NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN YẾU CHO CÁC DÃY DỪNG THEO TIÊU CHUẨN CHIẾU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

LỜI CẢM ƠNTrong Luận văn này, chúng ta nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm vànguyên lý bất biến yếu của nó cho các tổng của một chuỗi dừng của các biếnngẫu nhiên, thông qua một khai tr

LỜI CẢM ƠN

Trong Luận văn này, chúng ta nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm vànguyên lý bất biến yếu của nó cho các tổng của một chuỗi dừng của các biếnngẫu nhiên, thông qua một khai triển martingale Các điều kiện của chúng tanghiên cứu liên quan đến kỳ vọng có điều kiện của các tổng các biến ngẫunhiên có liên quan đến quá khứ Các kết quả nêu trong Luận văn này có đónggóp vào việc làm rõ vấn đề về giới hạn trung tâm cho chuỗi dừng

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy chuyên

ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học –Trường đại học sư phạm HàNội đã giúp đỡ, định hướng cung cấp tài liệu để tôi thực hiện đề tài này Đặc

biệt, tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng- Viện khoa học công nghệ thông tin, người đã hướng dẫn

nhiệt tình và cho những nhận xét quý báu trong suốt quá trình nghiên cứu lựachọn đề tài và hoàn chỉnh đề tài để tôi hoàn thành luận văn này Tôi cũng xingửi lời cảm ơn các bạn cùng chuyên ngành cao học khóa 2011 – 2013 đã giúp

đỡ và có những đóng góp hữu ích cho bản luận văn này

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Martingale 5

1.2 Chuyển động Brown 5

1.3 Định lý giới hạn trung tâm 5

1.4 Định lý Lindeberg 5

1.5 Định lý Liapunov 6

1.6 Định nghĩa (quá trình dừng) 6

1.7 Định nghĩa (Egodic) 6

1.8 Ký hiệu 7

1.9 Định nghĩa Chuyển động Brown 7

1.10 Định nghĩa 1.10 (theo Định nghĩa của Bradley) 7

1.11 Hội tụ theo luật và các kết quả của Billingsley 7

1.12 Định lý 1.13 (Dedecker và Merlevede (2002) 8

CHƯƠNG 2 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 9

2.1 Các kết quả chính 9

2.1.1 Định lý 2.1 9

2.1.2.Định lý 2.2 10

2.1.3.Mệnh đề 2.1 10

2.1.4.Mệnh đề 2.2., 11

2.1.5 Chứng minh Mệnh đề 2.1 và Mệnh đề 2.2 11

2.1.6.Định lý 2.3 24

2.1.7 Chứng minh Định lý 2.1 và 2.2 26

2.2 Các thí dụ minh họa 30

2.2.1 Các dãy trộn mạnh 30

2.2.2 Lớp các phương trình tuyến tính 33

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

LỜI MỞ ĐẦU

Trong những năm gần đây, đã có rất nhiều nhà toán học nghiên cứunhằm hiểu biết tốt hơn về các dáng điệu tiệm cận của các quá trình ngẫunhiên Đối với các quá trình với bộ nhớ ngắn người ta đã thấy rằng lý thuyết

về nguyên lý bất biến yếu là điều chỉnh rất tốt dưới các điều kiện trộn so vớicác phương pháp khác (xem các cuộc điều tra bởi Peligrad (1986) [10],Philipp (1986), Rio (2000) [8], Dehling và Philipp (2002), và các công bố củaBradley (2002), (2003) [4],… Vấn đề duy nhất là, trong một số tình huống,các điều kiện trộn không được xác minh Đây là lý do tại sao những địnhhướng mới về mô hình hóa sự phụ thuộc là giới thiệu các cấu trúc phụ thuộcmới được xác định bằng cách giảm đáng kể các lớp hàm được sử dụng trongcác định nghĩa của các hệ số trộn hoặc bằng cách sử dụng các điều kiệnmartingale mới Bằng cách này, chúng ta có rất nhiều ví dụ mới được giớithiệu về các cấu trúc tổng quát và rất nhiều kết quả tổng quát đã được tìm ra(xem Ango Nz'e và Doukhan (2002) [2] về các ví dụ như vậy) Cách tiếp cậncủa chúng ta là một nỗ lực theo hướng này Chúng ta thu được định lý giớihạn trung tâm và các nguyên lý bất biến của nó dưới các điều kiện khả tổng

áp đặt lên kỳ vọng có điều kiện của các tổng liên tiếp của các biến ngẫu nhiên

có liên quan đến quá khứ Vì lợi ích của các ứng dụng, chúng ta sẽ áp dụngkết quả tổng quát để thu được nguyên lý bất biến dưới điều kiện áp dụng lênnhững moment của kỳ vọng có điều kiện của các tổng riêng

Các kết quả nêu trong Luận văn này là mở rộng những kết quả tốt nhất

đã biết cho các các chuỗi trộn mạnh và chúng cũng sẽ cung cấp một cái nhìnsâu sắc mới vào lớp này Phương pháp của chúng ta cũng sẽ cung cấp mộtchứng minh thay thế cho kết quả của Dedecker và Rio (2000) [8], và sẽ cungcấp một phần mở rộng của nguyên lý bất biến của họ theo một giả thiết nhẹhơn và cho kết quả tổng quát hơn

Đối với quá trình nghiên cứu này, lý thuyết về nguyên lý bất biến yếuđược điều chỉnh tốt dưới các điều kiện trộn khác nhau Chúng ta nhớ lại rằngnguyên lý bất biến yếu là công cụ mạnh để nghiên cứu về dáng điệu của quátrình ngẫu nhiên dưới tác động của các điều kiện trộn khác nhau Nhiều nhàtoán học như Deligrad, Philpp, đã có nhiều kết quả về vấn đề này Tuy nhiênvẫn có một số vấn đề xảy ra, đó là trong một số trường hợp điều kiện trộnkhông được xác nhận.

Trong luận văn này, chúng ta xem xét một dãy dừng ngặt của các biếnngẫu nhiên quy tâm với moment bậc hai hữu hạn và chúng ta sẽ trả lời câu hỏi

về định lý giới hạn trung tâm và nguyên lý bất biến của nó, cụ thể chúng taphải tìm một dãy số dương {b n}, b n → ∞và tìm các điều kiện để đảm bảo rằng

S n

b n D → N N (0, 1) ,khi n → ∞ (1.1)trong đó

ở đây W là chuyển động Brown chuẩn tắc trên đoạn [0, 1]

Có rất nhiều tài liệu về chủ đề này Cần có một hạn chế nào đó áp đặt lên cáccấu trúc phụ thuộc, bởi vì, nói chung, một dãy hằng số hiển nhiên không thỏamãn (1.1) Hơn nữa tính ergodic hoặc trộn theo nghĩa ergodic là không đủ.Những lớp quá trình ngẫu nhiên được nghiên cứu rộng rãi, chúng có thể là cácmartingale, các dãy trộn đều, các mixingale, các dãy liên hợp,…

Hầu hết các kết quả theo một nghĩa nào đó có dạng: Dưới điều kiện phụthuộc, nếu

δ2≠ 0 (1.4)

thì (với các biến ngẫu nhiên quy tâm)

S n

δ√n D → N N (0,1 ), khi n →∞ (1.5)

Có một vài bài báo giới thiệu những bước quan trọng tiến tới sự loại bỏ cácđiều kiện (1.3) và (1.4) Một cách để đạt được định lý giới hạn trung tâm(CLT) là đặt các điều kiện khác nhau như b n2

=Var(S n) hoặc b n=√π2 E|S n| Cáchnày được giới thiệu trong nhiều bài báo liên quan đến các cấu trúc phụ thuộcbắt đầu với một bài báo của Ibragimor và các công trình của Dehling,Peligrad hay Wu và Woodroofe, … Các kết quả của chúng ta nằm tronghướng nghiên cứu giải quyết định lý giới hạn trung tâm dưới điều kiệnmartingale khi phương sai của các tổng riêng là không tuyến tính theo n Như

đã đề cập ở trên các kết quả của Gordin và cũng được đưa ra bởi nhiều tác giảnhư McLeish, và gần đây là Dedecker và Rio, Maxwell và Woodroofe,

Peligrad và Utev,… Chúng ta xem xét hai điều kiện chuẩn b n=√π2 E|S n| và

√Var (S n) và chúng ta đưa ra các kết quả sâu sắc hơn với các điều kiện liênquan đến kỳ vọng có điều kiện của các tổng các biến ngẫu nhiên có điều kiệnliên quan đến quá khứ xa

Với những lí do trên đề tài được chọn là: “Nguyên lý bất biến yếu cho các

dãy dừng theo tiêu chuẩn chiếu”

Luận văn được chia ra thành 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này nêu một số định nghĩa, khái niệm

và kết quả đã biết liên quan đến các vấn đề trình bày trong chương 2

Chương 2: Trình bày các kết quả thu được Đây là chương chính của Luậnvăn Trong chương này trình bày một số kết quả về các nguyên lý bất biến đốivới các cấu trúc phụ thuộc dưới các điều kiện momen có điều kiện Các kết

quả chính là các Định lý 2.1, 2.2, 2.3 Trong chương này còn trình bày một sốthí dụ minh họa cho các trộn mạnh, các kết quả quan trọng là các Định lý 2.4

và 2.5

Trong luận văn có sử dụng các ký hiệu c n ≪ d n tức c n=o(d n), c n d n có nghĩa là

tồn tại k1, k2/k1 d1≤ c n ≪ k2d n.

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Martingale

Giả sử (Ω, F,F, P) được gọi là không gian xác suất, F, Fn là dãy tăng các σ-đại số

con của F F,( còn gọi là cơ sở nhẫu nhiên ) Đặt F ∞=σ ( ∪

+, Quỹ đạo của quá trình ( Bt ) là hàm liên tục theo biến t

+, (Bt ) là quá trình có số gia độc lập , tức với Bt – Bs độc lập với

Fs = σ (B s , s ≤ t)

+, Bt – Bs có phân phối chuẩn N ( 0, t-s )

1.3 Định lý giới hạn trung tâm

Ta nói dãy biến ngẫu nhiên ( X k ) tuân theo định lý giới hạn trung tâm nếu

dãy phân phối của dãy biến ngẫu nhiên

S n−E S n

√D S n ( S n = X 1 + X 2 + … + X n ), n =1,2,…

hội tụ theo luật phân phối đến phân phối chuẩn N (0, 1).

1.4 Định lý Lindeberg

Nếu dãy biến ngẫu nhiên độc lập (X k ) có các phương sai hữu hạn và thỏa mãn

điều kiện Lindeberg :

Trong đó a n = EX n,B n2 D S( ),n n1thì dãy ( X k ) tuân theo định lý giới hạn

trung tâm

1.5 Định lý Liapunov

Nếu dãy b.n.n độc lập (X k ) thỏa mãn điều kiện Liapunov:

2 2

E X a B

- Đối với mọi E   với T1( )E Ethì hoặc ( ) 0E  hoặc ( ) 1E 

 Đối với mọi E   với (T1( )E E ) 0 thì hoặc ( ) 0E  hoặc ( ) 1E 

(ở đây ký hiệu hiệu đối xứng)

 Đối với mọi E   có độ đo dương chúng ta có 1 n( ) 1

1.8 Ký hiệu Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất, và T: Ω → Ω là một phép

biến đổi song ánh, đo được và bảo toàn độ đo xác suất P Một phần tử AA

được gọi là bất biến nếu T (A) = A Ký hiệu T làσ −¿đại số các tập bất biến.Một độ đo xác suất P được gọi là ergodic nếu mọi phần tử của T có độ đo là 0hoặc 1 Cho ℳ0 là một σ- đại số của A thỏa mãn ℳ0 ⊆ T −i (ℳ 0), và dãy lọckhông giảm (ℳi), i∈Z cho bởi ℳi =T-i (ℳ0) Đặt ℳ -∞= ∩ n≥ 0 M−n

1.9 Định nghĩa Chuyển động Brown

ký hiệu W(t) là chuyển động Brown chuẩn trong khoảng [0, 1]

Với topo Skorohod không gian D([0, 1]) trở thành không gian Banach khả ly

1.10 Định nghĩa 1.10 (theo Định nghĩa của Bradley [4])

Chúng ta nói rằng dãy (h(n), n = 1, 2, 3, ) các số dương được gọi là biến

đổi chậm (slowly varying)- theo nghĩa mạnh nếu tồn tại một hàm liên tục

f : (0, ∞) → (0, ∞) sao cho f (n) = h(n) với mọi n ∈ N, và f (x) là biến

đổi chậm khi x → ∞.

Ký hiệu không gian H các hàm thực liên tục φ : R → Rsao cho

x ⟶|(1+x ¿ ¿ 2) −1

¿φ(x )| bị chặn

1.11 Hội tụ theo luật và các kết quả của Billingsley

Ta nói rằng dãy { X n} các phần tử ngẫu nhiên hội tụ theo phân phối tới phần

tử ngẫu nhiên X nếu P n ⟹ P, ở đây P n và P là các phân phối xác suất của X n

và X Trong trường hợp này chúng ta viết X n ⟹ X Vậy X n ⟹ X có nghĩa

ℒ(Xn ) ⟹ ℒ(X).

Trong Chương sau chúng ta sẽ sử dụng các kết quả sau:

S1 Tồn tại một biến ngẫu nhiên η không âm ℳ 0 - đo được sao cho, đối với mọi φ trong H và mọi số dương k

lim

n ⟶ ∞¿ ¿ ¿= 0

ở đây g là hàm phân phối chuẩn tắc.

S2 (a) Dãy (n−1S n2) , n>0 là khả tích đều;

(b) Dãy ¿ ¿ là khả tích đều;

(c) Tồn tại một biến ngẫu nhiên M0 - đo được η sao cho

¿ ¿ tiến tới 0 khi n tiến tới vô cùng.

CHƯƠNG 2 CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 2.1 Các kết quả chính

Kết quả đầu tiên của chúng ta là theo tinh thần của Định lý 1.12 củaChương 1 (Dedecker và Merlevede) Sự khác biệt chính về cơ bản làmột trong những điều kiện được đặt ra cho kỳ vọng điều kiện về quákhứ, điều kiện này dễ dàng kiểm tra hơn đối với nhiều cấu trúc phụthuộc:

2.1.1 Định lý 2.1 Giả sử X 0 là một biến ngẫu nhiên thực ℳ 0 – đo

Chú ý 2.1 Chú ý rằng biến ngẫu nhiên η được định nghĩa trong Định lý

2.1 là giới hạn trong L1 củaσ−2n E(S n2| ℳ−∞) và cả của σ−2n E(S n2/T)

Chú ý 2.2 Nếu σ n2→ ∞, khi n → ∞, các điều kiện (2.3) cũng như (2.1)

có thể được thay thế bởi

∥E(S n | ℳ 0 )∥ 2 = o(σ n ) khi n → ∞ (2.5)

(xem Định lý 8.13 trong Bradley [4] hoặc cũng có thể Bổ đề 1 trong

Wu và Woodroofe)

Thêm vào đó, dưới điều kiện (2.2), (2.5) có thể suy ra

∥E(S n | ℳ0)∥ 1 = o(σ n ) khi n → ∞.

Phiên bản áp dụng với các hàm của Định lý 2.1 cũng thỏa mãn:

2.1.2.Định lý 2.2 Giả sử rằng các điều kiện của Định lý 2.1 được

Chú ý 2.3 Rõ ràng các điều kiện (2.2) và (2.6) được thoả mãn nếu

max 1≤ i ≤n S i2

σ2n khả tích đều (2.7)

Để chứng minh Định lý 2.1 và Định lý 2.2 chúng ta cần một số kếtquả tổng quát hơn Chúng ta bắt đầu phần này bằng hai kết quả mangtính tổng quát đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các kếtquả của nghiên cứu

Trên tinh thần của Định lý 18.4.1 của Ibragimov và Linnik, trước tiênchúng ta đưa ra kết quả sau:

2.1.3.Mệnh đề 2.1 Cho (ℳ i ) i∈Z và (X i ) i∈Z như trong Định lý 2.1 Giả sử

(a)√q n n

E|E(S q n|M−q n)|

(b) Với ε> 0 bất kỳ, σ−2q n E(S q2n I( |S q n|≥ ε σ q n√n/q n) )→0, khi n→∞,

(c) tồn tại một biến ngẫu nhiên ℳ−∞ - đo được, dương η sao cho

‖E(σ q−2n S q2n|M−q n)−η‖1→0, khi n→∞.

(d)‖E(σ q−1n S q n|M0) ‖2→0, khi n→∞.

hội tụ theo phân phối tới √η N , ở đây B n = √n/q n σ q n hoặc √ π /2 E|S n| và N

Chúng ta cũng nhận được kết quả đối với phiên bản hàm tương tựMệnh đề 2.1

2.1.4.Mệnh đề 2.2 Giả sử rằng các giả thiết của Mệnh đề 2.1 được

D([0,1], ở đây B n = √n/q n σ q n hoặc √ π /2 E|S n| và W là một chuyển động

Chú ý 2.4 Mục (b) của Mệnh đề 2.1 và điều kiện (2.9) hiển nhiên đều

được thoả mãn nếu điều kiện sau đảm bảo: với ε>0 bất kỳ,

2.1.5 Chứng minh Mệnh đề 2.1 và Mệnh đề 2.2.

Trong phần này, chúng ta chứng minh Mệnh đề 2.2 Thực sự, Mệnh đề

2.2 trình bày thể hiện phiên bản hàm kết quả được đưa ra trong Mệnh đề2.1 Với lý do đó, việc chứng minh Mệnh đề 2.1 là tương tự và chúng ta

của các “khối lớn” và xấp xỉ các biến ngẫu ngẫu nhiên của các “khốinhỏ” Với mục đích làm cho chứng minh sáng sủa, chúng ta đã chia việc

chứng minh thành 5 bước Chúng ta bắt đầu với chứng minh về sự bất

biến của η

Sự bất biến của η Chúng ta chỉ ra rằng nếu mục (c) của (2.8) đảm bảo,

thì biến ngẫu nhiên η thoả mãn η = η ◦ T hầu chắc chắn (hoặc tương đương rằng η có thể đo được theo sự mở rộng của T theo P) Căn cứ vào

(c) của (2.8) và cả hai giả thiết (X i ) i∈Z dừng ngặt và ℳ −qn⊆ M−qn+1, chúng

ta có

lim

n → ∞

¿ 0 (2.11) Mặt khác

ra rằng E(η ∘T|M−∞)=η Đẳng thức η=η ∘T hầu chắc chắn suy ra từ

E(η ∘T|M−∞) → η ∘T theo luật thì E(η ∘T|M−∞)=η ∘T (xem Bổ đề 3 trong

Dedecker và Merlevede [5])

Bước 1 Chúng ta chia các biến {X i } thành các khối lớn theo cỡ

Bước 2 Khai triển martingale

Đầu tiên với tất cả j≥ 1, đặt F Z j ,n

=M j(p n+q n)và F Y j ,n

=M(j−1)(p n+q n)+p n.Xét các martingale sau:

j=1

k nt

{Y j ,n−E(Y j , n|F Y j−1,n) } và

M n} left (t right ) := sum from {j =1} to {{k} rsub {nt}} {left lbrace {Z} rsub {j , n} - E left ({Z} rsub {j , n} mline {F} rsub {j -1, n} rsup {Z} right ) right rbrace ¿

Ý tưởng chứng minh này sẽ cho thấy rằng: với mỗi m≥ 1, tồn tại một biến

ngẫu nhiên M−∞ đo được và không âm η sao cho

M ' n(.)

b n ,m D →√η W, khi n→∞, trong topo Skorohod (2.15)

và với mỗi hằng số dương ε,

Thực tế, theo Định lý 1.11 ( Billingsley [11]), (2.15) cùng với (2.16) và

(2.17) sẽ suy ra kết quả mong muốn

Bước 3 Ở bước này, chúng ta chứng minh Hệ thức (2.16) bằng cách

xem xét triển khai (2.14)

Đầu tiên, vì với mọi t ∈ [0, 1], ¿ là một martingale đối với lọc {F Z j , n}j ≥1

, nên theo bất đẳng thức Markov kết hợp với bất đẳng thức Doob thì với

Tiếp theo, với mỗi số dương ε, ta có

Để xem xét số hạng đầu tiên bên vế phải, chúng ta sử dụng ký hiệu

Bước 4 Chứng minh (2.15)

Vì {M n ' (t )}n ≥ 1 là một dãy martingale đối với lọc {F k , n Y

}, nên chúng ta chỉphải áp dụng nguyên lý bất biến yếu cổ điển cho dãy tam giác cácmartingale Với mục đích này, chúng ta sẽ áp dụng Định lý 18.2 trongBillingsley [11] (cũng có thể xem thêm Hall và Heyde) Khi đó, với tất

cả j≥ 1, đặt

W j ,n=Y j , n−E(Y j ,n|F Y j−1 ,n),

Chỉ cần chứng minh rằng đối với mọi t ∈ [0, 1] và mỗi số dương ε,

Tiếp theo việc chứng minh (2.33), và ta sẽ chứng minh sự hội tụ trong L1

được đảm bảo Để làm điều đó, trước tiên chúng ta chú ý rằng

biến hầu chắc chắn ( tức η = η ◦ T ) Khi đó, theo tính dừng, suy ra

Sử dụng định nghĩa về b n ,m2 cùng với (2.19) và mục (c) của (2.8), suy ra cả

2 số hạng bên vế phải đều hội tụ tới 0, khi n→∞ Khi đó,

E| ∑

j=1

m−1

E(U j , n U j+1,n|M−q n)|≤ mE|E(S q n(S 2 q n−S q n)|M−q n) |

Bước 5 Bây giờ chúng ta chứng minh (2.17) Theo (2.19), thấy để

Giả sử rằng chúng ta có thể chứng minh với tất cả m ≥ 2,

lim

n → ∞ a n , m ≤ 1

m−1, (2.49)

√π2 E|S n|. Chỉ cần chứng minh (2.49) Với mục đích này, chúng ta sẽ có (2.49) nếu chứng minh được

E|M n '(1)|

b n ,m → E|η|E|N|=√2π, khi n → ∞, (2.53)(xem Định lý 1.12)

quả (2.52) nếu chúng ta có thể chứng minh

lim

n → ∞ E(R n(1)

b n ,m )2=0 (2.54)

Nếu chúng ta biểu thị theo ℓn số các số hạng trong R n(1), bằng việc sửdụng (2.1), các thuộc tính tiêu chuẩn của hàm biến đổi chậm và điều hiểnnhiên ℓn ≤ (m+1 )q n, chúng ta nhận được với mỗi số dương ϵ,

σ l2n

k n σ m q2 n ≪(mq ln n)1−ϵ k1n=o (1 ), khi n→∞, suy ra (2.54) và (2.52)

Hệ quả tiếp theo chứa các điều kiện đủ đối với nguyên lý bất biến và

nó được rút ra nhờ việc kiểm tra các điều kiện của Định lý 2.2 Nhưchúng ta sẽ thấy, nó là mở rộng kết quả tương ứng của Dedecker vàRio cung cấp đồng thời dẫn chứng khác cho kết quả của họ

Sau đây chúng ta sẽ nêu một số hệ quả quan trọng của Định lý 2.1 và 2.2

Hệ quả 2.1 Cho (ℳ i ) i∈Z và (X i ) i∈Z như trong Định lý 2.1 Hơn nữa,

vô cùng, và σ n

n

n → ∞ (2.55)

Chú ý 2.5 Điều kiện (2.55) không cần thiết phải mạnh như vậy và có

thể được thay thế bởi cặp điều kiện yếu hơn

Chú ý 2.6 Chú ý rằng hệ quả này bao hàm trường hợp được xem xét

trong nghiên cứu của Dedecker và Rio:

E(X0Sn|ℳ0) hội tụ trong L1 tới một biến ngẫu nhiên µ khi n → ∞.

(2.56)

Trong điều kiện này, dễ dàng nhận raσ n2

n hội tới một số không âm c, và theo Hệ quả 2.1, nếu c tuyệt đối lớn hơn 0 thì nguyên lý bất biến thỏa

mãn Hệ quả của chúng ta cũng bao hàm trường hợp thú vị khi limn→∞

nhội tụ tới

vô cực

Chúng ta muốn chỉ ra rằng điều kiện khả tích đều trong Định lý 2.1

cũng như điều kiện được đặt cho giá trị lớn nhất của các tổng từng phần

trong Định lý 2.2 đều là những điều kiện đủ cho các kết quả trong 2

định lý này dưới chuẩn hoá b n := σ n Những điều kiện này không cần thiết

phải kiểm tra nếu chúng ta thay đổi chuẩn hoá và những điều kiện còn lại

có thể được đặt cho những tổng riêng Định lý tiếp theo nghiên cứu về

nguyên lý bất biến với chuẩn hoá b n :=√ (π2)E| S n| Để trình bày rõ ràng kết

quả này, chúng ta cần thêm các định nghĩa và ký hiệu

Định nghĩa 2.1.Với biến ngẫu nhiên khả tích bất kỳ Y, xác định hàm

chặn trên Q Y bởi Q Y (u) = inf {t ≥ 0: P (|Y | >t ) ≤ u} Chú ý trên tập

( ) ( )

x Y

Q u d u



là một hàm tăng và liên tục tuyệt

đối nhận các giá trị trong [0, E|Y|] Ký hiệu Gy – hàm ngược của Hy.

Ký hiệu 2.1 Để đơn giản hoá việc diễn đạt các kết quả, chúng ta sẽ biểu

thị theo Q, G và H cho các hàm lần lượt Q x o, G x o và H x0 khi không có sự

xáo trộn nào xảy ra.

2.1.6.Định lý 2.3 Cho (ℳ i ) i∈Z và (X i ) i∈Z như trong Định lý 2.1 Giả

Suy luận như trong Herrndorf ở trang 99, cho phép chúng ta bìnhluận rằng, như kết quả của nguyên lý bất biến yếu được phát biểu trongĐịnh lý 2.3., E|S n| có biểu diễn là √n h’(n), ở đây (h’(n), n = 1, 2, 3, ….)

là một dãy các số dương biến đổi chậm

Điều kiện (2.57) kết hợp với đuôi của phân phối X với cỡ ∥E(Sn|

ℳ−n)∥1 Để có cái nhìn thấu đáo hơn về ý nghĩa của điều kiện này,chúng ta đưa ra những ứng dụng đơn giản sau:

Hệ quả 2.2 Cho (ℳ i ) i∈Z và (X i ) i∈Z như trong Định lý 2.1 Giả sử rằng (2.1) và (2.4) đảm bảo Hơn nữa, cho rằng

lim n→∞ n σ−2n

∥E(S n | ℳ −n )∥ 1 = 0, hoặc (ii) tồn tại r > 2 và c > 0 để P (| X0|> ¿x) ≤( c

Thì kết luận của Định lý 2.3 đảm bảo.

Chú ý 2.7 Nếu X 0 là một biến ngẫu nhiên thực bị chặn và

lim

n → ∞ inf σ n

2

n>0thì ∥E(Sn| ℳ−n)∥1 = o(1) khi n → ∞ ta có (2.57)

Như một ứng dụng khác của Định lý 2.3., chúng ta cũng có kết quả