Dưới vi phân suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN TUẤN PHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số:60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái Nguyên: 08/2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG 1.1 Dưới vi phân suy rộng vi phân 1.2.Dưới vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng tối thiểu 1.3.Quy tắc tính vi phân suy rộng 15 1.4.Định lý giá trị trung bình 20 1.5.Vi phân suy rộng vi phân 27 Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 31 2.1.Một số kết Dutta-Chandra vi phân suy rộng 31 2.2.Dưới vi phân suy rộng tính lồi suy rộng 40 2.3.Ứng dụng vi phân suy rộng tối đa mục tiêu 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu phận quan trọng tối ưu hóa Với tốn tối ưu không trơn, công cụ để tiếp cận nghiên cứu hiệu giải tích lồi giải tích khơng trơn Với toán gồm hàm mục tiêu ràng buộc Lipschitz địa phương, người ta sử dụng vi phân Clarke, vi phân Michel - Penot, vi phân Mordukhovich (xem [3], [10], [11]) Bài toán với liệu nửa liên tục xử lí cơng cụ hiệu vi phân Clarke - Rockafellar Khái niệm vi phân suy rộng (convexificator) lồi compăc lần nghiên cứu V.F.Demyano ([5], 1994) Đây tổng quát hóa khái niệm xấp xỉ lồi lõm Jeyakumar - Luc ([9], 1999) đưa vào khái niệm vi phân suy rộng đóng khơng lồi cho hàm giá trị thực mở rộng nghiên cứu quy tắc tính, định lý giá trị trung bình, vi phân suy rộng tối thiểu, tính chất hàm tựa lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng Dutta - Chandra [7] phát triển số quy tắc tính vi phân suy rộng cho hàm hợp, tính chất hàm giả lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu vài lớp toán tối ưu đa mục tiêu Luận văn trình bày lý thuyết vi phân suy rộng Jeyakumar - Luc [9] Dutta - Chandra [7] với số kết [9 ; 7] tính chất hàm tựa lồi, giả lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng điều kiện cần cho cực tiểu yếu toán tối ưu đa mục tiêu khơng ràng buộc có ràng buộc bất đẳng thức Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tài liệu tham khảo Chương trình bày kết nghiên cứu vi phân suy rộng không lồi Jeyakumar - Luc [9] bao gồm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy tối thiểu Chương trình bày quy tắc tính vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình, điều kiện đủ để vi phân suy rộng tối thiểu tính chất đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ tựa đơn điệu ánh xạ vi phân suy rộng Chương trình bày hai quy tắc tính vi phân suy rộng cho hàm hợp Dutta - Chandra [7] với tính chất hàm giả lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng điều kiện cần tối ưu cho cực tiểu yếu toán tối ưu đa mục tiêu khơng có ràng buộc có ràng buộc bất đẳng thức Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa tốn, phịng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K4 ln quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2012 Trần Tuấn Phương 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG Chương trình bày nghiên cứu vi phân suy rộng không lồi V.Jeyakumar D.T.Luc [9] bao gồm khái niệm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy tối thiểu Khái niệm vi phân suy rộng không lồi Jeyakumar - Luc tổng quát hóa số khái niệm vi phân biết F.H.Clarke R.T.Rockafellar, F.H.Clarke, P.Michel J.P.Penot, Các quy tắc tính vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình, điều kiện đảm bảo vi phân suy rộng tối thiểu điều kiện đặc trưng cho tính tựa lồi hàm liên tục ngôn ngữ tựa đơn điệu vi phân suy rộng trình bày chương 1.1 Dưới vi phân suy rộng vi phân ¯ hàm giá trị thực mở Giả sử X không gian Banach f : X → R ¯ := R ∪ {∞} Không gian đối ngẫu X kí hiệu X ∗ rộng, R với tơpơ yếu* Bao lồi bao lồi đóng tập A X ∗ kí hiệu co(A) co(A) Giả sử điểm x ∈ X, f hữu hạn Đạo hàm theo phương Dini f x theo phương v định nghĩa tương ứng fd− (x, v) := lim inf f (x + tv) − f (x) , t fd+ (x, v) := lim sup f (x + tv) − f (x) t t↓0 t↓0 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.1 Hàm f : X → R gọi có vi phân suy rộng (upper convexificator) ∂ ∗ f (x) x ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu* với v ∈ X, fd− (x, v) ≤ sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ f (x) Định nghĩa 1.1.2 ¯ gọi có vi phân suy rộng (lower convexHàm f : X → R ificator) ∂∗ f (x) x ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu* với v ∈ X, fd+ (x, v) ≥ inf x∗ ∈∂∗ f (x) x∗ , v Định nghĩa 1.1.3 ¯ gọi có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) x Hàm f : X → R đồng thời vi phân suy rộng f x Điều có nghĩa với v ∈ X, fd− (x, v) ≤ fd+ (x, v) ≥ sup x∗ , v , x∗ ∈∂ ∗ f (x) inf ∗ x∗ ∈∂ f (x) x∗ , v Điều tương đương với điều kiện với v ∈ X, max fd− (x, v), −fd+ (x, −v) ≤ s (v|∂ ∗ f (x)) , s (v|C) := sup x∗ , v x∗ ∈C hàm tựa tập đóng yếu* C ⊂ X ∗ Chú ý vi phân suy rộng không thiết lồi, compăc yếu* Điều 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho phép ta áp dụng cho lớp rộng hàm không trơn liên tục Chẳng hạn, hàm f : R → R xác định   √ x , x ≥ 0, f (x) =  −√−x , x < 0, nhận vi phân suy rộng không compăc [α, ∞) với α ∈ R Hàmf : R → R xác định công thức f (x) = − |x| có vi phân suy rộng không lồi: ∂∗ f (0) = {1, −1} Ta thấy nhiều loại vi phân suy rộng giải tích khơng trơn vi phân suy rộng ¯ hữu hạn điểm x ∈ X Nếu f nửa liên tục Giả sử f : X → R x đạo hàm Clarke-Rockafellar (the Clarke-Rockafellar upper subderivative ) f x theo v định nghĩa công thức f (x + tv ) − f (x ) , v →v t f ↑ (x, v) = lim sup inf x →f x t↓0 x → f x có nghĩa x → x f (x ) → f (x) Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke-Rockafellar (the Clarke-Rockafellar lower subderivative) f x theo v xác định công thức f (x + tv ) − f (x ) t v →v f ↓ (x, v) = lim inf sup x →f x t↓0 Nếu f liên tục x x →f x định nghĩa đạo hàm viết đơn giản x → x Các vi phân suy rộng f x cho công thức ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↑ (x, v) , ∀v ∈ X , 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≥ f ↓ (x, v) , ∀v ∈ X Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ ∂ ↑ f (x) khác Ø, lồi , đóng yếu* X ∗ với v ∈ X ta có cơng thức f ↑ (x, v) = sup x, v x∗∈∂ ↑ f (x) Tương tự, f ↓ (x, 0) < +∞ ∂ ↓ f (x) khác Ø, lồi , đóng yếu* X ∗ với v ∈ X ta có cơng thức f ↓ (x, v) = inf x∗∈∂ ↓ f (x) x∗ , v Nếu f Lipschitz địa phương x ta có cơng thức f ↑ (x, v) = f ◦ x, v , f ↓ (x, v) = f◦ x, v , f ◦ (x, v) = lim sup x →x f (x + tv) − f (x ) , t t↓0 f◦ (x, v) = lim inf x →x t↓0 f (x + tv) − f (x ) t Đây đạo hàm theo phương suy rộng Clarke f x theo v Dưới vi phân suy rộng Clarke xác định ∂ ◦ f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ◦ (x, v) , ∀v ∈ X} Hơn nữa, f ◦ (x, v) = max x∗ , v , f◦ (x, v) = x∗ , v x∗ ∈∂ f (x) x∗ ∈∂ f (x) Vì vậy, f Lipschitz địa phương x ∂ ∗ f ◦ (x) vi phân suy rộng f x với v ∈ X fd− (x, v) ≤ f ◦ (x, v) , 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn fd+ (x, v) ≥ f◦ (x, v) Tương tự f Lipschitz địa phương x đạo hàm theo phương Michel-Penot f x xác định f ♦ (x, v) = sup lim sup λ−1 [f (x + λz + λv) − f (x + λz)], z∈X λ↓0 f♦ (x, v) = inf lim inf λ−1 [f (x + λz + λv) − f (x + λz)] z∈X λ↓0 Dưới vi phân Michel-Penot định nghĩa sau ∂ ♦ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : f ♦ (x, v) ≥ x∗ , v , ∀v ∈ X Ta biết đạo hàm theo phương Michel-Penot kí hiệu f ♦ (x, ) ,f♦ (x, ) hữu hạn, tuyến tính ∂ ♦ f (x) lồi,compăc, yếu* , f ♦ (x, v) = f♦ (x, v) = max x∗ , v , x∗ , v x∗ ∈∂ ♦ f (x) x∗ ∈∂ ♦ f (x) Vì vậy, ∂ ♦ f (x) vi phân suy rộng f x với ∀v ∈ X, fd− (x, v) ≤ f ♦ (x, v) x∗ , v , fd+ (x, v) ≥ f♦ (x, v) x∗ , v Hơn nữa, X = Rn ta có ∂ ◦ f (x) = co {v ∈ Rn : ∃ {xk } : xk → x, xk ∈ K, f (xk ) → v} Như vậy, tập compắc {v ∈ Rn : ∃ {xk } : xk → x, xk ∈ K, f (xk ) → v} , 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vi phân suy rộng f x Ở K tập điểm Rn mà f khả vi với đạo hàm f (x) x Ví dụ sau minh họa: bao lồi vi phân suy rộng hàm Lipschitz địa phương chứa thực vi phân Michel-Penot Clarke Ví dụ 1.1.1 Cho hàm f : R2 → R theo công thức f (x, y) = |x| − |y| Khi ∂ ∗ f (0) = {(1, −1) , (−1, 1)} vi phân suy rộng f 0; ∂ ♦ f (0) = ∂ f (0) = co {(1, 1) , (−1, 1) , (1, −1) , (−1, −1)} Chú ý co (∂ ∗ f (0)) ⊂ ∂ ♦ f (0) = ∂ ◦ f (0) 1.2 Dưới vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng tối thiểu Từ định nghĩa vi phân suy rộng dưới, ta thấy nói chung chúng khơng Trong phần ta tìm điều kiện cho vi phân suy rộng và tối thiểu Trước hết ta đưa vào khái niệm vi phân suy rộng quy ¯ gọi có vi phân suy rộng quy Hàm f : X → R (upper regular convexificator) ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ x, ∂ ∗ f (x) đóng yếu* với v ∈ X , fd+ (x, v) = sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ f (x) 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 2.2.1 Giả sử f : Rn → R ∂ ∗ f (x) vi phân suy rộng cuả f x Giả sử f ∂ ∗ − giả lồi Cho x ∈ Rn cực tiểu địa phương f , ∂ ∗ f (x) bị chặn Khi x cực tiểu toàn cục f Chứng minh Bởi x cực tiểu địa phương từ Mệnh đề 1.3.1 ý có ∂ ∗ f (x) bị chặn, ta có ∈ co∂ ∗ f (x) Giả sử x không cực tiểu toàn cục tồn y cho f (y) < f (x) Do tính ∂ ∗ − giả lồi ta có ξ, y − x < ∀ξ ∈ ∂ ∗ f (x) Điều ξ, y − x < ∀ξ ∈ co∂ ∗ f (x) Đây mâu thuẫn Bây ta đưa vào ánh xạ đa trị vào tựa đơn điệu giả đơn điệu Định nghĩa 2.2.3 Ánh xạ đa trị F : Rn → Rn gọi giả đơn điệu với x, y ∈ Rn x = y, ∃x∗ ∈ F (x) : x∗ , y − x > ⇒ ∀y ∗ ∈ F (y) : y ∗ , y − x > 41 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 2.2.4 Ánh xạ đa trị F : Rn → Rn gọi tựa đơn điệu với x, y ∈ Rn x = y, ∃x∗ ∈ F (x) : x∗ , y − x > ⇒ ∀y ∗ ∈ F (y) : y ∗ , y − x ≥ Với ánh xạ đa trị S : Rn → Rn ta hiểu coS ánh xạ đa trị cho coS (x) = co (S (x)) Bổ đề 2.2.1 ([9]) Giả sử F : Rn → Rn ánh xạ đa trị Khi S giả đơn điệu coS giả đơn điệu Định lý 2.2.1 Giả sử f : Rn → R hàm liên tục ∂ ∗ f (x) vi phân suy rộng f x ∈ Rn Nếu ∂ ∗ f : Rn → Rn giả đơn điệu f ∂ ∗ − giả lồi Chứng minh Giả sử f không ∂ ∗ − giả lồi Khi đó, tồn (x, y) ∈ Rn , cho f (y) < f (x) kéo theo ξ, y − x ≥ với ξ ∈ ∂ ∗ f (x) Ta có f (y) − f (x) < Như theo Định lý 2.1.2 tồn c ∈ (y, x) c∗k ∈ co∂f (c) 42 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho lim k→+∞ c∗k , y − x < Điều với k đủ lớn ta có c∗k , x − y > c∗k ∈ co∂ ∗ f (c) Bởi c ∈ (y, x) c∗k , x − c > c∗k ∈ co∂ ∗ f (c) Bởi ∂ ∗ f (x) giả đơn điệu theo Bổ đề 2.2.1, ta có co∂ ∗ f giả đơn điệu Do đó, ∀x∗ ∈ co∂ ∗ f (x), ta có x∗ , x − c > Như với ∀x∗ ∈ co∂ ∗ f (x) ta có x∗ , x − y > Điều dẫn đến x∗ , y − x < ∀x∗ ∈ co∂ ∗ f (x) Như dẫn đến mâu thuẫn, nên ta suy điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.2 So sánh kết với Định lý 2.6 [6] tính bị chặn tính bán quy vi phân suy rộng phải giả thiết để tính giả đơn điệu vi phân suy rộng kéo theo tính giả lồi hàm Thật thú vị liệu chiều ngược lại có khơng Nếu điều kiện quy mạnh câu trả lời Định lý 2.2.2 Cho f : Rn → R giả sử ∂ ∗ f (x) vi phân suy rộng f 43 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x ∈ Rn Giả thiết ∂ ∗ f (x) quy x Khi ∂ ∗ f giả đơn điệu f ∂ ∗ − giả lồi Chứng minh Giả sử x∗ ∈ ∂ ∗ f (x) thỏa mãn x∗ , y − x > Điều sup x∗ , y − x > x∗ ∈∂ ∗ f (x) Do ∂ ∗ f (x) quy ta có fd+ (x, y − x) > Điều tìm λ > đủ nhỏ cho f (x + λ (y − x)) > f (x) Do tính tựa lồi f , ta có f (y) > f (x) Từ tính ∂ ∗ − giả lồi f ta suy y ∗ , y − x > 0, ∀y ∗ ∈ ∂ ∗ f (y) Vì ∂ ∗ f giả đơn điệu Nhận xét 2.2.3 Sẽ thú vị giả thiết quy vi phân suy rộng định lý giảm nhẹ Trong Định lý 2.4 [6] f : Rn → R liên tục ∂ ∗ f (x) vi phân suy rộng f x với x, y ∈ Rn f (y) < f (x) ⇒ ξ, y − x ≤ 0, ∀ξ ∈ ∂ ∗ f (x) , f tựa lồi Câu hỏi đặt liệu quan hệ có không f hàm tựa lồi liên tục Ta quan hệ 44 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với số điều kiện quy Định lý 2.2.3 Cho f : Rn → R hàm tựa lồi liên tục Giả sử với x ∈ Rn , ∂ ∗ f (x) vi phân suy rộng f x Giả thiết tồn tập trù mật K Rn cho ∂ ∗ f (x) quy với x ∈ K Với x ∈ / K giả thiết ∂ ∗ f (x) ⊂ lim ξn : ξn ∈ ∂ ∗ f (xn ) , xn ∈ K, xn → x n→+∞ (2.4) Khi với x, y ∈ Rn , f (y) < f (x) ⇒ ξ, y − x ≤ 0, ∀ξ ∈ ∂ ∗ f (x) Chứng minh Giả định x, y ∈ Rn thỏa mãn f (y) < f (x) Do theo Định lý 2.1.2, tồn c ∈ (y, x) c∗k ∈ ∂ ∗ f (c) cho lim k→+∞ c∗k , y − x < Do cho k đủ lớn ta có c∗k , y − x > 0, c∗k ∈ ∂ ∗ f (c) c∗k , x − c > 0, c∗k ∈ ∂ ∗ f (c) Điều dẫn đến Bởi f tựa lồi theo Định lý 1.5.2 ta có ∂ ∗ f tựa đơn điệu Điều với ξ ∈ ∂ ∗ f (x) , ta có ξ, x − c ≥ 45 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Điều dẫn đến ∀ξ ∈ ∂ ∗ f (x) ξ, y − x ≤ 0, Vì kết chứng minh Nhận xét 2.2.4 Các điều kiện Định lý 2.1.3 tương tự Định lý 1.5.2 Nhưng vi phân Clarke hàm Lipschitz địa phương khơng thỏa mãn giả thiết tính quy tập trù mật Rn , vi phân MichelPenot lại thỏa mãn Định lý Rademacher nói hàm Lipschitz địa phương f : Rn → R khả vi tập trù mật Rn Dưới vi phân Michel-Penot đạo hàm điểm khả vi Điều f khả vi x ta có f (x, h) = ∇f (x) , h = f (x, h) Điều vi phân Michel-Penot hàm Lipschitz địa phương vi phân suy rộng hàm f quy tập trù mật Rn Hơn nữa, điểm không khả vi ta có ∂ f (x) ⊆ ∂ ◦ f (x) Vì vậy, ta có ∂ f (x) ⊂ lim ξn : ξn ∈ ∂ f (xn ) , xn ∈ D, xn → x , n→+∞ D tập điểm khả vi f ∂ f (xn ) = {∇f (xn )} ξn = ∇f (xn ) 46 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Sử dụng kĩ thuật Định lý 1.5.1 Định lý 1.5.2 ta thấy hàm Lipschitz địa phương tựa lồi vi phân Michel-Penot tựa đơn điệu Điều không cho vi phân Clarke tính quy Định lý 1.5.2 không cho vi phân Clarke 2.3 Ứng dụng vi phân suy rộng tối ưu đa mục tiêu Trong phần ta sử dụng kết gần [12] để dẫn điều kiện cần cho cực tiểu yếu tối ưu vec tơ ngôn ngữ vi phân suy rộng bán quy thành phần hàm mục tiêu hàm ràng buộc Ta xét hai trường hợp không ràng buộc có ràng buộc Xét tốn cực tiểu hóa (GVP):   F (x) = (f1 (x) , , fk (x)) ,  x ∈ C, C tập đóng Một điểm x0 ∈ C gọi điểm hữu hiệu yếu (GVP) không tồn x ∈ C cho fj (x) < fj (x0 ) với j = 1, , k Định lý 2.3.1 Xét tốn (GVP), fj hàm Lipschitz địa phương C tập lồi đóng Cho x0 ∈ C điểm hữu hiệu yếu (GVP) Giả thiết với j = 1, 2, , k, hàm fj có vi phân suy rộng bán quy bị chặn ∂ ∗ fj (x0 ) x0 Khi đó, tồn τj ≥ khơng đồng thời cho k τi co∂ ∗ fi (x0 ) + N (C, x0 ) , 0∈ i=1 47 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn N (C, x0 ) nón pháp tuyến tập lồi C x0 Chứng minh Vì x0 điểm hữu hiệu yếu (GVP) fj Lipschitz địa phương + (f1 )+ / −intRk+ , ∀v ∈ T (C, x0 ) , d (x0 , v) , , (fk )d (x0 , v) ∈ (2.5) T (C, x0 ) nón Bouligand C x0 : T (C, x0 ) = {v ∈ Rn : ∃vn → v, ∃tn → 0+ , x + tn ∈ C ∀n} , Giả sử ngược lại (2.5) khơng đúng, tồn = v ∈ T (C, x0 ) , cho + k (f1 )+ d (x0 , v) , , (fk )d (x0 , v) ∈ −intR+ (2.6) Vì C lồi, T (C, x0 ) = cone (C − x0 ), nón cone (C − x0 ) sinh tập hợp C − x0 Như tồn λn > xn ∈ C cho v = lim λn (xn − x0 ) n→+∞ Từ (2.6) ta có (f1 )+ x0 , lim λn (xn − x0 ) , , (fk )+ x0 , lim λn (xn − x0 ) d d n→+∞ n→+∞ ∈ −int Rk+ Bởi đạo hàm Dini hàm Lipschitz địa phương Lipschitz địa phương theo phương dương, ta có với n đủ lớn + k (f1 )+ d (x0 , (xn − x0 )) , , (fk )d (x0 , (xn − x0 )) ∈ −int R+ 48 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Như với n đủ lớn, tính lồi C ta tìm µ > đủ nhỏ cho x0 + µ (xn − x0 ) ∈ C, fj (x0 + µ (xn − x0 )) < fj (x0 ) , ∀j = 1, , k Đây mâu thuẫn Vì x0 fj có vi phân suy rộng bán quy ∂ ∗ fj (x0 ) , ta có x∗ , v , , sup x∗ ∈∂ ∗ f1 (x0 ) sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ fk (x0 ) + k − (f1 )+ d (x0 , v) , , (fk )d (x0 , v) ∈ R+ Điều x∗ , v , , sup x∗ ∈∂ ∗ f1 (x0 ) sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ fk (x0 ) ∈ / −intRk+ , v ∈ T (C, x0 ) Như cách áp dụng định lí tách, ta suy tồn τj ≥ 0, j = 1, 2, , k, không đồng thời cho k τj j=1 sup x∗ ∈∂ ∗ f x∗ , v ≥ 0, ∀v ∈ T (C, x0 ) (x0 ) Bằng cách áp dụng phép tính hàm tựa ta kết cần chứng minh Nhận xét 2.3.1 Chú ý điều kiện cần tối ưu cho quy tắc nhân tử Lagrange tốt trường hợp Lipschiz địa phương Chương vi phân Clarke tập thực vi phân suy rộng 49 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 2.3.2 Xét tốn (GVP) fi hàm Lipschiz địa phương C = Rn Giả sử x0 điểm hữu hiệu yếu (GVP) Với số cố định m ∈ {1, 2, , k}, hàm fm có vi phân suy rộng bị chặn ∂ ∗ fm (x0 ) x0 , với j ∈ {1, 2, , k} , với j = m, hàm fj có vi phân suy rộng bán quy bị chặn ∂ ∗ fj (x0 ) x0 Khi đó, tồn τm ≥ τj ≥ 0, j = m, không đồng thời 0, cho k τj co∂ ∗ fj (x0 ) ∗ ∈ τm co∂ fm (x0 ) + j=1,j=m Chứng minh Do số m cố định theo Định lý 3.1 [12], hệ sau (fm )− d (x0 , v) < 0, (fj )+ d (x0 , v) < 0, ∀j = 1, , k : j = m khơng có nghiệm v ∈ Rn Từ giả thiết hệ sau sup ξ∈∂ ∗ f sup ξ, v < 0, m (x0 ) ∀j = 1, , k; j = m ξ, v < 0, ξ∈∂ ∗ fj (x0 ) khơng có nghiệm v ∈ Rn Như theo định lí tách tồn τj ≥ cho k τm sup ξ, v + ξ∈∂ ∗ fm (x0 ) τj sup ξ∈∂ ∗ fj (x0 ) j=1,j=m ξ, v ≥ 0, ∀v ∈ Rm Do đó, phép tính hàm tựa ta có k ∗ τj co∂ ∗ fj (x0 ) ∈ τm co∂ fm (x0 ) + j=1,j=m 50 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì kết luận chứng minh Định lý 2.3.3 Xét toán (GVP), C = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0, i = 1, , m} fj gj Lipschiz địa phương Giả sử x0 điểm hữu hiệu yếu (GVP) Giả thiết gj có vi phân suy rộng bán quy bị chặn ∂ ∗ gj (x0 ) x0 Hơn nữa, giả sử tất hàm fj , j = m (m ∈ {1, , k} số cố định) có vi phân suy rộng bán quy bị chặn ∂ ∗ fj (x0 ) (j = m) x0 , cịn fm có vi phân suy rộng ∂ ∗ fm (x0 ) x0 Khi đó, tồn τm ≥ 0, τj ≥ 0, j = m λi ≥ không đồng thời cho k ∗ m ∗ ∈ τm co∂ fm (x0 ) + λi co∂ ∗ gi (x0 ) τj co∂ fj (x0 ) + i=1 j=1,j=m λi gi (x0 ) = Chứng minh Vì x0 nghiệm hữu hiệu yếu (VP2) từ Định lý 4.2 [12], hệ sau (fm )− d (x0 , v) < 0, (fj )+ d (x0 , v) < 0, ∀j = 1, , k; j = m, gi (x0 ) + (gi )+ d (x0 , v) < 0, ∀i = 1, , m, 51 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn khơng có nghiệm v ∈ Rn Vì vậy, hệ sau: sup ξ, v < 0, ξ∈∂ ∗ fm (x0 ) sup ∀j = 1, , k; j = m, ξ, v < 0, ξ∈∂ ∗ fj (x0 ) gi (x0 ) + x∗ , v < 0, sup ∀i = 1, , m, x∗ ∈∂ ∗ gi (x0 ) khơng có nghiệm cho v ∈ Rn Theo định lí tách tồn τj ≥ λi ≥ 0, không đồng thời không, cho k τm sup ξ, v + ξ∈∂ ∗ fm (x0 ) m + sup λi i=1 τj j=1,j=m x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ gi (x0 ) sup ξ, v ξ∈∂ ∗ fj (x0 ) m λj gj (x0 ) ≥ 0, + ∀v ∈ Rm i=1 Đặt v = biểu thức ta nhận m λi gi (x0 ) ≥ i=1 Điều λi gi (x0 ) = 0, với i = 1, , m Kết suy áp dụng phép toán hàm tựa 52 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày lý thuyết vi phân suy rộng Jeyakumar Luc [9] Dutta - Chandra [7] ứng dụng bao gồm: • Các vi phân suy rộng và ví dụ; • Các vi phân suy rộng quy, bán quy tối thiểu; • Các điều kiện đủ để vi phân suy rộng tối thiểu; • Định lý giá trị trung bình tiệm cận ngôn ngữ vi phân suy rộng; • Các quy tắc tính vi phân suy rộng bao gồm quy tắc nhân với số, quy tắc tổng, quy tắc lấy max hữu hạn quy tắc hàm hợp; • Các tính chất hàm tựa lồi hàm giả lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng; • Các điều kiện cần cho cực tiểu yếu toán tối ưu đa mục tiêu khơng có ràng buộc có hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức Dưới vi phân suy rộng ứng dụng đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 53 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1 ] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000),Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [2 ] Đỗ Văn Lưu (1999), Giải tích Lipschitz,Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tài liệu tiếng Anh [3 ] F.H.Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley-Interscience, New York [4 ] V.F.Demyanov, and A.M.Rubinov (1995), Constructive Nonsmooth Analysis, Peter Lang Verlag, Frankfurt am Main, Germany [5 ] V.F.Demyanor (1994), Convexification and concavification of a positively homogenous function by the same family of linear functions, Repert 3, 208, 802, Universita di Pisa [6 ] J.Dutta and S.Chandra (2002), Convexifactors, generalized convexity and optimality Conditions, J Optim Theory Appl 113, 41-65 [7 ] J.Dutta and S.Chandra (2004), Convexifactors, generalized convexity and vector optimization, Optimization 53, 77- 94 [8 ] J.B.Hiriart-Urruty and C.Lemarechal (1993), Convex Analysis and Minimization Algorithms, Vols.1-2,Springer Verlag, Berlin, Germany [9 ] V.Jeyakumar and D.T.Luc (1999), Nonsmooth Calculus,Minimality, and Monotonicity of Convexificators, J Optim Theory Appl 101, 599 - 621 54 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [10 ] B.S.Morduchovich, and Y.Shao (1995), On Nonconvex Subdifferential Calculus in Banach Spaces, Journal of Convex Analysis, Vol.2, 211-228 [11 ] P.Michel and J P.Penot (1992), A Generalized Derivative for Calm and Stable Functions, Differential and Integral Equations, Vol.5, 433-454 [12 ] M.Pappalardo and W.Stockhin (2001), Necessary optimality conditions in nondifferetiable vector optimization, Optimization 50, 233-251 55 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG 1.1 Dưới vi phân suy rộng vi phân 1.2 .Dưới vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng tối thiểu 1.3.Quy tắc tính vi phân suy rộng 15 1.4.Định lý giá trị trung bình 20 1.5 .Vi. .. 1.5 .Vi phân suy rộng vi phân 27 Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 31 2.1.Một số kết Dutta-Chandra vi phân suy rộng 31 2.2 .Dưới vi phân suy rộng tính lồi suy rộng. .. Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG Chương trình bày nghiên cứu vi phân suy rộng không lồi V.Jeyakumar D.T.Luc [9] bao gồm khái niệm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy tối thiểu Khái niệm vi phân