1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức: A Định lí Ta-lét: M * Định lí Talét ABC AM AN MN // BC AB = AC N C B AM AN MN = AC BC * Heä quả: MN // BC AB B Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G B a) chứng minh: EG // CD A b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG O Giải E Gọi O giao điểm AC BD G OE OA = OC (1) a) Vì AE // BC OB C D OB OG = OA (2) BG // AC OD OE OG = OC EG // CD Nhaân (1) với (2) vế theo vế ta có: OD b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD neân AB OA OD CD AB CD = = AB2 CD EG EG OG OB AB EG AB Bài 2: Cho ABC vuông A, Vẽ phía tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Chứng minh raèng: a) AH = AK b) AH2 = BH CK Giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Đặt AB = c, AC = b D A BD // AC (cùng vuông góc với AB) H AH AC b AH b AH b HB c HB + AH b + c neân HB BD c F K AH b AH b b.c AH b+c c b+c b + c (1) Hay AB C B AK AB c AK c AK c KC b KC + AK b + c AB // CF (cùng vuông góc với AC) neân KC CF b AK b AK c b.c AK b+c b b+c b + c (2) Hay AC Từ (1) (2) suy ra: AH = AK AH AC b AK AB c AH KC AH KC HB AH (Vì AH = AK) b) Từ HB BD c vaø KC CF b suy HB AK AH2 = BH KC Baøi 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị không đổi Giải A a B a) Vì ABCD hình bình hành K BC nên b AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta coù: EK EB AE EK AE = = AE EK.EG AE ED EG AE EG K E C D AE DE AE BE = = DB ; AG BD nên b) Ta có: AK AE AE BE DE BD 1 1 = 1 AE 1 AK AG BD DB BD AK AG AE AK AG (ñpcm) BK AB BK a KC CG KC CG = = = = CG KC CG (1); AD DG b DG (2) c) Ta coù: KC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC G Website:tailieumontoan.com BK a = BK DG = ab DG Nhaân (1) với (2) vế theo vế ta có: b không đổi (Vì a = AB; b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD không đổi) Bài 4: Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: B E A a) EG = FH b) EG vuoâng góc với FH H Giải D Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG 1 BM BE BM = = = BA BC Ta coù CM = CF = BC BC P F O Q M N G C EM BM 2 = EM = AC EM // AC AC BE 3 (1) NF CF 2 = NF = BD 3 T¬ng tù, ta cã: NF // BD BD CB (2) mµ AC = BD (3) Tõ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a) Tơng tự nh ta có: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH = AC (b) Mặt khác EM // AC; MG // BD Vµ AC BD EM MG EMG = 90 (4) T¬ng tù, ta cã: FNH = 90 (5) Tõ (4) vµ (5) suy EMG = FNH = 90 (c) Tõ (a), (b), (c) suy EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ FH lµ O; cđa EM vµ FH P; EM FN Q PQF = 900 QPF + QFP = 900 mà QPF = OPE (đối ®Ønh), OEP = QFP ( EMG = FNH) Suy EOP = PQF = 90 EO OP EG FH Bµi 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đờng thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đờng thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đờng thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh a) MP // AB Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIU TON HC Website:tailieumontoan.com b) Ba đờng thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải CP AF = FB (1) a) EP // AC PB CM DC = AK (2) AK // CD AM D C c¸c tø giác AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) I M CP CM Kết hợp (1), (2) (3) ta có PB AM MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4) K A P F B CP CM DC DC b) Gọi I giao điểm BD CF, ta cã: PB AM = AK FB DC DI CP DI Mµ FB IB (Do FB // DC) PB IB IP // DC // AB (5) Tõ (4) vµ (5) suy : qua P có hai đờng thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba ®iĨm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao điểm CF DB hay ba đờng thẳng MP, CF, DB đồng quy Bài 6: Cho ABC có BC < BA Qua C kẻ đờng thẳng vuông goác với tia phân giác BE ABC ; đờng thẳng cắt BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần Giải Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC KBC có BF vừa phân giác vừa đờng cao nên KBC cân B BK = BC FC = FK Mặt khác D trung điểm AC nên DF đờng trung bình AKC DF // AK hay DM // AB Suy M trung điểm BC DF = AK (DF đờng trung bình AKC), ta cã BG BK BG BK 2BK = = GD DF ( DF // BK) GD DF AK (1) CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD 1 1 1 1 DE DE DE DE DE DE Mổt khác DE (Vì AD = DC) DE CE AE - DE AE AB AE AB 1 2 DE DE DF Hay DE (v× DE = DF : Do DF // AB) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CE AK + BK 2(AK + BK) 2 DE AK Suy DE (Do DF = AK) CE 2(AK + BK) 2BK 2 DE AK AK (2) B M K G BG CE Tõ (1) vµ (2) suy GD = DE EG // BC OG OE FO = = MB FM Gọi giao điểm EG DF O ta cã MC F A D E C OG = OE Bài tập nhà Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đờng thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đờng thẳng song song với CD qua O cắt AD t¹i F a) Chøng minh FE // BD b) Tõ O kẻ đờng thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia ®èi cđa tia BC cho BN = CM; c¸c đờng thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F Chøng minh: a) AE2 = EB FE AN b) EB = DF EF Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC