Gọi tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn O nội tiếp tam giác ABC lần lượt là M,N,P.. Đường tròn nội tiếp I của tam giác tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự tại X, Y, Z.. HD: Dùng địn
Trang 1KIỂM TRA 45 PHÚT HÌNH HỌC DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TOÁN 10 1 Bài I: (6 điểm) Cho góc nhọn BAx, điểm C di động trên tia Ax ( C khác A) Gọi tiếp điểm của BC, CA, AB với
đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC lần lượt là M,N,P
1 Gọi E là giao điểm MN và AB Chứng minh
PA EA
PB EB
2 Chứng minh rằng : MN luôn đi qua một điểm cố định khi C di động
(Trích đê 30 – 4 – 2014 THPT Gia Định)
Bài II: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD và các điểm M, N, P, Q ; các số m,n,p,q khác không thỏa điều kiện sau:
m MA n MB m ND n NC p PA q PD p QB q QC
Gọi I là giao điểm MN và PQ
Chứng minh p IM q IN m IP n IQ 0
DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TOÁN 10 2
Bài I : (4 điểm) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AC, AB tại E, F Gọi K là giao điểm BI và
EF Chứng minh BKC 900
Bài II : (6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với BC là cạnh nhỏ nhất Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác tiếp xúc
với BC, CA, AB theo thứ tự tại X, Y, Z Gọi G là trọng tâm tam giác XYZ Trên các tia BA, CA lấy các điêm E, F sao cho BE = CF = BC Chứng minh IGEF
Trích SGK chuyên toán Hình 10
Trang 2LUYỆN TẬP THÊM TỈ SỐ KÉP VÀ HÀNG ĐIỀU HÒA
Trang 3BÀI TẬP VẬN DỤNG CÓ HƯỚNG DẪN DÀNH CHO LỚP CHUYÊN TOÁN 10
1 Đề THPT Thực Hành SP An Giang 2012
Cho tam giác ABC và điểm M Gọi G G G G Ga; b; c; m;
theo thứ tự là trọng tâm các tam giác MCB; MCA; MAB ,
a b c
G G G
và ABC Chứng minh khi M thay đổi, đường thẳng MGm
luôn quay quanh một điểm cố định
HD: Dùng phương pháp vectơ
2 THPT Thượng Hiền 2012
Cho hai đường tròn O R ; ; O R '; '
cắt nhau tại hai điểm A và B Một cát tuyến CBD quay quanh B được nhìn từ A dưới 1 góc 90 0C O D ; O '
Đường kính CE của (O) cắt (O’) tại F và G Gọi I là giao điểm của
BG và AD Chứng minh CI; FD; BE đồng quy
HD: Dùng hàng điểm điều hòa ( Hệ thức Newton) và áp dụng Ceva + Menelaus
3 Chuyên Thăng Long 2012
Cho hình bình hành ABCD và điểm M trên AC Gọi E là điểm đối xứng của B qua M Trên CD và AD lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho EP//AD; EQ//CD Chứng minh M,P,Q thẳng hàng
HD Dùng Menelaus
4 Cho tam giác ABC và một điểm M nằm trong tam AM , BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại
1; ; 1 1 ; ;
A B C BA CA AB
theo thứ tự cắt B C C A A B1 1; 1 1; 1 1
tại A B C2, ,2 2 , B ,C A3 3 3
theo thứ tự là trung điểm của A A1 2; B1 2B ;C1C2
Chứng minh A3, B , C3 3
thẳng hàng
HD : dùng định lí 8 và Menelaus
5 Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác BO, CO theo thứ tự cắt AC, AB tại E, F I AOEF H
là hình chiếu của I trên BC Chứng minh AHE OHF
HD : dùng định lí 8 và 16
6 Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D,E,F H là hình chiếu của D trên EF
Chứng minh BHD CHD
HD : dùng định lí 8 và Ceva
Trang 47 Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại O Điểm M không thuộc a, b và không thuộc các đường phân giác của
góc tạo bởi a,b Hai điểm A,B theo thứ tự thay đổi trên a,b sao cho OMA OMB Chứng minh rằng AB luôn
đi qua một điểm cố định
HD: Dùng định lí 7 và chùm điều hòa
Một số ứng dụng của định lý Menelaus, Ceva trong toán THCS:
- Chứng minh các tỉ số đoạn thẳng, tỉ số diện tích bằng nhau
- Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy
- Áp dụng để giải các bài tập tổng hợp: Chứng minh song song, tính góc,…
I Bài tập minh họa:
Bài 1 Cho ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI Đường thẳng BI cắt AC tại P Chứng
minh rằng: PA = 2PC
Bài 2 Cho ABC Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là hai điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF,
CE đồng quy Chứng minh rằng EF // BC
Bài 3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của (O) với AB,
BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy
Bài 4 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O) MN là một đường
kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D Gọi I là giao điểm của CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC, AB AC Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB,
AC, CF tại Q, R, S Chứng minh:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp.
b)
PB DB
PC DC và D là trung điểm của QS.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC
Bài 6 Cho tam giác ABC có AB AC Trên các cạnh AB AC, lần lượt lấy các điểm E D, sao cho
.
DE DC Giả sử đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC tại F
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF chia đôi góc AED
Trang 5b) Chứng minh rằng BFE CED
Bài 7 Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân giác của góc BCA, N
và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc ABC Gọi F là giao của
MN và AC, E là giao của BF và CL, D là giao của BL và AC Chứng minh rằng DE song song với MN
Bài 8 Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB sao cho EF//BC, MB = MC Chứng minh CF, BE , AM
đồng quy
Bài 9 Cho đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Chứng minh AD,
BE, CF đồng quy
Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE
Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy
Bài 11 Cho ABC vuông tại A, đường cao AK Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và
ACGH Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy
II Bài tập đề nghị:
Bài 1 Cho tứ giác ABCD có M, N là giao của các cặp cạnh đối AB và CD, AD và BC Đường thẳng AC cắt
BD, MN tại I, J Chứng minh rằng
JA IA
JC IC
Bài 2 Cho 2 tam giác ABC và A’B’C’ sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy ở O Gọi A1, B1, C1 lần lượt là giao điểm các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng
Bài 3 Cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối AB và Cd, AD và BC cắt nhau tại M, N Chứng minh rằng các
trung điểm I, J, K của AC, BD, MN thẳng hàng
Bài 4 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O) Các điểm A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của các cặp
AB và DE, BC và EF, CD và AF Chứng minh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng
Bài 5 Cho tam giác ABC có A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Điểm M nằm trong tam giác
ABC các điểm A1, B1, C1 lần lượt là giao điểm của MA, MB, MC với B’C’, C’A’, A’B’ Chứng minh rằng A’A1, B’B1, C’C1 đồng quy
Bài 6 Cho tam giác ABC Một đường thẳng cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại A1, B1, C1 Gọi A2, B2, C2
lần lượt là các điểm đối xứng của A1, B1, C1 qua trong điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh 3 điểm A2, B2,
C2 thẳng hàng
Bài 7 Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh đối diện tại A1,
B1, C1 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 cắt các cạnh BC, CA, AB tại điểm thứ hai là A2, B2, C2 Chứng minh AA2, BB2, CC2 đồng quy
Bài 8 Cho (O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B Các tiếp tuyến tại A và B của (O1) cắt nhau ở K Lấy điểm
M nằm trên (O1) không trùng A và B Đường thẳng AM cắt (O2) tại điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O1)
Trang 6tại điểm thứ hai là C và đường thẳng AC cắt (O2) tại điểm thứ hai là Q Gọi H là giao điểm của PQ với đường thẳng MC Chứng minh rằng: H là trung điểm của PQ
Bài 9 Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B sao cho AD cắt BC tại E.
Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K; tia OE cắt AB tại I Chứng minh rằng:
IA KA
IB KB
II Bài tập minh họa:
Bài 1 Cho ABC có trung tuyến AM Trên AM lấy I sao cho AI = 4MI Đường thẳng BI cắt AC tại P Chứng
minh rằng: PA = 2PC
Lời giải.
Áp dụng định lí Menelaus cho AMC với cát tuyến BIP ta có:
PC IA BM
PA IM BC
Suy ra:
1
2
PC IM BC
PA IA BM nên PA = 2PC
Nhận xét: Việc áp dụng định lí Menelaus cho bài toán này dẫn
đến lời giải hay và rất ngắn gọn.
P I
M
A
Bài 2 Cho ABC Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là hai điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF,
CE đồng quy Chứng minh rằng EF // BC
Lời giải.
Áp dụng định lí Ceva cho ABC với các đường đồng quy là
AD, BF và CE ta có AE BD CF 1
EB DC FA
Vì BD = CD nên AE CF 1
EB FA suy ra
EA FA
EB FC
Vậy theo định lí Ta-lét ta có: EF // BC
F O
D
B
C A
E
Trang 7Nhận xét: Trong bài tập trên nếu dùng các dấu hiệu nhận biết
hai đường thẳng song song thông thường dùng thì rất khó
khăn trong chứng minh Ở đây ta dùng định lí Ceva sẽ dẫn đến
tỉ số có lợi là
EA FA
EB FC và áp dụng định lí Ta-let để thu được kết quả hay và ngắn gọn.
Bài 3 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm của (O) với AB,
BC, CD, DA Chứng minh rằng: Các đường thẳng NP, MQ, BD đồng quy
Lời giải.
Gọi I là giao của QM và BD
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD
với 3 điểm Q, M, I thẳng hàng ta có
1
QA ID MB
QD IB MA mà
MA = QA nên suy ra
1
MB ID
QD IB
Ta có MB = NB, DQ = DP, PC = NC
nên NB ID 1 PC ID NB 1
DP IB PD IB NC , do đó theo định lý
Menelaus thì I, N, P thẳng hàng
Bài 4 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O) MN là một đường
kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B) Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D Gọi I là giao điểm của CO và BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
(Trích Câu 5.d Đề HSG Phú Thọ 2010-2011)
Trang 8Lời giải.
Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng là
B, I, M ta có:
AB OI CM
IC 2CM
(1)
Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta có:
Từ (1) và (2) ta có
MA FB
=
CM CF Do đó MF // AB (định lí Ta lét đảo) mà
AB BC MF BC MFC 900
Ta có EFB EBA (cùng phụ với góc EAB);
EBA EMC (tứ giác AMEB nội tiếp)
EFB EMC
Tứ giác MEFC nội tiếp
MEC MFC 90 0 Do đó: ME EC (3)
Lại có MEN 90 0(chắn nửa đtròn) ME EN (4)
Từ (3) và (4) suy ra C, E, N thẳng hàng
Bài 5 Cho tam giác nhọn ABC, AB AC Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB,
AC, CF tại Q, R, S Chứng minh:
a) Tứ giác BQCR nội tiếp.
b)
PB DB
PC DC và D là trung điểm của QS.
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC
(Trích Đề thi vào lớp Chuyên Toán, Vĩnh Phúc 2013-2014)
Trang 9D M P
Q
R S
E F
H A
B
C
Lời giải.
a) Do AB AC nên Q nằm trên tia đối
của tia BA và R nằm trong đoạn CA,
từ đó Q, C nằm về cùng một phía của
đường thẳng BR.
Do tứ giác BFEC nội tiếp nên AFE BCA ,
Do QR song song với EF nên AFE BQR
Từ đó suy ra BCA BQR hay tứ giác BQCR nội tiếp.
b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên
Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên
Từ hai tỷ số trên ta được DB AE HB AE FB 1
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được:
Từ (1) và (2) ta được PB DB 3
Do QR song song với EF nên theo định lí Thales DQ BD DS, CD
Kết hợp với (3) ta được DQ DS hay D là trung điểm của QS.
c) Gọi M là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh DP DM DQ DR
Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ DR DB DC (4)
Tiếp theo ta chứng minh
2
DC DB
DP DM DB DC DP DB DC
Trang 10 2
DP DC DB DB DC DB DP DC DC DP DB DB PC DC PB
(đúng theo phần b) Do đó DP DM DB DC 5
Từ (4) và (5) ta được DP DM DQ DR suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC.
Bài 6 Cho tam giác ABC có AB AC Trên các cạnh AB AC, lần lượt lấy các điểm E D, sao cho
.
DE DC Giả sử đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC tại F
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF chia đôi góc AED
b) Chứng minh rằng BFE CED
(Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012)
Lời giải.
a) Gọi M là trung điểm BE, G là giao điểm
của các đường thẳng EF AC,
Ta sẽ chứng minh
Áp dụng định lý Ménélaus cho ADM với cát tuyến G E F, ,
Lấy I BC sao cho DI AB
Khi đó do hai tam giác FMB FDI, đồng dạng nên
g
b a
a
g g
I
G
F M
E
A
D
Do ABC cân, DI AB nên DCI cân, hay DI DC DE suy ra:
Trang 11Do M là trung điểm của BE nên EM MB do đó
Vậy
b) Đặt ABCACBb; DCEDEC a; DEG GEA g Ta sẽ chứng minh b a g Thật vậy:
Trong tam giác BEC có CBE b, BCE b a suy ra
1800 1800 2
CEB b b a b a (1)
Do G E F, , thẳng hàng nên FEBg và do đó
1800 1800
CEB CEG BEF a g g
(2)
Từ (1) và (2) suy ra b a g, điều phải chứng minh
Bài 7 Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân giác của góc BCA, N
và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc ABC Gọi F là giao của
MN và AC, E là giao của BF và CL, D là giao của BL và AC Chứng minh rằng DE song song với MN
Lời giải.
Kéo dài AM cắt BC tại G, kéo dài AN cắt BC
tại I, kéo dài CL cắt AB tại J
Khi đó AM = MG AN = NI suy ra MN và BC song song với
nhau (1)
Vì AM = MG nên AF = FC
Gọi H là giao của LF và BC, ta có BH = CH
Trong tam giác BLC có BE, LH, CD cắt
nhau tại F, theo định lý Ceva ta có BH CE LD 1
HC EL DB
Vì BH = CH nên
CE DB
EL LD , suy ra DE và BC song song với
Trang 12F
M
E
A
F
M
N
I
nhau (2)
Từ (1) và (2) suy ra MM song song với DE
Bài 8 Cho ABC lấy E, F, M thứ tự trên cạnh AC, AB sao cho EF//BC, MB = MC Chứng minh CF, BE , AM
đồng quy
Lời giải.
Cách 1: (Chứng minh đồng quy)
Gọi AM EF = K
Theo định lý Talét ta có:
AF
BF =
AK
CE
AE =
KM
BM
Suy ra
AF
BF .
BM
CE
AE = 1
Áp dụng định lý Ceva cho ABC ta có CF, BE , AM đồng
quy
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE tại N, AM BE = I
Ta có
AF
AN
BC ;
BC
MI
BM AN
Suy ra
AF
BF .
BC
MI
AN
BC .2
BM
Áp dụng định lý Menelaus cho ABM thì F, I, C thẳng hàng
Từ đó suy ra CF, BE , AM đồng quy
Bài 9 Cho đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Chứng minh AD,
BE, CF đồng quy
Lời giải.
Cách 1: (Chứng minh đồng quy)
Trang 13D
H
E
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
AF = AE; BF = BD; CE = CD
Suy ra
AF
BF .
BD
CD .
CE
AE
BD .
BD
CE .
CE AE
=1
Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AD, BE, CF
đồng quy
Cách 2: (Chứng minh thẳng hàng)
Từ A kẻ đt song song với BC cắt CF tại N
AD CF = I Ta có :
AE
CE .
CB
DB .
DI
AI =
AF
CB
BF .
CD
AF
BF .
CB
AN
CB .
CB
AN =1
Áp dụng định lí Menelaus cho ACD thì
AD, BE, CF đồng quy
Bài 10 Cho tam giác ABC đường cao AH Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE
Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy
Lời giải.
Cách 1: (Chứng minh đồng quy)
Từ A kẻ đt // BC cắt HE, HD tại M và N
Vì HA là phân giác của góc A, HA là đường cao nên AM =
AN
Ta có:
AD
BD =
MA
CE
AE =
CH
AD
BD .
BH
CH .
CE
AE =
MA
BH .
BH
CH .
CH
Áp dụng định lý Ceva cho ABC suy ra AH, BE, CD đồng
quy