Tài liệu hay, hấp dẫn do tổ toán của trường Chuyên Lê Quý Đôn thực hiện với nội dung phong phú hấp dẫn, lôi cuốn người đọc cùng với nhiều dạng toán mới lạ. Đây là một tài liệu giúp các bạn HSG THPT, THCS có thêm được nhiều kiến thức,, vững tin bước vào kì thi HSG, Olympic 304, Olympic duyên Hải Đồng bằng Bắc Bộ,...
Trang 1PHẦN TỔ HỢP RỜI RẠC NGUYÊN LÝ CỰC HẠN
I. LỜI GIỚI THIỆU
Tổ hợp là một mảng rất rộng trong toán học sơ cấp với
rất nhiều nguyên lý khác nhau từ cơ bản đến nâng cao
Việc vận dụng thành thạo tất cả nguyên lý cũng là một vấn
đề rất khó Vì vậy hôm nay tôi xin giới thiệu thêm một
nguyên lý nữa nhằm làm phong phú cho kho tàng toán tổ
hợp
II. LÝ THUYẾT
1. Điểm cực hạn:
Điểm cực hạn là những điểm đặc biệt của đối tượng đang xét
Có vai trò quan trọng trong việc khảo sát đối tượng đó
Ví dụ:
- Trên trục số, những vị trí đặc biệt là -1, 0, 1
- Trong tập hợp, những điểm đặc biệt là các phần tử nhỏ nhất
- Trên một đoạn thẳng, những điểm đặc biệt là 2 mút đoạn thẳng hoặc là trung điểm đoạn thẳng đó
2. Nguyên lý cực hạn
Phát biểu:
Trong một tập hợp khác rỗng số tự nhiên luôn chọn được số bé nhất.
Tuy nhiên trong các bài tập đại lượng được cho thường là độ dài, diện tích, độ tuổi,… song đều có thể được về nguyên lý cực hạn
Việc chọn giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) sẽ cho chúng ta những thông tin bổ sung mà nếu xét 1 vị trí bất kì không thể làm được
Nguyên lý cực hạn thường được dùng để chứng minh sự tồn tại hai không tồn tại của một đối tượng nào đó
Trong một tập hữu hạn khác rỗng các số thực luôn có thể chọn được số bé
nhất và số lớn nhất.
Trang 2Gợi ý: Giả sử người A có tuổi lớn nhất (x tuổi) hai người bên cạnh là (y tuổi và z tuổi), ta có
2x = y + z mà x lớn nhất nên y = z Lập luận ta chứng minh được 6 người đó có độ tuổi bằng
nhau
Ví dụ 2: Bảy người câu được 100 con cá Biết rằng không có hai người nào câu được số cá
như nhau Chứng minh rằng có 3 người câu được số cá không ít hơn 50 con
Bạn đọc tự giải
Ví dụ 3: Một nước có 100 sân bay, mà khoảng cách giữa hai sân bay nào cũng khác nhau
Mỗi máy bay cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay nào gần nhất Chứng minh rằng:
trên bất kỳ sân bay nào cũng không thể có quá 5 máy bay đến
Gợi ý: Ở bài toán này chúng ta có thể vận dụng nguyên lý cực hạn ở đại lượng nào ?
Vận dụng nó như thế nào ? Chúng ta cần chứng minh tồn tại (hay không tồn tại) điều gì ?
Ví dụ 4: Tập hợp S các sinh viên của một trường đại học có tính chất : bất kì hai sinh viên
có cùng số người quen trong S thì không có người quen chung trong S Chứng minh rằng
tồn tại một sinh viên chỉ có đúng một người quen
Giải:
Bất kì hai sinh viên có cùng số người quen trong S thì không có người quen chung trong S
<=> Nếu có người quen chung trong S thì không có cùng số người quen trong S
Vì số học sinh trong 1 trường đại học là hữu hạn nên theo tồn tại 1 sinh viên quen với
nhiều sinh viên khác nhất (giả sử quen với n sinh viên)
Trong n sinh viên này, số người quen của họ là khác nhau và nhỏ hơn n => tổn tại 1 sinh
viên chỉ quen với 1 người (đpcm)
Ví dụ 5: Có 3 trường học, mỗi trường có n học sinh Mỗi học sinh quen với ít nhất n+1
học sinh đến từ hai trường khác Chứng minh rằng người ta có thể chọn ra từ mỗi trường
một bạn sao cho 3 bạn đó đôi một quen nhau
Gợi ý: Ý tưởng giải tương tự Ví dụ 3 nhưng mức độ rắc rối hơn một chút
1. CỤ THỂ CHO BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP
Một số phương pháp giải quyết bài toán hình học vận dụng nguyên lý cực hạn:
Các yếu tố thường xét:
- Xét đoạn thẳng lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn các đoạn thẳng
- Xét góc lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn góc
- Xét đa giác có diện tích hoặc chu vi lớn nhất (nhỏ nhất) trong một số hữu hạn
đa giác
- Xét các điểm là đầu mút cùa một đoạn thẳng, xét các điểm ở phía trái nhất hoặc
ở phía phải nhất của một đoạn thẳng (giả thiết đoạn thẳng nằm ngang)
Trang 3PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN : Nguyên lý cực hạn không chỉ ứng dụng trong tổ hợp mà
còn có nhiều ứng dụng quý báu trong số học, hình học và đại số Tuy nhiên, thật là khó để phát biểu được những phương pháp giải toán cụ thể nhưng chúng ta cũng có thể đúc kết được những kinh nghiệm thông qua những bài tập sau đây:
Ví dụ 1: Cho n điểm xanh và n điểm đỏ trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng
hàng Chứng minh rằng ta có thể nối 2n điểm này bằng n đoạn thẳng có đầu mút khác màu sao cho chúng đôi một không giao nhau
Thuật toán:
1. Tìm đại lượng có giới hạn (ví dụ như diện tích, độ dài,…)
2. Giải quyết bài toán bằng các phép lí luận (phản chứng, quy nạp toán học, …) dựa trên cực hạn và các phương pháp tổng quát đã có (phép tương tự hóa, tổng quát hóa, đặc biệt hóa)
Nhận xét: Ta tường minh với n=3 trên giấy thì nhận thấy rằng để tạo ra được các đọan thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài cho thì ta cần nối như thế nào để tổng độ dài của chúng nhỏ nhất
Lời giải:
Với 2n điểm thi nối được một số hữu hạn các đoạn thẳng => Tổng độ dài các đoạn thẳng nằm trong 1 khoảng Do số cách nối là hữu hạn nên tồn tại cách nối có tổng độ dài nói trên là nhỏ nhất Ta sẽ chứng minh rằng cách nối này thỏa mãn đề bài cho
Giả sử ngược lại, tồn tại hai đoạn thẳng cắt nhau, giả sử là AB và CD cắt nhau tại O (A, C được tô màu đỏ, còn B, D được tô màu xanh) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
AD < OA + OD
BC < OB + OC Suy ra AD + BC < AB + CD
Như vậy nếu ta giữ nguyên n – 2 đoạn nối còn lại và thảy AB, CD thành AD, BC thì tổng n đọan thẳng này nhỏ hơn tổng n đoạn thẳng trước (mâu thuẫn) => điều giả sử sai
Ví dụ 2: Cho n điểm không cùng nằm trên một đường thẳng Chứng minh rằng tồn tại một
đa giác lồi, có mỗi đỉnh là một trong n điểm đã cho, sao cho các điểm còn lại không nằm ngoài đa giác
(Phương pháp đa giác bao)
Lời giải: Vì số điểm đã cho là hữu hạn nên tồn tại một đường tròn có bán kính đủ lớn đến
chứa hết n điểm Lấy đường thẳng d nằm ngoài đường tròn Gọi A1 là điểm nằm gần đường thẳng d nhất (nếu có nhiều điểm thì ta chọn điểm nằm ngoài cùng bên phải) Qua A1kẻ đường thẳng d1song song với d Làm như vậy ta có tất cả các điểm giả thiết cho đều cùng
Trang 4, gọi điểm vừa gặp là A2(nếu gặp nhiều điểm thì lấy điểm xa A1nhất) Rõ ràng tất cả các điểm đã cho đều nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d2 Làm tương tự như vậy thì ta được đa giác lồi thỏa mãn đề
bài
Phương pháp đa giác bao cũng là một phương pháp
khá thú vị trong giải toán hình học tổ hợp Các bạn có thể
thử sức với một số bài toán sau với việc sử dụng xen kẽ
nguyên lý cực hạn:
Bài 1: Cho n điểm không nằm trên cùng một đường thẳng.
Chứng minh rằng tồn tại một góc nhỏ hơn góc bẹt có đỉnh là một trong n điểm đã cho sao cho các điểm còn lại không
thuộc miền ngoài của góc đó.
Bài 2: Trên mặt phẳng cho 5 điểm sao cho không có 5 điểm nào thẳng hàng Chứng minh
rằng tồn tại 3 điểm trong 5 điểm đã cho là ba đỉnh của một tam giác có một góc:
a) Nhỏ hơn hoặc bằng 36 độ
b) Lớn hơn hoặc bằng 108 độ.
Bài 3: Cho 30 điểm trong mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thằng hàng Chứng
minh rằng có thể vẽ được 10 tam giác không giao nhau có các đỉnh là các điểm đã cho
2. SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình x3+3y3+9z3=0không có nghiệm nguyên khác (0;0;0)
Hướng dẫn:
Phản chứng giả sử còn tồn tại 1 cặp nghiệm nguyên khác (0;0;0)
Gọi ( , , )x y z0 0 0 là nghiệm nguyên với x0 + y0 + z0 dương và nhỏ nhất.
Vì
3 3 3
0 0 0
0
0 3
x
+ + =
⇒ M
Chứng minh trương tự ta sẽ có y0 M 3,z0 M 3, lần lượt đặt x0 = 3 ,x y1 0 = 3 ;y z1 0 = 3z1, dẫn đến:
1 3 1 9 1 0
Mâu thuẫn với điều giả sử vì:0 < x1 + y1 + z1 < x0 + y0 + z0
Vậy ta có đpcm
Trang 5Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu a, b là các số nguyên dương sao cho
2 2 1
k ab
+
=
− là số nguyên
thì k = 5
Lời hướng dẫn: Đề bài yêu cầu ta chứng minh tồn tại duy nhất số k nghĩa là chứng minh
không tồn tại số nguyên k khác 5 thỏa mãn, đây là một trong những hướng chứng minh chủ đạo của Phương pháp cực hạn Như vậy chúng ta có thể kết hợp với phương pháp phản chứng để chỉ ra điều đó bằng cách chọn bộ (a, b) nhỏ nhất như ví dụ 1
Lời giải: Vì a, b vai trò bình đẳng, không mất tính tổng quát giả sử a > b Gọi (a, b) là bộ số
sao cho a nhỏ nhất thỏa mãn Ta có: a2−kb a b + + =2 k 0(1)
Ta có: (1) là một phương trình bậc hai f(a)
Theo định lý Viet ta có f(a) còn có một nghiệm là a’ sao cho
2 ' b k
a
+
= ≥ >
Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì f(b) > 0, tức là
2 2 2
2 2
0 (1 ) 2 0
(1 ) 2
− + + >
⇔ − + >
⇔ − > −
- Nếu b> 1 thì
2 2
2
k
− +
< = = + ≤
Suy ra k = 2 hoặc k =1
Nếu k = 1 thì ta dễ dàng chỉ ra điều mâu thuẫn khi thế vào biểu thức ban đầu
k=2 thì (a b− )2 = −2(vô lý) Ta loại trường hợp này
Vậy b = 1, sau đó giải ra k = 5 Bài toán được chứng minh
Ý tưởng cực hạn, lựa chọn a, b rồi vận dụng định lý Viet này thật độc đáo và đầy sáng tạo, tạo nên một lời giải ngắn gọn, rõ ràng và chính xác Việc đánh giá giá trị của k là một kiểu rất hay gặp trong số học, trong các kì thi HSG lớp 9, 10 thậm chí kì thi chọn HSG QG, Quốc
Tế, chúng ta hãy cùng tham khảo một số bài toán sau đây:
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2− +p 1là lập phương đúng của một số tự nhiên.
(Olympic 30/4/2018 – Khối 10)
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m, n sao cho
2 2 1
mn
+
− là một số nguyên
(Đề đề nghị 30/4 tỉnh Đăk Lắk)
Bài 3: (IMO 1998) Hãy xác định tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho
Trang 6Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong 15 số nguyên dương thuộc {2,3,…,1992} và đôi một
nguyên tố cùng nhau, có ít nhất một số là số nguyên tố
Lời hương dẫn: Sử dụng phản chứng kết hợp với cực hạn để giải quyết bài toán cùng với bổ
đề gợi ý: Mọi hợp số đều có ước nguyên tố không vượt quá n
Ví dụ 4*: Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ n sao cho 15n+ 1 chia hết cho n.
Lời giải: Rõ ràng n = 1 là một nghiệm của bài toán Giả sử tồn tại n > 1 thỏa mãn Gọi p là
ước số nguyên tố lẻ nhỏ nhất của n Giả sử k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 15k −1Mp
Vì 152n− =1 (15n−1)(15n+1)Mnnên suy ra: 152n−1Mp
Như vậy (15, p) = 1 và theo định lý nhỏ Fermat, ta có 15p−1−1Mp , theo định nghĩa của k, ta suy ra k là ước của p – 1 và 2n.
Suy ra: k≤ − <p 1 p
Nếu k là số lẻ thì k chia hết n (vì k chia hết 2n) Từ đó dẫn tới k = 1
Nếu k là số chẵn thì đặt k = 2l , l nguyên dương thì l < 2l = k < p, k = 2l chia hết 2n Từ đó
dẫn đến l = 1 => k = 2
Học sinh dẫn đến điều vô lý
III. BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1: Cho các số nguyên dương x, y, A thỏa mãn hệ thức
2 2 30
A
xy
+ +
=
Chứng minh rằng
A là lũy thừa bậc 5 của một số nguyên
Bài 2: Cho a, b là hai số nguyên dương, đặt:
2 2
2 2
( ) 2
( ) 2
= + −
= + −
Chứng minh rằng A, B không thể đồng thời là hai số chính phương
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 – ĐHSP Hà Nội 2018-2019)
Bài 3: Trong tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy một điểm P bất kì, chứng minh khoảng
cách lớn nhất trong các khoảng cách từ điểm P đến các đỉnh A, B, C của tam giác không nhỏ hơn 2 lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ điểm P đến các cạnh của
tam giác đó
Bài 4:* Cho tập hợp M gồm 10 điểm trên mặt phẳng không cùng thuộc 1 đường thẳng.
Kẻ các đường thẳng đi qua từng cặp hai điểm trong 10 điểm đó Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng đi qua đúng hai điểm của tập hợp M
Trang 7Bài 5: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E Chứng minh
rằng: Nếu các bán kính của 4 đường tròn nội tiếp các tam giác EAB, ECD, EDA mà bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi
Bài 6: Giả sử x và y là các số nguyên dương sao cho x2+ +y2 6 chia hết cho xy Chứng minh rằng là
2 2 6
xy
+ +
lập phương của một số tự nhiên
Bài 7: Cho a và b là các số nguyên dương a2+b2 sao cho chia hết cho ab+1 Chứng minh rằng là
2 2
a b
ab
+
số chính phương
Bài 8: Tồn tại hay không 50 điểm sao cho với bất kì hai điểm A, b nào trong 50 điểm ấy
cũng tồn tại một điểm C trong các điểm còn lại sao cho ·ACB= 60o
Bài 9: Mọi số thực dương được viết trên bảng Tổng của các tích đôi một của chúng bằng 1.
Chứng minh rằng ta có thể xóa đi một số để tổng các số còn lại nhỏ hơn 2
Bài 10: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c+ + =3.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= a b b c c a+ + − abc
Bài 11: Cho n2 số nguyên không âm được đặt vào các ô trong bảng bao gồm n hàng và n cột Với việc thực hiện phân bố ô phải thỏa thỏa mãn điều kiện: Nếu một ô nào đó trong bảng viết số 0 thì tổng những số hạng trong cột và trong hàng chứa ô này không nhỏ hơn n Chứng minh rằng tổng tất cả các ô trong bảng không nhỏ hơn
2 2
n
Bài 12: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh rằng :
a ab b +b bc c +c ca a ≥ a b c
Bài 13: Trong một tam giác nhọn, khoảng cách từ trung điểm một cạnh bất kì đến đỉnh đối
diện bằng tổng khoảng cách từ điểm đó đến các cạnh của tam giác Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Bài 14: Trên một đường thẳng có 17 đoạn thẳng, biết rằng không có 5 đoạn thẳng nào có
điểm chung Chứng minh rằng trong số đó tồn tại năm đoạn thẳng đôi một không có điểm chung
Lời giải: