Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— NGUYỄN VĂN DƯƠNG DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————  —————— NGUYỄN VĂN DƯƠNG DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Dương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Dương v Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt vii Mở đầu x Nội dung 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Không gian Banach và không gian đối ngẫu . . . . . . . 1 1.2 Hàm khả vi trên không gian Banach . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dưới vi phân Fréchet 13 2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản . . . . . . . . . . 13 2.2 Những phép tính sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Dưới vi phân Fréchet và đạo hàm theo hướng . . . . . . 33 2.4 Nón pháp Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Nón pháp và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6 Đối đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Ứng dụng 52 3.1 Nghiên cứu hàm giá trị tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . 54 vi 3.2 Nghiên cứu điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu . . . 58 3.3 Nghiên cứu tính chính quy metric của ánh xạ đa trị . . . 66 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 vii Bảng kí hiệu và viết tắt R : Tập hợp các số thực. R : Tập số thực mở rộng. X : Không gian Banach. X ∗ : Không gian đối ngẫu của không gian Banach X. X ∗∗ : Không gian liên hợp thứ hai của không gian X. sup : Cận trên đúng. inf : Cận dưới đúng. F  (x, d) : Đạo hàm của F theo phương d tại x. ∇f (x) : Đạo hàm Fréchet (Gâteaux) của f tại x. (∇f (x)) ∗ : Đạo hàm liên hợp với ∇f (x). Q : Hình nón. F : X ⇒ Y : Ánh xạ đa trị từ X vào Y . f : X → Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y . domF : Miền xác định hữu hiệu của F . gphF : Đồ thị của hàm F . epif : Trên đồ thị của hàm f. F −1 : Y ⇒ X : Ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị F . viii x ∗ , x : Giá trị của hàm x ∗ tại x. cl : Bao đóng. co : Bao lồi. cl co : Bao lồi đóng. · : Chuẩn trong không gian Banach. · ∗ : Chuẩn trong không gian đối ngẫu. ∂f (x) : Dưới vi phân Fréchet của f tại x. ∂ + f (x) : Khả vi Fréchet trên của f tại x. df (x) (z) : Đạo hàm dưới của f tại x theo hướng z. d w f (x) (z) : Đạo hàm dưới yếu của f tại x theo hướng z. N (x |Ω) : Nón pháp Fréchet với Ω tại x. N ((x, y) |gphF ) : Nón pháp Fréchet với gphF tại (x, y). Ω ⊂ X : Ω là tập con của X. δ Ω (u) : Hàm chỉ δ Ω của Ω. d Ω (u) : Hàm khoảng cách d Ω của Ω. T (x |Ω) : Nón tiếp tuyến với Ω tại x. T w (x |Ω) : Nón tiếp tuyến yếu với Ω tại x. ∂F (x, y) : Đối đạo hàm Fréchet của F tại (x, y). µ (x) : Hàm giá trị tối ưu. ix B ρ (x) : Hình cầu đóng tâm x bán kính ρ. D ρ (x) : Hình cầu mở tâm x bán kính ρ. lsc : Nửa liên tục dưới. usc : Nửa liên tục trên. u f → x : u → x và f (u) → f (x). u Ω → x : u tiến đến x với u ∈ Ω. u w → x : u tiến đến x theo tôpô yếu trong X. t ↓ 0 : t lớn hơn 0, t tiến đến 0. x Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi những nhà điều khiển học và những nhà lập trình phi tuyến muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ liệu không trơn hoặc với những hàm không trơn xuất hiện trong những bài toán với dữ liệu trơn. Hai ví dụ sau minh họa bản chất không trơn xảy ra trong những bài toán với dữ liệu tưởng chừng như là trơn. Ví dụ 1. Ta thường quan tâm đến bài toán cực đại của hai hoặc nhiều hàm số. Cho f(x) = max(f 1 (x), f 2 (x)). Với những hàm trơn đơn giản trên R, f 1 (x) = x và f 2 (x) = −x ta nhận được f(x) = |x| là một hàm không trơn. Ví dụ 2. Xét bài toán cực tiểu đơn giản sau: Cực tiểu hàm f(x) với điều kiện g(x) = a và x ∈ R. Ở đây a ∈ R là một tham số cho phép nhiễu của ràng buộc. Trong thực tế, vấn đề quan trọng là làm thế nào để biết được mô hình tương ứng với nhiễu a. Để làm điều đó ta cần xét, chẳng hạn, hàm giá trị tối ưu µ (a) = inf {f (x) : g (x) = a} . Như một hàm số của a. Xét một ví dụ cụ thể với hai hàm trơn f(x) = 1 − cos x, g(x) = sin(6x) −3x và a ∈  −π 2 , π 2  ứng với x ∈  −π 6 , π 6  . Ta có thể chỉ ra được hàm µ (a) không trơn (thực tế nó không liên tục). Để xử lí linh hoạt với những bài toán như thế, nhiều khái niệm [...]... thay thế đạo hàm cổ điển: Dưới vi phân hàm lồi, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Dini, dưới vi phân suy rộng Clarke, đối đạo hàm Mordukhovich (xem [6], [7], [8] và những tài liệu dẫn trong đó) Dưới vi phân có thể chia thành hai nhóm lớn: Dưới vi phân “đơn ” và dưới vi phân “ngặt ” Dưới vi phân đơn được định nghĩa tại một điểm cố định và nó không được đưa vào tính chất vi phân của một hàm trong một... hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và những kiến thức mới, mối quan hệ và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: "Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng" 2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu một cách hệ thống về dưới vi phân Fréchet như định nghĩa, tính chất, phép tính sơ cấp, nón pháp, đạo hàm theo hướng, dưới xii vi phân, đối đạo hàm và ứng dụng của dưới vi phân Frechet trong vấn đề tối ưu hóa... về dưới vi phân Fréchet cùng một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng Phạm vi: Những tính chất đơn giản và ứng dụng vào nghiên cứu điều kiện cần tối ưu, hàm giá trị tối ưu và tính chính quy metric của ánh xạ đa trị 5 Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng. .. thường, dưới vi phân khái quát hóa một số khái niệm tính khả vi cổ điển (Fréchet, Gâteaux, Dini, ) Ngược lại với dưới vi phân đơn, định nghĩa của dưới vi phân ngặt được hợp nhất với tính chất vi phân của một hàm gần một điểm cố định Thường thường, dưới vi phân ngặt có thể được biểu diễn như giới hạn của dưới vi phân đơn Những khái niệm này không ngừng phát triển và ngày càng tỏ ra có nhiều ứng dụng. .. hàm số khả vi trên không gian Banach, hàm lồi, hàm Lipschitz, trong đó có đưa vào một số ví dụ minh họa 13 Chương 2 Dưới vi phân Fréchet Chương này trình bày định nghĩa và tính chất cơ bản của dưới vi phân Fréchet, những phép tính sơ cấp, nón pháp và đạo hàm theo hướng, nón pháp và dưới vi phân, đối đạo hàm Các kết quả chủ yếu được chọn từ tài liệu [7], [9] Các khái niệm thông thường được sử dụng xuyên... nghiên cứu của giải tích hàm và lý thuyết tối ưu 6 Dự kiến đóng góp mới Nghiên cứu và làm rõ được khái niệm dưới vi phân Fréchet Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu và công bố về dưới vi phân Fréchet và ứng dụng 1 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về không gian Banach, hàm khả vi trên không gian Banach cùng... tỏ ra có nhiều ứng dụng hiệu quả trong giải tích phi tuyến và lí thuyết tối ưu (xem [5], [6], [7], [8] và những tài liệu dẫn trong đó) Trong những khái niệm vi phân mới, dưới vi phân Fréchet cũng đã tỏ ra rất hiệu quả trong ứng dụng Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu những khía cạnh khác nhau của lý thuyết dưới vi phân Fréchet (xem [6], [7], [8]) Sau khi được học những kiến thức... có điều phải chứng minh Nhận xét 2.1.3 Tập ∂f (x) có thể là tập rỗng Ví dụ 2.1.4 Ta lấy f : R → R : f (u) = − |u| , u ∈ R Xét x = 0, theo định nghĩa dưới vi phân Fréchet, ta có: f (u) − f (0) − x∗ , u 0 lim inf u→0 u − |u| − x∗ (u) ⇔ lim inf 0 u→0 |u| x∗ u ⇔ lim inf(−1 − ) 0 (không thỏa mãn) u→0 |u| Suy ra ∂f (0) = ∅ Trong phép hợp với dưới vi phân (2.1), ta có thể xét dưới vi phân Fréchet trên ∂ +... khả vi Gâteaux Trong trường hợp này cũng có các kết quả tương tự như trong các định lý 2.1.1 và 2.1.5 Nội dung của định lý dưới đây là một cách biểu diễn khác của định nghĩa dưới vi phân Fréchet Định lí 2.1.13 ([7] Proposition 1.5) Cho f : X → R Khi đó, x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi tồn tại một hàm số g : X → R sao cho (i) g (u) f (u) với mọi u ∈ X và g (x) = f (x) (ii) g là khả vi Fréchet tại x và g... xuyên suốt trong chương này X và Y được kí hiệu là không gian Banach và X ∗ và Y ∗ là không gian đối ngẫu của chúng x∗ , x là giá trị của hàm x∗ tại x Bρ (x) là một hình cầu đóng tâm x bán kính ρ Chúng ta kí hiệu Bρ thay cho Bρ (0) Các chuẩn trong không gian Banach và không gian đối ngẫu được kí hiệu tương ứng bởi · và · ∗ 2.1 Định nghĩa và những tính chất cơ bản Dưới vi phân Fréchet được biết đến từ nhiều . điển: Dưới vi phân hàm lồi, dưới vi phân Fréchet, dưới vi phân Dini, dưới vi phân suy rộng Clarke, đối đạo hàm Mordukhovich . . . (xem [6], [7], [8] và những tài liệu dẫn trong đó). Dưới vi phân. cùng một số ứng dụng của nó vào lý thuyết tối ưu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng. Phạm vi: Những tính chất đơn giản và ứng dụng vào nghiên cứu điều. hướng, dưới xii vi phân, đối đạo hàm. . . và ứng dụng của dưới vi phân Frechet trong vấn đề tối ưu hóa. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống, tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân Fréchet cùng một số ứng