TH1 e2 SangTM nguyen li bat bien

Phân tích: Rõ ràng thấy được có 1 đại lượng bất biến là số điểm ở mỗi ván có thể chia cho cả hai hoặc 1 người nhận cả.. Mà kết luận của bài toán lại đề cập đến số điểm của từng người, v

1

NGUYÊN LÍ BẤT BIẾN

Bất biến là khái niệm quan trọng của toán học Nói một cách đơn giản thì bất biến

là đại lượng hay tính chất không thay đổi trong khi các trạng thái biến đổi Người ta sử dụng bất biến để phân loại các vật trong một phạm trù nào đó Hai vật thuộc cùng một loại nếu nó có cùng tính chất H và nếu vật A có tính chất H, vật B không có tính chất H thì B không cùng loại với A

Chú ý: Bài toán hỏi có thể hay không làm được việc A:

+ Hướng 1 : Không xảy ra được, ta có thể dùng phản chứng

+ Hướng 2 :Có thể xảy ra, ta cần chỉ ra một cách để thực hiện việc này

Nhìn chung ta thường nhìn theo hướng 2 trước để hiểu nội dung của bài toán, nhưng hầu hết các bài toán có kết luận là hướng 1

Bài toán 1 Hai người chơi cờ Sau mỗi ván người thắng được 2 điểm, người thua được 0

điểm, nếu hoà thì mỗi người được 1 điểm Hỏi sau một số ván liệu có thể xảy ra trường hợp: (hai trường hợp riêng lẻ)

a Một người được 7 điểm và người kia được 11 điểm được không?

b Một người được 7 điểm và người kia được 10 điểm được không?

Phân tích: Rõ ràng thấy được có 1 đại lượng bất biến là số điểm ở mỗi ván (có thể chia

cho cả hai hoặc 1 người nhận cả) Mà kết luận của bài toán lại đề cập đến số điểm của từng người, vì vậy cần quan tâm có thể xảy ra trường hợp mà tổng điểm thỏa mãn đề hay không)

Lời giải

a Hoàn toàn chỉ ra được một cách: Người thứ nhất thắng 3 ván đầu, ván thứ 4 hòa, ván thứ 5 đến 9 người thứ 2 thắng

b Gọi S n( ) là tổng số điểm của cả hai người sau ván thứ n Ta có S n( ) bất biến theo modun 2 Do đó

( )º ( )0 º 0 mod 2 ,( ) " ³ 0

Vậy không thể xảy ra trường hợp một người được 7 điểm và người kia được 10 điểm

2

Bài toán 2 Thực hiện trò chơi sau: Lần đầu viết lên bảng cặp số ( )2; 2 Từ lần thứ hai, nếu trên bảng có cặp số B = ( )a b; thì được phép viết thêm cặp số

( )= çæçç + - ÷ö÷÷

÷

çè 2 ; 2 ø.

a b a b

T B

Hỏi có thể viết được cặp số (1;1+ 2) hay không?

Phân tích: Bài toán cho các số nên cần quan tâm một biểu thức đại số không thay đổi giữa æçç + - ÷ö÷

÷

çè 2 ; 2 ø

a b a b

và ( )a b; Điều này chắc không khó để nhận ra

æ + ö÷ æ - ö÷

a b

Lời giải Giả sử ở bước thứ n ta viết cặp số (a b n; n) Khi đó tổng ( )= 2 + 2

S n a b là đại lượng bất biến

Điều này có nghĩa rằng tất cả các số (a b n; n) đều có 2 + 2

a b giống nhau

Do đó ( )= ( )= 2 + 2 = ¹ 2 + ( + )2 " ³

Vậy không thể viết được cặp số (1;1+ 2)

Bài toán 3 Trên bảng có hai số 1 và 2 Thực hiện trò chơi sau: Nếu trên bảng có hai số a

và b thì được phép viết thêm số =c a+ +b ab Hỏi bằng cách đó có thể viết được các số

2001 và 11111 hay không?

Phân tích: Có một cách để xét tính bất biến trong các bài xuất hiện số là xét đồng dư của các số theo 1 modun nào đó (Xét số dư khi chia cho 1 số, mà thường là số nguyên tố) Khi ta viết một số số hạng thì sẽ nhận thấy tất cả các số sinh ra (trừ số 1 từ đầu) đều chia 3 dư 2 Có thể chứng minh bằng quy nạp điều này với chú ý: Hai số cùng chia 3 dư 2 thì tổng chia 3 dư 1, tích chia 3 dư 1

Lời giải Dãy các số viết thêm là: 5; 11; 17;

3

Dễ dàng chứng minh được dãy các số được viết thêm đều chia cho 3 dư 2 Bất biến trên cho phép ta loại trừ số 2001 trong dãy các số được viết thêm

Tuy nhiên, bất biến đó không cho phép ta loại trừ số 11111 Liệu rằng có thể xuất hiện được số này hay không Với số sinh ra to như thế này thì nhu cầu cần thấy được dạng cụ thể của các số sinh ra, nhưng thấy rằng không có dạng đó

Ta đi tìm một bất biến khác Quan sát các số viết được và quy tắc viết thêm số, ta có

và nếu cộng thêm 1 vào các số thuộc dãy trên ta có dãy mới: 6; 12; 18;

Như vậy, nếu cộng thêm 1 vào các số viết thêm thì các số này đều có dạng 2 3 m n (có thể chứng minh quy nạp điều này) Do số 11111 1+ = 11112= 3.8.463 nên 11111 không thuộc dãy các số được viết thêm

Bài toán 4 (ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – TỈNH NAM ĐNNH - Năm học 2012-2013):

Có 2010 người xếp thành một vòng tròn, lúc đầu mỗi người cầm 1 chiếc kẹo Mỗi bước chọn hai người có kẹo và thực hiện: Mỗi người chuyển 1 chiếc kẹo qua người bên cạnh (về bên trái hoặc phải) Sau hữu hạn bước có thể xảy ra trường hợp tất cả số kẹo chuyển

về một người hay không ?

Lời giải

Cố định 2010 người trên một đường tròn, đánh số theo thứ tự từ 1 đến 2010

Chia số người này thành 2 nhóm, nhóm được đánh số lẻ và nhóm được đánh số chẵn Lúc đầu số kẹo của hai nhóm là bằng nhau (cùng bằng 1005 chiếc)

Nhận xét: Nếu hai người được chọn được đánh số khác tính chẵn lẻ thì số lượng kẹo của mỗi nhóm không đổi, suy ra tính chẵn lẻ về số kẹo của mỗi nhóm không đổi

Nếu hai người được chọn được đánh số cùng tính chẵn lẻ thì tính chẵn lẻ về số kẹo của mỗi nhóm không thay đổi

(Giả sử hai người được đánh số chẵn thì số kẹo của nhóm chẵn giảm 2, số kẹo của nhóm

lẻ tăng 2)

Vậy tại mọi thời điểm tính chẵn lẻ của tổng số kẹo của mỗi nhóm không đổi

4

Mà lúc đầu mỗi nhóm có 1005 kẹo nên không thể xảy ra trường hợp số kẹo tập trung về một người

Bài toán 5 (Belarus 1999): Có 1 nền đất hình vuông ´7 7 được chia thành 49 ô vuông đơn vị Thực hiện việc lát nền đất bởi 3 loại gạch lát nền:

Loại 1: Monomino ( ´1 1)

Loại 2: Trimino thẳng ( ´1 3 )

Loại 3: L – trimino (có 3 ô đơn vị, hình chữ L)

Giả sử A có 1 viên loại 3 và rất nhiều viên loại 2, B có 1 viên loại 1

a Chứng minh rằng B có thể lát viên gạch của mình lên một ô vuông đơn vị nào đó trên nền đất mà A không thể lát kín phần còn lại

b Giả sử A có thêm 1 viên loại 3 nữa Chứng minh rằng dù B lát viên gạch của mình ở đâu thì A cũng lát kín được phần còn lại

Lời giải

Đánh số các ô vuông đơn vị của hình chữ nhật như

hình vẽ, ô màu đen là ô B lát viên gạch của mình

Số các số 1 là 17, số 2 là 15, số 3 là 16

Nhận xét về các quân của A khi đặt nên hình chữ

nhật này:

Với Trimino thẳng, sẽ phủ được 3 ô có đủ 3 số

lượng 1, 2 và 3

L – trimino sẽ phủ được hoặc 3 số 1, 2, 3 hoặc 3 ô

có 2 số giống nhau (ví dụ 2 ô 1 và 1 ô 3…)

Nếu A chỉ dùng Trimino thẳng thì hiển nhiên không phủ

được

Nếu A dùng thêm L – trimino thì lúc đó có hai trường

hợp

5

• Phủ được 3 ô 1, 2, 3 còn lại không phủ được bởi trimino thẳng, hoặc phủ được 2 ô giống nhau và 1 ô khác thì

• Nếu dùng L – trimino mà phủ 2 ô giống nhau và 1 ô khác, giữ nguyên mô hình đó nhưng ta đánh số lại như hình bên, số lượng số 1, 2, 3 không thay đổi

Khi đó với cách đặt quân L – trimino như trường hợp này lại chuyển về việc phủ được 3 ô có đủ cả 1, 2, 3

Như thế ta đưa về trường hợp trên

Tóm lại, A không thể phủ được hình chữ nhật bằng các quân

mình có

b Phân chia theo các khối hình sau

Nhận thấy dù ô vuông đơn vị của B đặt vào đâu

thì cũng có thể phủ được bằng 3 khối hình này

Chú ý ta có thể xoay các hình này để phủ hợp

với việc phủ

Bài toán 6 (Russia 1996): Cho hình chữ nhật ´5 7 Một số người phủ các ô vuông đơn

vị của hình chữ nhật bởi các L – trimino Hỏi có thể xảy ra trường hợp mỗi ô vuông đơn

vị của hình chữ nhật được phủ bởi cùng số lượng L – trimino (ở đây mỗi người thực hiện việc phủ một số ô vuông đơn vị của mình, để nguyên như thế đến lượt người tiếp theo lại phủ các ô vuông đơn vị, khi đó mỗi ô có thể được phủ nhiều lần hoặc không được phủ lần nào)

x x x x

x x x x

Lời giải

Đánh dấu các ô như hình vẽ

Nhận thấy mỗi L – trimino khi đặt vào hình chữ

nhật sẽ chỉ phủ được tối đa 1 ô được đánh dấu

Giả sử mỗi ô của hình chữ nhật được phủ bởi

đúng k quân L – trimino, suy ra số lượng L –

thiểu là 12k

6

Nghĩa là sẽ phủ được không ít hơn 36k ô đơn vị của hình chữ nhật (các ô có thể được

đếm nhiều lần)

Bên cạnh đó chỉ có đúng 35k ô đơn vị được phủ, số lượng này nhỏ hơn 36k m suy ra vô

lí

Bài toán 7 Một dãy gồm có 19 phòng Ban đầu mỗi phòng có một người Sau đó, cứ mỗi

ngày có hai người nào đó chuyển sang hai phòng bên cạnh nhưng theo hai chiều ngược nhau, Hỏi sau một số ngày, có hay không trường hợp mà:

(a) Không có ai ở phòng có thứ tự chẵn

(b) Có 10 người ở phòng cuối

Lời giải

Đánh số các phòng theo thứ tự từ 1 đến 19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Ta cho mỗi vị khách một thẻ ghi số phòng mình đang ở Gọi S(n) là tổng các số ghi trên thẻ của tất cả các vị khách trong ngày thứ n Vì mỗi ngày có hai người nào đó chuyển sang hai phòng bên cạnh nhưng theo hai chiều ngược nhau nên S(n) không hề thay đổi Vậy S(n) = S(1) = 1 + 2 + 3 + …+ 19 = 190, " ³ 1n

a) Vì có lẻ người nên nếu không ai ở phòng có thứ tự chẵn thì S(n) là tổng của 19 số lẻ, tức là S(n) là số lẻ , mâu thuẫn Vậy trường hợp này không xảy ra

b) Nếu có 10 người ở phòng cuối (phòng 19) thì S(n) > 19 10 = 190, mâu thuẫn.Vậy trường hợp này cũng không xảy ra

Bài toán 8:

Cho bảng 8x8 và các dấu +, - được đặt như hình

vẽ Mỗi lần cho phép thay đổi dấu của tất cả các

ô trên cùng một hàng, cùng một cột hoặc trên

cùng một đường chéo song song hoặc trùng

đường chéo chính Hỏi có thể sau một số bước ta

thu được tất cả các ô đều đánh dấu cộng?

+ + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

7

Lời giải

+ + - + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Xét miền được tô đậm như hình vẽ Với ô dấu – ta kí hiệu là số -1, ô dấu + kí hiệu là số 1 Nhận thấy với mỗi lần thay đổi chỉ tác động đến một số chẵn ô trong miền đang xét, nghĩa là không làm thay đổi tích của tất cả các số trong miền Ban đầu có tích các số âm,

vì vậy không xảy ra trường hợp tích các số dương, nghĩa là không tồn tại trạng thái tất cả các ô được đánh dấu +

Một số bài tập có hướng dẫn:

Bài tập 1 Một con robot nhảy trong mặt phẳng toạ độ theo quy tắc sau: Xuất phát từ

điểm ( )x y; , con robot nhảy đến điểm (x y'; ') xác định như sau

+

+

2

2

x y

Chứng minh rằng, nếu ban đầu con robot đứng ở điểm (2009; 2010) thì không bao giờ con robot nhảy vào được trong đường tròn (C) có tâm là gốc toạ độ O và bán kính

= 2840

R

(tích của hai số không đổi)

Bài tập 2 Ở 6 đỉnh của một lục giác lồi có ghi 6 số chẵn liên tiếp theo chiều kim đồng

hồ Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần chọn một cạnh và cộng thêm mỗi số trên cạnh đó với cùng một số nguyên nào đó Hỏi có nhận được hay không trạng thái mà 6 số ở 6 đỉnh bằng nhau?

(xét biểu thức: P = a1- a2 + a3- a4+ a5- a6 là bất biến sau mỗi lần thực hiện thuật toán)

8

Bài tập 4 (Đề thi chọn đội tuyển Bắc Ninh năm 2007)

Trên bàn có 2007 viên bi gồm 667 bi xanh, 669 bi đỏ, 671 bi vàng Thực hiện thuật toán sau: Mỗi lần lấy đi hai viên bi khác màu và đặt thêm hai viên bi có màu còn lại Hỏi có thể nhận được trạng thái mà trên bàn chỉ còn lại các viên bi cùng màu được không?

(Xét đồng dư của ba số với 3, ta nhận thấy luôn có đầy đủ cả 3 đồng dư: 0, 1, 2 Nếu xảy

ra trạng thái mà các bi cùng màu thì chỉ có hai nhiều nhất là hai đồng dư với 3, không thỏa mãn)

Bài tập 5 (VMO – 1991) Cho bảng 1991 1992 Kí hiệu ô ´ (m n; ) là ô nằm ở giao của hàng thứ m và cột thứ n Tô màu các ô của bảng theo quy tắc sau:

Lần thứ nhất: Tô ba ô: ( ) (r s; , r + 1;s+ 1 ,) (r + 2;s+ 2 )

Từ lần thứ hai: mỗi lần tô đúng ba ô chưa có màu nằm cạnh nhau trên cùng một hàng hoặc trên cùng một cột

Hỏi có thể tô hết tất cả các ô của bảng được không?

Có thể thay đổi bài toán theo những hướng:

Bài 5.1: Cho bảng 1991 1992 Kí hiệu ô ´ (m n; ) là ô nằm ở giao của hàng thứ m và cột thứ n Tô màu các ô của bảng theo quy tắc sau: Mỗi lần tô hai bước:

Bước thứ nhất: Tô ba ô: ( ) (r s; , r + 1;s + 1 ,) (r + 2;s+ 2 )

Bước thứ hai: mỗi lần tô đúng ba ô chưa có màu nằm cạnh nhau trên cùng một hàng hoặc trên cùng một cột

Hỏi có thể tô hết tất cả các ô của bảng được không?

Bài 5.2: Cho bảng ´1991 1992 Kí hiệu ô (m n; ) là ô nằm ở giao của hàng thứ m và cột thứ n Tô màu các ô của bảng theo quy tắc sau:

Lần thứ nhất: Tô ba ô: ( ) (r s; , r + 1;s+ 1 ,) (r + 2;s+ 1 )

Từ lần thứ hai: mỗi lần tô đúng ba ô chưa có màu nằm cạnh nhau trên cùng một hàng hoặc trên cùng một cột

9

Hỏi có thể tô hết tất cả các ô của bảng được không?

(đánh số như bảng

1 2 3 1 2 3 … 1 2 3

2 3 1 2 3 1 … 2 3 1

3 1 2 3 1 2 … 3 1 2

1 2 3

2 3 1

Lần tô 1 ta tô 3 ô có cùng số

Từ lần hai trở đi, ta tô 3 ô có đủ các số 1, 2, 3

Vậy muốn tô được, trước hết phải có hai số có số lượng bằng nhau và số còn lại có số lượng nhiều hơn 3 số

Nhưng ở đây số lượng 3 số bằng nhau, vì vậy không tô được)

Bài 5.1: (Do mỗi lần tô được 6 ô, vì vậy chúng ta phải tô 661012 lần Mà mỗi lần tô: ở

bước 2 tô đủ 3 ô, bước 1 tô 3 ô giống nhau Hơn nữa số lượng các sô bằng nhau nên số lần tô phải chia hết cho 3 Ở đây 661012 không chia hết cho 3, chúng ta ko thực hiện được công việc)

Bài tập 6: Trên bảng người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2013 sau đó thực

hiện trò chơi như sau: mỗi lần xóa hai số bất kì và viết một số mới bằng tổng hai số đã xóa Việc làm này thực hiện liên tục cho đến khi còn một số trên bảng Hỏi số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

Vì mỗi lần thực hiện trò chơi thì thay hai số bằng tổng của chúng nên số lượng số trên bảng giảm đi 1 và tổng các số trên bảng không thay đổi trong mọi thời điểm Như vậy, sau 2012 lần thực hiện thì trên bảng còn 1 số

Tổng các số lúc đầu là: 1 2+ + 3+ + 2012+ 2013= 2013.(2013+ 1) = 2027091

2 L

Vậy số cuối cùng còn lại trên bảng là 2027091

10

Bài tập 7: Trên bảng có các số 1 ; 2 ; 3 ; ;80

80 80 80 L 80 Mỗi lần thực hiện, cho phép xóa đi hai số a, b bất kì và thay bởi a + b – 2ab Hỏi sau 1987 lần thực hiện phép xóa, số còn lại trên bảng là số nào?

Giả sử các số trên là a 1 ; a 2 ; a 3 ; …; a k

Xét tích P = (2a 1 - 1)(2a 2 - 1)…(2a k - 1)

Khi đó, sau mỗi lần biến đổi, tích trên bị mất đi hai thừa số (2a - 1)(2b - 1) và được thêm vào thừa số 2(a + b – 2ab) – 1 = - (2a - 1)(2b – 1)

Tức là sau mỗi lần biến đổi giá trị tuyệt đối của tích P là không thay đổi

Vì tích ban đầu bằng 0 (do bảng ban đầu có chứa số 40 = 1

80 2 ) nên sau mỗi lần biến đổi

thì tích này luôn bằng 0

Vậy số còn lại cuối cùng trên bảng là s thỏa mãn 2s – 1 = 0, hay s = 1

2

Bài tập 8: Ở các vị trí khác nhau của một đường đua ô tô vòng tròn cùng một thời gian

có 25 ô tô xuất phát theo cùng một hướng Theo thể lệ cuộc đua, các ô tô có thể vượt lẫn nhau, nhưng cấm không được vượt đồng thời hai xe cùng một lúc Các ô tô đến đích là các điểm mà chúng xuất phát ban đầu cùng một lúc Chứng minh rằng trong suốt cuộc đua có một số chẵn lần vượt nhau của các ô tô

Ta sơn 1 trong số 25 ô tô thành màu vàng, còn các ô tô khác được đánh số thứ tự là 1, 2,

3, …, 24 theo thứ tự mà chúng ở thời điểm ban đầu sau ô tô màu vàng (theo chiều chuyển động của các ô tô) Ở tâm của đường đua ta sẽ đặt một cái bảng để ghi số thứ tự của các

ô tô sắp xếp sau ô tô vàng sau mỗi lần các ô tô vượt nhau, tức là ta được một hoán vị của {1, 2, …, 24}

Trường hợp 1: Mỗi lần 2 ô tô trong các ô tô từ 1 đến 24 vượt nhau thì trên bảng sẽ có 2

số liền nhau đổi chỗ cho nhau

Trường hợp 2: Nếu trước khi có lần vượt của một ô tô nào với ô tô vàng , các số trên bảng lập thành một hoán vị a 1 , a 2 , …, a 24 thì sau lần vượt đó sẽ có hoán vị a 2 , a 3 , …, a 24 ,