Những bài toán sử dụng định lý ta lét hay

L N K M D C B A E K H Q N M P D C B A E K H P Q N M D C B A Những bài toán hay Trang 1 NHỮNG BÀI TOÁN HAY LỚP 8 VÀ KHÓ LỚP 8. Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh AB. L là điểm chia đường chéo AC theo tỉ số 3 AL LC = . Chứng minh LK ⊥ LD. BÀI GIẢI Kẻ LM ⊥ AB và LN ⊥ AD. Tứ giác AMLN có µ ¶ µ A M N= = nên nó là hình chữ nhật. AC là phân giác của · DAB nên AL là phân giác của · NAM . Vậy tứ giác AMLN là hình vuông. Suy ra : AM = AN , kết hợp với AB = AD nên MB = ND. LM // BC suy ra 3 AL AM LC MB = = . Do đó : 1 4 MB AB = hay AB = 4MB Lại có AB = 2KB nên KB = 2MB. Vậy MB = MK nên MK = DN Từ đó ΔLND = ΔLMK . Suy ra : · · NLD KLM= nhưng · · 0 90MLK KLN+ = nên · · 0 90KLN NLD+ = Vậy LK ⊥ LD (đpcm). Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đáy BC và AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD tại Q. Chứng minh MN là tia phân giác của góc · PMQ . BÀI GIẢI Gọi K là giao điểm của MQ và AD; H là giao điểm của PM và AD; E là giao điểm của PQ và BC. Do MN là trục đối xứng của hình thang cân nên MN ⊥ AD Ta cần chứng minh KN = NH NK // ME ⇒ NK NQ ME QE = (hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQK ) DN // BE ⇒ NQ DN QE BE = (hệ quả định lý Ta-lét cho ΔNQD ) Do đó: NK DN ME BE = (1) Chứng minh tương tự ta được: NH AN ME EB = ( cùng bằng tỉ số PN PE ) (2) Từ (1) & (2) kết hợp với giả thiết NA = ND suy ra : NK = NH. Tam giác HMK có NH = NK và MN ⊥ HK nên ΔHMK cân tại M. Do đó MN là tia phân giác của · HMK (đpcm) Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.Trên tia đối Của tia DC lấy điểm P . Gọi Q là giao điểm của PM và AC. Chứng minh rằng : · · QNM MNP= BÀI GIẢI ****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú***** d 2 d 1 K Q T L I O F E D C B A E K H P Q N M D C B A = = = = O E P Q N M D C B A Những bài toán hay Trang 2 Gọi H là giao điểm của NQ và AD, K là giao điểm của NP và AD, E là giao điểm của PQ và BC. // AM MQ AM CE CE QE ⇒ = (hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔAQM) // DM PM DM CE CE PE ⇒ = (hệ quả định lí Ta-Lét cho ΔPCE) Mà AM = MD ( M là trung điểm AD) Nên AM DM CE CE = . Do đó: MQ PM QE PE = (1) Lập luân tương tự: // MH MQ MH EN EN QE ⇒ = (2) // MK PM MK EN EN PE ⇒ = (3) Từ (1); (2) ; (3) suy ra: MH MK MH MK EN EN = ⇒ = Hình chữ nhật ABCD có M, N là trung điểm AD và BC nên MN ⊥ AD ΔHNK có NM vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên ΔHNK cân ở N. Do đó NM là phân giác · HNK . Vậy · · QNM MNP= (đpcm) Cách 2: Gọi O là giao điểm MN và AC, E là giao điểm của QN và DC. AM // CN và AM = CN (do AD// BC, AD = BC, và M , N là trung điểm AD; BC) nên tứ giác AMCN là hình bình hành. Suy ra: OM = ON. ΔQPC có MO // PC nên MO QO PC QC = ΔQCE có NO // EC nên NO QO CE QC = Do đó: MO NO PC CE = . Mà OM = ON nên PC = EC. ΔNPE có ;NC PE PC CE⊥ = nên cân ở N · · NPE NEP⇒ = Mặt khác · · · · ;QNM QEP MNP NPE= = (do MN // CD) Do đó : · · QNM MNP= (đpcm) Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng với C qua E. Đường thẳng d 1 đi qua F song song với AD cắt AB tại I.Đường thẳng d 2 đi qua F song song với AB cắt AD tại K. Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng. BÀI GIẢI Gọi O là giao điểm của AC và BD ****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú***** x K H N M E C B A Những bài toán hay Trang 3 L là giao điểm của d 1 và AC Q là giao điểm của AF và KI T là giao điểm của AF và BC Tam giác ACF có EO là đường nên EO // AT Tứ giác ADBT có AD// BT & BT// AD Suy ra BT = BC ( cùng bằng AD) Do FI // BT và IL // BC ta suy ra: FI IL BT BC = (cùng bằng AI AB ) , nhưng BT = BC Nên FI = IL Tam giác CLF có EI là đường trung bình nên IE//AC (1) Tứ giác AKFI có AK // FI & KF // AI nên nó là hình bình hành . suy ra Q là trung điểm của AF. Từ đó EQ là đường trung bình của tam giác AFC nên QE // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm Q ; I ; E thẳng hàng (Tiên đề Ơclit) Điểm K thuộc đường thẳng QI nên ba điểm I ; K ; E thẳng hàng. Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm E nằm giữa A và C. Gọi Bx là tia nằm giữa hai tia BA và BC. Các đường thẳng kẻ qua E song song BC và AB cắt tia Bx lần lượt tại N và M. Chứng minh AN // CM. Hướng dẫn: Đã có BC // EN . Muốn MC // AN cần chứng minh · · KCM ANE= Do đó cần chứng minh hai tam giác CMK & NEA đồng dạng. BÀI GIẢI: Gọi H là giao điểm của NE và AB, K là giao điểm của EM và BC. Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác NHB có EM // HB ta được: NH BH NH NE NE ME BH ME = ⇒ = (1) . Tương tự HE // BC nên : HB CE HA AE = (2) Từ (1) & (2) suy ra: . . NH HB NE CE HB HA ME AE = . Do đó: . NH NE CE HA ME AE = (3) Nhưng & NE BK CE CK ME MK AE BK = = ( do EN // BK & EK // AB) nên . . NE CE BK CK CK ME AE MK BK MK = = (4) Từ (3) & (4) suy ra: NH CK HA MK = , mà · · AHN MKC= ( cùng bằng góc ABC) Vậy tam giác ANH & tam giác MKC đồng dạng. Suy ra: · · ANH MCK= ; kết hợp với NH // BC ta được CM //AN (đpcm) Hết ****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú***** Những bài toán hay Trang 4 ****Nguyễn Đức Nghị - trường THCS Lương Phú***** . L N K M D C B A E K H Q N M P D C B A E K H P Q N M D C B A Những bài toán hay Trang 1 NHỮNG BÀI TOÁN HAY LỚP 8 VÀ KHÓ LỚP 8. Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi K là trung điểm của cạnh AB. L. ⇒ NK NQ ME QE = (hệ quả định lý Ta- lét cho ΔNQK ) DN // BE ⇒ NQ DN QE BE = (hệ quả định lý Ta- lét cho ΔNQD ) Do đó: NK DN ME BE = (1) Chứng minh tương tự ta được: NH AN ME EB = (. chứng minh hai tam giác CMK & NEA đồng dạng. BÀI GIẢI: Gọi H là giao điểm của NE và AB, K là giao điểm của EM và BC. Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác NHB có EM // HB ta được: NH