Định nghĩa N N ( 2 / i , . . . , 2 / j v ) - = ^ 2 f n ( y n ) + t ^ 2 \ \ y n - y m \ \ 2- n=1 n,m =1 Theo Bổ đề 2.15 ta có
lim (yu ...,yn) : yn e X + eB, n = 1, í—>00
N N
=..inf Dy e x + e B s ĩn (y)= s ĩn = ^ •••’ • z ề í2-1)z ề
n=1 n= 1
Cho ti —» oo sao cho
UÌU (x, (yu ...,yn) : y n G x + eB, n = 1,
+ N Ỉ '
Theo nguyên lý biến phân trơn của Borwein- Preiss, với mỗi i tồn tại một hàm ậi là /3-trơn và x ^ n = 1, N sao cho ujtị + ội đ ạt cực tiểu địa phương tại (x\ , r r ị y ) ,||v ^ ự ) i || < e / N , ị ị x ị . - x ị ị < e / i và
(2.2) < in f{ừitl( y i , - , y n ) : y n € x + E B , n = 1 , JV} £ + N Ỉ ' Với mỗi n, hàm V -> UtAxu - ’x n) + M x u - i x n - u V i x n+u - ’x n)
đạt cực tiểu địa phương tại y = x^. Do đó
N< , : = - V l > K , . . . , 4 , ) - 2 í i $ > ' í || • II2 « - o e D-t U O - < , : = - V l > K , . . . , 4 , ) - 2 í i $ > ' í || • II2 « - o e D-t U O - m= 1 (2.3) Lấy tổng hai vế ta có Ễ < > = - ỉ ( * ỉ * * ) - « i Ẽ Ẻ II • II2 K - * - ) • n= 1 n= 1 n=l m=l Thấy rằng - E V ỈB0i ( r r i , r r ^ ) n= 1 < £ và v ^ l l • II2 ( 4 - x ‘„ ) + v ^ l l • II2 (x'm - x ‘„) = 0
nên tổng kép bên trên triệt tiêu và ta th u được
N
Ện= 1
Từ ( О ) và ( Q
N N
f n (X) = lim fn « )
i^ỳ-oc
n= 1 n=l
Do fn với n = 1,..., N là các hàm nửa liên tục dưới nên lim f n ( < ) = fn ( z ) , n = 1 , N.
i-> 00
Hơn nữa, theo Bổ đề 2.15 và biểu thức(|2.2Ị) kéo theo
lim tị [diam ( { ^ i , Æjv} ) ] 2 = 0.
i—> 00 (2.4)
Do V^ll • II (я) là bị chặn bởi 2 ||:r||, kết hợp (2.4) và (2.3) ta được lim ||я*.|| dỉam ({ ^i, = 0, với n = 1 , N.
Do đó khi ỉ đủ lớn II2^ — я|| < £, I fn (xị) — f n( x) I < £
và I I II dỉam ({я*1, Æjv}) < £ với n = 1, 2, . . . , N.
Bằng cách lấy x n = х {п và x*n = Æ*., n = 1 ta có điều phải
chứng minh. □
Tiếp theo ta sẽ trình bày ba định lí về quy tắc tổng với ß—dưới đạo hàm nhớt.
Đ ịn h lý 2 .1 7 (И , Định lý 2.10 ). Cho X là không gian Banach với chuẩn tương đương ß —trön và /i , / j v ỉà các hàm nửa liên tục dưới
N ^ - í N \
tr ên X , với X G n d o m (f n) . K h i đó với m ọ i X* G D a ( ^2 fn ) (x) ,E >
n—1 Vn=l J
0 và bất kì lân cận yếu* V của 0 trong X * , đều tồn tại x n G x + eB, x*n G
D ß fn (Xn) , n = 1, N sao cho
\fn {Xn) - f n { x ) I < £
v ố i n = 1, 2 , N v à |[rr* |Ị d i a m ( { ^ ! , X N } ) < £ , * X N « E < + y - n= 1
Chứng minh. Cho £ > 0 và V là lân cận yếu* của 0 trên X *.
Cố định r > 0, tồn tại không gian con hữu hạn chiều L của X chứa
X và Vß một lân cận của 0 trong Xß sao cho Vß + L 1- + rBỵ* с V.
- í N \
Do X* G D ß Ị ^2 f n I (æ) , nên tồn tại hàm g là Lipschitz địa phương
N
sao cho g là ß—trơn tại X với v ßg (X) = X* và ^2 fn — 9 đạt tới cực
71= 1
tiểu địa phương tạ i X.
Chọn 0 < TỊ < min (£, r) sao cho \\y — æ|| < TỊ < £ suy ra v ßg (я) — jV
v ß9 (у) £ Vß và gọi ồL là hàm chỉ của L. Khi đó ^2 fn — 9 + Sl đạt
n= 1
cực tiểu địa phương tại X. Theo Mệnh đề 2.14 ( / i , f N , — g, Ỗl) nửa liên tục dưới đều địa phương.
T h e o Đ ị n h l í 2 . 1 6 t ồ n t ạ i x n v ớ i n = 1 + 2 s a o c h o II я п — ß f ( x n ) , n = 1 = x \ \ < ĩ ) < £ , n = 1, + 2,2?; G D ß f { x n ) , n = 1 , N , X* - V ß g ( x N +1) v à x*N + 2 £ D p ỗ L (iCjv+2) t h ỏ a m ã n k ế t l u ậ n c ủ a Đ ị n h l í |2.1б[ t ứ c l à If n { x n ) - f n ( x )I < 77 < £ , | K | | d i a m ( { a ; i , . . . , a ; j v } ) < | K | | d i a m ( { a ; i , . . . ,2^ + 2} ) < V < £ v ớ i n = 1 , |<$L (2^ + 2) - < ^ 0 *0 1 < TỊ t ứ c l à Z/V+ 2 € L v à N 5 3 < - V ^ Z j v + i) + Ztf+2 G r ß x *. n= 1 C h ú ý r ằ n g £>“ < ^ (2^ +2) = L-1 v à X * - V ß g ( x N + 1 ) e Vß. □ T i ế p t h e o l à m ộ t k ế t q u ả m ạ n h h ơ n
Đ ịn h lý 2.18 (|z |, Định lý 2.11). Cho ß là m ột borno lồi và X là không gian Banach với một chuẩn tương đương ß —trön. Cho /i,...,/tv
N
ỉà các hàm nửa ỉiên tục dưới và X £ П dom ( fn) . Khi đó với X* €
71= 1
/ N \
dß ( f n ) ( z ) 5 £ > 0 v à bất kì ỉ ầ n c ậ n y ế u * V c ủ a 0 t r ê n X *, t ồ n t ạ i
x n e x+eB,x*n £ D ~ f n (xn) với 71 = 1, N sao cho I fn (xn) - fn (ж)| < £, Ця* II dỉam ({æ1 5 XN }) < E, n = 1,2, N và
X
N
n = 1
Chứng minh. Cho £ > 0 và V là lân cận yếu * của 0 trong X*.
Cố định r > 0, tồn tại không gian con hữu hạn chiều L của X chứa
X sao cho L 1-+ 2rBx* с V. Lấy X* £ d ß / n^ ( x ) . Khi đó, với bấtkì К e ß kì К e ß
lim inf inf t 1
t —>0+ h e t K
' N
^ 2 Ưn {x + h ) ~ f n (z)) - ( x \ h)
_ n = 1
> 0. (2.5)Chọn một К £ ß chứa giao của L với một hình cầu nhỏ tâm 0. Khi đó Chọn một К £ ß chứa giao của L với một hình cầu nhỏ tâm 0. Khi đó (2.5) suy ra
lim inf inf t 1
0+ h e t B n L
' N
^ 2 ơn (x + h ) - fn (z)) - ( x \ h)
_ n = 1
> 0.
Do L là không gian hữu hạn chiều, nên điều này tương đương với
N
lim inf inf \\y - ưn{y) - fn{x)) - {x*,y - x)} > 0.
||0-ж||->О y - x e L
n = 1
Do đó, tồn tại TỊ < r sao cho hàm
N
У - ^ ^ 2 f n { y ) ~ { x * , y ) + r \ \ y - x \ \ + Ỗ L (у)
n = 1
đ ạt cực tiểu theo y trên X + Ĩ]B tại y = X .
Theo Mệnh đề 2.14
Ánh xạ y ( /1(2/), ...,/7v(3/), — 2/ ) , rIỊ2/ - rrII,ỗL{y)) là nửa liên tục dưới đều địa phương.
Áp dụng Định lý 2.16 tồn tại x n, với n = 1 , iV + 3 với \\xn — z|| <
TỊ < £, n = 1 , N + 3, x*n e D d f (x n), n = 1 , N X *N + 1 — x * 1 xJN + 2
r D 8 \\xN + 2 - XII và x*N+ĩ £ D ß 5L {xN+i) sao cho \fn(ocn) - f n ( x ) \ < TỊ <
||x* \\diam{{x1, : %}) < 11^\\diam{{xl , 0 C N+Ĩ}) < TỊ < £ với n = 1 , N, \ỖL (xN+s) - ỗL { x ) \ < ĩ ) tức là Zjv+3 e L và
N
Y ; x h — x * + x *N + 2 + ^JV + 3 £ rBx*-
n= 1
Thấy rằng DpỗL (xn+3) = L 1- và rDß \\xn+ 2 — rrII c rBỵ*, ta th u được
N N
x ' e + L± + 2 rB x- c + v -
n = 1 n = l
□
Đ ịn h lý 2 .1 9 ([7], Định lý 2.12 ). Cho X ỉà không gian Banach với
một chuẩn ß —trön tương đương. Cho /1, /jv ỉà các hàm nửa ỉiên tục dưới, với mọi (có thể trừ một) hàm fn, n = 1 liên tục đều địa
N
phương và X £ n dom (f n). ra = 1
N
Khi đó, với bất kì X* e fn)(x), £ > 0 và bất kì ß —lan cận V
n = 1
của 0 trên Xß tồn tại x n G X + eB, G D ß f n(xn), n = 1, sao cho
I fn (xn) - fn M I < £, IKII diam ( { ij, ...,XN }) < E, với n = 1, 2, vã X N e £ < + v. n=1
Chứng minh. Cho £ > 0 và V là lân cận của 0 trên Xß. Với r > 0, giả sử u là lân cận của 0 £ Xß sao cho u + rBỵ* c V.
_ { N \
Lấy X* G Dß Ị ^2 f n I ( z ) . Khi đó tồn tại hàm g là ß—trơn tại X
N
sao cho v ßg (X) = X* và ^2 fn — 9 đạt cực tiểu địa phương tại X. Chọn
n= 1
0 < TỊ < £ sao cho \\y — z|| < TỊ < £ suy ra v ßg (X) — v ßg (y) G u.
Theo Mệnh đề 2.14, ( / l5 f Nì — g) là nửa liên tục dưới đều địa tồn tại x n, n = 1, N + 1 với \\xn — rrII < phương. Theo Định lí 2.16
TỊ < £ , n = 1 , N + 1, x*n e D ß f n (xn) với n = 1 , N và X*N+1 = —V ßg (z/v+i) 5 sao cho
\fn (xn) - fn (z)| < 77 < £, IKII diam ({zi, ...,XN }) < £ với n =
1, N và N — ữ ' ' < r. Do đó, N ^ 2 x 1 - v ßg (xN+1) n=1 N e ^ 2 x n + (z) - v ßg (xN+1) + r B x‘ n= 1 JV JV c 5 3 < + £ /+ rB * . + n = l n = l □ 28
2.3. ứ n g dụng
Trong phần này ta sẽ tìm hiểu nghiệm nhớt của phương trình Hamilton- Jacobi (gọi tắ t là phương trình HJ) trên không gian nền X nói chung chỉ là không gian Banach có chuẩn tương đương /3—trơn. Cụ thể ta xét phương trình đạo hàm riêng
F (x, u, Du) = 0, X e X , (2.6) trong đ ó F : I x R x X* —> R là hàm đã cho và u : X —> R là ẩn hàm cần tìm.
Phương trình này chứa lớp phương trình HJ liên kết với hàm giá trị tối ưu của một số bài toán điều khiển tối ưu. Nói chung, (2.6) không có nghiệm cổ điển. Khái niệm nghiệm nhớt của phương trình đó đã được Crandall và Lions giới thiệu từ đầu th ập niên 80 của thế kỉ trước. Cho đến nay, khái niệm đó đã được chứng minh là thích ứng tố t không chỉ với các phương trìn h đạo hàm riêng phi tuyến cấp một m à cả với lớp phương trình đạo hàm riêng cấp hai. Khái niệm ban đầu của nghiệm nhớt được định nghĩa thông qua dưới đạo hàm Fréchet, áp dụng tố t đối với các không gian Banach có chuẩn tương đương Fréchet-trơn (thường gọi tắ t là không gian trơn Fréchet). Đối với các không gian không trơn Fréchet, ta cần có những khái niệm tương thích.
Đ ịn h n g h ĩa 2.20 ([7], Định nghĩa 3.1 ). Cho X là không gian Banach với chuẩn tương đương /3—trơn. Một hàm u : X —>■ R là một /3—nghiệm
X* G D g u (X) ta đều có
F (z, u ( z ) , X*) < 0.
Một hàm u : X —>■ R là một ệ —nghiệm nhớt trên của (2.6) nếu u là nửa liên tục dưới với mọi X £ X và X* £ DpU (x) ta đều có
F (X, u ( z ) , X*) > 0.
Một hàm liên tục u được gọi là một /3—nghiệm nhớt nếu u vừa là /3—nghiệm nhớt trên, vừa là /3—nghiệm nhớt dưới.
Đối với nghiệm nhớt của phương trình trên không gian Banach trơn Fréchet, các tính chất định tính đã được đề cập khá đầy đủ, từ sự tồn tại, sự phụ thuộc liên tục, tính duy nhất (xem |ỊZỊ, fH] và các tài liệu trong đó), trong đó vấn đề duy nhất nghiệm được đặc biệt chú ý. Sau đây là một kết quả về tính chất này đối với /3—nghiệm nhớt.
Đ ịn h lý 2.21 ([ĨJ, Định lý 3.2 ). Cho X là không gian Banach với chuẩn
tương đương P—trơn. Giả sử rằng 7 > 0, F (X, u, X*) = 7u + H (z , X*) và H : X X Xp R thỏa mãn giả thiết sau:
(A) Với bất kỳ X1, rr2 € X và x\ e Xạ,
ị H i x u x l ) - H ( x2, xl)\ < U)(X! - x 2ìxl - x*2)
+ M maxdịxlịị, 1 1 ^ 2 l í ) 1 1 ^ 1 — " ^2I Iĩ
trong đó M > 0 là hằng số và u> : X X Xp —>■ R là hàm liên tục với
uj( 0,0) = 0.
Giả sử u và V là hai hàm liên tục đều sao cho V bị chặn dưới và u bị chặn trên. Nếu u là một /3—nghiệm nhớt dưới của (12.61) và V là một
/3—nghiệm nhớt trên của (2.6) thì u < V
Chứng minh. Cho E > 0 là một số dương tùy ý.
Theo giả thiết (j4), tồn tại TỊ £ (0,e) và một lân cận V của 0 trên
x*p sao cho nếu 11^1 — £2II < 2TỊ và x\ — x*2 £ V, thì
ị H i x u x Ị ) - H (x2ìx2)1 < £ + M max.(\ịxl\ị, \\xl\\) \\x1 - x 2\\.
Hàm u — V là liên tục đều và bị chặn dưới. Theo nguyên lý biến phân trơn, tồn tại X £ X và X * e D p ( v — ù) (z) sao cho X * + ị v c V và
(u — V) (z) < inf (v — u) + £.
X
Theo Định lý 2.19 với /1 = V và /2 = — u, tồn tại X i , X2 £ X , x\ e D p v { x1) và x\ G Dp u (x2) thỏa mãn
(i) II2?! — x\ị < Tj và \\x2 - z|| < 77;
(ii) |l> (xi) — V (z)| < £ và \u (x2) — u ( x ) I < £]
(iii) ||a;ĩ|| lỊrri - x 2\\ < £ và ll^ll 11^1 - x 2\\ < £]
(iv) x\ — x*2 — X* £ ịv.
Do hàm u là nghiệm nhớt dưới của (2.6) nên ta có
F (x2, u (x2) , x\) = 7u {x2) + H (x2, xl ) < 0 Tương tự
Khi đó do lịrri — rr2 II < 2ĩ) và x\ — x*2 £ V nên inf (v — u) > (v — u) (x) — £ > V (zi) — u (X2) — 3e X > 7“ 1 [H (x2ì x*2) - H ( x u ÍCĨ)] - Se > —7_1 [e + M m a x ( | | x j | | , 11^2 II) ||íCi — z 2 ||] — 3e > —7 _1 [(l + M ) + 3]e.
Do £ tùy ý nên inf (v — u) > 0. Vậy ta có điều phải chứng minh. □
H ệ q u ả 2.22 ([7J, Hệ quả 3.3 ). Dưới giả thiết của Định ỉý 2.21, bất ỳ P—nghiệm nhớt của (2.6) bị chặn và liên tục đều là duy nhất.
Tiếp theo ta đề cập tới một ứng dụng cụ thể của /3—nghiệm nhớt thông qua việc chỉ ra hàm giá trị tối ưu của một bài toán điều khiển tối ưu là /3—nghiệm nhớt của phương trình HJ tương ứng.
Cho X là không gian Banach với chuẩn /3—trơn và u là không gian metric. Bây giờ ta xét bài toán điều khiển tối ưu sau trên X
00
P(x): Min J (x, u) := f e_7S/ {x ( s ) , u (s)) ds với điều kiện
0