cac bai toan su dung nguyen ly cuc han

Tailieumontoan.com  Sưu tầm tổng hợp MỘT SỐ BÀI TỐN SỬ DỤNG NGUN LÝ CỰC HẠN Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Bài Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách hai sân bay khác Mỗi máy bay cất cánh từ sân bay bay đến sân bay gần Chứng minh rằng, sân bay khơng thể có q máy bay bay đến (THI CHỌN HSG QUỐC GIA 1992 – 1993 BẢNG A) Hướng dẫn Từ giả thiết suy ra, máy bay từ sân bay M N đến sân bay O khoảng cách  > 60° MN lớn cạnh tam giác MON, MON Giả sử máy bay bay từ sân bay M , M , , M n đến sân bay O 360°  góc M ( i, j , n = 1, 2, ,80 ) tổng góc cho 360° i OM j không lớn n Vậy: 360° > 60° ⇒ n < , từ suy điểu cần chứng minh n Bài Trong tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy điểm P bất kì, chứng minh khoảng cách lớn khoảng cách từ điểm P đến đỉnh A, B, C tam giác không nhỏ lần khoảng cách bé khoảng cách từ điểm P đến cạnh tam giác (THI CHỌN HSG QUỐC GIA 1991 – 1993 BẢNG B) Hướng dẫn Dựng PA1 , PB1 , PC1 tương ứng vng góc với cạnh BC , CA, AB Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên điểm A1 , B1 , C1 tương ứng nằm đoạn BC , CA, AB Nối PA, PB, PC ta có:      360°  APC1 + C PB + BPA1 + A1 PC + CPB1 + B1 PA = C Suy góc lớn góc khơng thể nhỏ 60° Khơng tính tổng quát, ta giả sử  APC góc lớn nhất, đó:  APC1 ≥ 60° Xét tam giác APC1 vng C1 ta có: A1 B1 P A C1 PC1 = cos  APC1 ≤= cos 60° AP Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC B Website:tailieumontoan.com Từ ta có: AP ≥ PC1 Nếu thay PA khoảng cách lớn khoảng cách từ P đến đỉnh thay PC1 khoảng cách nhỏ cách khoảng cách từ P đến cạnh bất đẳng thức thỏa mãn Bài Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC BD cắt E Chứng minh bán kính đường trịn nội tiếp ram giác EAB, EBC , ECD, EDA mà tứ giác ABCD hình thoi ( THI CHỌN HSG QUỐC GIA 1986 – 1987 BẢNG A) Hướng dẫn Khơng tính tổng qt, ta giả sử rằng: CE ≤ AE , BE ≤ DE Gọi B1 , C1 tương ứng điểm đối xứng B C qua tâm E , ta có cảm giác C1 EB1 nằm miền tam giác AED Giả sử đoạn thẳng AD không trùng với đoạn thẳng C1 B1 B Khi đường trịn nội tiếp tam giác C1 EB1 nằm bên đường tròn nội tiếp tam giác AED , đồng dạng (phối cảnh) với đường tròn với tâm đồng dạng E , hệ số đồng dạng lớn C E C1 B1 A D Như vậy: rAED > rC1EB1 = rCEB ( rAED bán kính đường trịn nội tiếp tam giác AED ); vơ lí trái với giả thiết rAED = rCEB , điều chứng tỏ A ≡ C1 , D ≡ B1 Khi OA = OC , OB = OD ⇒ ABCD hình bình hành Trong hình bình hành ABCD có = p1r S= S= p1r (trong đó, p1 , p2 nửa chu vi AEB BEC tam giác AEB, BEC ) Suy ra: p1 = p2 ⇔ AB + BE + EA BC + CE + EB = ⇔ AB =BC (vì AE = CE ) 2 Hình bình hành ABCD có AB = BC nên ABCD hình thoi Bài Chứng minh tất cạnh tam giác nhỏ diện tích tam giác nhỏ Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi A góc nhỏ tam giác ABC , suy ra:  A ≤ 60° Ta = có: S ABC B 1 = BH AC AB.sin A AC 2 Do đó: S ABC < 1 3 = AB AC.sin 60° < 1.1 2 A C H Bài Chứng minh bốn hình trịn đường kính bốn cạnh tứ giác phủ kín miền tứ giác ABCD Hướng dẫn Gọi M điểm bên tứ giác ABCD D  + CMD  + DMA = Ta có:  AMB + BMC 360° Do góc lớn bố góc khơng nhỏ 90° Khơng tính tổng qt, giả sử góc BMC lớn M A C B  ≥ 90° ⇒ M nằm đường trịn đường kính BC ⇒ BMC Bài Gọi O giao điểm tứ giác lồi ABCD Chứng minh tam giác AOB, BOC , COD, DOA có chu vi tứ giác ABCD hình thoi Hướng dẫn B C Khơng tính tổng qt, ta giả sử: AO ≥ CO, DO ≥ BO O Gọi B1 , C1 tương ứng điểm đối xứng B C qua O C1 B1 A D OB OB1 , OC ⇒= = OC1 Tam giác B1OC1 nằm tam giác AOD Ta có: chu vi ( ∆AOD ) ≥ chu vi ( ∆B1OC1 ) = chu vi ( ∆BOC ) = chu vi ( ∆AOD ) Dấu “=” xảy ⇔ B1 ≡ D, C1 ≡ A Khi đó, tứ giác ABCD có: = OA OC = , OB OD ⇒ ABCD hình bình hành Mặt khác: Chu vi ( ∆AOB ) = AB + BO + OA , chu vi (∆BOC ) = BC + BO + OA Suy AB = BC Vậy ABCD hình thoi Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài Trên mặt phẳng cho 2x2000 điểm; khơng có điểm thẳng hàng Người ta tô 2000 điểm màu đỏ 2000 điểm lại màu xanh Chứng minh tồn cách nối tất điểm màu đỏ với tất điểm màu xanh 2000 đoạn thẳng khơng có điểm chung Hướng dẫn Xét tất cách nối 2000 cặp điểm (đỏ với xanh) 2000 đoạn thẳng Các cách nối ln ln tồn có 2000 cặp điểm số tất cách nối hữu hạn Do đó, tìm nối có tổng độ dài đoạn thẳng ngắn Ta chứng minh cách nối phải tìm Thật vậy, giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX BY mà cắt điểm O (Giả sử A B tô màu đỏ, X Y tơ màu xanh) Khi đó, ta thay đoạn thẳng AX BY hai đoạn thẳng AY BX, đoạn thẳng nối giữ ngun A B ta có nối có tính chất: AY + BX < ( AO + OY ) + ( BO + OX ) = ( AO + OX ) + ( BO + OY ) O ⇒ AY + BX < AX + BY Y X Như vậy, việc thay hai đoạn thẳng AX BY hai đoạn thẳng AY BX, ta nhận cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng nhỏ Vơ lí trái với giả thiết chọn cách nối có tổng độ dài bé Điều vơ lí chứng tỏ: cách nối có tổng độ dài đoạn thẳng ngắn khơng có điểm chung Bài Cho tứ giác ABCD thỏa mãn: bán kinh đường tròn nội tiếp bốn tam giác ABC , BCD, CDA DAB Chứng minh rằng: ABCD hình chữ nhật Hướng dẫn Giả sử: rABC = rBCD = rCDA = rDAB B B' Vẽ hình bình hành ABB ' C , ADD ' C suy tứ giác BB ' D ' C hình bình hành C A E Do đó: ∆ABC = ∆B ' CB; ∆ADC = ∆D ' CD ⇒ r= rB 'CB ; r= rD 'CD ABC ADC Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 D TÀI LIỆU TỐN HỌC D' Website:tailieumontoan.com Mặt khác: ∆ABD = rCB ' D ' ∆CB ' D '(c.c.c) ⇒ rABD = Theo giả thiết: rABC = rBCD = rCDA = rDAB ⇒ rB 'CB = rCB ' D ' = rD 'CD = rCBD Gọi E giao điểm BD ' DB ' Ta chứng minh C ≡ E Giả sử C khác E ⇒ E thuộc vào tam giác EBD, EBB ', EB ' D ', ED ' D Giả sử C thuộc vào miền tam giác BDE ⇒ rBCD = rBED = rB ' ED = rCB ' D ' (vơ lý) Điều vơ lí chứng tỏ E trùng với C ⇒ B, C , D ' thẳng hàng D, C , B ' thẳng hàng Ta có: D ' C // AD ⇒ BC // AD Vì : CB ' // AB ⇒ DC // AB Suy ABCD hình bình hành Xét tiếp: S= S= ABD ADC ⇔ rABD S ABCD (vì ABCD hình bình hành) AB + BD + DA AD + DC + CA = rADC ⇔ AB + BD + DA = AD + DC + CA ⇔ BD = CA 2 Vậy ABCD hình chữ nhật Bài Cho 2000 đường thẳng phân biệt; có ba đường thẳng số chúng đồng quy Chứng minh 2000 đường thẳng cho đồng quy điểm Hướng dẫn Bằng phương pháp chứng minh phản chứng: Giải sử ngược lại đường thẳng cho không qua điểm Xét giao điểm tạo nên 2000 đường thẳng cho Xét tất khoảng cách khác hạ từ giao giao điểm đến đường thẳng cho Giả sử A giao điểm số gọi AQ khoảng cách nhỏ số vẽ từ A đến đường thẳng l số 2000 đường thẳng A K P l B Q C D Qua A theo giả thiết, phải có đường thẳng cắt l B, C D Vẽ AQ ⊥ l , hai ba điểm B, C, D phải nằm phía với điểm Q, chẳng hạn C D Giả sử QC < QD; vẽ CP ⊥ AD, vẽ QK ⊥ AD Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy ra: CP < QK < AQ Vơ lí, trái với giả sử AQ khoảng cách bé Điều vơ lí chứng tỏ 2000 đường thẳng cho đồng quy điểm Cách khác: Lấy hai đường thẳng a, b cắt M đường thẳng tùy ý phải qua M Vậy 2000 đường thẳng đồng quy Bài Trên mặt phẳng cho 2000 điểm, khoảng cách chúng đôi khác Nối điểm số 2000 điểm với điểm gần Chứng minh với cách nối khơng thể nhận đường gấp khúc khép kín Hướng dẫn Giả sử ngược lại với cách nối đó, nhận đường thẳng gấp khúc khép kín Gọi AB mắt lớn đường gấp khúc khép kín B A D Giả sử AC, BD hia mắt kề với mắt AB Ta có: C • AC 60° A2 O Suy ra, OA2 > A1 A2 OA1 > A1 A2 Mà OA1 ≤ OA2 ≤ ⇒ A1 A2 < Bài 12 Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm C1 , A1 , B1 thuộc AB, BC , CA Biết rằng, độ dài đoạn thẳng AA1 , BB1 , CC1 không lớn Chứng minh rằng: S ABC ≤ (đơn vị diện tích) Hướng dẫn Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ≤B ≤ Khơng tính tổng qt, giả sử C A Xét hai trường hợp: B C1 A1 TH1: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đó:  A ≥ 60°  A < 90° A Ta có: hb ≤ BB1 ≤ 1, hc ≤ CC1 ≤ C B1 1 h h 1 S ABC = c.hc = b c ≤ = ⇒ S ABC ≤ 2 sin A 2sin 60° 3 TH2: Tam giác ABC không tam giác nhọn, đó:  A ≥ 90° ⇒ AB ≤ BB1 ≤ 1, AC ≤ CC1 ≤ ⇒ S ABC ≤ 1 AB AC ≤ < 2 Bài 13 Trên mặt phẳng cho 2000 điểm không thẳng hàng Chứng minh tồn đường tròn qua ba số 2000 điểm cho mà đường trịn khơng chứa điểm naoftrong số 1997 điểm cịn lại Hướng dẫn Nối hai điểm số 2000 điểm cho đoạn thẳng Ta có tất 1999000 đoạn thẳng Gọi AB đoạn thẳng có độ dài bé Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB ⇒ 1998 điểm cịn lại nằm ngồi đường tròn tâm O Gọi C điểm số 1998 điểm cịn lại thỏa mãn góc ACB lớn số góc nhìn điểm A B Xét ∆ABC Ta có đường trịn ngoại tiếp ∆ABC khơng chứa điểm số 1997 điểm cịn lại Bài 14 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh đường chéo AC , BD giao O tứ giác ABCD hình thoi Hướng dẫn Khơng tính tổng qt, ta giả sử: OC ≤ OA, OB ≤ OD Gọi B1 , C1 điểm đối xứng B C qua O ⇒= OB OB1 , OC = OC1 A Bởi BC tiếp tuyến (O) B Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 O C D TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com nên B1C1 tiếp xúc với (O) Mặt khác, AD tiếp xúc với (O) ⇒ A ≡ C1 , D ≡ B1 ⇒ OA = OC , OB = OD ⇒ ABCD hình bình hành Mặt khác, ABCD ngoại tiếp (O) ⇒ AB + CD = AD + BC ⇒ AB = AD ⇒ AB = AD ⇒ ABCD hình thoi Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi A góc nhỏ tam giác ABC , suy ra:  A ≤ 60° Ta = có: S ABC B 1 = BH AC AB.sin A AC 2 Do đó: S ABC < 1... BO + OA , chu vi (∆BOC ) = BC + BO + OA Suy AB = BC Vậy ABCD hình thoi Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài Trên mặt phẳng cho 2x2000 điểm;... vẽ QK ⊥ AD Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Suy ra: CP < QK < AQ Vơ lí, trái với giả sử AQ khoảng cách bé Điều vơ lí chứng tỏ 2000 đường