Cantor tiếp tục trả lời Dedekind, trao đổi ý tưởng cũng như xem xét các ý kiến của Dedekind, và ông đã viết cho Dedekind trong năm 1877, bước chứng minh rằng có một sự tương ứng 1-1 của[r]
(1)Tiểu sử nhà toán học Georg Cantor (Phần 1) 02/01/2005
Bố Georg Cantor, ông Georg Waldemar Cantor, nhà buôn thành đạt làm việc đại lý lớn St Petersburg, sau làm người mơi giới Chợ Chứng Khoán St Petersburg Georg Waldemar Cantor sinh tại Đan Mạch, người có lịng say mê với văn hóa nghệ thuật Mẹ Georg, bà Maria Anna Bưhm sinh Nga,rất có khiếu âm nhạc Và dĩ nhiên, Georg có gen khiếu âm nhạc hội họa từ ba mẹ mình, bật tay dương cầm điêu luyện Georg trở thành người theo đạo Tin Lành, tôn giáo cha ông, mẹ ông lại người theo đạo Kito hữu
Sau dạy dỗ nhà nhờ gia sư, Cantor theo học tiểu học thành phố St Petersburg năm 1856, ông lên 11 tuổi, gia đình ơng chuyển sang Đức Cantor:
" nghĩ lại lúc học Nga, với nỗi nhớ da diết không vơi ông sống Đức, ông sống đến hết đời mình, song dường ơng chưa viết tiếng Nga, ngôn ngữ mà ông nên biết"
Bố Cantor có sức khỏe khơng tốt, nên chuyển tới sống Đức, để tìm vùng khí hậu ấm áp , thay cho lạnh giá thành phố St Petersburg Ban đầu, họ sống Wiesbaden, nơi mà Cantor theo học lớp Gymnasium, sau chuyển đến Frankfurt Cantor học Realschule Darmstadt nơi mà ông sống giống học sinh nội trú Ông tốt nghiệp năm 1860 với bảng điểm xuất sắc Sau đó, ơng theo học Hưhere Gewerbeschule Darmstadt ông vào trường Polytechnic Zurich năm 1862 Lý mà bố ông muốn gửi ông đến học Hưheren Gewerbeschule ơng muốn Cantor trở thành :
" sáng bầu trời khoa học kĩ thuật."
Tuy nhiên, năm 1862 Cantor xin phép ý kiến cha mình, để theo học ngành tốn Đại học, ông vui mừng cho phép ba Q trình học tập ơng Zurich bị gián đoạn cha ông qua đời, tháng năm 1863 Cantor chuyển đến trường đại học Berlin, nơi ông trở thành bạn Herman Schwarz, người học sau ơng khóa Cantor nghe giảng Weierstrass, Kummer Kronecker Ơng theo khóa học mùa hè năm 1866 trường đại học Göttingen, trở lại Berlin để hoàn thành luận án tốt nghiệp lý thuyết số De aequationibus secundi gradus indeterminatis năm 1867
Trong thời gian Berlin, Cantor có mối liên hệ lớn với viện toán, trở thành người đứng đầu viện năm 1864 - 65 Ơng thành viên nhóm nhà tốn học trẻ, họ có bàn luận định kì hàng tuần nhà Sau nhận tiến sĩ năm 1867, Cantor dậy học trường nữ sinh Berlin Sau đó, năm 1868, ơng tham gia hội thảo Schellbach Seminar dành cho giáo viên dậy tốn Trong suốt thời gian này, ơng làm việc bảo luận án habilitation ông
Tại Halle, hướng nghiên cứu Cantor chuyển từ lý thuyết số sang tích phân Để thỏa mãn Heine, học viên ông Halle, người thách thức Cantor chứng minh phần mở rộng lạ đời đại diện cho hàm số, chuỗi lượng giác Đó vấn đề khó nhiều nhà tốn học quan tâm, chưa có lời giải thành cơng, bao gồm thân Heine, hay Dirichlet, Lipschitz Riemann Cantor tìm đáp án cho vấn đề hóc búa vào tháng năm 1870 Ơng cơng bố báo năm 1870 1872, với nội dung chuỗi lượng giác chúng cách nhuần nhuyễn trình giảng dậy
Weierstrass
(2)hàm số hội tự số hữu tỉ Dedekind đưa định nghĩa số thực vào năm 1872 sau đọc báo tham khảo Cantor gửi cho ông
Năm 1873 Cantor chững minh số hữu tỷ đếm được, ví dụ chúng đặt dạng 1-1 tương ứng với số tự nhiên Ông số đại số ( algebraic numbers), ví dụ số nghiệm phương trình bậc cao với hệ số nguyên, điếm Hơn nữa, cố gắng ông để giải việc " phải việc chứng minh số thực điếm khó "
Tháng 12 năm 1873, ông chứng minh số thực khơng có đếm được, ơng công bố kết vào năm 1874 Ý tưởng chứng minh bật từ báo trước, ông làm việc cách ngấm ngầm, để làm sáng tổ điều
Một số siêu việt số vô tỷ không nghiêm phương trình bậc cao với hệ số nguyên Năm 1851, Liouville chứng minh 1851 tồn số siêu việt, 20 năm sau, năm 1874, Cantor điều chắn " gần tất cả" số số siêu việt cách chứng minh số thực không đếm ông chứng minh số đại số đếm
Cantor vội trao đổi với Dedekind Câu hỏi ơng tự hỏi mình, tháng năm 1874, phải bình phương đơn vị phác họa đường chiều dài đơn vị với tương xứng 1-1 điểm lẫn Trong thư gửi cho Dedekind ngày mùng tháng năm 1874, ông viết:
Phải bề mặt (như mặt vuông bao gồm biên) chuyển thành đường ( đoạn thẳng bao gồm điểm mút) với điểm mặt tương ứng với điểm đương thẳng, ngược lại, với
điểm thuộc đường thẳng, có điểm tương ứng bề mặt ? Tôi nghĩ việc trả lời cho câu hỏi việc không đơn giản, thực tế câu trả lời dường rõ ràng "không" việc chứng minh không cần thiết
Năm 1874 năm quan trọng đời Cantor Ơng hứa với Vally Guttmann, người bạn chị gái ông, vào mùa xuân năm Họ lấy vào ngày mùng tháng năm 1974, dành tuần trăng mật Interlaken, Thụy Sĩ, nơi Cantor dùng phần lớn thời gian để trao đổi toán học với Dedekind
Cantor tiếp tục trả lời Dedekind, trao đổi ý tưởng xem xét ý kiến Dedekind, ông viết cho Dedekind năm 1877, bước chứng minh có tương ứng 1-1 điểm khoảng [0,1] điểm không gian p - chiều Cantor ngạc nghiên bước khám phá ông, viết:
Tôi thấy điều đó, tơi khơng tin
Tất nhiên, điều mối liên hệ hình học khái niệm chiều không gian Một tiểu luận chiều, Cantor gửi tới tạp chí Crelle năm 1877 xem xét với thái độ nghi ngờ Kronecker công bố sau có can thiệp Dedekind Cantor uẫn ực đối lập Kronecker với công việc mình, kể từ đó, ơng khơng gửi luận cho Tạp chí Crelle
Bài báo chiều xuất tạp chí Crelle năm 1878 làm cho
khái niệm tương xứng 1-1 xác Bài luận miêu tả tập hợp số không đếm được, số tương ứng 1-1 với số tự nhiên.Nghiên cứu tập hợp số mũ Cantor miêu tả khai niệm chiều nhấn mạnh thực tế câu trả lời ơng khoảng [0,1] bình phương đơn vị giản đồ nối tiếp
Giữa năm 1879 1884, Cantor công bố tập hợp gồm luận
(3)số vấn đề năm ông cho khó Mặc dầu ông lên chức Giáo sư thức năm 1879, Cantor hy vọng cho ghế trường đại học có uy tín Sự đối lập lâu dài Cantor Schwarz chấm dứt vào năm 1880, ý tưởng Cantor ngày phát triển Schwarz khơng cịn theo kịp hướng ơng Sao vào tháng 10 năm 1881, Heine qua đời cần thay ghế ông Halle
Cantor rút danh sách gồm người ghế Heine, danh sách tán thành Trong sanh sách đó, Dedekind đứng vị trí đầu, Heinrich Weber cuối finally Mertens Nhưng người họ mờ đường toán học, danh sách lại chọn ra, có Wangerin, điểm nhắm chính, nhiên ơng khơng có thân thiện với Cantor Quan hệ thư từ lâu dài Cantor Dedekind chấm dứt vào năm 1882
Vào gần thời gian đó, Cantor bắt đầu có mối quan hệ khác quan trọng với Mittag-Leffler Ngay Cantor cơng bố tạp chí Mittag-Leffler Acta Mathematica, tất nhiên chuối luận ông tiếp tục xuất tạp chí Mathematische Annalen Trong luận thứ 5, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre công bố dạng chuyện khảo riêng đặc biệt quan trọng vài lý Trước hết Cantor nhận lý thuyết tập hợp ông không ông mong đợi Grundlagen nhận số lời bình Thứ hai: Bước thành cơng Grundlagen giới thiệu số transfinite, độc lập hệ thống nối tiếp số tự nhiên
Cantor kết luận cách rõ ràng luận ông hiểu sức mạnh đối lập với ý tưởng ông
" Tôi hiểu cơng việc này, tơi đặt thân phía đối lập hồn tồn với quan điểm rộng dãi tốn vơ hạn nhiều người đưa kiến thường xuyên để bảo vệ vấn đề số tự nhiên"
Cuối tháng năm 1884 Cantor tỏ dấu hiệu chán nản Ông che đậy sau vài tuần xong dường tự tin ơng giảm Ơng viết cho Mittag-Leffler cuối tháng sáu rằng:
"Tôi quay lại công việc nghiên cứu Trong thời điểm chẳng làm với nó, giới hạn giảng cần thiết nhất: niềm vui tơi có động lực để tiếp tục nghiên cứu, tơi có tinh thần thỏa mái "
C
ó lúc người ta nghĩ rằng, chán nán ông lo lắng mặt tốn học, cụ thể kết khó khăn mối quan hệ ông với Kronecker
Nó lý ảnh hưởng đến vấn đề thần kinh ông không tốt năm 1884.Và Cantor cảm thấy lo lắng ơng khơng chứng minh giả thuyết continuum, tên gọi theo thứ tự vô hạn số thực , số tự nhiên Trong thực tế, ông nghĩ chứng minh sai, ngày sau ơng tìm lỗi sai
Mặt khác không thuận lợi cho Cantor, năm 1885 Mittag-Leffler thuyết phục Cantor hủy bỏ báo từ Acta Mathematica đạt đến kết chứng minh ơng nghĩ nó" sớm 100 năm" Cantor nói đùa điều đó, cảm thấy đau lịng:
Có phải Mittag-Leffler có ý ơng ấy, tơi phải đợi đến năm 1984, điều dường địi hịi q lớn tất nhiên tơi chưa muốn biết thứ Acta Mathematica
(4)Tiểu sử nhà toán học Georg Cantor (Phần 2) 05/01/2005
Năm 1886, Cantor mua nhà đẹp Händelstrasse, đường mang tên nhà soạn nhạc người Đức, Handek Trước kết thúc năm mà người con trai ông đời, gia đình ơng "hồn thành kế hoạch" với đứa trẻ ong quay trở lại để mở rộng lý thuyết tập hợp với hướng mới, hướng miêu tả bằng khia cạnh triết học lý thuyết ông với nhiều nhà triết học, ông chỉ giới thiệu tên thư năm 1888, hướng thứ hai mở sau chết Clebsch, với việc tìm Deutsche Mathematiker-Vereinigung, ơng hồn thành vào năm 1890
Cantor ngồi lên ghế đầu hội nghị Association Halle tháng năm 1891, măc dầu cay cú với người đồi lập ông, Kronecker, Cantor mời Kronecker đến tham dự hội nghị
Kronecker không đến hội nghị, kể từ vợ ông bị thương nặng nạn leo núi vào cuối mùa hè qua đời thời gian ngắn sau Cantor chọn làm người đứng đầu Deutsche Mathematiker-Vereinigung hội nghị thứ giữ chức vụ đến năm 1893 Ông giúp cho việc tổ chức hội nghị Association diễn Munich vào tháng năm 1893, ông bị ốm lại tham dự hội nghị
Cantor công bố luận lạ vào năm 1984, liệt kê đường tất số chẵn tới 1000 viết thành tổng hai số nguyên tố Kể từ thẩm tra giả thiết Goldbach, với số chẵn tới 10000 hồn thành 40 năm sau đó, luận nhắc đến nhiều, bước suy nghĩ Cantor, giải thuyết Goldbach
Những luận lý thuyết tập hợp đưa vào năm 1895 1897, lần Mathematische Annalen, trưởng ban biên tập Klien, quan sát tốt số học siêu hạn Đúng khe hở lớn luận việc Cantor hoàn thành phần thứ 2, tháng sau phần công bố, ông hy vọng việc chứng minh giả thuyết continuum phần Tuy nhiên việc chứng minh không thành, phần lại miêu tả tốt lý thuyết ông tập hợp số thứ tự ( ordinal numbers)
Trong năm 1897, Cantor tham dự Hội nghị toán học quốc tế Zurich Trong luận hội nghị:
Hurwitz biểu lộ cảm phục lớn đơí với Cantor tuyên bố ông ta người làm phong phú thêm lý thuyết hàm ( theory of functions) Jacques Hadamard bày tỏ quan điểm nhờ có Cantor mà khái niệm lý thuyết tập hợp xây dựng công cụ tối cần thiết
Trong hội nghị này, Cantor gặp Dekekind họ nối lại tình bạn hữu Và thời gian này, Cantor khám phá nghịch lý lý thuyết tập hợp Những khám phá ơng tìm ơng làm việc với luận điều tra, từ năm 1895 đến năm 1897 Ơng viết cho Hilbert năm 1896 để giải thích nghịch lý Barali-Forti khám phá nghịc lý cách độc lập cơng bố vằo năm 1897 Cantor bắt đầu trao đổi thư với Dedekind để có gắng hiểu để giải vấn đề suy nhược thần kinh để ngăn cản ông việc trao đổi thư năm 1899
Mỗi Cantor bị chán nản, ơng lại tạm dừng vấn đề tốn học chuyển sang vấn đề triết học Bài văn mà ơng thích thú văn nêu việc tin tưởng Francis Bacon viết tác phẩm kịch Shakespeare Ví dụ trận ốm năm 1884, ông yêu cầu việc giảng triết thay cho tốn học, ơng bắt đầu tập trung nghiên cứu văn thời Elizabeth I, để cố gắng chứng minh thuyết Bacon-Shakespeare Ông phát hành sách mỏng câu hỏi văn học năm 1896 1897 Ông căng thẳng sau chết mẹ ông tháng 10 năm 1896 chết em trai ông năm 1899
(5)Sau vào ngày 16 tháng 12 năm 1899, em trai út Cantor qua đời Từ thời gian này, cuối đời ông, ông lại phải đấu tranh với bệnh suy nhược thần kinh Ông tiếp tục giảng dậy, nghỉ vài kì đơng, năm 1902-03, 1904-05,v 1907-08 Ông dành thời gian cho việc chữa bệnh, từ năm 1899 Ông tiếp tục công việc công bố thuyết Bacon-Shakespeare tất nhiên khơng chấm dứt hồn tồn việc nghiên cứu tốn Ơng giảng nghịch lý lý thuyết tập hợp hội nghị Deutsche Mathematiker-Vereinigung tháng năm 1903 tham dự hội nghị toán quốc tế Heidelberg tháng năm 1904
Năm 1905, Cantor viết tôn giáo sau ông trở nhà từ bệnh viện Ông trao đổi thư với Jourdain lịch sử lý thuyết tập hợp vùng tôn giáo ông
Tại lễ kỉ niệm 500 thành lập trường đại học St Andrews Scotland năm 1911, ông hy vọng gặp Russell, người vừa công bố sách Principia Mathematica Nhưng sức khỏe tin trai ông bị ốm làm ông phải trở Đức ngay, chưa kịp gặp Russell Năm sau đó, Cantor nhân xuất sắc tiến sĩ luật trường St Andrews, ông ôm để đến nhận
Cantor nghỉ hưu năm 1913 ăn lượng thức ăn nhỏ điều kiện khó khăn nước Đức thời Một kiện chính, mừng thọ 70 Cantor Halle năm 1915 bị hỗn chiến tranh, có bữa tiệc nhỏ nhà Tháng năm 1917, ông phải nhập viện để chữa trị bệnh mình, viết cho vợ yêu cầu cho ơng nhà Ơng qua đời trận đau tim
Hilbert cảm phục cơng trình nghiên cứu Cantor cho tốn học, ông viết Cantor
" the finest product of mathematical genius and one of the supreme achievements of purely intellectual human activity"