Dưới vi phân suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN TUẤN PHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số:60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái Nguyên: 08/2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG 1.1 Dưới vi phân suy rộng vi phân 1.2.Dưới vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng tối thiểu 1.3.Quy tắc tính vi phân suy rộng 15 1.4.Định lý giá trị trung bình 20 1.5.Vi phân suy rộng vi phân 27 Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 31 2.1.Một số kết Dutta-Chandra vi phân suy rộng 31 2.2.Dưới vi phân suy rộng tính lồi suy rộng 40 2.3.Ứng dụng vi phân suy rộng tối đa mục tiêu 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu phận quan trọng tối ưu hóa Với toán tối ưu không trơn, công cụ để tiếp cận nghiên cứu hiệu giải tích lồi giải tích không trơn Với toán gồm hàm mục tiêu ràng buộc Lipschitz địa phương, người ta sử dụng vi phân Clarke, vi phân Michel - Penot, vi phân Mordukhovich (xem [3], [10], [11]) Bài toán với liệu nửa liên tục xử lí công cụ hiệu vi phân Clarke - Rockafellar Khái niệm vi phân suy rộng (convexificator) lồi compăc lần nghiên cứu V.F.Demyano ([5], 1994) Đây tổng quát hóa khái niệm xấp xỉ lồi lõm Jeyakumar - Luc ([9], 1999) đưa vào khái niệm vi phân suy rộng đóng không lồi cho hàm giá trị thực mở rộng nghiên cứu quy tắc tính, định lý giá trị trung bình, vi phân suy rộng tối thiểu, tính chất hàm tựa lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng Dutta - Chandra [7] phát triển số quy tắc tính vi phân suy rộng cho hàm hợp, tính chất hàm giả lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu vài lớp toán tối ưu đa mục tiêu Luận văn trình bày lý thuyết vi phân suy rộng Jeyakumar - Luc [9] Dutta - Chandra [7] với số kết [9 ; 7] tính chất hàm tựa lồi, giả lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng điều kiện cần cho cực tiểu yếu toán tối ưu đa mục tiêu không ràng buộc có ràng buộc bất đẳng thức Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tài liệu tham khảo Chương trình bày kết nghiên cứu vi phân suy rộng không lồi Jeyakumar - Luc [9] bao gồm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy tối thiểu Chương trình bày quy tắc tính vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình, điều kiện đủ để vi phân suy rộng tối thiểu tính chất đặc trưng hàm tựa lồi ngôn ngữ tựa đơn điệu ánh xạ vi phân suy rộng Chương trình bày hai quy tắc tính vi phân suy rộng cho hàm hợp Dutta - Chandra [7] với tính chất hàm giả lồi ngôn ngữ vi phân suy rộng điều kiện cần tối ưu cho cực tiểu yếu toán tối ưu đa mục tiêu ràng buộc có ràng buộc bất đẳng thức Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, phòng đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K4 quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2012 Trần Tuấn Phương 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG Chương trình bày nghiên cứu vi phân suy rộng không lồi V.Jeyakumar D.T.Luc [9] bao gồm khái niệm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy tối thiểu Khái niệm vi phân suy rộng không lồi Jeyakumar - Luc tổng quát hóa số khái niệm vi phân biết F.H.Clarke R.T.Rockafellar, F.H.Clarke, P.Michel J.P.Penot, Các quy tắc tính vi phân suy rộng, định lý giá trị trung bình, điều kiện đảm bảo vi phân suy rộng tối thiểu điều kiện đặc trưng cho tính tựa lồi hàm liên tục ngôn ngữ tựa đơn điệu vi phân suy rộng trình bày chương 1.1 Dưới vi phân suy rộng vi phân ¯ hàm giá trị thực mở Giả sử X không gian Banach f : X → R ¯ := R ∪ {∞} Không gian đối ngẫu X kí hiệu X ∗ rộng, R với tôpô yếu* Bao lồi bao lồi đóng tập A X ∗ kí hiệu co(A) co(A) Giả sử điểm x ∈ X, f hữu hạn Đạo hàm theo phương Dini f x theo phương v định nghĩa tương ứng fd− (x, v) := lim inf f (x + tv) − f (x) , t fd+ (x, v) := lim sup f (x + tv) − f (x) t t↓0 t↓0 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.1 Hàm f : X → R gọi có vi phân suy rộng (upper convexificator) ∂ ∗ f (x) x ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu* với v ∈ X, fd− (x, v) ≤ sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ f (x) Định nghĩa 1.1.2 ¯ gọi có vi phân suy rộng (lower convexHàm f : X → R ificator) ∂∗ f (x) x ∂∗ f (x) ⊂ X ∗ đóng yếu* với v ∈ X, fd+ (x, v) ≥ inf x∗ ∈∂∗ f (x) x∗ , v Định nghĩa 1.1.3 ¯ gọi có vi phân suy rộng ∂ ∗ f (x) x Hàm f : X → R đồng thời vi phân suy rộng f x Điều có nghĩa với v ∈ X, fd− (x, v) ≤ fd+ (x, v) ≥ sup x∗ , v , x∗ ∈∂ ∗ f (x) inf ∗ x∗ ∈∂ f (x) x∗ , v Điều tương đương với điều kiện với v ∈ X, max fd− (x, v), −fd+ (x, −v) ≤ s (v|∂ ∗ f (x)) , s (v|C) := sup x∗ , v x∗ ∈C hàm tựa tập đóng yếu* C ⊂ X ∗ Chú ý vi phân suy rộng không thiết lồi, compăc yếu* Điều 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cho phép ta áp dụng cho lớp rộng hàm không trơn liên tục Chẳng hạn, hàm f : R → R xác định   √ x , x ≥ 0, f (x) =  −√−x , x < 0, nhận vi phân suy rộng không compăc [α, ∞) với α ∈ R Hàmf : R → R xác định công thức f (x) = − |x| có vi phân suy rộng không lồi: ∂∗ f (0) = {1, −1} Ta thấy nhiều loại vi phân suy rộng giải tích không trơn vi phân suy rộng ¯ hữu hạn điểm x ∈ X Nếu f nửa liên tục Giả sử f : X → R x đạo hàm Clarke-Rockafellar (the Clarke-Rockafellar upper subderivative ) f x theo v định nghĩa công thức f (x + tv ) − f (x ) , v →v t f ↑ (x, v) = lim sup inf x →f x t↓0 x → f x có nghĩa x → x f (x ) → f (x) Nếu f nửa liên tục x đạo hàm Clarke-Rockafellar (the Clarke-Rockafellar lower subderivative) f x theo v xác định công thức f (x + tv ) − f (x ) t v →v f ↓ (x, v) = lim inf sup x →f x t↓0 Nếu f liên tục x x →f x định nghĩa đạo hàm viết đơn giản x → x Các vi phân suy rộng f x cho công thức ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ↑ (x, v) , ∀v ∈ X , 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≥ f ↓ (x, v) , ∀v ∈ X Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ ∂ ↑ f (x) khác Ø, lồi , đóng yếu* X ∗ với v ∈ X ta có công thức f ↑ (x, v) = sup x, v x∗∈∂ ↑ f (x) Tương tự, f ↓ (x, 0) < +∞ ∂ ↓ f (x) khác Ø, lồi , đóng yếu* X ∗ với v ∈ X ta có công thức f ↓ (x, v) = inf x∗∈∂ ↓ f (x) x∗ , v Nếu f Lipschitz địa phương x ta có công thức f ↑ (x, v) = f ◦ x, v , f ↓ (x, v) = f◦ x, v , f ◦ (x, v) = lim sup x →x f (x + tv) − f (x ) , t t↓0 f◦ (x, v) = lim inf x →x t↓0 f (x + tv) − f (x ) t Đây đạo hàm theo phương suy rộng Clarke f x theo v Dưới vi phân suy rộng Clarke xác định ∂ ◦ f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ≤ f ◦ (x, v) , ∀v ∈ X} Hơn nữa, f ◦ (x, v) = max x∗ , v , f◦ (x, v) = x∗ , v x∗ ∈∂ f (x) x∗ ∈∂ f (x) Vì vậy, f Lipschitz địa phương x ∂ ∗ f ◦ (x) vi phân suy rộng f x với v ∈ X fd− (x, v) ≤ f ◦ (x, v) , 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn fd+ (x, v) ≥ f◦ (x, v) Tương tự f Lipschitz địa phương x đạo hàm theo phương Michel-Penot f x xác định f ♦ (x, v) = sup lim sup λ−1 [f (x + λz + λv) − f (x + λz)], z∈X λ↓0 f♦ (x, v) = inf lim inf λ−1 [f (x + λz + λv) − f (x + λz)] z∈X λ↓0 Dưới vi phân Michel-Penot định nghĩa sau ∂ ♦ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : f ♦ (x, v) ≥ x∗ , v , ∀v ∈ X Ta biết đạo hàm theo phương Michel-Penot kí hiệu f ♦ (x, ) ,f♦ (x, ) hữu hạn, tuyến tính ∂ ♦ f (x) lồi,compăc, yếu* , f ♦ (x, v) = f♦ (x, v) = max x∗ , v , x∗ , v x∗ ∈∂ ♦ f (x) x∗ ∈∂ ♦ f (x) Vì vậy, ∂ ♦ f (x) vi phân suy rộng f x với ∀v ∈ X, fd− (x, v) ≤ f ♦ (x, v) x∗ , v , fd+ (x, v) ≥ f♦ (x, v) x∗ , v Hơn nữa, X = Rn ta có ∂ ◦ f (x) = co {v ∈ Rn : ∃ {xk } : xk → x, xk ∈ K, f (xk ) → v} Như vậy, tập compắc {v ∈ Rn : ∃ {xk } : xk → x, xk ∈ K, f (xk ) → v} , 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vi phân suy rộng f x Ở K tập điểm Rn mà f khả vi với đạo hàm f (x) x Ví dụ sau minh họa: bao lồi vi phân suy rộng hàm Lipschitz địa phương chứa thực vi phân Michel-Penot Clarke Ví dụ 1.1.1 Cho hàm f : R2 → R theo công thức f (x, y) = |x| − |y| Khi ∂ ∗ f (0) = {(1, −1) , (−1, 1)} vi phân suy rộng f 0; ∂ ♦ f (0) = ∂ f (0) = co {(1, 1) , (−1, 1) , (1, −1) , (−1, −1)} Chú ý co (∂ ∗ f (0)) ⊂ ∂ ♦ f (0) = ∂ ◦ f (0) 1.2 Dưới vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng tối thiểu Từ định nghĩa vi phân suy rộng dưới, ta thấy nói chung chúng không Trong phần ta tìm điều kiện cho vi phân suy rộng và tối thiểu Trước hết ta đưa vào khái niệm vi phân suy rộng quy ¯ gọi có vi phân suy rộng quy Hàm f : X → R (upper regular convexificator) ∂ ∗ f (x) ⊂ X ∗ x, ∂ ∗ f (x) đóng yếu* với v ∈ X , fd+ (x, v) = sup x∗ , v x∗ ∈∂ ∗ f (x) 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG 1.1 Dưới vi phân suy rộng vi phân 1.2 .Dưới vi phân suy rộng quy vi phân suy rộng tối thiểu 1.3.Quy tắc tính vi phân suy rộng 15 1.4.Định lý giá trị trung bình 20 1.5 .Vi. .. 1.5 .Vi phân suy rộng vi phân 27 Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU 31 2.1.Một số kết Dutta-Chandra vi phân suy rộng 31 2.2 .Dưới vi phân suy rộng tính lồi suy rộng. .. Chương DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG Chương trình bày nghiên cứu vi phân suy rộng không lồi V.Jeyakumar D.T.Luc [9] bao gồm khái niệm vi phân suy rộng dưới, vi phân suy rộng quy tối thiểu Khái niệm vi phân