2 Dưới vi phân Clarke
2.1.2 Dưới vi phân Clarke và các tính chất
Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X
(f : X →R),X∗ là không gian đối ngẫu của X (X∗ gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X).
Định nghĩa 2.1.2. Phiếm hàm ξ ∈ X∗ được gọi là gradient suy rộng của hàm f tại x, nếu
f0(x;u) ≥ hξ, ui(∀u ∈ X).
Định nghĩa 2.1.3. Dưới vi phân Clarke hàm f tại x, ký hiệu ∂f (x), là tập hợp sau đây trongX∗:∂f (x) := ξ ∈ X∗ :f0(x;u) ≥ hξ, ui,∀u ∈ X . Ví dụ 2.1.2. Xét trường hợp X = R, f (x) = |x|. Khi đó f là hàm Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz K = 1. Thật vậy, với x1, x2 ∈ R, ta có:
|x1| ≤ |x1 −x2|+|x2|,|x2| ≤ |x2 −x1|+|x1|. Từ đó suy ra ||x1| − |x2|| ≤ |x1 −x2|.
Bây giờ ta lấy x > 0 . Khi đó:
f0(x, v) = lim y→x t→0 y+tv−y t = v. Suy ra ∂f (x) = {ζ ∈ R :v ≥ ζv, v ∈ R} = {1}.
Thật vậy, với v ≥ 0 : v −ζv ≥ 0 ⇒ 1− ζ ≥ 0 ⇒ ζ ≤ 1. Tương tự, với v ≤ 0 ta có ζ ≥ 1. Do đó ζ = 1. Một cách tương tự, nếu x < 0 thì ∂f(x) = {−1}. Xét trường hợp x = 0 ta có :
f0(0;v) = ( v, v ≥ 0 −v, v < 0 . Suy ra f0(0;v) =|v|. Từ đó suy ra ∂f (0) = {ζ ∈ R : |v| ≥ζv, v ∈ R}. Do đó f0(0;v) = [−1; 1].
Định lí 2.1.3. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số K tại x. Khi đó,
i) ∂f(x) 6= ∅, lồi, compăc, yếu* trong X∗ và kξk∗ ≤ K(∀ξ ∈ ∂f (x)). ii) Với mọi x ∈ X, ta có f0(x;v) = max{hξ, vi :ξ ∈ ∂f (x)}.
Chứng minh. (i) Theo định lí 2.1.1, f0(x;v) là hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương trên X. Theo định lí Hahn – Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính ξ : X →R sao cho
f0(x;v) ≥ hξ, vi(∀v ∈ X). Suy ra
ξ ∈ ∂f (x). Từ đó suy ra
Ta chứng minh ∂f (x) lồi: lấy ξ1, ξ2 ∈ ∂f(x),0≤ ξ ≤ 1. Khi đó f0(x;u)hξi, ui(∀u ∈ X, i = 1,2)
= αf0(x;u) + (1−α)f0(x;u) ≥ αhξ1, ui+ (1−α)hξ2, ui = hαξ1 + (1−α)ξ2, ui.
Suy ra αξ1 + (1−α)ξ2 ∈ ∂f (x). Từ đó suy ra ∂f (x) lồi.
Bây giờ chứng minh ∂f(x) compăc, yếu*: với ξ ∈ ∂f(x),kξk∗ ≤K suy ra
∂f (x) ⊂ B(0, K)
trong đó B(0, K) là hình cầu đóng tâm tại O với bán kính K.
Mà hình cầu B∗(0, K) là compăc, yếu* trong X∗, ∂f (x) là đóng, yếu* suy ra ∂f(x) compăc, yếu* .
(ii) Theo định nghĩa 2..1.2: max{hξ, v0i : ξ ∈ ∂f (x)} < f0(x;v0), theo định lí Hahn - Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính ξ thoả mãn:
hξ, vi ≤ f0(x;v) (∀v ∈ X), hξ, v0i = f0(x;v0). Từ đó suy ra ξ ∈ ∂f (x) suy ra f0(x;v) > hξ, vi = f0(x;v).
Định nghĩa 2.1.4. Cho tập con C của X, C 6= ∅. Hàm tựa của C được xác định như sau: ∂C(ζ) = sup
x∈C
hζ, xi.
Nếu E ⊂X∗ thì hàm tựa xác định trên X∗∗.
Nếu xemX như một không gian con củaX∗∗thì∂E(X) = sup x∈E
hζ, xi(x ∈ X). Định lí (2.1.3 ii) chỉ ra rằng: tập ∂(x) được đặc trưng bởi hàm f0(x;.). Ta có sự kiện tổng quát hơn: Các tập lồi đóng được đặc trưng bởi các hàm tựa lồi của chúng.
Mệnh đề 2.1.4. ([4], tr.19) Cho hai tập con C, D của X và C, D 6= ∅, đóng; E, F là hai tập con của X, E, F 6= ∅, lồi, đóng, yếu*. Khi đó:
(i) C ⊂D ⇔ σC(ζ) ≤ σD(ζ) (∀ζ ∈ X∗) ; (ii) E ⊂ F ⇔ σE(x) ≤ σF (x) (∀x ∈ X) ;
(iii) E compăc, yếu* khi và chỉ khi σE(.) là hàm hữu hạn trên X;
(iv) Hàm σ : X → R ∪ {+∞} thuần nhất dương, dưới cộng tính, nửa liên tục dưới và σ(.) 6= +∞ khi và chỉ khi tồn tại tập E là tập con của X, E 6= ∅ lồi, đóng yếu* sao cho σ = σE(.). Tập E được xác định duy nhất.
Định nghĩa 2.1.5. Cho ánh xạ Γ : X →2Y. Đồ thị của Γ là tập hợp: GrΓ := {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Γ(x)}.
Định nghĩa 2.1.6. Ánh xạ đa trị Γ được gọi là đóng nếu GrΓ đóng trong X ×Y.
Định nghĩa 2.1.7. Ánh xạ đa trị Γ được gọi là nửa liên tục trên tập X, nếu ∀ε > 0,∃δ > 0 ta có: với mọi (x ∈ x+δBX) thì Γ(x) ⊂ Γ(x) +εBY. Định lí 2.1.5. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x. Ta có các khẳng định sau đây:
i) ζ ∈ ∂f(x) ⇔f0(x;v) ≥ hζ, vi(∀v ∈ X).
ii) Giả sử các dãy {xi} ⊂ X,{ζi} ⊂ X∗ thoả mãn ζi ∈ ∂f (xi; ), {xi} hội tụ đến x, ζ là điểm giới hạn của {ζi} theo tôpô yếu*. Khi đó ζ ∈ ∂f(x)
(tức là ánh xạ đa trị đóng, yếu*).
(iii) ∂f (x) = ∩ δ>0 ∪
y∈x+δB∂f (y).
(iv) Nếu X hữu hạn chiều thì ∂f nửa liên tục trên tại x.
Chứng minh. (i) Giả sử ζ ∈ ∂f (x). Khi đó, theo định nghĩa (2.1.2): ζ ∈ X∗ và f0(x;v) ≥ hζ, vi(∀v ∈ X).
Ngược lại, giả sử
Theo định lí (2.1.3 ii), f0(x;.) là hàm tựa của ∂f(x). Do ∂f (x) là compăc, yếu*, từ mệnh đề 2.1.4 iii suy ra f0(x;.) là hàm hữu hạn. Do đó ζ tuyến tính bị chặn trên. Suy ra ζ tuyến tính bị chặn. Từ đó suy ra ζ liên tục ( tức là ζ ∈ X∗ ). Vậy ζ ∈ ∂f(x) ( do ζ ∈ X∗ và (2.5)).
(ii) Ta có {ζi} → ζ theo tôpô, yếu* suy ra ∀v ∈ X hζi, vi → hζ, vi. Do ζi ∈ ∂f(xi; ) nên f0(xi;v) ≥ hζi, vi(∀v ∈ X). Theo đinh lí (2.1.1ii), f0(.;.) là nửa liên tục trên. Do đó ∀ε > 0,∃i0 sao cho ∀i ≥ i0 ta có:
f0(x;v) + ε≥ f0(xi;v) ≥ hζi, vi(∀v ∈ X). Suy ra
f0(x;v) ≥
ζ, v(∀v ∈ X). Do đó ζ ∈ ∂f(x) (theo(i)).
(iii) là hệ quả của (ii).
(iv) Phản chứng: Giả sử ∂f không nửa liên tục trên tại x. Khi đó, tồn tại dãy {xi} hội tụ đến x, dãy {ζi} hội tụ đến ζ sao cho: ζi ∈ ∂f(xi; ), nhưng ζ ∈ ∂f (x). Điều này mâu thuẫn với (iii).
Định lí 2.1.6. Giả sử f : X → R là hàm Lipschitz địa phương trên không gian Banach X, X∗ là không gian đối ngẫu của X (X∗ gồm các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X). Khi đó
∂f(x) =∂cf0(x; 0)
trong đó ∂cf0(x; 0) là dưới vi phân của hàm lồi f0(x;.) tại 0.
Chứng minh. Thật vậy, theo định lí (2.1.2i), f0(x;.) cộng tính và thuần nhất dương. Suy ra f0(x;.) lồi. Suy ra dưới vi phân của hàm lồi f0(x;.)
tại 0 có dạng:
∂cf0(x; 0) =ξ ∈ X∗ :f0(x;u)−f0(x; 0) ≥ hξ, ui,∀u ∈ X
= ξ ∈ X∗ :f0(x;u) ≥ hξ, ui,∀u ∈ X
Bây giờ ta lấy ξ ∈ X∗. Khi đó, chuẩn của ξ được xác định bởi công thức:
kξk∗ := sup v∈X
kvk≤1
hξ, vi].
Ký hiệu B∗ là hình cầu mở trong X∗ .
Định lí 2.1.7. ([4], tr.23) Giả sử f là hàm lồi trên U, Lipschitz địa phương tại x ∈ U. Khi đó:
∂f (x) =∂Cf (x), f0(x;v) =f0(x;v) (∀v ∈ X)
trong đó ∂f là gradient suy rộng của f, f0(x;.) là đạo hàm theo phương của f tại x .
Chứng minh. Từ giải tích lồi ta biết rằng f0(x;v) tồn tại với mỗi v, và f0(x;.) là hàm tựa của ∂C (x). Vì vậy, từ mệnh đề (2.1.4) ta chỉ cần chứng minh rằng f0(x;v) = f0(x;v) (∀v) là đủ. Ta có thể viết f0(x;v) dưới dạng: lim ε→0 sup kx−xk<εδ sup 0<t<ε f(x+tv)−f(x) t trong đó δ là số dương cố định bất kỳ.
Từ định nghĩa hàm lồi, ta có hàm số sau đây là không giảm:t 7→ f(x+tvt)−f(x). Thật vậy, đặt ϕ(t) := f (x+ tv). Do f lồi, cho nên với x, v cố định thì ϕ(t) lồi. Bởi vì f : U → R, cho nên f :R+ →R và domϕ 6= ∅. Vì vậy, ϕ là hàm chính thường, tức là domϕ 6= ∅ và ϕ(t) > −∞(∀t ∈ R+), trong đó domϕ = {t : ϕ(t) < +∞}. Lấy λ ∈ (0; 1). Khi đó
ϕ(λt) ≤ λϕ(t) + (1−λ)ϕ(0). Suy ra
ϕ(λt)−ϕ(0)
Vậy ϕ(t)−tϕ(0) đơn điệu không giảm .
Thay lại hàm f ta có hàm số t 7→ f(x+tvt)−f(x) là đơn điệu không giảm. Vì vậy f0(x;v) = lim ε→0 sup kx−xk<εδ sup 0<t<ε f(x+tv)−f(x) t .
Do f Lipschitz địa phương tại x, với x ∈ εδB ta có f(x+εv)−f(x) ε − f(x+εvε)−f(x) ≤2δK. Suy ra f0(x;v) ≤ lim ε→0 f (x+εv)−f (x) ε + 2δK = f(x;v)0 + 2δK ≤ f0(x;v).
Hiển nhiên là: f0(x;v) ≤ f0(x;v). Vì vậy f0(x;v) =f0(x;v).