Dưới vi phân clarke và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ YẾN DƯỚI VI PHÂN CLARKE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ YẾN DƯỚI VI PHÂN CLARKE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - Năm 2017 Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt Lời cảm ơn Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Tập lồi 1.2.2 Hàm lồi 1.3 Tôpô, tôpô yếu 1.4 Định lý Hahn - Banach 10 1.5 Ánh xạ Lipschitz địa phương 10 1.6 Đạo hàm suy rộng theo phương 11 Chương Dưới vi phân Clarke ứng dụng 2.1 2.2 14 Dưới vi phân Clarke 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Ví dụ 15 2.1.3 Một số tính chất vi phân Clarke 16 Ứng dụng 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Bảng ký hiệu viết tắt R Tập hợp số thực Rn Không gian thực n chiều E Không gian Banach E∗ Không gian đối ngẫu không gian Banach X E ∗∗ Không gian liên hợp thức hai không gian X sup Cận inf Cận dom f Miền xác định hữu hiệu f epi f Trên đồ thị hàm f L(E, F ) Khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn PGS TS Nguyễn Năng Tâm Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn khóa 2015 - 2017 quan tâm giúp đỡ em suốt thời gian học tập trường Em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn khóa 2015 - 2017 động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập, nghiên cứu Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Học viên Vũ Thị Yến Lời nói đầu Lý chọn đề tài Trong thực tiễn lý thuyết thường gặp toán đòi hỏi phải khảo sát hàm số khơng khả vi Với tốn thế, cơng cụ tốn học “phép tính vi phân cổ điển” khơng đủ để giải chúng Để đáp ứng nhu cầu giải tốn có yếu tố “khơng khả vi”, nhiều khái niệm vi phân suy rộng đời Đặc biệt năm 70 kỉ XX, Clarke [4] xây dựng khái niệm vi phân cho hàm Lipschitz địa phương Từ đến nay, lý thuyết khơng ngừng phát triển ngày có nhiều ứng dụng hiệu Trong luận văn này, em trình bày định nghĩa, vài tính chất bật vi phân Clarke ứng dụng tốn tối ưu Nội dung luận văn bao gồm hai phần Chương trình bày số khái niệm, định lý liên quan đến đề tài Chương trình bày khái niệm, số tính chất vi phân Clarke ứng dụng tốn tối ưu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, tính chất vi phân Clarke ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng hợp kiến thức vi phân Clarke số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Clarke ứng dụng Phạm vi: Lý thuyết vi phân Clarke số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm, lý thuyết tốn tử Dự kiến đóng góp Nghiên cứu làm rõ khái niệm vi phân Clarke Tổng hợp, hệ thống số kết nhà khoa học nghiên cứu công bố vi phân Clarke ứng dụng Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 ([1, trang 18]) Một không gian định chuẩn khơng gian véctơ với chuẩn Định nghĩa 1.1.2 ([1, trang 18]) Cho E không gian tuyến tính trường K Một chuẩn E hàm x → x từ E vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ E, λ ∈ K i) x ≥ 0, x = ⇔ x = ii) λx = |λ| · x iii) x + y ≤ x + y Hệ 1.1.3 ([1, trang 19]) Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi điều kiện sau tương đương: i) U lân cận điểm ∈ E ii) αU lân cận 0, ∀α = iii) a + U lân cận a với a ∈ E Định nghĩa 1.1.4 Dãy điểm {xn } không gian định chuẩn E gọi dãy lim m,n→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach dãy E hội tụ Ví dụ 1.1.6 Kí hiệu C[a, b] khơng gian hàm liên tục đoạn [a, b] Vì hàm liên tục đoạn bị chặn nên ta xác định f = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}, f ∈ C[a, b] Dễ thấy hàm f → f xác định chuẩn không gian C[a, b] Như vậy, C[a, b] không gian định chuẩn Dễ kiểm tra C[a, b] không gian Banach Định nghĩa 1.1.7 Cho E không gian định chuẩn Không gian liên hợp (hay gọi khơng gian đối ngẫu) E, kí hiệu E ∗ , tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục E Chú ý 1.1.8 • Từ định nghĩa, dễ dàng kiểm chứng E ∗ không gian véctơ với phép tốn thơng thường • E ∗ không gian định chuẩn Hơn E ∗ còn khơng gian Banach 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Tập lồi Cho E không gian Banach, x1 , x2 ∈ E Đoạn thẳng nối hai điểm x1 , x2 , kí hiệu [x1 , x2 ], tập hợp tất điểm x = tx1 + (1 − t)x2 ∀t ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.2.1 ([2, trang 3]) Tập A ⊂ E gọi lồi λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A, ∀x1 , x2 ∈ A, ∀λ[0, 1] Theo định nghĩa, tập ∅ xem tập lồi Mệnh đề 1.2.2 ([2, trang 4]) Giả sử Aα ⊂ E (α ∈ I) tập lồi, với I tập số Khi đó, tập A = α∈I Aα tập lồi Mệnh đề 1.2.3 ([2, trang 4]) Giả sử E, F không gian Banach, g : E → F tốn tử tuyến tính Khi đó: i) Nếu A ⊂ E lồi g(A) lồi ii) Nếu B ⊂ F lồi nghịch ảnh g −1 (B) lồi 1.2.2 Hàm lồi Giả sử E không gian lồi địa phương, A ⊂ E, f : A → R ∪ {±∞} Định nghĩa 1.2.4 ([2, trang 38]) Trên đồ thị hàm f, kí hiệu epi f , định nghĩa sau: epi f = {(x, r) ∈ A × R : f (x) ≤ r} Định nghĩa 1.2.5 ([2, trang 38]) Miền hữu hiệu hàm f, kí hiệu dom f , định nghĩa sau: dom f = {x ∈ D : f (x) < +∞} Định nghĩa 1.2.6 ([2, trang 39]) Hàm f gọi thường dom f = ∅ f (x) > −∞ (∀x ∈ A) Định nghĩa 1.2.7 ([2, trang 39]) Hàm f gọi lồi A, epi f tập lồi E × R Hàm f gọi lõm A −f hàm lồi A Ví dụ 1.2.8 Hàm f : R → R, f (x) = ex hàm lồi Định lý 1.2.9 ([2, trang 40]) Giả sử A tập lồi không gian E, hàm f : A → [−∞, +∞] Khi đó, f lồi A f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (∀λ ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ A) Mệnh đề 1.2.10 ([2, trang 42]) Giả sử f : E → [−∞, +∞] Khi đó, f hàm lồi f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s (∀λ ∈ (0, 1), ∀x, y : f (x) < r, f (y) < s) Định nghĩa 1.2.11 ([2, trang 43]) Hàm f xác định E gọi dương, ∀x ∈ E, ∀λ ∈ (0, +∞) f (λx) = λf (x) Định nghĩa 1.2.12 ([2, trang 45]) Hàm f goi đóng epi f đóng E × R Định nghĩa 1.2.13 ([2, trang 57]) Hàm f gọi nửa liên tục x ∈ E (với f (x) < ∞), với ε > 0, tồn lân cận U x cho: f (x) − ε ≤ f (y) (∀y ∈ U ) 24 (iii) Ta chứng minh cho trường hợp n = Với s ≥ 0, f quy sf quy Ta cần chứng minh (f1 + f2 ) = (f1 + f2 )◦ f1 , f2 quy Ta có (f1 + f2 ) = f1 + f2 = f1◦ + f2◦ ≥ (f1 + f2 )◦ (f1 + f2 ) ≤ (f1 + f2 )◦ Suy ra, (f1 + f2 ) = (f1 + f2 )◦ (iv) Nếu f quy f ◦ (x0 ; v) = f (x0 ; v) ∀v ∈ E Nếu f khả vi Gateaux x0 f (x0 ; v) = Df (x0 )v Suy f ◦ (x0 ; v) = Df (x0 )v ∀v ∈ X Do ∂f (x0 ) = {Df (x0 )} Bổ đề 2.1.19 ([3, trang 48]) Hàm g : [0, 1] → R thỏa mãn điều kiện Lipschitz (0, 1) ∂g(t) ⊂ ∂f (xt ), y − x (2.2) Chứng minh Ta có g hàm Lipschitz (0, 1) Hai tập lồi đóng cơng thức (2.2) đoạn R Do ta cần chứng minh với v = ±1 max{∂g(t)v} ≤ max{ ∂f (xt ), y − x v} Ta có max{∂g(t)v} = g ◦ (t; v) = lim sup s→t λ↓0 = lim sup s→t λ↓0 g(s + λv − g(s)) λ f (x + (s + λv)(y − x)) − f (x + s(y − x)) λ f (y + λv(y − x)) − f (y ) λ λ↓0 ≤ lim sup = y →xt f ◦ (xt ; v(y − x)) = max ∂f (xt ), v(y − x) Định lý 2.1.20 (Định lý giá trị trung bình G.Lebourg, [3, trang 48]) Giả sử x, y ∈ E, f hàm Lipschitz tập mở chứa đoạn [x, y] Khi tồn u ∈ (x, y) cho f (y) − f (x) ∈ ∂f (u), y − x 25 Chứng minh Đặt θ(t) = f (xt ) + t[f (x) − f (y)] (0 ≤ t ≤ 1) Ta có θ(0) = θ(1) = f (x), θ(·) liên tục [0, 1] Suy ∃t0 ∈ (0, 1) cho θ(·) đạt cục đại địa phương cực tiểu địa phương t0 Theo Mệnh đề 2.1.14, ∈ ∂θ(t0 ) Suy ra, ∈ [f (x) − f (y)] + ∂g(t0 ) Theo Bổ đề 2.1.19, ∈ [f (x) − f (y)] + ∂f (xt0 ), y − x Cho u = xt0 ta có điều phải chứng minh Gradient suy rộng hàm hợp Giả sử f : E → R Lipschitz địa phương x0 , f = g ◦ h h : x → Rn , g : Rn → R Nếu α ∈ ∂g α ∈ (Rn )∗ = Rn Do α ∈ ∂g coi vectơ n chiều α = (α1 , , αn ) Bổ đề 2.1.21 ([3, trang 53]) Với n αi ζ, v : ζi ∈ ∂hi (xi ), α ∈ ∂g(u), qε := max i=1 xi ∈ x0 + εβ, u ∈ h(x0 ) + εβ n αi ζ, v : ζi ∈ ∂hi (x0 ), α ∈ ∂g(h(x0 )) q0 := max i=1 ta có limε→0 qε = q0 Chứng minh Với δ > 0, giả sử hàm Lipschitz địa phương x0 , hi g có số Lipschitz K Ta chứng minh với ε > đủ nhỏ: qε ≤ q0 + nσ(1 + K v ) Chọn ε > cho hàm g hi tương ứng thỏa mãn điều kiện Lipschitz tập h(x0 ) + εβ x0 + εβ với ∀xi ∈ x0 + εβ h◦i (xi ; ±v) ≤ h◦i (x0 ; ±v) + δ K (2.3) Nhân hai vế (2.3) với |αi | (α = (α1 , , αn ) ∈ ∂g(u), u ∈ h(x0 ) + εβ), ta có h◦i (xi ; αi v) ≤ h◦i (x0 ; αi v) + δ (2.4) Theo Định lý 2.1.8(iv), chọn ε đủ nhỏ cho ∂g(h(x0 ) + εβ) ⊂ ∂g(h(x0 )) + εβ (2.5) 26 Từ (2.4) (2.5) suy n qε ≤ max max[αi ζi , v : ζi ∈ ∂hi (xi ), xi ∈ x + εβ] : i=1 α ∈ ∂g(u), u ∈ h(x0 ) + εβ n (h◦i (x0 ; αi v) + δ) : α ∈ ∂g(u), u ∈ h(x0 ) + εβ ≤ max i=1 n ≤ max max[αi ζi , v : ζi ∈ ∂hi (x0 )] : α ∈ ∂g(u), i=1 u ∈ h(x0 ) + εβ + nδ ≤ q0 + nδK v + nδ Mà q0 ≤ qε Vậy limε→0 qε = q0 Định lý 2.1.22 ([3, trang 50]) Giả sử hàm hi (i = 1, 2, , n) Lipschitz địa phương x0 , g Lipschitz địa phương h(x0 ) Khi đó, n ∂f (x0 ) ⊂ co αi ζi : ζi ∈ ∂hi (x0 ), α ∈ ∂g(h(x0 )) i=1 ký hiệu co bao lồi đóng, yếu∗ Dấu xảy có điều kiện sau: (i) g quy h(x0 ), hi quy x0 , α ∈ ∂g(h(x0 )) có thành phần αi ≥ (Từ suy f hàm quy x0 ) (ii) g khả vi chặt h(x0 ) với n = phép toán co bỏ (iii) g quy h(x0 ) h khả vi chặt x0 (Từ suy f quy x0 phép tốn co bỏ được) Chứng minh Đặt S := { pac, yếu∗ nên coS compac, n i=1 αi ζi : ζi ∈ ∂hi (x0 ), α ∈ ∂g(h(x0 ))} Vì S yếu∗ Nếu dim E < ∞ co S tập đóng tốn thay phép toán co Giá trị hàm tựa S hay coS v ∈ E n αi ζi : ζi ∈ ∂hi (x0 ), α ∈ ∂g(h(x0 )) q0 := max i=1 comphép 27 Theo Mệnh đề 2.1.6(b) ta cần chứng minh f◦ (x0 ; v) ≤ q0 (∀x) Ta chứng minh với ∀ε > f◦ (x0 ; v) − ε ≤ qε Theo Bổ đề 2.1.21, qε đơn điệu tăng hội tụ đến q0 ε ↓ Từ định nghĩa f◦ (x0 ; v) ta có tồn x gần x0 t > gần O cho f◦ (x0 ; v) ≤ f (x; vt) − f (x) + ε t (2.6) Chọn ε cho x ∈ x0 + εβ, x + tv ∈ x0 + εβ, h(x) ∈ h(x0 ) + εβ, h(x + tv) ∈ h(x0 ) + εβ Theo Định lý 2.1.20, ta có f (x + vt) − f (x) = g(h(x + tv)) − g(h(x)) (2.7) n αi [hi (x + tv)) − hi (x)] = i=1 với α ∈ ∂g(u), u ∈ [h(x + tv)), h(x)] (hay xi ∈ x0 + εβ) Tương tự áp dụng cho hàm hi (2.7), ta có n f (x + vt) − f (x) = αi ζi , v (2.8) i=1 với ζi ∈ ∂hi (xi ), xi ∈ [x + tv, x] (hay xi ∈ x0 + εβ) Từ (2.6) (2.8) suy n f◦ (x0 ; v) ≤ αi ζi , v + ε i=1 f◦ (x0 ; v) ≤ qε + ε Định lý 2.1.23 ([3, trang 56]) Cho F không gian Banach Giả sử f : E → F khả vi chặt Hadamard x0 , g : F → R Lipschitz địa phương f (x0 ) Khi đó, h = g ◦ f hàm Lipschitz địa phương x0 ∂h(x0 ) ⊂ ∂g(f (x0 ))0 Ds f (x0 ) (2.9) 28 Dấu xảy g (hay −g) quy f (x0 ) Khi đó, h (hay −h) quy x0 Hoặc f ánh xạ lân cận x0 lên tập trù mật lân cận f (x0 ) Nhận xét 2.1.24 Từ (2.9) ta có ∀f ∈ ∂h(x0 ), ∃ξ ∈ ∂g(f (x0 )) cho f = ξ ◦ Ds (f (x0 )) hay f, v = ξ, Ds f (x0 )v (∀v ∈ E) Khi (2.9) viết dạng sau ∂h(x0 ) ⊂ [Ds f (x0 )]∗ ∂g(f (x0 )), * phép liên hợp Chứng minh Ta có h hàm Lipschitz địa phương x0 Ký hiệu A = Ds f (x0 ) Vì hai vế (2.9) tập lồi, compac yếu∗ nên (2.9) tương đương với bất đẳng thức sau: f◦ (x0 ; v) ≤ max{ f, Av : f ∈ ∂g(f (x0 ))} = g ◦ (f (x0 ), Av) (2.10) Chứng minh tương tự Định lý 2.1.22, ta nhận (2.10) Giả sử g hàm quy f (x0 ) Khi đó: g ◦ (f (x0 ), Av) = g (f (x0 ), Av) g(f (x0 ) + tAv) − g(f (x0 )) = lim t t↓0 g(f (x0 ) + tAv) − g(f (x0 + tv)) g(f (x0 ) + tv) − g(f (x0 )) = lim + t t t↓0 Vì g Lipschitz địa phương f (x0 ), f (x + tv) − f (x) − tAv → 0, (x → x0 , t ↓ t 0), ∃K > cho với t đủ nhỏ g(f (x0 ) + tAv) − g(f (x0 + tv)) f (x0 + tv) − f (x0 ) − tAv ≤K →0 t t (2.11) 29 Suy g(f (x0 + tv)) − g(f (x0 )) t t↓0 h(x0 + tv) − h(x0 ) = lim t t↓0 = h (x0 ; v) ≤ h◦ (x0 ; v) g ◦ (f (x0 ), Av) = lim Từ suy h (x0 ; v) tồn có chiều ngược lại (2.10) Do h hàm quy dấu xảy (2.9), (2.10) Nếu −g hàm quy f (x0 ), xét hàm −h sử dụng tính chất ∂(−h) = −∂h −h hàm quy x0 dấu xảy (2.9) Giả sử f ánh xạ lân cận x0 lên tập trù mật khắp nơi lân cận f (x0 ) Khi đó, g(y + tAv) − g(y) t t↓0 g ◦ (f (x0 ); Av) = lim sup y→f (x) g(f (x) + tAv) − g(f (x)) t t↓0 = lim sup x→x0 Do tính chất Lipschitz g f (x + tv) − f (x) − tAv → (x → x0 , t ↓ 0) t ta có (2.11) Do g(f (x + tv)) − g(f (x)) t t↓0 g ◦ (f (x0 ); Av) = lim sup = x→x0 h◦ (x0 ; v) Tương tự ta có bất đẳng thức ngược lại (2.10) Vì dấu xảy (2.9) Hệ 2.1.25 ([2, trang 59]) Giả sử g : F → R Lipschitz địa phương x0 , không gian E nhúng liên tục vào F , trù mật F chứa điểm x0 Khi đó, thu hẹp g E, ký hiệu h := g|E thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương x0 , ∂h(x0 ) = ∂g(x0 ), nghĩa ∀ξ ∈ ∂h(x0 ), tồn thác triển ξ F trùng với phần tử ∂g(x0 ) 30 Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1.13 với f ánh xạ nhúng E F Mệnh đề 2.1.26 ([3, trang 60]) ∂f (x0 ) ⊂ co{∂fi (x0 ) : i ∈ I(x0 )} Nếu fi quy x0 (∀i ∈ I(x0 )) dấu xảy f quy x0 Chứng minh Định nghĩa hàm: g : Rn → R g(u1 , , un ) = max{ui : i = 1, , n} h : X → Rn h(x) = (f1 (x), , fn (x)) Khi f = g ◦ h Theo Định lý 2.1.22 ta có n αi ζi : ζi ∈ ∂fi (x0 ), α ∈ ∂g(h(x0 )) ∂f (x0 ⊂ co i=1 Do đó, ∂g(h(x0 )) = {(α1 , , αn ) : αi ≥ 0} αi = 1, αj = 0, j ∈ / I(x0 ) Vì ∂f (x0 ⊂ co{∂fi (x0 ) : i ∈ I(x0 )} Vì g hàm lồi nên theo Định lý 2.1.18(a), g quy h(x0 ) Khi đó, dấu xảy f quy x0 Gradient suy rộng tích thương hai hàm Định lý 2.1.27 ([3, trang 61]) Giả sử f1 , f2 hàm Lipschitz địa phương x0 Khi f1 f2 hàm Lipschitz địa phương x0 ∂(f1 f2 )(x0 ) ⊂ f2 (x0 )∂f1 (x0 ) + f1 (x0 )∂f2 (x0 ) (2.12) Nếu f1 (x0 ) ≥ 0, f2 (x0 ) ≥ f1 , f2 quy x0 f1 f2 quy x0 (2.12) có dấu xảy 31 Chứng minh Ta định nghĩa hàm g : R2 → R g(u1 , u2 ) := u1 u2 h : E → R2 h(x) := (f1 (x), f2 (x)) Khi f1 f2 = g ◦ h Áp dụng Định lý 2.1.22 ta có (2.12) Áp dụng Định lý 2.1.22(i) ta có tính f1 f2 quy x0 Định lý 2.1.28 ([3, trang 62]) Giả sử f1 , f2 hàm Lipschitz địa phương f1 hàm Lipschitz địa phương x0 x0 , f2 (x0 ) = Khi đó, f2 ∂ f1 f2 (x0 )∂f1 (x0 ) − f1 (x0 )∂f2 (x0 ) (x0 ) ⊂ f2 f22 (x0 ) Nếu f1 (x0 ) ≥ 0, f2 (x0 ) ≥ f1 , f2 quy x0 (2.13) f1 quy x0 f2 (2.13) có dấu xảy Gradient suy rộng riêng Giả sử E1 , E2 khơng gian Banach, F : E1 × E2 → R hàm Lipschitz địa phương (x1 , x2 ) Định nghĩa 2.1.29 ([3, trang 62]) Gradient suy rộng hàm f (·, x2 ) x1 gọi Gradient suy rộng riêng theo biến thứ hàm f (x1 , x2 ) Ký hiệu ∂1 f (x1 , x2 ) Gradient suy rộng hàm f (x1 , ·) x2 gọi Gradient suy rộng riêng theo biến thứ hai hàm f (x1 , x2 ) Ký hiệu ∂2 f (x1 , x2 ) Ký hiệu f1◦ (x1 , x2 ; v) đạo hàm suy rộng hàm f (·, x2 ) theo phương v ∈ X1 x1 Định lý 2.1.30 ([3, trang 63]) Giả sử hàm f quy x = (x1 , x2 ) Khi ∂f (x1 , x2 ) ⊂ ∂1 f (x1 , x2 ) × ∂2 f (x1 , x2 ) Chứng minh Lấy ξ = (ξ1 , ξ2 ) ∈ ∂f (x1 , x2 ) Ta cần chứng minh ξ1 ∈ ∂1 f (x1 , x2 ) Theo Định lý 2.1.8(i) ta có (ξ1 , ξ2 ) ∈ ∂f (x1 , x2 ) tương đương với (ξ1 , ξ2 ), (v, w) ≤ f ◦ (x1 , x2 ; v, 0) (∀(v, w) ∈ E1 × E2 ) (2.14) 32 Vì f quy (x1 , x2 ) nên f ◦ (x1 , x2 ; v, 0) = f (x1 , x2 ; v, 0) = f1 (x1 , x2 ; v) = f1◦ (x1 , x2 ; v) (2.15) Từ (2.14) ta nhận (ξ1 , ξ2 ), (v, 0) ≤ f ◦ (x1 , x2 ; v, 0) (∀v ∈ E1 ) Từ (2.15) ta nhận ξ1 , v ≤ f1◦ (x1 , x2 ; v) (∀v ∈ E1 ) Từ Định lý 2.1.8(i) ta có ξ1 ∈ ∂1 f (x1 , x2 ) 2.2 Ứng dụng Cho E không gian Banach, hàm f xác định E, tập X ⊂ E Xét toán min{f (x) : x ∈ X} (Q) Định nghĩa 2.2.1 Điểm x0 ∈ X gọi điểm cực tiểu địa phương toán (Q) tồn lân cận U x0 cho f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ X ∩ U Điểm x0 ∈ X gọi điểm cực tiểu tồn cục tốn (Q) f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ X Định lý 2.2.2 Giả sử (i) f hàm Lipschitz với số K tập S (ii) f đạt cực tiểu tập X ⊂ S x0 ∈ A Khi đó, với K ≥ K, hàm g(x) = f (x) + KdA (x) đạt cực tiểu S x0 Hơn nữa, K ≥ K A đóng điểm làm cực tiểu g S phải thuộc A 33 Chứng minh Chứng minh phản chứng Giả sử tồn K ≥ K để g(x) = f (x) + KdA (x) không đạt cực tiểu S x0 Khi đó, ∃x ∈ S, ∃ε > cho f (x) + KdA (x) < f (x) − Kε Giả sử điểm a ∈ A thỏa mãn x − a dA (x) + ε Do f Lipschitz S nên f (a) ≤ f (x) + K x − a ≤ f (x) + K(dA (x) + ε) < f (x0 ), mâu thuẫn với x0 điểm cự tiểu f A Giả sử K > K x cực tiểu K +K g S Khi đó, áp dụng với số ta nhận f (x) + KdA (x) = f (x0 ) ≤ f (x) + K +K Suy ra, (K − K)dA (x) ≤ Từ suy dA (x) = Khi đó, x ∈ A Hệ 2.2.3 Nếu A = E, NC (x0 ) = {0} x0 ∈ E điểm cực tiểu địa phương ∈ ∂f (x0 ) Hệ 2.2.4 ∂f (x0 ) = {f (x0 )} Định lý 2.2.5 ([4, trang 52]) Cho f hàm Lipschitz địa phương x0 , f đạt cực tiểu A x0 Khi đó, ∈ ∂f (x0 ) + NA (x0 ) Chứng minh Vì f hàm Lipschitz địa phương x0 nên tồn lân cận U x0 cho f hàm Lipschitz U với K > Do A U ∩ A có nón pháp tuyến x0 nên giả thiết A ⊂ U Do đó, x0 cực tiểu hàm 34 f (x) + KdA (x0 ) U , tức x0 cực tiểu địa phương f (x) + KdA (x0 ) Khi đó: ∈ ∂(f + KdA (x0 )) ⊂ ∂f (x0 ) + KdA (x0 ) Suy ra, ∈ ∂f (x0 ) + NA (x0 ) Cho E không gian Banach xét tốn min{f (x) : x ∈ X} X = {x ∈ E | gi (x) ≤ hj (x) = x ∈ A với i = 1, , n; j = 1, , m, A ⊂ E} Giả sử A tập đóng f, gi , hi Lipschitz gần điểm A (i = 1, , n) Đặt g : R → Rn g = [g1 , , gn ] h : R → Rn h = [h1 , , hn ] Hàm Lagrange hàm L(x, λ, r, s, k) : X × R × Rn × Rm × R → R cho L(x, λ, r, s, k) := λf (x) + r, g(x) + s, h(x) + k|(λ, r, s)|dA (x) dA hàm khoảng cách thương dùng kết hợp với A Định lý 2.2.6 ([4, trang 228]) Cho x nghiệm tốn (Q) Khi đó, với k đủ lớn, tồn λ ≥ 0, r > s tất khơng, ta có r, g(x) = ∈ ∂x L(x, λ, r, s, k) Chứng minh Gọi P tập {p = (λ, r, s) ∈ R1+n+m : λ ≥ 0, r ≥ 0, |(λ, r, s)| = 1} 35 Với ε > 0, ta định nghĩa F :E→R F (y) = max{(λ, r, s) · (f (y) − f (x) + ε, g(y), h(y))} P Vì F hàm Lipschitz gần x, F (x) = ε nên ta cần F dương A Thật vậy, F (y) ≤ gi (y) ≤ 0, hi (y) = f (y) ≤ f (x) + ε ràng buộc Do đó, x thỏa mãn F (x) ≤ inf F + ε A √ Khi có điểm u ∈ x + εB cho, với y ∈ A, ta có √ F (y) + ε y − u ≥ F (u) Nếu k số Lipschitz với k > k số Lipschitz địa phương đối √ với hàm F (y) + ε y − u gần điểm y = u Do đó, lân cận u, u cực tiểu hàm y → F (y) + √ ε y − x + kdA (y) = max{L(y, λ, r, s, k) − λf (x) + ελ} + P √ = G(y) + ε y − u , √ ε y−u G(y) định nghĩa số hạng biểu thức Với ε đủ nhỏ, ta có ∈ ∂G(u) + √ εB (2.16) Giả sử hàm (p, y) → ∂x L(y, p, k) đóng (2.17) Với p1 , p2 ∈ P y → L(y, p1 , k) − L(y, p2 , k) = (p1 − p2 )(f, g, h)(y) Lipschitz gần x dãy k|p1 − p2 |, đó: ∂x L(y, p1 , k) ⊂ ∂x L(y, p2 , k) + k|p1 − p2 |B ∗ Vì F (x) dương nên tồn pu ∈ P cho F đạt cực đại Và từ (2.16) ta kết luận ∈ ∂x L(u, pu , k) + εB ∗ (2.18) 36 Nếu gi (u) ≤ giá trị lớn pu có ri = Nếu dãy εi giảm dần đến ui hội tụ đến x dãy tui hội tụ tới phần tử P Từ (2.18) ta thấy ánh xạ (2.17) đóng Do định lý chứng minh 37 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày: Kiến thức chuẩn bị không gian Banach, hàm lồi, tôpô yếu, phát biểu định lý Hahn-Banach, ánh xạ Lipschitz địa phương đạo hàm suy rộng theo phương Lý thuyết vi phân Clarke, có ví dụ cụ thể minh họa số tính chất bật Ứng dụng vi phân Clarke vào toán tối ưu 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2003), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội Tiếng Anh [4] F H Clarke (1983), Optimization and nonsmooth analysis, John Wiley and Sons ... tính chất vi phân Clarke ứng dụng toán tối ưu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu định nghĩa, tính chất vi phân Clarke ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng hợp kiến thức vi phân Clarke số ứng dụng 5 Đối... vi phân Clarke số ứng dụng 5 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Clarke ứng dụng Phạm vi: Lý thuyết vi phân Clarke số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Phương pháp nghiên cứu Tổng... 10 1.6 Đạo hàm suy rộng theo phương 11 Chương Dưới vi phân Clarke ứng dụng 2.1 2.2 14 Dưới vi phân Clarke 14 2.1.1 Định nghĩa