. (271) Theo (255), chúng ta có
2.2.1. Các dãy trộn mạnh
Chúng ta sẽ áp dụng các kết quả của mục trước vào trường hợp các dãy trộn mạnh. Trước tiên chúng ta cần một vài định nghĩa.
Định nghĩa 2.2. Với 2 số � và � của �, hệ số trộn mạnh theo nghĩa Rosenblatt, (có thể tham khảo trong [4]) được xác định bởi α(�, �) = sup{|P(U ∩ V ) − P(U)P(V )| : U ∈� , V ∈ � }.
Chúng ta cho rằng một dãy dừng ngặt, (Xi )i∈Z sẽ là trộn mạnh nếu . (2.73)
Một định nghĩa tương đương của các hệ số trộn chắc, dựa trên kỳ vọng điều kiện, được đưa ra trong Bradley [4], Định lý 4.4, mục (a2): α(�, �) = sup{∥E(Y | � )∥1/∥Y ∥∞: ở đây Y là �-đo được với E(Y ) = 0}.
Như một hệ quả của Định lý 2.1., trước tiên chúng ta sẽ trình bày một kết quả của Denker,[8] đó là: một dãy dừng ngặt, quy tâm và trộn mạnh với σn → ∞
thoả mãn định lý giới hạn trung tâm với chuẩn hoá σn nếu và chỉ nếu là một tập hợp khả tích đều. Thật vậy, nếu chúng ta giả sử rằng σn → ∞, (2.73) và
(2.2) thì có kết quả ở đây h(n) là một hàm biến đổi chậm chắc chắn. Hơn nữa, theo phương pháp chặt truyền thống theo định nghĩa tương đương của của các hệ số trộn mạnh, chúng ta suy ra rằng (2.2) suy ra cả (2.3) và (2.4) với η = 1. Và bây giờ định lý giới hạn trung tâm được suy ra từ Định lý 2.1. của chúng ta. Vì sự cần thiết, một kết quả của Ibragimov và Linnik, cho chúng ta biết rằng nếu một dãy trộn dừng ngặt thoả mãn định lý giới hạn trung tâm với chuẩn hoá σn với σn → ∞ thì tất yếu có biể diễn ở đây h(n) là một hàm biến đổi chậm chắc chắn, và (2.2) được thoả mãn.
Bây giờ nếu thay hệ số phụ thuộc yếu (2.73) thành hệ số sau:
α2,∞(n):=
thì kết quả sau đảm bảo:
2.2.1.1.Định lý 2.4. Cho ( )i∈Z và (Xi )i∈Z như trong Định lý 2.3. Giả sử rằng và
, (2.74) Thì kết luận của Định lý 2.3. vẫn đúng với η = 1. Thì kết luận của Định lý 2.3. vẫn đúng với η = 1.
Rõ ràng rằng (2.74) được suy ra bởi và
Theo đó Định lý 2.4 mở rộng Định lý 4.1. của Merlevede và Peligrad và Định lý 2.2 của Merlevede trong ngữ cảnh khi chúng ta không cần có Hơn nữa nó cũng mạnh hơn thậm chí điều kiện cuối cùng được đặt ra.
Định lý 2.4 là tối ưu Định lý 2 của Bradley [4] , nếu chúng ta chỉ giả sử rằngthì điều kiện tốc độ hội tụ đến vô cực của chuỗi là cần thiết để đạt được định lý giới hạn trung tâm. Hơn nữa, bằng sự kết hợp của Định lý 2 trong Bradley [4] với Định lý 2.4, chúng ta suy ra kết quả sau.