TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC ĐỀ CÁC

Mục LụcNHÀ TOÁN HỌC DESCARTESLỜI NÓI ĐẦU2I.Tiểu sử Sự nghiệp:31.Tiểu sử : (Story).32.Sự nghiệp (Career).4II.Vai trò đối với lịch sử: (The role of history)41.Vai trò đối với triết học : (The role of philosophy).42.Vai trò đối với khoa học: (The role of course ).53.Vai trò đối với toán học: (The role of math).5III.Thành tựu tiêu biểu (Typical achievement).71.Hệ tọa độ Descartes: (Coordinates Descartes)82.Trục tọa độ (1 chiều)93.Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều): (Coordinates system in the plane – two way)94.Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều):( Coordinates in space)11IV.Ứng dụng hệ tọa độ Descartes để giải một bài toán trong thực tế: (Coordinates system application in practice)12LỜI NÓI ĐẦUToán học là một trong những môn khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng chưa bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay. Ở thời đại chúng ta những phát minh mới mẽ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất nhiều nghành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay toán học không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hóa học, sinh học và nhiều nghành khoa học xã hội khác nữa. Toán học có nguồn gốc lịch sử và thăng trầm như thế nào sau đây nhóm thuyết trình của chúng tôi xin làm rõ hơn về một phần nhỏ trong chặng đường dài của lịch sử toán học hàng ngàn năm qua. Đó là cuộc đời, sự nghiệp và thành tựu đóng góp của René Descartes trong rất nhiều các lĩnh vực trong đó có lĩnh vực toán học. Vậy Descartes đã có nhưng công trình nghiên cứu vĩ đại nào, đóng góp gì cho toán học, khoa học, mà ông được hậu thế xem là 1 trong những nhà toán học lỗi lạc của nhân loại? Chúng tôi sẽ giúp các bạn phần nào hiểu hơn về ông qua bài tiểu luận “Cuộc đời và sự nghiệp của Descartes”.Nhóm thuyết trình xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và hướng dẫn của Thầy Phạm Trung Thiện trong suốt quá trình thực hiện bài tiểu luận. Tuy nhiên do kiến thức còn thiếu và tài liệu còn nhiều hạn chế nên bài tiểu luận khó tránh khỏi những sai sót, nhóm thuyết trình rất mong sẽ nhận được sự nhận xét, góp ý của Thầy để bài tiệu luận của chúng em được hoàn thiện hơn.NHÀ TOÁN HỌC DESCARTES( ĐỀCÁC )NHÓM VI Tiểu sử Sự nghiệp:Tiểu sử : (Story). Descartes (1596–1650), sinh tại La Haye, Touraine (trước đây là một tỉnh, nay gọi là một vùng của Pháp). Ông là một nhà bác học người Pháp lỗi lạc, là một nhà triết học, toán hoc, vật lí học, sinh lí học. Đề Các mồ côi từ nhỏ nhưng vốn thuộc tầng lớp quý tộc nên được nuôi dưỡng và dạy dỗ trong một trường dòng. Bối cảnh thời đại: (The context of the times) Lên tám tuổi, ông được gửi theo học tại trường học của dòng Tên tại La Flèche ở Anjou, ông học ở đây suốt 8 nămSuốt đời ông luôn luôn tự cải tạo trong khoa học mà ông hết lòng say mê nó. Mục đích nghiên cứu của ông là sáng tạo ra phương pháp suy diễn toán học tổng quát cho việc nghiên cứu mọi vấn đề khoa học tự nhiên. Chủ nghĩa duy lí trong quan điểm của Đề Các, trước hết thừa nhận lí trí và sự suy diễn chặt chẽ là nhằm chống lại triết học kinh viện của nhà chung. Sau khi ra trường, ông theo học luật tại Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616. Năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo của Liên hiệp các tỉnh Hà Lan, với ý định theo đuổi một cuộc đời binh nghiệp. Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ các quân đội khác, nhưng ông đã bắt đầu tập trung vào toán học và triết học. Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau đó từ 1624 đến1628, ông ở Pháp. Trong thời gian ở Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học và làm các thí nghiệm về quang học. Năm1628, sau khi bán hết tài sản ở Pháp, ông chuyển sang sống ở Hà Lan, và sống hầu hết quãng đời còn lại ở xứ hoa tuylip. Descartes sống ở nhiều thành phố khác nhau của Hà Lan, như Amsterdam, Deventer, Utrecht, và Leiden. Năm 1649 Nữ hoàng Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng dạy cho bà về triết học tại triều đình ở Stockholm. Cái lạnh khắc nghiệt của xứ Bắc Âu đã làm ông mắc bệnh viêm phổi và qua đời năm 1650.Sự nghiệp (Career). Descartes là triết gia, nhà khoa học, nhà toán học người Pháp, được một số người xem là cha đẻ của triết học hiện đại. Ông là một nhà một nhà bác học duy vật. Đềcác khẳng định vật chất là cơ sở duy nhất của tồn tại và nhận thức. Tính chất quan trọng của vật chất là tính phân chia được và tính cơ động, bản chất của vật chất là đặc tính 3 chiều của nó. Ông cho rằng toán hoc phải phản ánh những tính chất của vật chất. Toán học không thể chỉ là khoa học về số hoặc về hình. Toán học là khoa học nhiều mặt, trong đó phải có tất cả các vấn đề liên quan đến thứ tự và đo đạc. Toàn bộ nội dung của toán học phải được khảo sát theo những quan điểm thống nhất, được nghiên cứu bằng một phương pháp duy nhất. Bản thân tên gọi môn khoa học này cũng phải phản ánh được tính chất tòn diện của nó. Đề Các đề nghị gọi nó là “Toán học vạn năng”. Những quan niệm chung này được nêu cụ thể trong tác phẩm nổi tiếng của ông “Phương pháp luận” ra đời năm 1637 cùng với 3 phụ lục về “Quang học”, “Thiên văn học” và “Hình học”. Phụ lục thứ 3 ngày nay gọi là hình học giải tích đã tôn ông lên hang bất tử vì ông đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp giữa hình học và đại số. Vai trò đối với lịch sử: (The role of history)Vai trò đối với triết học : (The role of philosophy). Suốt đời mình Descartes chuyên tâm nghiên cứu khoa học, quên cả lập gia đình. Ông từng tuyên bố: niềm vui cuộc sống lớn nhất của tôi là niềm vui tư tưởng trong những tìm tòi chân lý. Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học. Descartes cho rằng Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học. Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học. Trước đó, triết học bị chi phối bởi phương pháp của phái Kinh viện, vốn hoàn toàn dựa theo sự so sánh và đối chiếu với quan điểm của nhà cầm quyền. Bác bỏ phương pháp này, Descartes cho rằng Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học. Qua đó ông chỉ ra rằng không điều gì được xem là đúng cho đến khi nền tảng để tin rằng nó đúng được thiết lập. Sự chắc chắn duy nhất làm điểm xuất phát cho các nghiên cứu của ông được ông bày tỏ bằng câu nói nổi tiếng Cogito, ergo sum, (tiếng Latinh, Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại). Từ tiên đề cho rằng ý thức rõ ràng về tư duy của ông chứng minh rằng ông tồn tại, Descartes kết luận là Chúa tồn tại. Chúa, theo triết học Descartes, đã tạo ra hai loại chất để tạo nên toàn bộ vạn vật. Loại thứ nhất là chất suy nghĩ, tức tinh thần, loại thứ hai là các chất mở rộng, tức thân thể. Trong tiếng Pháp, tính từ cartésien (hoặc cartésienne dạng giống cái) dùng để chỉ những nhân cách có xu hướng tư duy logic hơn là cả tin. Cartésien có từ nguyên là tên của Descartes. Tiếng Anh cũng có tính từ cartesian với ý nghĩa tương đương.Vai trò đối với khoa học: (The role of course ). Triết học Descartes, có khi được gọi là Cartesianism (tiếng Anh), đã khiến cho ông có nhiều giải thích sai lầm về các hiện tượng vật lý. Tuy nhiên, các giải thích đó cũng có một giá trị nhất định, vì ông đã dùng những giải thích cơ học thay cho những quan điểm tinh thần mơ hồ của các tác giả đi trước. Ban đầu Descartes đã công nhận thuyết Copernicvề hệ thống vũ trụ trong đó các hành tinh xoay quanh Mặt Trời, nhưng ông đã từ bỏ nó chỉ vì giáo hội Thiên Chúa La Mã phán rằng thuyết đó tà đạo. Thay vào đó ông đưa ra lý thuyết dòng xoáy – cho rằng vũ trụ được lấp đầy vật chất, ở các trạng thái khác nhau, xoáy quanh mặt trời. Trong lĩnh vực sinh lý học, Descartes giữ quan điểm rằng máu là một chất lỏng tinh tế mà ông gọi là hồn của động vật. Ông tin rằng hồn động vật tiếp xúc với chất suy nghĩ ở trong não và chảy dọc theo các dây thần kinh để điều khiển cơ bắp và các phần khác của cơ thể. Về quang học, Descartes đã khám phá ra định luật cơ bản của sự phản xạ: góc tới bằng góc phản xạ. Tiểu luận của ông là văn bản đầu tiên trình bày đề cập đến định luật này. Việc Descartes xem ánh sáng như một thứ áp lực trên môi trường chất rắn đã dẫn đường cho lý thuyết sóng của ánh sáng.Vai trò đối với toán học: (The role of math).Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo nên chúng. Ông cũng có những đóng góp vào lý thuyết về các đẳng thức. Ông cũng đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số (chẳng hạn trong biểu thức x²). Mặt khác, chính ông đã thiết lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương của bất cứ phương trình đại số nào. Descartes là người đi tiên phong trong việc xác lập toán học hiện đại, với những ký hiệu x, y, z để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái để chỉ các giá trị đã biết. Hình học giải tích của Đề Các: (Analytic geometry of Đề các) Hai tư tưởng sau đây là cơ sở trong toàn bộ “Hình học” của Đề Các: Đưa đại lượng biến thiên vào và sử dụng hệ trục tọa độ vuông góc. Tập “Hình học” của Đề Các gồm 3 quyển: + Quyển I: Nói “Về các bài toán có thể giải được chỉ cần các đường tròn và đường thẳng”. Nội dung cơ bản là những quy tắc lập phương trình cho những đường cong hình học. Ông đã chứng minh rằng mọi bài toán hình học có thể giải được bằng thước và compa đều đưa về việc giải các phương trình không cao hơn bậc hai. Đề các không trình bày cặn kẽ và tổng quát những quy tắc chung của môn hình học giải tích mà chỉ xen vào giới thiệu trong lời giải những bài toán khó.+ Quyển II: Viết về “Bản chất của các đường cong”. Nội dung cơ bản là việc khảo sát cụ thể các đường cong bậc khác nhau, sự phân loại chúng và trình bày các tính chất của chúng. Đề các phân loại đường cong căn cứ vào chỗ có thể khảo sát chúng bằng các công cụ do ông sử dụng hay không. Theo đó, những đường cong thừa nhận được là những đường cong có thể vạch ra bằng một chuyển động liên tục hoặc bằng một số những chuyển động như thế, trong đó chuyển động sau phải được xác định bởi chuyển động trước (nhờ thước và compa). Những đường cong còn lại ông gọi là đường.cong cơ học (về sau Lepsnit gọi là đường cong siêu việt). + Quyển III: Đề cập “Những bài toán về các khối, các thể”. Nội dung là xây dựng lí thuyết tổng quát về việc giải phương trình và sử dụng quỹ tích cùng với các công cụ đại số để giải phương trình.Tập hình học của Đề các đã đánh dấu một bước tiến có giá tri nguyên tắc trong việc cải tổ toán học và giá trị đó lớn đến mức độ làm cho tác phẩm này trở thành kinh điển. Tập “Hình học” của Đềcác còn nêu tư tưởng mới có tác dụng phát triển đại số lí thuyết.Tóm lại: Descartes là người có tư tưởng quan trọng, ông có công lớn trong việc gắn kết 2 lĩnh vực toán học và khoa học. Khoa học  Toán HọcLà linh hồn, trái tim của khoa học.Không đơn thuần là những công thức, những đáp sốThành tựu tiêu biểu (Typical achievement). Có một câu chuyện vui, về việc mà Descartes đã phát minh ra hệ trục tọa độ.Đó là, sinh thời lúc còn bé Descartes là một người ốm yếu, ông sống suốt ngày hầu như chỉ ở trên giường. Ông thường được người lớn ưu ái cho ngủ “nướng”. Vào một ngày nọ, trong giấc ngủ dài, ông mơ màng thấy chú nhện nhện, đu đu đưa đưa trên cái lưới của mình, rồi chú thả tơ đi xuống đi lên…Với một bộ óc thiên tài, sáng sớm hôm sau, thức vậy ông đã kết hợp những điều mình thấy trong giấc mơ với toán học… và thế là hệ tọa độ Descartes ra đời. Kết quả là ngày nay, học sinh chúng ta phải thường xuyên vẽ đi vẽ lại hai đường thẳng vuông góc với nhau… _Hệ tọa độ Descartes: (Coordinates Descartes)Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.Descartes có công lao rất lớn trong việc nối kết giữa Toán Học cổ đại và hiện đại và đồng thời là người đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp giữa đại số và hình học Euclide. Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học bản đồ.Cổ đại Hiện đạiHình học Đại số Chuyển thể Toán HọcĐường và mặt □(→┴(Tất cả được quy về ) ) Phương trình đại số.Mặt phẳng tọa độ:ĐiểmTọa độ điểm Hình học đã biết Điểm là một (nền móng) cặp số dạng (x;y). Trừu tượng1 chiều1 số Điểm làĐiểm2 chiều2 số chiều trong 3 chiều3 số không gianLúc chưa có hình học giải tích các đường thẳng, đường tròn, elip, mặt cầu… chỉ được vẽ và biểu diễn trên giấy một cách trực quan. Nhưng khi hình học giải tích của Descartes ra đời thì các các đường, các mặt được quy về một dạng phương trình đại số tổng quát để biểu điễn. Ví dụ như:Phương trình tổng quát của mọi đường thẳng được biểu điễn thành phương trình đại số sau: ax+by+c=0 với a2+b2≠0Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(a;b) và một số thực R với R>0. Khi đó đường tròn tâm I(a;b) bán kính R có phương trình dạng: 〖(xa)〗2+〖(yb)〗2=R2Mặt phẳng (P) qua điểm M(x_0;y_0;z_0) và vecto pháp tuyến n ⃗=(A;B;C) có dạng (P):(xx_0 )+B(yy_0 )+C(zz_0 )=0 Trong tọa độ không gian Oxyz. Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R>0 có dạng: 〖(xa)〗2+〖(yb)〗2+〖(zc)〗2=R2Trục tọa độ (1 chiều): (Coordinate aixs)Trục toạ độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng trên đó đã xác định điểm O và một vectơ i ⃗ có độ dài bằng l. Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ i ⃗ gọi là vectơ đơn vị của trục toạ độTrục tọa độ như vậy được kí hiệu là (O;i ⃗ ) Toạ độ của điểm trên trục:Cho điểm M nằm trên trục (O;i ⃗ ). Khi đó số m xác định để (OM) ⃗=mi ⃗. Số m như thế gọi là tọa độ của điểm M đối với trục (O;i ⃗ ) ( cũng là tọa độ của vecto (OM) ⃗)Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều): (Coordinates system in the plane – two way)Hệ trục tọa độ (coordinate axis) trong mặt phẳng bao gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau. Vecto đơn vị trên trục Ox là i ⃗, vectơ đơn vị trên trục Oy là J ⃗.Điểm O gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0). Trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Hệ trục toạ độ vuông góc như trên còn gọi đơn giản là hệ trục toạ độ và kí hiệu là Oxy hay (O;i ⃗;J ⃗).Tọa độ điểm trong hệ trục Oxy:Trong măt phẳng toạ độ Oxy, tọa độ của vectơ (OM) ⃗ được gọi là toạ độ của điểm M.Tổng quátVới hai điểm: M(x_M;y_M ),N(x_N;y_N ). (MN) ⃗=(x_Nx_M;y_Ny_M)Một số hình minh họa về điểm trong hệ trục tọa độ Oxy: Hình 1: Hệ tọa độ ĐềCác với bốn góc phần tư. Các mũi tên ở hai đầu của mỗi trục nhằm minh họa rằng các trục này trải dài vô tận theo hướng của mũi tên. Hình 2: Hệ tọa độ ĐềCác với một đường tròn có tâm trùng với gốc tọa độ và bán kính bằng 2. Đường tròn này có phương trình: x2+ y2 = 4. Hình 3: Hệ tọa độ ĐềCác với bốn điểm lần lượt có tọa độ: A (2,3), B(3,1), C(1.5,2.5) và O(0,0), gốc tọa độ.Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều):( Coordinates in space) Hệ gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gianThuật ngữ và ký hiệu:Hệ trục tọa độ trong định nghĩa trên còn được gọi đơn giản là hệ tọa độ trong không gian, ký hiệu là Oxyz. Ta thường gọi các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là i ⃗;j ⃗;k ⃗ và còn ký hiệu hệ trục tọa độ là (O;i ⃗;j ⃗;k ⃗ ) .Điểm O gọi lả gốc của hệ tọa độ, Ox gọi là trục hoành, Oy là trục tung và Oz là trục cao.Các mặt phẳng đi qua 2 trong 3 trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ, ta ký hiệu chúng là mp(Oxy), mp(Oyz) và mp(Ozx).Khi không gian đã có 1 hệ tọa độ Oxyz thì nó được gọi là không gian tọa độ Oxyz hoặc đơn giản hơn là không gian Oxyz.Chú ý các đẳng thức sau: i2=j2=k2=1i ⃗.j ⃗=j ⃗.k ⃗=k ⃗.i ⃗=0Tọa độ điểm trọng hệ trục Oxyz:Trong không gian tọa độ Oxyz, mỗi điểm M được hoàn toàn xác định bởi vecto (OM) ⃗. Bởi vậy, nếu (x;y;z) là tọa độ của (OM) ⃗ thì ta cũng nói (x;y;z) là tọa độ của điểm M và ký hiệu là M=(x;y;z) hoặc M(x;y;z).Như vậy: M=(x;y;z)⇔(OM) ⃗=xi ⃗+yj ⃗+zk ⃗ Số x gọi là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của điểm M. Ứng dụng hệ tọa độ Descartes để giải bài toán thực tế: (Coordinates Descartes applications to solve realworld problems)Bài toán đo chiều cao cổng Acxơ:Khi du lịch đến thành phố Lui nước Mĩ ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng Parabol với bề lõm quay xuống dưới. Đó là cổng Acxơ.Làm thế nào chúng ta có thể đo được chiều cao của cổng (khoảng cách từ điểm cao nhất tới mặt đất). Vấn đề đặt ra:Tính chiều cao của cổng khi ta không thể dung dụng cụ đo đạc để tính trực tiếp.Cổng dang Parabol có thể xem là đồ thị của hàm bậc 2, chiều cao của cổng ứng với đỉnh Parabol. Do đó vấn đề được giải quyết nếu ta biết được hàm số bậc 2 nhận cổng làm đồ thị.Chọn hệ trục Descartes cho không gian tọa độ 2 chiều Oxy sao cho gốc O trùng với 1 chân của cổng. Dựa vào đồ thị ta thấy chiều cao của cổng chính là tung độ của đỉnh Parabol.Như vậy chiều cao của cổng chúng ta sẽ tính được nếu biết hàm số bậc 2 nhận cổng Acxơ làm đồ thị.Phương án giải quyết:Ta biết hàm số bậc 2 có dạng: y=〖ax〗2+bx+c do vậy muốn biết được đồ thị hàm số nhận cổng làm đồ thị thì ta cần biết ít nhất tọa độ của 3 điểm nằm trên đồ thị chẳng hạn O, B, M.Rõ ràng ta có O(0;0); M(x;y); B(b;0). Ta cần phải đo đạc để lấy số liệu cần thiết.Đối với trường hợp này ta cần đo: Khoảng cách giữa 2 chân cổng, và 1 điểm M bất kỳ chẳng hạn b=162,x=10,y=43.Ta viết được hàm số bậc 2 lúc này là: y=(43)1520 x2+3483760 xDựa vào phương trình trên ta tính được đỉnh S(81m,185,6m)Vậy trong trường hợp này cổng cao 185,6m. Trên thực tế cổng Acxơ cao 186m.Khi đó ta có thể đưa cho học sinh một tình huống tương tự là tính chiều cao của 1 nhịp cầu Trường Tiền.

Mục Lục

NHÀ TOÁN HỌC DESCARTES

LỜI NÓI ĐẦU 2

I Tiểu sử -Sự nghiệp: 3

1. Tiểu sử : (Story) 3

2. Sự nghiệp (Career) 4

II. Vai trò đối với lịch sử: (The role of history) 4 1. Vai trò đối với triết học : (The role of philosophy) 4

2. Vai trò đối với khoa học: (The role of course ) 5

3. Vai trò đối với toán học: (The role of math) 5

III. Thành tựu tiêu biểu (Typical achievement). 7 1 Hệ tọa độ Descartes: (Coordinates Descartes) 8

2 Trục tọa độ (1 chiều) 9

3. Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều): (Coordinates system in the plane – two way) 9

4. Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều):( Coordinates in space) 11

IV. Ứng dụng hệ tọa độ Descartes để giải một bài toán trong thực tế: (Coordinates system application in practice) 12

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là một trong những môn khoa học cổ nhất của loài người Nhưng chưa bao giờ toán học phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày nay

Ở thời đại chúng ta những phát minh mới mẽ của toán học xuất hiện hàng ngày, rất nhiều nghành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn Ngày nay toán học không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hóa học, sinh học

và nhiều nghành khoa học xã hội khác nữa

Toán học có nguồn gốc lịch sử và thăng trầm như thế nào sau đây nhóm thuyết trình của chúng tôi xin làm rõ hơn về một phần nhỏ trong chặng đường dài của lịch

sử toán học hàng ngàn năm qua Đó là cuộc đời, sự nghiệp và thành tựu đóng góp của René Descartes trong rất nhiều các lĩnh vực trong đó có lĩnh vực toán học Vậy Descartes đã có nhưng công trình nghiên cứu vĩ đại nào, đóng góp gì cho toán học, khoa học, mà ông được hậu thế xem là 1 trong những nhà toán học lỗi lạc của nhân

loại? Chúng tôi sẽ giúp các bạn phần nào hiểu hơn về ông qua bài tiểu luận “Cuộc đời và sự nghiệp của Descartes”.

Nhóm thuyết trình xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và hướng dẫn của Thầy

Phạm Trung Thiện trong suốt quá trình thực hiện bài tiểu luận Tuy nhiên do kiến

thức còn thiếu và tài liệu còn nhiều hạn chế nên bài tiểu luận khó tránh khỏi những sai sót, nhóm thuyết trình rất mong sẽ nhận được sự nhận xét, góp ý của Thầy để bài tiệu luận của chúng em được hoàn thiện hơn

GVHD: Phạm Trung Thiện

NHÀ TOÁN HỌC DESCARTES

( ĐỀ-CÁC ) NHÓM VI

I. Tiểu sử -Sự nghiệp:

1 Tiểu sử : (Story).

- Descartes (1596–1650), sinh tại La

Haye, Touraine (trước đây là một tỉnh, nay

gọi là một vùng của Pháp)

- Ông là một nhà bác học người Pháp lỗi lạc,

là một nhà triết học, toán hoc, vật lí học, sinh

lí học Đề Các mồ côi từ nhỏ nhưng vốn

thuộc tầng lớp quý tộc nên được nuôi dưỡng

và dạy dỗ trong một trường dòng

* Bối cảnh thời đại: (The context of the

times)

- Lên tám tuổi, ông được gửi theo học tại

trường học của dòng Tên tại La

Flèche ở Anjou, ông học ở đây suốt 8 năm

-Suốt đời ông luôn luôn tự cải tạo trong khoa

học mà ông hết lòng say mê nó Mục đích

nghiên cứu của ông là sáng tạo ra phương pháp suy diễn toán học tổng quát cho việc nghiên cứu mọi vấn đề khoa học tự nhiên Chủ nghĩa duy lí trong quan điểm của Đề Các, trước hết thừa nhận lí trí và sự suy diễn chặt chẽ là nhằm chống lại triết học kinh viện của nhà chung

- Sau khi ra trường, ông theo học luật tại Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616

- Năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo của Liên hiệp các tỉnh Hà Lan, với ý định theo đuổi một cuộc đời binh nghiệp Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ các quân đội khác, nhưng ông đã bắt đầu tập trung vào toán học và triết học

- Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau đó từ 1624 đến1628, ông

ở Pháp Trong thời gian ở Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học và làm các thí nghiệm về quang học Năm1628, sau khi bán hết tài sản ở Pháp, ông chuyển sang sống ở Hà Lan, và sống hầu hết quãng đời còn lại ở xứ hoa tuylip Descartes sống ở nhiều thành phố khác nhau của Hà Lan, như Amsterdam, Deventer, Utrecht, và Leiden

- Năm 1649 Nữ hoàng Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng dạy cho

bà về triết học tại triều đình ở Stockholm Cái lạnh khắc nghiệt của xứ Bắc Âu đã làm ông mắc bệnh viêm phổi và qua đời năm 1650

2 Sự nghiệp (Career).

- Descartes là triết gia, nhà khoa học, nhà toán học người Pháp, được một số người xem là cha đẻ của triết học hiện đại

- Ông là một nhà một nhà bác học duy vật Đề-các khẳng định vật chất là cơ sở duy nhất của tồn tại và nhận thức Tính chất quan trọng của vật chất là tính phân chia được và tính cơ động, bản chất của vật chất là đặc tính 3 chiều của nó Ông cho rằng toán hoc phải phản ánh những tính chất của vật chất Toán học không thể chỉ

là khoa học về số hoặc về hình Toán học là khoa học nhiều mặt, trong đó phải có tất cả các vấn đề liên quan đến thứ tự và đo đạc Toàn bộ nội dung của toán học phải được khảo sát theo những quan điểm thống nhất, được nghiên cứu bằng một phương pháp duy nhất Bản thân tên gọi môn khoa học này cũng phải phản ánh

được tính chất tòn diện của nó Đề Các đề nghị gọi nó là “Toán học vạn năng”.

Những quan niệm chung này được nêu cụ thể trong tác phẩm nổi tiếng của ông

“Phương pháp luận” ra đời năm 1637 cùng với 3 phụ lục về “Quang học”, “Thiên văn học” và “Hình học” Phụ lục thứ 3 ngày nay gọi là hình học giải tích đã tôn ông lên hang bất tử vì ông đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp giữa hình học và đại số

II Vai trò đối với lịch sử: (The role of history)

1 Vai trò đối với triết học : (The role of philosophy).

- Suốt đời mình Descartes chuyên tâm nghiên cứu khoa học, quên cả lập gia đình Ông từng tuyên bố: "niềm vui cuộc sống lớn nhất của tôi là niềm vui tư tưởng trong những tìm tòi chân lý" Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp

lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học Descartes cho rằng "Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới

GVHD: Phạm Trung Thiện

những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học"

- Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học Trước đó, triết học bị chi phối bởi phương pháp của phái Kinh viện, vốn hoàn toàn dựa theo sự so sánh và đối chiếu với quan điểm của nhà cầm quyền Bác bỏ phương pháp này, Descartes cho rằng "Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số

và hình học" Qua đó ông chỉ ra rằng "không điều gì được xem là đúng cho đến khi nền tảng để tin rằng nó đúng được thiết lập" Sự chắc chắn duy nhất làm điểm xuất

phát cho các nghiên cứu của ông được ông bày tỏ bằng câu nói nổi tiếng " Cogito, ergo sum", (tiếng Latinh, "Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại") Từ tiên đề cho rằng ý thức rõ ràng về tư duy của ông chứng minh rằng ông tồn tại, Descartes kết luận là Chúa tồn tại Chúa, theo triết học Descartes, đã tạo ra hai loại chất để tạo nên toàn

bộ vạn vật Loại thứ nhất là chất suy nghĩ, tức tinh thần, loại thứ hai là các chất mở rộng, tức thân thể

- Trong tiếng Pháp, tính từ cartésien (hoặc cartésienne - dạng giống cái) dùng để chỉ những nhân cách có xu hướng tư duy logic hơn là cả tin Cartésien có từ nguyên là tên của Descartes Tiếng Anh cũng có tính từ cartesian với ý nghĩa tương đương

2 Vai trò đối với khoa học : (The role of course ).

- Triết học Descartes, có khi được gọi là Cartesianism (tiếng Anh), đã khiến cho ông có nhiều giải thích sai lầm về các hiện tượng vật lý Tuy nhiên, các giải thích

đó cũng có một giá trị nhất định, vì ông đã dùng những giải thích cơ học thay cho những quan điểm tinh thần mơ hồ của các tác giả đi trước Ban đầu Descartes đã công nhận thuyết Copernicvề hệ thống vũ trụ trong đó các hành tinh xoay quanh Mặt Trời, nhưng ông đã từ bỏ nó chỉ vì giáo hội Thiên Chúa La Mã phán rằng thuyết đó tà đạo Thay vào đó ông đưa ra lý thuyết dòng xoáy – cho rằng vũ trụ được lấp đầy vật chất, ở các trạng thái khác nhau, xoáy quanh mặt trời

- Trong lĩnh vực sinh lý học, Descartes giữ quan điểm rằng máu là một chất lỏng tinh tế mà ông gọi là hồn của động vật Ông tin rằng hồn động vật tiếp xúc với chất suy nghĩ ở trong não và chảy dọc theo các dây thần kinh để điều khiển cơ bắp và các phần khác của cơ thể

- Về quang học, Descartes đã khám phá ra định luật cơ bản của sự phản xạ: góc tới bằng góc phản xạ Tiểu luận của ông là văn bản đầu tiên trình bày đề cập đến định luật này Việc Descartes xem ánh sáng như một thứ áp lực trên môi trường chất rắn

đã dẫn đường cho lý thuyết sóng của ánh sáng

3 Vai trò đối với toán học: (The role of math).

Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo nên chúng Ông cũng có những đóng góp vào lý thuyết về các đẳng thức Ông cũng

đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số (chẳng hạn trong biểu

thức x²) Mặt khác, chính ông đã thiết lập ra phương

pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để

tìm số nghiệm âm, dương của bất cứ phương trình

đại số nào Descartes là người đi tiên phong trong

việc xác lập toán học hiện đại, với những ký hiệu x,

y, z để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên

của bảng chữ cái để chỉ các giá trị đã biết

* Hình học giải tích của Đề Các: (Analytic

geometry of Đề các)

- Hai tư tưởng sau đây là cơ sở trong toàn bộ “Hình

học” của Đề Các: Đưa đại lượng biến thiên vào và

sử dụng hệ trục tọa độ vuông góc

- Tập “Hình học” của Đề Các gồm 3 quyển:

+ Quyển I: Nói “Về các bài toán có thể giải được chỉ

cần các đường tròn và đường thẳng” Nội dung cơ bản là những quy tắc lập

phương trình cho những đường cong hình học Ông đã chứng minh rằng mọi bài toán hình học có thể giải được bằng thước và compa đều đưa về việc giải các phương trình không cao hơn bậc hai Đề các không trình bày cặn kẽ và tổng quát những quy tắc chung của môn hình học giải tích mà chỉ xen vào giới thiệu trong lời giải những bài toán khó

GVHD: Phạm Trung Thiện

Bìa sách “Hình học ”của

Đề Các xuất bản năm 1637.

+ Quyển II: Viết về “Bản chất của các đường cong” Nội dung cơ bản là việc khảo

sát cụ thể các đường cong bậc khác nhau, sự phân loại chúng và trình bày các tính chất của chúng Đề các phân loại đường cong căn cứ vào chỗ có thể khảo sát chúng

bằng các công cụ do ông sử dụng hay không Theo đó, những đường cong thừa

nhận được là những đường cong có thể vạch ra bằng một chuyển động liên tục hoặc bằng một số những chuyển động như thế, trong đó chuyển động sau phải được xác định bởi chuyển động trước (nhờ thước và compa) Những đường cong còn lại ông gọi là đường

cong cơ học (về sau Lepsnit gọi là đường cong siêu việt)

+ Quyển III: Đề cập “Những bài toán về các khối, các thể” Nội dung là xây dựng

lí thuyết tổng quát về việc giải phương trình và sử dụng quỹ tích cùng với các công

cụ đại số để giải phương trình

-Tập hình học của Đề các đã đánh dấu một bước tiến có giá tri nguyên tắc trong việc cải tổ toán học và giá trị đó lớn đến mức độ làm cho tác phẩm này trở thành

kinh điển Tập “Hình học” của Đềcác còn nêu tư tưởng mới có tác dụng phát triển

đại số lí thuyết

Tóm lại:

Descartes là người có tư tưởng quan trọng, ông có công lớn trong việc gắn kết 2 lĩnh vực toán học và khoa học.

Khoa học  Toán Học Là linh hồn, trái tim của khoa học.

Không đơn thuần là những công thức, những đáp số

III. Thành tựu tiêu biểu (Typical achievement).

Có một câu chuyện vui, về việc mà Descartes đã phát minh ra hệ

trục tọa độ.

Đó là, sinh thời lúc còn bé Descartes là một người ốm yếu, ông sống suốt ngày hầu như chỉ ở trên giường Ông thường được người lớn ưu ái cho ngủ “nướng” Vào một

ngày nọ, trong giấc ngủ dài, ông mơ màng thấy chú nhện nhện, đu đu đưa đưa trên cái lưới của mình, rồi chú thả tơ đi xuống đi lên…

Với một bộ óc thiên tài, sáng sớm hôm sau, thức vậy ông đã kết hợp những điều mình thấy trong giấc mơ với toán học… và thế là hệ tọa độ Descartes ra đời Kết quả là ngày nay, học sinh chúng ta phải thường xuyên vẽ đi vẽ lại hai đường thẳng vuông góc với nhau… *_*

1 Hệ tọa độ Descartes : (Coordinates Descartes)

Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông Trong phần hai của bài Phương pháp

luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa

raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về

việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên

Descartes có công lao rất lớn trong việc nối kết giữa Toán Học cổ đại và hiện đại

và đồng thời là người đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp giữa đại số và hình học Euclide Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học bản đồ

Chuyển thể Toán Học

Mặt phẳng tọa độ:

GVHD: Phạm Trung Thiện

Điểm Tọa độ điểm

(nền móng) cặp số dạng

Trừu tượng

Lúc chưa có hình học giải tích các đường thẳng, đường tròn, elip, mặt cầu… chỉ được vẽ và biểu diễn trên giấy một cách trực quan Nhưng khi hình học giải tích của Descartes ra đời thì các các đường, các mặt được quy về một dạng phương trình đại số tổng quát để biểu điễn Ví dụ như:

+ Phương trình tổng quát của mọi đường thẳng được biểu điễn thành phương trình đại số sau:

Khi đó đường tròn tâm bán kính có phương trình dạng:

dạng

+ Trong tọa độ không gian Oxyz Phương trình mặt cầu tâm bán kính có dạng:

2 Trục tọa độ (1 chiều): (Coordinate aixs)

Trục toạ độ (còn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng trên đó đã xác định điểm O và một vectơ có độ dài bằng l

Điểm O gọi là gốc toạ độ, vectơ gọi là vectơ đơn vị của trục toạ độ

Trục tọa độ như vậy được kí hiệu là

Toạ độ của điểm trên trục:

Cho điểm M nằm trên trục Khi đó số m xác định để Số m như thế gọi là tọa độ của điểm M đối với trục ( cũng là tọa độ của vecto )

3 Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều): (Coordinates system in the plane – two

way)

Hệ trục tọa độ (coordinate axis) trong mặt phẳng bao gồm 2 trục tọa độ và vuông góc với nhau Vecto đơn vị trên trục là , vectơ đơn vị trên trục là Điểm gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0) Trục gọi là trục hoành, trục gọi là trục tung Hệ trục toạ độ vuông góc như trên còn gọi đơn giản là hệ trục toạ độ và kí hiệu là hay

GVHD: Phạm Trung Thiện

Tọa độ điểm trong hệ trục :

Trong măt phẳng toạ độ , tọa độ của vectơ được gọi là toạ độ của điểm Tổng quát

Với hai điểm:

Một số hình minh họa về điểm trong hệ trục tọa độ Oxy:

Hình 1: Hệ tọa độ Đề-Các

với bốn góc phần tư Các mũi

tên ở hai đầu của mỗi trục

nhằm minh họa rằng các trục

này trải dài vô tận theo hướng

của mũi tên.

Hình 2 : Hệ tọa độ Đề-Các với một đường tròn

có tâm trùng với gốc tọa độ

và bán kính bằng 2 Đường tròn này có phương trình:

x 2 + y 2 = 4.

Hình 3: Hệ tọa độ Đề-Các với bốn điểm lần lượt có tọa độ: A (2,3), B(-3,1), C(-1.5,-2.5) và O(0,0), gốc tọa độ.

4 Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều):( Coordinates in space)