TH1 b3 CuongNK nguyen ly cuc han

Nguyên lý cực hạn Nguyên lý cực hạn Nguyễn Kim Cương – THPT Chu Văn An, Hà Nội Trong trình tìm kiếm lời giải nhiều tốn, hữu ích ta xem xét đến phần tử biên, phần tử giới hạn theo nghĩa đó, tức phần tử mà đại lượng (coi hàm xác định tập) nhận giá trị lớn giá trị nhỏ (ví dụ số lớn (bé) nhất, cạnh lớn (bé) tam giác, góc lớn (bé) đa giác, biến lớn BĐT ) Những tính chất phần tử biên giúp ta tìm lời giải ngắn gọn cho tốn Cách tiếp cận lời giải gọi dùng nguyên lý cực hạn Ta thấy nguyên lý phổ quát, áp dụng nhiều tình đa dạng Ngun lý áp dụng số học (trong chứng minh không tồn nghiệm ngun hay chứng minh tính vơ hạn ); áp dụng chứng minh BĐT; kết hợp với phép phản chứng hay nguyên lý Dirichlet, ta giải nhiều tốn khó tổ hợp; ta áp dụng với đối tượng hình học phong phú để tiếp cận lời giải nhiều tốn hình học tổ hợp Bài viết sau giúp em học sinh lớp 10 làm quen với Nguyên lý cực hạn bước đầu thấy ứng dụng rộng rãi nhiều phân mơn mơn Tốn Ngun lý cực hạn tốn tổ hợp hình học tổ hợp Với tập hợp số, Nguyên lý cực hạn phát biểu đơn giản sau: i) Trong tập hữu hạn khác rỗng số thực chọn số bé số lớn ii) Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên ln ln chọn số bé Hãy bắt đầu ví dụ đơn giản vui để giúp học sinh làm quen dễ dàng nhớ nội dung này: 1|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn Bài toán 1: a Tám người ngồi xung quanh bàn ăn hình tròn Biết rằng, tuổi người trung bình cộng hai người kế bên (phải trái) Chứng tỏ tất người tuổi với b Nam, 26 tuổi với 14 người bạn ngồi xung quanh bàn tiệc hình tròn Biết tuổi người khác hai người kế bên (phải trái) nhiều tuổi Có thể gọi bia cho tất người hay không? Lời giải - Gợi ý: a Trong người, ln có người có tuổi nhiều (hoặc ít) Ta chứng minh tuổi với tất người b Gọi A người có số tuổi nhỏ nhất, chứng minh A 18 tuổi Bài toán 2: a Trên mạng lưới ô vuông vô hạn mặt phẳng, đặt vào ô vuông số tự nhiên cho số trung bình cộng bốn số vng có cạnh kề với ô Chứng minh tất số b Nếu số trung bình cộng bốn số vng bốn góc Ta đặt tối đa giá trị số? Lời giải - Gợi ý: a Tồn ô vuông với số điền bé nhất, ô kề cạnh đặt số bé Với vng khác ta ln tìm dãy ô vuông kề cạnh vng tới vng với số bé nhất, đặt số bé Vậy tất số b Tô màu đen trắng theo kiểu bàn cờ, ta chứng minh tất số ô màu phải Tối đa đặt giá trị số vào mạng lưới ô vuông Với tốn đơn giản, cảm quan đơi học sinh chọn giá trị biên thỏa mãn yêu cầu: 2|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn Bài toán 3: Bảy người câu 100 cá Biết khơng có hai người câu số cá Chứng minh có ba người câu tổng cộng khơng 50 cá Lời giải - Gợi ý: Ta xếp người câu cá theo thứ tự để số cá câu họ giảm dần Như người thứ câu nhiều cá người thứ bảy câu cá Nếu người thứ tư câu khơng 15 cá, ba người đầu câu khơng 16 + 17 + 18 = 51 cá Nếu người thứ tư câu 14 cá bốn người sau câu không 14 + 13 + 12 + 11 = 50 Như ba người đầu câu không 50 Vậy ba người đầu câu tổng cộng khơng 50 cá Bài tốn 4: Đặt số nguyên 1,2,3, … , 𝑛2 vào bàn cờ 𝑛 × 𝑛 cách ngẫu nhiên, số lần, ô số Chứng minh tồn hai ô vuông kề (chung cạnh, chung đỉnh) mà có giá trị khác 𝑛 + Lời giải - Gợi ý: Với ta ln tìm dãy không 𝑛 ô vuông kề nối chúng (tính đó) (1) Giả sử ngược lại, hai vng kề có giá trị khác nhiều 𝑛 (2) Xét hai ô vuông chứa số 𝑛2 Theo nhận xét (1) ta có dãy khơng q 𝑛 vng kề nối chúng Nhưng kết hợp với điều kiện (2), giá trị hai ô khác không 𝑛 × (𝑛 − 1) Như ta thu 𝑛2 − ≤ 𝑛 × (𝑛 − 1) ⇔ 𝑛 ≤ Khơng thể xảy 𝑛 ≥ Ta có đpcm Bình luận: Việc chọn hai phần tử cực biên 1, 𝑛2 điều tự nhiên mục tiêu điều vơ lí Việc nhìn đại lượng để áp dụng Nguyên lý cực hạn không đơn giản, ta phải chọn “hàm đo” thích hợp nhằm áp dụng nguyên lý cho tập hợp số để thu lời giải: 3|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn Bài tốn 5: Cho trước bảng 𝑚 × 𝑛 số thực Một phép biến đổi bảng lần ta đổi dấu tất số hàng hay cột bảng Chứng minh ta ln thực dãy hữu hạn phép biến đổi bảng để kết thu bảng với tổng số dòng, cột khơng âm Lời giải - Gợi ý: Nếu bảng chưa đạt yêu cầu, ta thực phép biến đổi bảng “tốt” sau: đổi dấu hàng hay cột có tổng số âm Xét số 𝑆 tổng tất số có bảng, ta thực phép biến đổi “tốt”, 𝑆 tăng lên thực Tập số 𝑆 ta biến đổi bảng từ bảng ban đầu rõ ràng hữu hạn (không thể vượt q 2𝑚×𝑛 , giải thích sao?) Do tồn số 𝑆 lớn nhất, xét bảng với số 𝑆 lớn Rõ ràng bảng mà có tổng số dòng, cột khơng âm, ta thực thêm phép biến đổi “tốt” từ bảng Bình luận: Việc ta biến đổi dòng hay cột “âm” tự nhiên nhằm làm bảng “tốt lên”, nhiên ta phải chọn đại lượng 𝑆 để biết bảng thu “tốt nhất” để thấy việc biến đổi hữu hạn Các ví dụ sau đòi hỏi suy luận định để chọn đại lượng phù hợp Bài toán 6: Trong buổi tiệc với số lượng người tham gia định, xét quan hệ “bạn bè” theo nghĩa: “Nếu A bạn B B bạn A” Chứng minh người buổi tiệc ln chia làm hai nhóm để đưa vào hai phòng khác cho: Với người phòng bất kì, nửa số bạn người phòng lại Lời giải - Gợi ý: Với cách chia số người thành nhóm, gọi 𝑚 số lượng tất cặp {𝑃; 𝑄} cho 𝑃 𝑄 khác phòng 𝑃, 𝑄 bạn Xét cách chia với 𝑚 lớn (vì số cách chia hữu hạn nên 𝑚 nhận hữu hạn giá trị), ta chứng minh cách chia thỏa mãn yêu cầu 4|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn Thật vậy, với người 𝑃 bất kì, gọi 𝑎𝑃 số bạn phòng 𝑏𝑃 số bạn khác phòng Nếu ta chuyển 𝑃 sang phòng lại ta cộng (𝑎𝑃 − 𝑏𝑃 ) vào 𝑚 Do giả thiết chọn 𝑚 lớn nên ta phải có 𝑎𝑃 − 𝑏𝑃 ≤ hay 𝑎𝑃 ≤ 𝑏𝑃 Vậy với cách chia mà 𝑚 lớn thỏa mãn u cầu Bài tốn 7: Có trường học, trường có 𝑛 học sinh Mỗi học sinh quen với ít 𝑛 + học sinh từ hai trường khác Chứng minh người ta chọn từ trường bạn cho ba học sinh chọn đôi quen Lời giải - Gợi ý: Gọi 𝐴 học sinh có nhiều bạn trường khác Gọi số bạn nhiều 𝑘 Giả sử 𝐴 trường thứ tập bạn quen 𝐴 𝑀 = {𝐵1 ; 𝐵2 ; … ; 𝐵𝑘 } trường thứ Cũng theo giả thiết, có học sinh 𝐶 trường thứ quen với 𝐴 Vì 𝐶 quen khơng q 𝑘 học sinh trường thứ nên theo giả thiết 𝐶 quen với 𝑛 + − 𝑘 học sinh trường thứ 2, đặt 𝑁 = {𝐷1 ; 𝐷2 ; … ; 𝐷𝑚 } người quen 𝐶 trường thứ hai 𝑚 ≥ 𝑛 + − 𝑘 Vì 𝑀, 𝑁 tập tập hợp gồm 𝑛 học sinh |𝑀| + |𝑁| ≥ 𝑘 + 𝑛 + − 𝑘 = 𝑛 + nên 𝑀 ∩ 𝑁 ≠ ∅ Chọn 𝐵 ∈ 𝑀 ∩ 𝑁 ta có 𝐴, 𝐵, 𝐶 đơi quen Với tốn hình học với nhiều đại lượng lựa chọn, việc chọn đại lượng để áp dụng Nguyên lý cực hạn đòi hỏi nhiều suy luận tưởng tượng tốt: Bài toán 8: Trên mặt bàn đặt số đồng xu với kích cỡ khơng giống đôi (các đồng xu không đè lên phải nằm sấp ngửa bàn) Chứng minh dù ta đặt nữa, tồn đồng xu tiếp xúc với nhiều đồng xu khác Lời giải - Gợi ý: Trước hết, ý đồng xu tiếp xúc với đồng xu khác lớn (gợi ý: dùng phản chứng, góc đối diện với cạnh lớn lớn tam giác) 5|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn Bây giờ, số đồng xu hữu hạn nên tồn đồng xu với đường kính nhỏ Xét đồng xu này, theo nhận xét bên trên, tiếp xúc với nhiều đồng xu khác Bài tốn 9: Trong đường tròn tâm 𝑂 cho, xét tập hợp 𝐶 gồm số hữu hạn dây cung thỏa mãn tính chất sau: dây cung thuộc tập 𝐶 qua trung điểm dây cung khác thuộc 𝐶 Chứng minh tất dây cung đường kính Lời giải - Gợi ý: Xét dây cung với độ dài ngắn 𝑙0 Giả sử 𝑙0 không đường kính, theo giả thiết 𝑙0 qua trung điểm dây cung 𝑙1 khác Gọi 𝑀0 , 𝑀1 trung điểm 𝑙0 , 𝑙1 , ta dễ dàng chứng minh 𝑀0 ≢ 𝑀1 𝑂𝑀0 < 𝑂𝑀1 ⇒ 𝑙0 > 𝑙1 , trái với tính ngắn 𝑙0 Vậy 𝑙0 phải đường kính tất dây cung tập 𝐶 đường kính Bài toán 10: (Định lý Sylvester) Cho tập hợp S gồm hữu hạn điểm mặt phẳng thỏa mãn tính chất sau: Một đường thẳng qua điểm thuộc S qua ít điểm thứ ba thuộc S Khi tất điểm S nằm đường thẳng Lời giải - Gợi ý: 6|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn Giả sử phản chứng tồn tập hợp S gồm hữu hạn điểm không thẳng hàng đường thẳng qua hai điểm S chứa ba điểm Một đường thẳng gọi đường nối qua ít hai điểm S Giả sử (P,l) cặp điểm đường nối có khoảng cách dương nhỏ cặp điểm-đường nối Theo giả thiết, l qua ít ba điểm S, nên hạ đường cao từ P xuống l tồn hai điểm nằm phía đường cao (một điểm nằm chân đường cao) Trong hai điểm này, gọi điểm gần chân đường cao B, điểm C Xét đường thẳng m nối P C Khoảng cách từ B tới m nhỏ khoảng cách từ P tới l, mâu thuẫn với giả thiết P l Một cách để thấy điều tam giác vuông với cạnh huyền BC đồng dạng nằm bên tam giác vuông với cạnh huyền PC Do đó, khơng thể tồn khoảng cách dương nhỏ cặp điểm-đường nối Nói cách khác, điểm nằm đường thẳng đường nối chứa ba điểm Bài tốn 11: Cho 𝐵 𝑊 tập hữu hạn (lớn phần tử) gồm điểm đen trắng mặt phẳng, thỏa mãn tính chất sau: Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm màu qua điểm khác màu Chứng minh hai tập điểm thuộc đường thẳng Lời giải - Gợi ý: Giả sử ngược lại, hai tập điểm không nằm đường thẳng Khi đó, tồn tam giác với đỉnh điểm thuộc 𝐵, 𝑊 Xét tam giác có diện tích nhỏ Rõ ràng, hai đỉnh tam giác màu theo nguyên lý Dirichlet Do vậy, phải có điểm với màu khác chúng Tuy 7|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn nhiên điểm với hai điểm khác (là đỉnh tam giác bên trên) lập thành mộttam giác có diện tích nhỏ diện tích tam giác xét Ta thu mâu thuẫn Vậy tất điểm thuộc hai tập nằm đường thẳng Bài toán 12: Cho 𝑛 điểm (𝑛 ≥ 3) nằm mặt phẳng thỏa mãn tính chất sau: Nếu ta chọn từ ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 diện tích tam giác 𝐴𝐵𝐶 bé Chứng minh tồn 𝑛 điểm nằm bên biên tam giác với diện tích bé Lời giải - Gợi ý: Gọi 𝐴𝐵𝐶 ta giác có diện tích lớn số tam giác với ba đỉnh lấy từ 𝑛 điểm cho Để cho gọn ta kí hiệu diện tích tam giác 𝐴𝐵𝐶 [𝐴𝐵𝐶] Ta có, [𝐴𝐵𝐶] < Xét tam giác 𝐿𝑀𝑁 tam giác cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 trung điểm cạnh 𝐿𝑀, 𝑀𝑁, 𝑁𝐿 Thế [𝐿𝑀𝑁] = 4[𝐴𝐵𝐶] < Ta chứng minh 𝑛 điểm cho nằm bên biên 𝐿𝑀𝑁 Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn điểm 𝑃 nằm tam giác 𝐿𝑀𝑁 Khi đó, ta nối 𝑃 với hai đỉnh 𝐴𝐵𝐶 để tạo thành tam giác với diện tích lớn diện tích tam giác 𝐴𝐵𝐶 Ta thu mâu thuẫn Từ ta có đpcm Bài tập tự giải: Bài 1.1: Có 2𝑛 + cầu với khối lượng số nguyên Biết 2𝑛 cầu chia thành hai nhóm, nhóm 𝑛 cầu cho tổng khối lượng 8|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn cầu nhóm Chứng minh khối lượng tất cầu Bài 1.2: Có 𝑛 đấu thủ tham gia thi đấu bóng bàn theo ngun tắc đấu vòng tròn Chứng minh sau giải đấu kết thúc, ta xếp 𝑛 đấu thủ theo hàng dọc cho người đứng trước thắng người đứng kề sau Bài 1.3: Trên ô bàn cờ 𝑛 × 𝑛 viết số ngun khơng âm thỏa mãn điều kiện sau: Nếu viết số tổng số viết hàng cột với không nhỏ 𝑛 Chứng minh tổng 𝑛2 số viết không nhỏ 𝑛2 Bài 1.4: Tôi mời 10 cặp vợ chồng tới nhà để tham gia buổi tiệc Khi bữa tiệc kết thúc, tơi hỏi người (bao gồm vợ mình) câu hỏi, họ bắt tay với người Câu trả lời nhận tất người không giống Biết người không bắt tay với vợ/chồng hai người khơng bắt tay lần Bao nhiêu người vợ bắt tay? Bài 1.5: Trong hội nghị, hai người có người quen chung, hai người khơng quen có hai người quen chung Chứng minh hội nghị này, tất người có số người quen Bài 1.6: 15 mảnh tờ giấy với kích cỡ hình dáng khác phủ kín mặt bàn Các tờ giấy phủ lẫn chí vượt khỏi mép bàn Chứng minh bỏ tờ giấy cho 10 tờ lại bao phủ 2/3 diện tích mặt bàn Bài 1.7: Cho 𝑛 điểm mặt phẳng, tất không thẳng hàng Chứng minh tồn đường thẳng qua hai điểm số điểm Bài 1.8: Trên mặt phẳng cho 𝑛 điểm (𝑛 > 3) khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn đường tròn qua số điểm cho cho khơng có điểm số điểm cho nằm hình tròn Bài 1.9: Cho 𝑛 điểm xanh 𝑛 điểm đỏ mặt phẳng, khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh ta nối 2𝑛 điểm 𝑛 đoạn thẳng có hai đầu mút khác màu cho chúng đôi không cắt 9|Nguyễn Kim Cương Nguyên lý cực hạn Nguyên lý cực hạn tốn khác Ngồi tốn liên qua đến tổ hợp, Ngun lý cực hạn có áp dụng nhiều loại tốn khác: chứng minh BĐT, chứng minh tính chất hàm liên tục, chứng minh tính chất số học hay giải phương trình nghiệm nguyên Trong phần ta tìm hiểu vài ví dụ áp dụng Nguyên lý cực hạn trường hợp Với tốn BĐT, ta thường giả sử biến lớn (nhỏ) nhất, dự đoán dấu xảy biên: Bài toán 13: Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ [0; 2] thỏa mãn 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Chứng minh rằng: a 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 < b 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ≤ Lời giải - Gợi ý: a 𝑎(𝑎 − 2) ≤ ⇔ 𝑎2 ≤ 2𝑎 tương tự 𝑏 ≤ 2𝑏, 𝑐 ≤ 2𝑐 Từ đó, ta có 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = Dấu đẳng thức 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {0; 2}, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = Không xảy Vậy 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 < b Giả sử 𝑎 = max{𝑎, 𝑏, 𝑐} ta có 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑎 ≥ 𝑐, suy = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 3𝑎 ⇒ ≤ 𝑎 ≤ ⇒ (𝑎 − 1)(𝑎 − 2) ≤ Ta có 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 ≤ 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 + 2𝑏𝑐 = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + (3 − 𝑎)2 = + 2(𝑎 − 1)(𝑎 − 2) ≤ Dấu đẳng thức số 𝑎, 𝑏, 𝑐 có số 0, số số Bài toán 14: Cho 𝑥𝑖 ∈ [−1; 1], 𝑖 = 1,2, … 𝑛 Tìm GTNN 𝑆= ∑ 𝑥𝑖 𝑥𝑗 1≤𝑖 Chứng minh rằng: 𝑓(𝑥) > 𝑒 𝑥 , ∀𝑥 > Bài 2.7: Giả sử 𝑓 có đạo hàm cấp ℝ 𝑓 ′′ (𝑥) > 0, ∀𝑥 Chứng minh tồn 𝑥 để 𝑓(𝑥) > Cuối ta xét vài toán số học dùng nguyên lý cực hạn: Bài tốn 17: Chứng minh khơng có số hữu tỉ bình phương Lời giải - Gợi ý: Phản chứng kết hợp với nguyên lý cực hạn chọn số hữu tỉ phân số tối giản Bài tốn 18: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun dương: 𝑥 + 𝑦 = 3𝑧 Lời giải - Gợi ý: Nhận xét 𝑛 chia hết cho 𝑛2 chia hết cho 3, ngược lại 𝑛2 chia cho dư Giả sử phương trình có nghiệm ngun dương (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) nghiệm nguyên dương với 𝑧0 số nguyên dương nhỏ giá trị 𝑧 thỏa mãn phương trình Ta dễ thấy 𝑥0 , 𝑦0 phải chia hết cho 3, kéo theo 𝑧0 chia hết cho Đặt 𝑥0 = 3𝑥1 , 𝑦0 = 3𝑦1 , 𝑧0 = 3𝑧1 , ta thu nghiệm (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) phương trình Nhưng 𝑧1 < 𝑧0 , trái với cách chọn (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) Vậy phương trình khơng thể có nghiệm ngun dương Bài toán 19: Chứng minh với số tự nhiên 𝑛 > 1, tổng sau số nguyên: 𝑆= 13 | N g u y ễ n K i m C n g 1 + + ⋯+ 𝑛 Nguyên lý cực hạn Lời giải - Gợi ý: Gọi 𝑘 số tự nhiên lớn cho 2𝑘 ≤ 𝑛 2𝑘 + > 𝑛 Do đó, ngồi phần tử 2𝑘 dãy 2,3,4, … , 𝑛 khơng số khác bội 2𝑘 Gọi 𝑝 tích tất số lẻ không lớn 𝑛 đặt 𝑞 = 𝑝 2𝑘−1 , 𝑞 bội tất số lại dãy 2,3, … , 𝑛 2𝑘 Ta có: 𝑞𝑆 = 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 + + ⋯+ 𝑘 + ⋯+ 𝑛 Trong vế phải đẳng thức có số hạng 𝑞 2𝑘 khơng ngun Do 𝑞𝑆 khơng ngun nên 𝑆 khơng thể số nguyên Bài tập tự giải: Bài 3.1: Chứng minh 𝑛√2 không số nguyen với số nguyên 𝑛 Bài 3.2: Chứng minh phương trình 𝑥 + 3𝑦 = 9𝑧 khơng có nghiệm ngun dương Bài 3.3: Chứng minh phương trình 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑥𝑦𝑧 khơng có nghiệm nguyên dương Bài 3.4: Chứng minh phương trình 𝑥 + 𝑦 = 3(𝑧 + 𝑢2 ) nghiệm ngun dương Bài 3.5: Tìm tất nghiệm nguyên dương hệ 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥32 , 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑥42 , 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥52 , 𝑥4 + 𝑥5 = 𝑥12 , 𝑥5 + 𝑥1 = 𝑥22 Bài 3.6: Nếu 𝑎, 𝑏, 𝑐 số nguyên dương cho < 𝑎2 + 𝑏 − 𝑎𝑏𝑐 ≤ 𝑐 Chứng minh 𝑎2 + 𝑏 − 𝑎𝑏𝑐 số chính phương 14 | N g u y ễ n K i m C n g ... ngun Do