó r®ng cho vói moi y ∈ Y, f (·, y) lsc cho x ∈ S (y) Tuy nhiên ton tai a > 0, r > cho ∀u ∈ B (x, r) , ∀v ∈ B (y, r) \S−1 (u) , d (0, ∂f (u, v)) “ a−1 (3.16) r Khi vói moi u ∈ B x, v ∈ B (y, r) , d (u, S (v)) ™ af+ (u, v) Chúng minh Giá sú ngưoc lai ton tai u 2∈ B x, r v ∈ B (y, r) cho d (u, S (v)) > af+ (u, v) Khi d (u, S (v)) > 0, ta có u ∈/ S (v) Đ¾t ε = f+ (u, v) , λ = (a + α) ε vói α > cho λ < d (u, S (v)) Khi f+ (u, v) ™ inf f (ur, v) + ε + r u ∈B(x,r/2) Áp dung nguyên lí bien phân cna Ekeland cho hàm f+ (·, v) ([6], tr 47) Khi đó, ton tai ur ∈ B x, r thóa mãn "ur − u" ™ λ f+ (ur, v) ™ f+ (xr, v) + ελ−1 "xr − ur" , ∀xr ∈ r B x, Ta có "ur − u" ™ λ < d (u, S (v)) Neu ur ∈ S (v) S (v) ƒ= ∅, d (u, S (v)) = |d (ur, S (v)) − d (u, S (v))| ™ "ur − u" < d (u, S (v)) (mâu thuan) Suy ur ∈/ S (v) Áp dung đ%nh lý 2.2.1 (P2) cho hàm f+ (·, v) + ελ−1 "· − ur" ta có r ∗ r −1 ∈ "·" − lim sup ∂f1 (u , y) + ∂ ελ "· (u2 ) ; r −u" f (ur , v) → (ur, v) , ur → ur Vói m®t so θ ∈ R+ : θ < f (ur, v), θ < r u r , u r , x∗ , x∗ −1 θ < a−1(a + α) α Ton tai cho "ur1 − ur" < θ, "ur2 − ur" < θ, |f+ (ur1, v) − f+ (ur, v)| < θ, −1 ∗ ∗ ∗ ∗ x∗ ∗ r 1 ∈ ∂f+ (u , v) , x2 ∈ , "x2" ™ (a + X α) , "x1 + x2" < θ Rõ ràng f+ (ur1, v) > 0, ∈/ S (v) Tù f (·, v) lsc, trùng vói ∂f+ (ur1, v) = ∂f (ur1, y) ur f+ (·, v) mđt lõn cắn cna ur Ta cú "x∗" < "x∗" + θ < (a + α) + θ < a−1, "ur1 − x" < "ur1 − ur" + "ur − x" < θ + r/2 < r, mâu thuan vói giá thiet V¾y đ%nh lí đưoc chúng minh Cho A ⊂ X x ∈ X, kí hi¾u prθ (x, A) := {u ∈ A |"x − u" < d (x, A) + θ } Đ%nh lý sau cho ta m®t ket Đ%nh lí 3.3.3 ([9] Theorem 3.3) Cho X Y khơng gian Banach mà có C - hàm tăng tùng khúc, trơn Lipschitz Cho F : X ⇒ Y m®t hàm đa tr% vói đo th% đóng (x, y) ∈ GrF ; neu ton tai α > 0, r > cho vói moi u ∈ B (x, r), v ∈ B (y, r) \F (u) ton tai θ ∈ (0, 1), vói inf {"x∗" ; x∗ ∈ ∂F (ur, vr ) (y∗) , "y∗" = 1, r r (u , v ) ∈ pr ((u, v) , GrF ) > α θ ton tai a > cho d u, F −1 (v) ™ ad ((u, v) , GrF ), vói moi u ∈ B (x, r/2) v ∈ B (y, r) Phan chúng minh đ%nh lý đưoc trình bày [9], trang 310 Trong chương ta trình bày chúng minh ba ket q cna giái tích khơng trơn bao hàm dưói vi phân Fréchet Ket đau tiên đưa cơng thúc tính dưói vi phân Fréchet cna hàm giá tr% toi ưu tong quát Ket thú hai cung cap mđt ieu kiắn toi u can cho van e toi ưu hóa mà phát sinh tn nhiên tù m®t lóp van đe đưoc nghiên cúu r®ng Ket quỏ thỳ ba ta i thnh lắp mđt ieu kiắn đn ve tính quy metric cna m®t ánh xa đa tr% Ket lu¾n Đe tài nghiên cúu ve dưói vi phân Fréchet úng dung, trình bày m®t cách h¾ thong khái ni¾m tính chat ve không gian Banach, không gian đoi ngau, hàm vi không gian Banach ánh xa đa tr%, hàm loi, hàm Lipshitz Lu¾n văn nghiên cúu trình bày đ%nh nghĩa tính chat bán, nhung phép tính sơ cap cna dưói vi phân Fréchet, đao hàm theo hưóng, nón pháp Fréchet, đoi đao hàm úng dung cna đe nghiên cúu hàm giá tr% toi ưu, tốn toi ưu hóa, tính metric quy Dù có nhieu có gang chac chan lu¾n văn khơng tránh khói thieu sót Kính mong q thay ban góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Xuân Liêm (1997), Giái tích hàm, Nhà xuat bán Giáo duc [2] Đo Văn Lưu, Giái tích Lipschitz, Nh xuat bỏn khoa hoc v ky thuắt H Nđi [3] Đo Văn Lưu, Phan Huy Khái, Giái tích loi, Nh xuat bỏn khoa hoc v ky thuắt H Nđi [4] Nguyen Xuân Tan Nguyen Bá Minh (2005), M®t so van đe lý thuyet toi ưu vectơ đa tr%, Nhà xuat bán Giáo duc [5] Hoàng Tuy (1979), Giái tích hi¾n đai: 1, 2, 3, Nhà xuat bán Giáo duc [6] Nguyen Đơng n (2007), Giáo trình giái tích đa tr%, Nhà xuat bán Khoa hoc tn nhiên Cơng ngh¾ [B] Tài li¾u tieng Anh [7] A Ya Kruger (2003), "On Fréchet subdifferentials", Journal of Mathematical Sciences 9, pp 3325-3358 [8] B S Mordukhovich, N M Nam and N D Yen (2006), "Fréchet subdifferential calculus and optimality conditions in nondifferen- tiable programming", Optimization 55, pp 685-708 [9] M Durea (2003), "Applications of Fréchet subdifferential", Serdica Mathematica Journal 29, pp 301-314 [10] X Y Zheng and Kung Fu Ng (2009), Metric regularity of composite multifunctions in Banach spaces, Taiwanese Journal of Mathemat- ics 29, pp 1723- 1735 ... co đien: Dưói vi phân hàm loi, dưói vi phân Fréchet, dưói vi phân Dini, dưói vi phân suy r®ng Clarke, đoi đao hàm Mordukhovich (xem [6], [7], [8] nhung tài li¾u dan đó) Dưói vi phân có the chia... Dưói vi phân “đơn ” dưói vi phân “ng¾t ” Dưói vi phân đơn đưoc đ%nh nghĩa tai m®t điem co đ%nh khơng đưoc đưa vào tính chat vi phân cna m®t hàm m®t vùng lân c¾n cna Thưòng thưòng, dưói vi phân. .. húa mđt so khỏi niắm tớnh khỏ vi co đien (Fréchet, Gâteaux, Dini, ) Ngưoc lai vói dưói vi phân đơn, đ%nh nghĩa cna dưói vi phân ng¾t đưoc hop nhat vói tính chat vi phân cna m®t hàm gan m®t điem