NGUYÊN LÍ QUY NẠP I Nguyên lí quy nạp: Giả sử M phận tập hợp số tự nhiên N thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) 2) Khi ta có II Phép chứng minh quy nạp: Định lí: Giả sử hàm mệnh đề P(n) với biến tự nhiên n, thỏa mãn điều kiện: 1) P(0) đúng: 2) Nếu P(n) P(n’) Khi P(n) với số tự nhiên Phép chứng minh quy nạp: Để chứng minh mệnh đề P(n) với n N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, tiến hành theo hai bước sau: Bước sở: Kiểm tra mệnh đề với Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề P(n) => P(n’) Để chứng minh mệnh đề kéo theo này, ta giả thiết mệnh đề P(n) với số tự nhiên n = k, (k ≥ 1) (ta gọi giả thiết quy nạp) chứng minh với n = k’ (k’= k+1) Một số dạng khác phép chứng minh quy nạp: a Với , đó: Bước sở: Kiểm tra mệnh đề với Bước quy nạp: Ta giả sử P(n) với chứng minh P(k’) Ví dụ 1: Với chứng minh rằng: 12 + 2 + + n = Với n=1, ta có: 1(1 + 1)(2 + 1) 12 = 12 + 22 + + k = k (k + 1)(2k + 1) Ta chứng minh (1) với (1) 12 + 22 + + n = Vậy Giả sử (1) với , tức là: n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(2n + 1) với n=1 12 + 22 + + k + (k + 1) = k (k + 1)(2k + 1) + ( k + 1) k (2k + 1) (k + 1)(2k + k + 6) ( k + 1)( k + 2)(2k + 3) = (k + 1) + (k + 1) ÷ = = 6 12 + 22 + + n = Vậy n(n + 1)(2n + 1) với b Trong số toán phức tạp, ta phải chứng minh quy nạp theo bước sau: Bước sở: Kiểm tra mệnh đề với n=0 Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề III Bài tập: ∗ − − − n≥a Cách giải: Để chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên , người ta thường dùng phương pháp chứng minh qui nạp toán học Phương pháp tiến hành theo ba bước sau: Bước 1: Chứng minh P(n) Bước 2: Giả sử P(k) với số tự nhiên tùy ý , ta chứng minh P(k+1) Bước 3: Kết luận P(n) với số tự nhiên Dạng I Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chứng minh với ta có: (2) Hướng dẫn giải: Xét với n=1, ta có: VT =1; VP = =1⇒ VT=VP Vậy (2) với n=1 Giả sử (2) với n=k (k ≥1), ta có: (2*) (giả thiết quy nạp) Phải chứng minh (2) với n=k+1, tức phải chứng minh: (2**) Ta có: VT(2**) = (theo (2*)) = VP(2**) Vậy (2) với n=k+1 Vậy với ta có: Bài 2: Chứng minh với ta có: (3) Hướng dẫn giải: Xét với n=1, ta có: VT ; VP ⇒VT= VP Vậy (3) với n=1 Giả sử (3) với n=k (k≥1), ta có: (3*) (giả thiết quy nạp) Phải chứng minh (3) với n=k+1, tức phải chứng minh: (3**) Ta có: VT(3**) = = (theo(3*)) = VP(3**) Vậy (3) với n=k+1 Vậy với ta có: Bài tập tự luyện: Chứng minh với ta có: a b c d Dạng II Chứng minh bất đẳng thức Bài 3: Chứng minh với số nguyên dương , ta có (3) Giải Với , ta có VT =8; VP=7, nên (3) với Giả sử (3) với n=k, tức , Ta chứng minh (3) với n=k+1 tức phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có Vậy (3) với số nguyên Bài 4: Chứng minh với số nguyên dương , ta có (4) Giải Với n=2, ta có VT =9; VP=7 , nên (4) với n=2 Giả sử (4) với n=k, tức Ta chứng minh (4) với n=k+1 tức phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Vậy (4) với số nguyên Bài tập tương tự a Chứng minh với số nguyên dương , ta có: b Chứng minh với số nguyên dương , ta có: c Chứng minh với số nguyên dương , ta có: Dạng III Chứng minh chia hết Bài 5: Cho n số nguyên dương, chứng minh rằng: (1) Hướng dẫn giải: Xét với n=1 ta có: A = ⋮ Vậy (1) với n=1 Giả sử (1) với n=k, tức : (2) (giả thiết quy nạp) Phải chứng minh (1) với n=k+1, tức phải chứng minh Ta có: (ở bước phải làm xuất giả thiết quy nạp) Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên (hiển nhiên) Vậy (1) với n=k+1 Kết luận: Vậy với n số nguyên dương Bài 6: Cho n số nguyên dương, chứng minh rằng: (1) Hướng dẫn giải: Xét với n=1 ta có: Vậy (1) với n=1 Giả sử (1) với n=k, tức là: (2) (giả thiết quy nạp) Phải chứng minh (1) với n=k+1, tức phải chứng minh Ta có: (ở bước phải làm xuất giả thiết quy nạp) Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên: ⋮9 9(5k−2) ⋮ (hiển nhiên) Vậy (1) với n=k+1 Vậy với n số nguyên dương Bài tập tự luyện: Cho n số nguyên dương, chứng minh rằng: a b c d