Nguyên lí bất biến

NHÓM: … THÀNH VIÊN MSSV Bùi Quang Học 1111116 Hồ Trần Kim Ngọc Diễn 1111045 Trần Nguyễn Phước Anh 1111011 Nguyễn Thanh Trọng Tường 1111377 Trương Quang Tường 1111378 “Nguyên lí bất biến Định nghĩa: Ω, T, f bất biến nếu: - khơng thể thu từ phép biến đổi T” Tính chất bất biến áp dụng nhiều toán số học , dặc biệt tốn trò chơi , số tính bất biên thường dùng tính chẳn lẽ , phép lấy mod , tính đối xứng đại lượng I BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT HỮU HẠN HOẶC VƠ HẠN CỦA DÃY LẬP Nếu dãy lập hữu hạn xác định chiều dài lớn dãy lập trạng thái cuối trạng thái Bài tốn 1: Trên bàn có viên sỏi, chia thành vài đống nhỏ Mỗi phép biến đổi thực sau: Ta lấy đống viên lập đống hỏi sau 30 bước biến đổi trên, viên sỏi mặt bàn chia thành đống, đống có viên? Bài giải Mỗi trang thái (phép chia) mô tả số nguyên dương Ví dụ (4, 1, 1) có nghĩa đống, viên – viên – viên Nếu nhận trạng thái (3, 2, 1) phép biến đổi sau khơng làm thay đổi cách chia theo qui tắc ta có: (3, 2, 1) ⟶ (2, 1, 3) ⟶ (1, 2, 3) ⟶ (1, 2, 3) (vẫn nhóm, viên – viên – viên) Suy ra, số trạng thái dãy lặp hữu hạn, cách chia dẫn tới thạng thái (3, 2, 1) sau số hữu hạn bước Thật vậy, ta có bảng mơ tả phép biến đổi sau: Như vậy, sau nhiều bước ta gặp trạng thái [3, 1, 2] Suy bước 30 ta có cách phân chia (3, 1, 2) II BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT TUẦN HỒN CỦA DÃY LẬP Bài toán 2: Bắt đầu với số thực dương (a, b, c, d) a, b, c, d không đồng thời Ta lập (ab, bc, cd, da) lập lại phép biến đổi Chứng minh số nhận từ phép biến đổi khơng có (a, b, c, d) Bài giải Giả sử phản chứng sau số hữu hạn bước ta nhận số ban đầu (a, b, c, d), đặt S = abcd Bước 1, tích số: (ab)(bc)(cd)(da) = S2 Bước 2, tích số: S4 ⟹ Bước k, tích số: (k 1) Từ giả thuyết phản chứng ⟹ = S (k 1) ⟺ S = Tóm lại ta có abcd = Ta xét số trạng thái (a, b, c, d) ⟶ (ab, bc, cd, da) ⟶ (ab2c, bc2d, cd2a, da2b) ⟶ (ab3c3d, bc3d3a, cd3a3b, da3b3c) = (b2c2, c2d2, d2a2, a2b2) Như trạng thái nhận từ trạng thái cách bình phương thành phần xếp lại thứ tự (thứ ⟶ thứ 1, thứ ⟶ thứ 2, thứ ⟶ thứ 3, thứ ⟶ thứ 4) Và vậy, thứ nhận từ thứ 4, thứ nhận từ thứ 6, … Ký hiệu t = Max(ab, bc, cd, da) ⟹ t2 thành phần lớn thứ 4, t2 thành phần lớn thứ 6, …, thành phần lớn thứ 2k theo giả thiết phản chứng, dãy lặp tuần hồn (đến bước thu (a, b, c, d)) Suy dãy số t, t2, t4, … dãy số vô hạn nhận số hữu hạn giá trị Vậy ta thu t = Ta có: 1= a2b2c2d2 = ab.bc.cd.da t.t.t.t = t4 = ⟹ ab = bc = cd = da ⟹ a = b = c = d = (mâu thuẫn) III BÀI TOÁN VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA DÃY LẬP MÀ TRẠNG THÁI CUỐI CÙNG THÕA MÃN MỘT TÍNH CHẤT CHO TRƯỚC Đây dạng toán khái quát toán thường gặp mà giải chúng, ta sử dụng nguyên lý bất biến Bài tốn 3: Trên bảng có (10x10) có ô bôi đen Mỗi bước biến đổi t bôi đen kề liền (có cạnh chung) với ô đen Hỏi sau số hữu hạn bước ta tơ đen bảng hay khơng? Bài giải: Sau phép biến đổi chu vi tất ô đen không tăng (1) Ở trạng thái ban đầu: chu vi dA 4.9 = 36 (2) (Chu vi lớn 36 ô đôi không kề nhau) Ở trạn thái kết thúc: chu vi dB = 4.10 = 40 (3) Từ (1), (2), (3) ⟹ nhận trạng thái cuối ● Nhận xét: ta mơ tả tốn tổng qt sau: Xét A ⊂ X, B ⊂ X, hỏi có tồn dãy lặp trạng thái x1 ⟶ x2 ⟶ x3 L … L ⟶ xn cho Trong toán cụ thể, tập A, B xác định tính chất đó: A = {a X | a thỏa mãn tính chất FA} B = {b X | b thỏa mãn tính chất FB} Bài tốn mơ tả sau:  X tập hợp bảng (10x10) bị bơi đen tùy ý  Quy tắc biến đổi: tô đen ô kề với ô đen  A = {x X | có đen}  B = {x X | tất đen}  Câu hỏi: Có tồn dãy lặp x1, x2,… xn mà hay khơng? Khi tìm lời giải tốn 1, 2, nêu khó khăn khơng phải mơ tả tốn mà phải tìm tính chất đại lương (yếu tố) từ tốn Cơng việc thường gọi tìm bất biến để sử dụng cho việc giải tốn, IV TÌM ĐẠI LƯƠNG KHƠNG THAY ĐỔI SAU MỖI PHÉP BIẾN ĐỔI Bài toán 4: Trên đường tròn, viết số 48 số theo thứ tự 1, 0, 1, 0, 0, 0…, Mỗi phép biến đổi ta thay cặp số liền (x, y) bới (x + 1, y + 1) Chứng minh phép biến đổi ta không thu dãy 50 số Bài giải: Ta kí hiệu số viết đường tròn theo thứ tự x1, x2, …x50 Ta xét đại lượng I= Giá trị I không thay đổi sau phép biến đổi số liền kề tổng I có dấu ngược (khi tăng số số hạng mang dấu + tăng 1, số hạng mang dấu – giảm 1) (1) Ta có I0 = (ở trạng thái ban đầu) (2) IE = 0(ở trạng thái kết thúc) (3) Từ (1), (2), (3) ⟹ thu 50 số Bài toán 5: Xét đa giác 12 đỉnh A1, A2, …, A12 Tại đỉnh A1 ta viết số -1, đỉnh khác t viết số Mỗi phép biến đổi ta đổi dấu đỉnh liền kề đa giác Hỏi thu trạng thái: đỉnh A2 viết số -1 đỉnh lại viết số sau số hữu hạn biến đổi hay không? Bài giải: Sau phép biến đổi tích a1a7, a2a8, a3a9, a4a10, a5a11, a6a12 đổi dấu có thừa số đổi dấu Suy I=(a2a8).( a3a9) không thay đổi sau phép biến đổi (1) Tại vị trí ban đầu ta có I0 = (2) Tại vị trí kết thúc ta có IE = -1 (3) Từ (1), (2), (3) ⟹ nhận trạng thái đỉnh A2 viết số -1 đỉnh lại viết số ● Nhận xét: phép biến đổi đổi dấu đỉnh liền kề đa giác, ta có lời giải sau: Sau phép biến đổi tích a1a5a9, a2a6a10, a3a7a11, a4a8a12 đổi dấu có thừa số đổi dấu Suy ra: I = (a1a5a9).( a3a7a11) không thay đổi sau phép biến đổi (1) Tại vị trí ban đầu ta có I0 = -1 (2) Tại vị trí kết thúc ta có IE = (3) Từ (1), (2), (3) ⟹ nhận trạng thái cuối yêu cầu tốn V TÌM TÍNH CHẤT CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG KHÔNG THAY ĐỔI SAU CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI Bài toán 6: Xét dãy số 1, 2, 3, 4, …2n với n lẻ phép biến đổi ta xóa số a, b va viết thêm vào dãy số |a – b| Sau bước dãy giảm số Chứng minh số cuối lại phải số lẻ Bài giải: Kí hiệu S tổng số dãy trạng thái Giả sử a > b, sau phép biến đổi S thay đổi lường –(a + b) + (a – b) = -2b Suy tính chất chẳn lẻ S bất biến (1) Trạng thái ban đầu S = + + + …2n = n(2n + 1) số lẻ (vì n lẻ) Từ (1), (2) ⟹ số lại trạng thái cuối phải số lẻ Bài toán 7: số 1, 2, 3, 4, …n ban đầu xếp theo thứ tự Mỗi phép biến đổi cho phép đổi thứ tự số kề Chứng minh sau số lẻ lần phép biến đổi khơng thể nhận hốn vị ban đầu Bài giải Trong hoán vị (a1, a2, a3…,an) số 1, 2, 3, 4, …,n, (aj, ak) j < k, aj > ak tốt Kí hiệu di tổng số tốt trạng thái thứ i thực phép biến đổi tổng số tốt tăng giảm Suy ra, tính chẳn, lẻ di thay đổi sau phép biến đổi Sau số lẻ lần điến đổi d0 dn (trạng thái cuối cùng) khác tính chẳn lẻ Vậy khơng thể nhận hốn vị VI NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Thực chất cách giải tốn tìm hàm (c số), toán 6, sử dụng tính chất Vậy ta mơ tả nguyên lý bất biến hàm số học xác định tập trạng thái X nhận giá trị tập Y (Y thường tập số nguyên dương, tập số thực, tập số nguyên dương, số thực) Sử dụng tính chất hàm giải dạng tập 1, 2, dãy lặp trạng thái Bài toán 8: Cho số nguyen (a, b, c), ta xây dựng (|a – b|, |b – c|, |c – a|) Chứng minh sau số hữu hạn phép biến đổi ta nhận số có chứa số Bài giải Khơng tổng qt, ta giả thiết a, b, c > Vì trạng thái thứ 2, thành phần số dương Ta đặt J = Max(a, b, c); J = Max(|a – b|, |b – c|, |c – a|) Ta có bất đẳng thức |x – y| = Max(x, y) – Min(x, y) < Max(x, y) ⟹ J1 < J0 ⟹ J1 J0 – Tương tự J2 J1 – ⟹ J2 J0 – 2,…, Jn J0 – n (1) Chọn n > J0 ⟹ (1) không thỏa Vậy phép biến đổi phải dừng sau số hữu hạn bước số nhận có chứa số Bài tốn 9: Giả sử: n số thực n viết xung quanh đường tròn Nếu số kề a, b, c, d thỏa mãn (a – d)(b – c) < ta đổi vị trí số kề b, c Chứng minh phép biến đổi kết thúc sau số hạn hữu hạn bước Bài giải Ta đánh số số trung quanh đường tròn theo hướng định x1, x2,…,xn Và cách xếp ta xác định (ở trạng thái thức k) (x1, x2,…, xn) = x1.x2 + x2.x3+ … + xn-1xn + xn x1 Giả sử trạng thái thứ k ta có: (xi – xi+3)( xi+1 – xi+2) < ⟺ xixi+1 + xi+2xi+3 < xixi+2 + xi+1xi+3 (1) Sang trạng thái thứ k + ta có (xi, xi+2 , xi+1, xi+3) = x1.x2 + x2.x3+ … + (xixi+1 + xi+1xi+2 + xi+2xi+3) +…+ xn-1xn + xn x1 = x1.x2 + x2.x3+ … + (xixi+1 + xi+1xi+2 + xi+2xi+3) +…+ xn-1xn + xn x1 Áp dụng điều kiện (1) ta có < (2) Mặc khác, nhận số hữu hạn giá trị (nhiều n! giá trị) (3) Từ (2), (3) suy phép biến đổi phải kết thúc sau số hữu hạn bước Bài toán 10: Trong dãy số 1, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 5, 0, số thứ số chữ số thập phân cuối tổng số đứng trước Chứng minh dãy vô hạn thu không xuất lại số 0, 1, 0, 1, 0, Bài giải Xét phép biến đổi (x1, x2, …, x6) ⟶ (x2, x3, …, x7) x7 chữ số cuối tổng x1 + x2 + …+ x6 Ta lập hàm số học (x1, x2,…, x6) = 2x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 + 12x6 Khi (x2, x3,…, x7) - (x1, x2,…, x6) =[2x2 + 4x3 + 6x4 + 8x5 + 10x6 + 12x7] - [2x1 + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 + 12x6] = [10x7 + 2(x7 – (x1 + x2 + … + x6))] Vì x7 chữ số cuối x1 + x2 + … + x6 suy x7 – (x1 + x2 + … + x6) chia hết cho 10 ⟹ (x2, x3,…, x7) - (x1, x2,…, x6) chia hết cho 10 Ta có (1, 0, 1, 0, 1, 0) = 18, theo tính chất tất giá trị i trạng thái sau phải có số cuối để i+1 – i chia hết cho 10 Nếu xuất 0, 1, 0, 1, 0, dãy (1, 0, 1, 0, 1, 0) phải có số cuối Nhưng theo định nghĩa ta lại có (1, 0, 1, 0, 1, 0) = 24 (mâu thuẫn) BÀI TẬP THÊM Bài toán 1: Trên bàn có đống bi đống có 2013 viên A B bốc theo nguyên tắc sau : lần phép chọn đống bốc số bi ước đống lại , A bốc trước , bốc đươc viên cuối người thắng.hỏi có chiến thuật để thắng? Bài toán 2: Xét tập M = {(0,0); (1,1); (-3,0); (2,-1)} Mỗi phép biến đổi ta thay (a, b) M (a + 2c, b + 2d) với (c, d) M Hỏi sau số hữu hạn bước có nhận tập M1 = {(-1,2); (2,-1); (4,0); (1,1)} Bài toán 3: Chúng ta bắt đầu với số 0, Một phép biến đổi thêm vào xóa số kề (0,0) (1,1) Chứng minh nhân cặp số (1,0) trạng thái cuối Bài toán 4: Trong dãy vơ hạn bình phương có chứa dãy vô hạn lặp thành cấp số cộng Bài tốn 5: kí hiệu d(n) tổng chữ số n Y Hãy tìm n thỏa mãn đẳng thức: n + d(n) + d(d(n)) = 1997 ... Nguyên lí bất biến Định nghĩa: Ω, T, f bất biến nếu: - khơng thể thu từ phép biến đổi T” Tính chất bất biến áp dụng nhiều toán số học , dặc biệt tốn trò chơi , số tính bất biên thường... NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Thực chất cách giải tốn tìm hàm (c số), tốn 6, sử dụng tính chất Vậy ta mơ tả ngun lý bất biến hàm số học xác định tập trạng thái X nhận giá trị tập Y (Y thường tập số nguyên. .. gọi tìm bất biến để sử dụng cho việc giải tốn, IV TÌM ĐẠI LƯƠNG KHƠNG THAY ĐỔI SAU MỖI PHÉP BIẾN ĐỔI Bài tốn 4: Trên đường tròn, viết số 48 số theo thứ tự 1, 0, 1, 0, 0, 0…, Mỗi phép biến đổi