TH1 e2 SangTM nguyen li bat bien

NGUYÊN LÍ BẤT BIẾN Bất biến khái niệm quan trọng tốn học Nói cách đơn giản bất biến đại lượng hay tính chất khơng thay đổi trạng thái biến đổi Người ta sử dụng bất biến để phân loại vật phạm trù Hai vật thuộc loại có tính chất H vật A có tính chất H, vật B khơng có tính chất H B khơng loại với A Chú ý: Bài tốn hỏi hay khơng làm việc A: + Hướng : Không xảy được, ta dùng phản chứng + Hướng :Có thể xảy ra, ta cần cách để thực việc Nhìn chung ta thường nhìn theo hướng trước để hiểu nội dung tốn, hầu hết tốn có kết luận hướng Bài toán Hai người chơi cờ Sau ván người thắng điểm, người thua điểm, hồ người điểm Hỏi sau số ván liệu xảy trường hợp: (hai trường hợp riêng lẻ) a Một người điểm người 11 điểm không? b Một người điểm người 10 điểm khơng? Phân tích: Rõ ràng thấy có đại lượng bất biến số điểm ván (có thể chia cho hai người nhận cả) Mà kết luận toán lại đề cập đến số điểm người, cần quan tâm xảy trường hợp mà tổng điểm thỏa mãn đề hay không) Lời giải a Hoàn toàn cách: Người thứ thắng ván đầu, ván thứ hòa, ván thứ đến người thứ thắng b Gọi S (n ) tổng số điểm hai người sau ván thứ n Ta có S (n ) bất biến theo modun Do S (n ) º S (0) º (mod 2), " n ³ Vậy xảy trường hợp người điểm người 10 điểm ( ) Bài tốn Thực trò chơi sau: Lần đầu viết lên bảng cặp số 2; Từ lần thứ hai, bảng có cặp số B = (a ; b) phép viết thêm cặp số ỉa + b a - b ư÷ ữ T (B ) = ỗỗỗ ; ữ ỗố ø ÷ ( Hỏi viết cặp số 1;1 + ) hay khơng? Phân tích: Bài toán cho số nên cần quan tâm biểu thức đại số khơng thay đổi ỉa + b a - b ửữ ữ gia ỗỗỗ ; ữ v (a ;b) iu ny chc khụng khú nhn ốỗ ø ÷ 2 ỉa + b ổa - b ửữ ữ ỗỗ ỗỗ ữ ữ + = a + b2 ữ ữ ỗỗố ỗ ứ çè ÷ ø ÷ Lời giải Giả sử bước thứ n ta viết cặp số (an ; bn ) Khi tổng S (n ) = an2 + bn2 đại lượng bất biến Điều có nghĩa tất số (an ;bn ) có a n2 + bn2 giống ( Do S (n ) = S (0) = a 02 + b02 = ¹ 12 + + ( Vậy viết cặp số 1;1 + ) 2 , " n ³ ) Bài tốn Trên bảng có hai số Thực trò chơi sau: Nếu bảng có hai số a b phép viết thêm số c = a + b + ab Hỏi cách viết số 2001 11111 hay khơng? Phân tích: Có cách để xét tính bất biến xuất số xét đồng dư số theo modun (Xét số dư chia cho số, mà thường số nguyên tố) Khi ta viết số số hạng nhận thấy tất số sinh (trừ số từ đầu) chia dư Có thể chứng minh quy nạp điều với ý: Hai số chia dư tổng chia dư 1, tích chia dư Lời giải Dãy số viết thêm là: 5; 11; 17; Dễ dàng chứng minh dãy số viết thêm chia cho dư Bất biến cho phép ta loại trừ số 2001 dãy số viết thêm Tuy nhiên, bất biến khơng cho phép ta loại trừ số 11111 Liệu xuất số hay không Với số sinh to nhu cầu cần thấy dạng cụ thể số sinh ra, thấy khơng có dạng Ta tìm bất biến khác Quan sát số viết quy tắc viết thêm số, ta có c = a + b + ab Þ c + = (a + 1)(b + 1) cộng thêm vào số thuộc dãy ta có dãy mới: 6; 12; 18; Như vậy, cộng thêm vào số viết thêm số có dạng 2m 3n (có thể chứng minh quy nạp điều này) Do số 11111 + = 11112 = 3.8.463 nên 11111 không thuộc dãy số viết thêm Bài toán (ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – TỈNH NAM ĐNNH - Năm học 2012-2013): Có 2010 người xếp thành vòng tròn, lúc đầu người cầm kẹo Mỗi bước chọn hai người có kẹo thực hiện: Mỗi người chuyển kẹo qua người bên cạnh (về bên trái phải) Sau hữu hạn bước xảy trường hợp tất số kẹo chuyển người hay không ? Lời giải Cố định 2010 người đường tròn, đánh số theo thứ tự từ đến 2010 Chia số người thành nhóm, nhóm đánh số lẻ nhóm đánh số chẵn Lúc đầu số kẹo hai nhóm (cùng 1005 chiếc) Nhận xét: Nếu hai người chọn đánh số khác tính chẵn lẻ số lượng kẹo nhóm khơng đổi, suy tính chẵn lẻ số kẹo nhóm khơng đổi Nếu hai người chọn đánh số tính chẵn lẻ tính chẵn lẻ số kẹo nhóm không thay đổi (Giả sử hai người đánh số chẵn số kẹo nhóm chẵn giảm 2, số kẹo nhóm lẻ tăng 2) Vậy thời điểm tính chẵn lẻ tổng số kẹo nhóm khơng đổi Mà lúc đầu nhóm có 1005 kẹo nên xảy trường hợp số kẹo tập trung người Bài toán (Belarus 1999): Có đất hình vng ´ chia thành 49 ô vuông đơn vị Thực việc lát đất loại gạch lát nền: Loại 1: Monomino ( ´ 1) Loại 2: Trimino thẳng ( ´ ) Loại 3: L – trimino (có đơn vị, hình chữ L) Giả sử A có viên loại nhiều viên loại 2, B có viên loại a Chứng minh B lát viên gạch lên vng đơn vị đất mà A khơng thể lát kín phần lại b Giả sử A có thêm viên loại Chứng minh dù B lát viên gạch đâu A lát kín phần lại Lời giải Đánh số vng đơn vị hình chữ nhật hình vẽ, màu đen B lát viên gạch Số số 17, số 15, số 16 Nhận xét quân A đặt nên hình chữ nhật này: Với Trimino thẳng, phủ có đủ số lượng 1, L – trimino phủ số 1, 2, ô có số giống (ví dụ ô 3…) Nếu A dùng Trimino thẳng hiển nhiên khơng phủ Nếu A dùng thêm L – trimino lúc có hai trường hợp • Phủ 1, 2, lại không phủ trimino thẳng, phủ giống khác • Nếu dùng L – trimino mà phủ ô giống khác, giữ ngun mơ hình ta đánh số lại hình bên, số lượng số 1, 2, khơng thay đổi Khi với cách đặt quân L – trimino trường hợp lại chuyển việc phủ có đủ 1, 2, Như ta đưa trường hợp Tóm lại, A khơng thể phủ hình chữ nhật qn có b Phân chia theo khối hình sau Nhận thấy dù vng đơn vị B đặt vào đâu phủ khối hình Chú ý ta xoay hình để phủ hợp với việc phủ Bài tốn (Russia 1996): Cho hình chữ nhật ´ Một số người phủ vng đơn vị hình chữ nhật L – trimino Hỏi xảy trường hợp vng đơn vị hình chữ nhật phủ số lượng L – trimino (ở người thực việc phủ số ô vng đơn vị mình, để ngun đến lượt người lại phủ ô vuông đơn vị, phủ nhiều lần không phủ lần nào) Lời giải x x x x x x x x x x x x Đánh dấu hình vẽ Nhận thấy L – trimino đặt vào hình chữ nhật phủ tối đa ô đánh dấu Giả sử hình chữ nhật phủ k quân L – trimino, suy số lượng L – trimino tối thiểu 12k Nghĩa phủ khơng 36k đơn vị hình chữ nhật (các đếm nhiều lần) Bên cạnh có 35k ô đơn vị phủ, số lượng nhỏ 36k m suy vơ lí Bài tốn Một dãy gồm có 19 phòng Ban đầu phòng có người Sau đó, ngày có hai người chuyển sang hai phòng bên cạnh theo hai chiều ngược nhau, Hỏi sau số ngày, có hay khơng trường hợp mà: (a) Khơng có phòng có thứ tự chẵn (b) Có 10 người phòng cuối Lời giải Đánh số phòng theo thứ tự từ đến 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Ta cho vị khách thẻ ghi số phòng Gọi S(n) tổng số ghi thẻ tất vị khách ngày thứ n Vì ngày có hai người chuyển sang hai phòng bên cạnh theo hai chiều ngược nên S(n) không thay đổi Vậy S(n) = S(1) = + + + …+ 19 = 190, " n ³ a) Vì có lẻ người nên khơng phòng có thứ tự chẵn S(n) tổng 19 số lẻ, tức S(n) số lẻ , mâu thuẫn Vậy trường hợp không xảy b) Nếu có 10 người phòng cuối (phòng 19) S(n) > 19 10 = 190, mâu thuẫn.Vậy trường hợp khơng xảy Bài tốn 8: Cho bảng 8x8 dấu +, - đặt hình vẽ Mỗi lần cho phép thay đổi dấu tất ô hàng, cột đường chéo song song trùng đường chéo Hỏi sau số bước ta thu tất ô đánh dấu cộng? + + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Lời giải + + + + + + + + + + + + + + + + Xét miền tơ đậm hình vẽ Với dấu – ta kí hiệu số -1, ô dấu + kí hiệu số Nhận thấy với lần thay đổi tác động đến số chẵn ô miền xét, nghĩa không làm thay đổi tích tất số miền Ban đầu có tích số âm, khơng xảy trường hợp tích số dương, nghĩa không tồn trạng thái tất ô đánh dấu + Một số tập có hướng dẫn: Bài tập Một robot nhảy mặt phẳng toạ độ theo quy tắc sau: Xuất phát từ điểm x'= (x ; y ), robot nhảy đến điểm (x '; y ') xác định sau x+y 2xy , y'= x+y ( ) Chứng minh rằng, ban đầu robot đứng điểm 2009; 2010 khơng robot nhảy vào đường tròn (C) có tâm gốc toạ độ O bán kính R = 2840 (tích hai số không đổi) Bài tập Ở đỉnh lục giác lồi có ghi số chẵn liên chiều kim đồng hồ Thực thuật toán sau: lần chọn cạnh cộng thêm số cạnh với số nguyên Hỏi có nhận hay khơng trạng thái mà số đỉnh nhau? (xét biểu thức: P = a1 - a + a - a + a - a bất biến sau lần thực thuật toán) Bài tập (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh năm 2007) Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi đỏ, 671 bi vàng Thực thuật toán sau: Mỗi lần lấy hai viên bi khác màu đặt thêm hai viên bi có màu lại Hỏi nhận trạng thái mà bàn lại viên bi màu không? (Xét đồng dư ba số với 3, ta nhận thấy ln có đầy đủ đồng dư: 0, 1, Nếu xảy trạng thái mà bi màu có hai nhiều hai đồng dư với 3, không thỏa mãn) Bài tập (VMO – 1991) Cho bảng 1991 ´ 1992 Kí hiệu ô (m ; n ) ô nằm giao hàng thứ m cột thứ n Tô màu ô bảng theo quy tắc sau: Lần thứ nhất: Tô ba ô: (r ; s ), (r + 1; s + 1), (r + 2; s + 2) Từ lần thứ hai: lần tô ba ô chưa có màu nằm cạnh hàng cột Hỏi tơ hết tất bảng khơng? Có thể thay đổi toán theo hướng: Bài 5.1: Cho bảng 1991 ´ 1992 Kí hiệu (m ; n ) ô nằm giao hàng thứ m cột thứ n Tô màu ô bảng theo quy tắc sau: Mỗi lần tô hai bước: Bước thứ nhất: Tô ba ô: (r ; s ), (r + 1; s + 1), (r + 2; s + 2) Bước thứ hai: lần tô ba ô chưa có màu nằm cạnh hàng cột Hỏi tơ hết tất ô bảng không? Bài 5.2: Cho bảng 1991 ´ 1992 Kí hiệu (m ; n ) ô nằm giao hàng thứ m cột thứ n Tô màu ô bảng theo quy tắc sau: Lần thứ nhất: Tô ba ô: (r ; s ), (r + 1; s + 1), (r + 2; s + 1) Từ lần thứ hai: lần tơ ba chưa có màu nằm cạnh hàng cột Hỏi tơ hết tất ô bảng không? (đánh số bảng 3 2 3 … … … 3 2 3 Lần tô ta tơ có số Từ lần hai trở đi, ta tơ có đủ số 1, 2, Vậy muốn tô được, trước hết phải có hai số có số lượng số lại có số lượng nhiều số Nhưng số lượng số nhau, không tô được) Bài 5.1: (Do lần tô ơ, phải tơ 661012 lần Mà lần tô: bước tô đủ ô, bước tô ô giống Hơn số lượng sô nên số lần tô phải chia hết cho Ở 661012 không chia hết cho 3, ko thực công việc) Bài tập 6: Trên bảng người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 2013 sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số tổng hai số xóa Việc làm thực liên tục số bảng Hỏi số cuối lại bảng bao nhiêu? Tại sao? Vì lần thực trò chơi thay hai số tổng chúng nên số lượng số bảng giảm tổng số bảng không thay đổi thời điểm Như vậy, sau 2012 lần thực bảng số Tổng số lúc đầu là: + + + L + 2012 + 2013 = Vậy số cuối lại bảng 2027091 2013.(2013 + 1) = 2027091 2 80 ; ; ; L ; Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa 80 80 80 80 hai số a, b thay a + b – 2ab Hỏi sau 1987 lần thực phép xóa, số lại bảng số nào? Bài tập 7: Trên bảng có số Giả sử số a1; a2; a3; …; ak Xét tích P = (2a1 - 1)(2a2 - 1)…(2ak - 1) Khi đó, sau lần biến đổi, tích bị hai thừa số (2a - 1)(2b - 1) thêm vào thừa số 2(a + b – 2ab) – = - (2a - 1)(2b – 1) Tức sau lần biến đổi giá trị tuyệt đối tích P khơng thay đổi Vì tích ban đầu (do bảng ban đầu có chứa số 40 = ) nên sau lần biến đổi 80 tích ln Vậy số lại cuối bảng s thỏa mãn 2s – = 0, hay s = Bài tập 8: Ở vị trí khác đường đua tơ vòng tròn thời gian có 25 tơ xuất phát theo hướng Theo thể lệ đua, ô tơ vượt lẫn nhau, cấm khơng vượt đồng thời hai xe lúc Các ô tơ đến đích điểm mà chúng xuất phát ban đầu lúc Chứng minh suốt đua có số chẵn lần vượt ô tô Ta sơn số 25 ô tơ thành màu vàng, tơ khác đánh số thứ tự 1, 2, 3, …, 24 theo thứ tự mà chúng thời điểm ban đầu sau ô tô màu vàng (theo chiều chuyển động ô tô) Ở tâm đường đua ta đặt bảng để ghi số thứ tự ô tô xếp sau ô tô vàng sau lần ô tô vượt nhau, tức ta hoán vị {1, 2, …, 24} Trường hợp 1: Mỗi lần ô tô ô tơ từ đến 24 vượt bảng có số liền đổi chỗ cho Trường hợp 2: Nếu trước có lần vượt ô tô với ô tô vàng , số bảng lập thành hoán vị a1, a2, …, a24 sau lần vượt có hốn vị a2, a3, …, a24, 10 a1 Từ hoán vị chuyển xuống hốn vị 23 phép chuyển vị , tức phép đổi chỗ số đứng liền Trường hợp 3: Nếu ô tô vàng vượt tơ từ hốn vị a1, a2, …, a24 ta có hốn vị a24, a1, a2, …, a23 Lần di chuyển thay 23 phép chuyển vị trường hợp Như vậy, lần ô tô vượt nhau, dẫn đến việc thực số lẻ lần phép chuyển vị Ta chứng tỏ số lần vượt số lẻ đích ô tô không xếp cũ Thật vậy, giả sử a1, a2, …, a24 cách xếp tùy ý số 1, 2, …, 24 Ta nói số ai, aj lập thành nghịch i < j > aj Khi đổi vị trí số đứng liền nhau, tức thực phép chuyển vị tăng hay giảm số nghịch Do tơ vượt số lẻ lần từ cách xếp thứ tự ô tô ban đầu, đến cuối ta thực số lẻ phép chuyển vị, tức số nghịch lần xếp cuối lẻ, nghĩa ô tô xếp cũ Mâu thuẫn Vậy ô tô vượt số chẵn lần 11 ... Bài tập 6: Trên bảng người ta viết số tự nhiên li n tiếp từ đến 2013 sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số tổng hai số xóa Việc làm thực li n tục số bảng Hỏi số cuối lại bảng bao nhiêu?... gốc toạ độ O bán kính R = 2840 (tích hai số không đổi) Bài tập Ở đỉnh lục giác lồi có ghi số chẵn li n chiều kim đồng hồ Thực thuật toán sau: lần chọn cạnh cộng thêm số cạnh với số nguyên Hỏi có... phép ta loại trừ số 2001 dãy số viết thêm Tuy nhiên, bất biến khơng cho phép ta loại trừ số 11111 Li u xuất số hay khơng Với số sinh to nhu cầu cần thấy dạng cụ thể số sinh ra, thấy khơng có dạng