skkn nguyên lý cực hạn trong các bài toán tổ hợp

BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị THPT chuyên Lương Thế Vinh Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Người thực hiện: Phạm Doãn Lê Bình Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm không thề in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2016 - 2017 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Phạm Doãn Lê Bình Ngày tháng năm sinh: 23/04/1986 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 1123, KP7, P Long Bình, TP Biên Hòa, Đồng Nai Điện thoại: 0613930245 (nhà riêng) ; ĐTDĐ: 01683531100 Fax: E-mail: lebinh234@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ - Năm nhận bằng: 2012 - Chuyên ngành đào tạo: Đại số lý thuyết số III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Sư phạm Toán Số năm có kinh nghiệm: - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: + Phương pháp đại lượng bất biến, đơn biến toán tổ hợp (2014) + Các toán tổ hợp kỳ thi học sinh giỏi (2016) NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Phạm Doãn Lê Bình Giáo viên trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Tháng năm 2017 Mục lục Lý chọn đề tài 2 Nội 2.1 2.2 2.3 2 dung đề tài Nêu vấn đề Một số ví dụ Bài tập tự luyện Hiệu đề tài 10 Tài liệu tham khảo 11 Trang 1 Lý chọn đề tài Nguyên lí cực hạn nguyên lí đơn giản dễ hiểu vận dụng khéo léo giúp giải nhiều lớp toán, đặc biệt toán tổ hợp Nguyên lí cực hạn thường sử dụng kết hợp với phương pháp khác, đặc biệt phương pháp phản chứng Nó giúp giải toán mà tập hợp đối tượng phải xét tồn đối tượng có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ theo nghĩa Nguyên lí cực hạn dễ hiểu để vận dụng vào toán lại đơn giản Với lí đó, chọn đề tài để làm tài liệu giảng dạy cho giáo viên tài liệu học tập cho học sinh trình tiếp cận toán tổ hợp Nội dung đề tài 2.1 Nêu vấn đề Nguyên lí Trong tập hữu hạn khác rỗng số thực luôn chọn số bé số lớn Nguyên lí Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên luôn chọn số bé Để vận dụng nguyên lí cực hạn giải toán tổ hợp, người ta thường dùng lược đồ chung để giải sau: • Đưa toán xét dạng sử dụng nguyên lí (hoặc nguyên lí 2) để chứng tỏ tất giá trị cần khảo sát toán phải có giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) • Xét toán tương ứng nhận giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) • Chỉ mâu thuẫn, đưa giá trị lớn (hoặc nhỏ hơn) giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) mà ta khảo sát • Theo nguyên lí phương pháp phản chứng, ta suy điều phải chứng minh Ta xét số ví dụ sau: 2.2 Một số ví dụ Ví dụ Chứng minh 15 số nguyên dương thuộc {2.3 , 1992} đôi nguyên tố nhau, có số nguyên tố Trang Lời giải Giả sử tìm 15 số lấy từ {2; 3; ; 1992} cho chúng hợp số đôi nguyên tố √ Khi số phải có ước số nguyên tố nhỏ 45 ( 1992 < 45) Vì có 14 số nguyên tố nhỏ 45 nên phải tồn 15 số có ước số nguyên tố Nhưng chúng không nguyên tố nhau, mâu thuẫn Vậy điều giả sử sai, tức tồn 15 số cho số nguyên tố Ví dụ Chứng minh bốn hình tròn có đường kính bốn cạnh tứ giác lồi phủ kín tứ giác cho Lời giải Lấy M điểm tùy ý tứ giác lồi ABCD Có hai khả xảy ra: Nếu M nằm cạnh tứ giác ABCD Khi M nằm hình tròn có đường kính cạnh Nếu M nằm bên tứ giác lồi ABCD Khi ta có AM B + BM C + CM D + DM A = 360◦ Theo nguyên lý cực hạn, tồn α = max{AM B, BM C, CM D, DM A} Khi ấy, α ≥ 90◦ Không tính tổng quát, giả sử α = AM B Suy M nằm hình tròn đường kính AB Vậy M bị phủ hình tròn Như thế, M điểm tứ giác ABCD M thuộc hình tròn có đường kính cạnh tứ giác ABCD nên tứ giác ABCD bị phủ kín hình tròn có đường kính bốn cạnh Ví dụ Trên mặt phẳng vô hạn kẻ ô vuông, người ta điền số tự nhiên vào ô vuông cho số tùy ý trung bình cộng bốn số tự nhiên bốn ô vuông có cạnh chung với ô vuông chứa Chứng minh tất số điền Lời giải Xét tập hợp số điền Đây tập hợp số tự nhiên khác rỗng, nên theo nguyên lí cực hạn phải tồn phần tử nhỏ mà ta kí hiệu a Trang Giả sử kết luận toán không đúng, tức số điền tất Như có ô chứa số a mà bốn ô cạnh chung với có số b = a Giả sử ba ô lại có cạnh chung với ô chứa số a c, d, e Theo cách xác định số a, ta có: b > a, c ≥ a, d ≥ a, e ≥ a Từ suy a< b+c+d+e Điều mâu thuẫn với giả thiết a trung bình cộng b, c, d, e Vậy giả thiết phản chứng sai, tức tất số viết bảng Ví dụ Cho n điểm xanh n điểm đỏ mặt phẳng, điểm thẳng hàng Chứng minh ta nối 2n điểm n đoạn thẳng có đầu mút khác màu cho chúng đôi không giao Lời giải Với cách nối 2n điểm n đoạn thẳng xanh-đỏ, ta tính tổng độ dài đoạn thẳng nối Do số cách nối hữu hạn nên tồn cách nối có tổng độ dài nói nhỏ Ta chứng minh cách nối thỏa mãn yêu cầu toán Giả sử ngược lại, tồn hai đoạn thẳng cắt nhau, giả sử AB CD cắt O (A, C tô màu đỏ, B, D tô màu xanh) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có AD < OA + OD BC < OB + OC Suy AD + BC < AB + CD Như vậy, ta giữ nguyên n − đoạn nối lại thay AB, CD AD, BC tổng đoạn nối cách nối nhỏ cách nối cũ Mâu thuẫn với tính nhỏ Vậy tồn cách nối 2n điểm n đoạn thẳng xanh-đỏ cho chúng không cắt Ví dụ Tập hợp S sinh viên trường đại học có tính chất: hai sinh viên có số người quen S người quen chung S Chứng minh tồn sinh viên có người quen S Trang Lời giải Do tập hợp S có hữu hạn sinh viên nên tồn sinh viên quen với nhiều người Gọi sinh viên A Ai (i = 1, , n) sinh viên người quen Do sinh viên Ai quen A nên số người quen họ không không lớn n Do số người quen sinh viên 1, 2, , n Vậy tồn sinh viên quen với người Ví dụ Có trường học, trường học có n học sinh Mỗi học sinh quen với n + học sinh từ hai trường khác Chứng minh người ta chọn từ trường bạn cho ba học sinh chọn đôi quen Lời giải Gọi A học sinh có nhiều bạn trường khác Gọi số bạn k Giả sử A trường bạn quen A B1 , B2 , , Bk n+1 Cũng theo giả thiết, có học sinh C trường Ta có k ≥ trường quen với A Giả sử C không quen với Bi với i = 1, 2, , k C quen với nhiều n − k học sinh trường Suy C quen với n + − (n − k) = k + học sinh trường 1, điều mâu thuẫn với cách chọn A Vậy C phải quen với bạn Bi Khi A, Bi C học sinh cần tìm Ví dụ Một nước có 100 sân bay, mà khoảng cách hai sân bay khác Mỗi máy bay cất cánh từ sân bay bay đến sân bay gần Chứng minh sân bay có chuyến bay đến Lời giải Giả sử tồn sân bay có chuyến bay đến Gọi O sân bay Ai (i ∈ {1, , 6}) sân bay bay đến O Không tính tổng quát, ta giả sử thứ tự sân bay duyệt theo chiều kim đồng hồ từ A1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 Ai OAi+1 = 360◦ nên tồn i để Ai OAi+1 ≤ 60◦ (xem A7 ≡ A1 ) Khi i=1 Do đó, hai góc lại tam giác Ai OAi+1 lớn 60◦ (do khoảng cách không nhau) ⇒ Ai Ai+1 < max{OAi , OAi+1 }, mâu thuẫn với giả thiết (vì Ai Ai+1 < OAi sân bay Ai có chuyến bay đến Ai+1 đến O) • Chú ý: Con số 100 đề thực tác dụng việc cho thấy có khả sân bay có chuyến bay đến (cần sân bay để có điều đó) Ta thay số khác lớn cách giải toán Ví dụ (Định lí Sylvester) Cho tập hợp S gồm hữu hạn điểm mặt phẳng thỏa mãn tính chất sau: Một đường thẳng qua hai điểm thuộc S qua điểm khác thuộc S Khi tất điểm S nằm đường thẳng Trang Lời giải Giả sử phản chứng tồn tập hợp S gồm hữu hạn điểm không thẳng hàng đường thẳng qua hai điểm S chứa ba điểm thuộc S Xét tập hợp A = {h|h > h khoảng cách từ điểm thuộc S đến đường thẳng qua hai điểm thuộc S} Do giả thiết phản chứng nên A = ∅ A tập hợp có hữu hạn phần tử Theo nguyên lí cực hạn A có phần tử nhỏ h◦ Giả sử h◦ M khoảng cách từ M đến đường thẳng qua E B, C (M, B, C ∈ S) Theo giả thiết phản chứng tồn D ∈ S D nằm đường thẳng F BC Kẻ M H⊥BC M H = h◦ Rõ ràng điểm B, C, D theo nguyên lí Dirichlet phải có điểm nằm phía so với H B H C D đường thẳng BC Giả sử C nằm H D Kẻ HE CF vuông góc với MD Rõ ràng ta có CF < HE < M H Mà CF ∈ A CF < h◦ nên giả thiết phản chứng bị sai, tức tất điểm thuộc S thẳng hàng với Ví dụ Trong thi Toán có 65 học sinh tham gia đến từ hai trường Mỗi học sinh thi môn Toán, Lí, Hoá, Anh Văn Biết học sinh thi môn có hai học sinh tuổi Chứng minh 65 học sinh có học sinh đến từ trường, thi môn tuổi Lời giải Giả sử học sinh thoả yêu cầu toán Vì có 65 học sinh đến từ hai trường nên có 33 học sinh đến từ trường Xét 33 học có học sinh thi môn Ta xét học sinh này: Lấy học sinh học sinh Khi có hai học sinh tuổi, ta giả sử hai học sinh A1 , B1 Ta loại hai học sinh lại học sinh học sinh ta tìm hai học sinh tuổi A2 , B2 Sau loại hai học sinh ta lại học sinh tiếp tục chọn học sinh A3 , B3 Xét học sinh A1 , A2 , A3 ta có tuổi ba học sinh đôi khác Xét học sinh gồm ba học sinh A1 , A2 , A3 với ba học sinh lại, hai học sinh lại ta kí hiệu A4 , B4 tuổi Xét học sinh gồm học sinh A1 , A2 , A3 , A4 học sinh lại (ta kí hiệu A5 ) Khi A5 tuổi với học sinh A1 , A2 , A3 , A4 Chẳng hạn A5 , A1 tuổi Khi A1 , B1 , A5 thoả yêu cầu toán Điều mâu thuẫn với điều giả sử Vậy toán chứng minh Ví dụ 10 (Trận đấu toán học Nga 2010) Một quốc gia có 210 thành phố Ban đầu thành phố chưa có đường Người ta muốn xây dựng số đường chiều nối thành phố cho: Nếu có đường Trang từ A đến B từ B đến C đường từ A đến C Hỏi xây dựng nhiều đường? Lời giải Gọi A thành phố có nhiều đường (gồm đường xuất phát từ A đường đến A) Ta chia thành phố lại thành loại • Loại I - có đường xuất phát từ A • Loại II - có đường đến A • Loại III - đường đến A xuất phát từ A Đặt m = |I|, n = |II|, p = |III| Ta có m + n + p = 209 Dễ thấy thành phố loại I đường Tương tự, thành phố loại II đường Số đường liên quan đến thành phố loại III không vượt p(m+n) (Do bậc A = m + n lớn nhất) Tổng số đường bao gồm: • Các đường liên quan đến A: m + n • Các đường liên quan đến III: ≤ p(m + n) • Các đường I II: ≤ mn Suy tổng số đường nhỏ 2102 (m + n + p + 1)2 = mn + (p + 1)m + (p + 1)n ≤ 3 Dấu xảy với đồ thị phe, phe có 70 thành phố, thành phố phe có đường đến thành phố phe 2, thành phố phe có đường đến thành phố phe 3, thành phố phe có đường đến thành phố phe Ví dụ 11 Trong quốc hội Mỹ, nghị sĩ có không kẻ thù Chứng minh chia quốc hội thành viện cho viện, nghị sĩ có không kẻ thù Lời giải Ta chia quốc hội thành viện A, B cách Với viện A, B, ta gọi s(A), s(B) tổng tổng số kẻ thù thành viên tính viện Vì số cách chia hữu hạn nên phải tồn cách chia (A0 , B0 ) cho s(Ao ) + s(B0 ) nhỏ Ta chứng minh cách chia thỏa mãn yêu cầu toán Giả sử cách chia chưa thoả mãn yêu cầu, tức có nghị sĩ có nhiều kẻ thù viện Không tính tổng quát, giả sử nghị sĩ x thuộc A0 có kẻ thù A0 Khi ta thực phép biến đổi sau: chuyển x từ A0 sang B0 để cách chia A = A0 \ {x} B = B0 \ {x} Vì x có kẻ thù A0 A không cón chứa x nên ta có s(A ) ≤ s(A0 ) − (trong tổng Trang s(x) kẻ thù x A0 ) Vì x có kẻ thù có kẻ thù A0 nên x có nhiều kẻ thù B0 (hay B ) s(B ) ≤ s(B0 ) + Từ s(A ) + s(B ) ≤ s(A0 ) + s(B0 ) − Mâu thuẫn với tính nhỏ s(A0 ) + s(B0 ) Vậy điều giả sử sai, tức cách chia (A0 , B0 ) thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 12 Chứng minh mặt phẳng tọa độ, tìm năm điểm nguyên đỉnh ngũ giác (Một điểm M (x; y) mặt phẳng tọa độ gọi “điểm nguyên” hai tọa độ x, y số nguyên) Lời giải Giả thiết trái lại, tồn ngũ giác cho đỉnh “điểm nguyên” Ta xét tập hợp sau: Ω = {a2 |a cạnh ngũ giác có năm đỉnh “điểm nguyên”} Dễ thấy, a cạnh ngũ giác với đỉnh nguyên, nên a2 số nguyên dương Thật vậy, giả sử Aa A2 A3 A4 A5 đa giác giác thuộc Ω Giả sử Ai (xi ; yi ), i = 1, n, gọi a cạnh ngũ giác này, ta có: a2 = A1 A22 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 Do xi , yi ∈ Z, ∀i = 1, nên a2 số nguyên dương Tập Ω = ∅, điều suy từ giả thiết phản chứng Tập Ω số tự nhiên, khác rỗng nên theo nguyên lí cực hạn suy tồn phần tử nhỏ nhất, tức tồn ngũ giác ABCDE cho a20 số nhỏ nhất, a0 cạnh ngũ giác Dễ thấy ABCB , BCDC , CDED , DEAE EABA hình bình hành với BD ∩ CE = A , AD ∩ CE = B , AD ∩ BE = C , AC ∩ BE = D , AC ∩ BD = E Từ hình bình hành EABA suy xA = xB + xE − xA yA = yB + yE − yA Do A, B, C, D, E “điểm nguyên” nên suy A “điểm nguyên” Tương tự ta có B , C , D , E “điểm nguyên” Rõ ràng A B C D E Trang ngũ giác có đỉnh “điểm nguyên” mà gọi cạnh ngũ giác a0 rõ ràng a02 < a20 (mâu thuẫn với việc a20 giá trị nhỏ nhất) Vậy giả thiết phản chứng sai nên không tồn ngũ giác có đỉnh “điểm nguyên” 2.3 Bài tập tự luyện Bài tập Trên đường thẳng cho 50 đoạn thẳng Chứng minh có đoạn thẳng chúng đôi giao nhau, có đoạn thẳng chúng đôi rời Bài tập Chứng minh đa giác lồi có diện tích phủ hình chữ nhật có diện tích không lớn Bài tập Có cân có tính chất sau: i) Trong có cân có trọng lượng khác ii) Với hai cân bất kì, tìm hai cân khác có tổng trọng lượng với tổng trọng lượng hai cân Hỏi cân có cân? Bài tập Chứng minh a, b số nguyên dương cho k = a2 + b2 số nguyên k = ab − Bài tập Một số thực dương viết lên bảng Tổng tích đôi chúng Chứng minh √ ta xóa số để tổng số lại nhỏ Bài tập Trong mặt phẳng cho n điểm (n > 1) Hai người chơi nối cặp điểm chưa nối vector với hai chiều Nếu sau nước người đó, tổng vector vẽ người thứ hai thắng; không vẽ vector mà tổng chưa có lúc người thứ thắng Hỏi người thắng chơi đúng? Bài tập Trên mặt phẳng kẻ đường thẳng song song cách Chứng minh dựng ngũ giác có đỉnh nằm đường thẳng Bài tập Cho đa giác lồi A1 A2 A3 An Chứng minh tồn ba đỉnh liên tiếp cho hình tròn qua ba đỉnh chứa toàn đa giác cho Trang Bài tập Trên đường thẳng đánh dấu n điểm khác A−1, A2 , , An theo thứ tự từ trái qua phải (n ≥ 4) Mỗi điểm tô bốn màu khác bốn màu dùng Chứng minh tồn đoạn thẳng chứa hai điểm hai màu hai màu lại Bài tập 10 Từ điểm M cho trước đa giác lồi hạ đường vuông góc xuống cạnh đa giác Chứng minh tồn cạnh đa giác mà chân đường vuông góc hạ từ M xuống cạnh nằm phía Bài tập 11 Cho 997 điểm khác mặt phẳng Chứng minh tồn 1991 trung điểm khác từ cặp điểm Khi có 1991 trung điểm khác Bài tập 12 Trên mặt phẳng cho số hữu hạn điểm không nằm đường thẳng Chứng minh tồn ba điểm cho đường tròn qua ba điểm không chứa điểm bên Bài tập 13 Bên hình vuông cạnh cho n điểm cho ba điểm thẳng hàng Chứng minh tồn tam giác có đỉnh điểm cho diện tích S thỏa mãn bất đẳng thức: S < n−2 Hiệu đề tài Học sinh có thêm kinh nghiệm việc xử lý toán tổ hợp phương pháp sử dụng nguyên lí cực hạn Trang 10 Tài liệu tham khảo Đoàn Quỳnh - Doãn Minh Cường - Trần Nam Dũng - Đặng Hùng Thắng (2010), “Tài liệu chuyên toán đại số 10”, Nhà xuất giáo dục Việt Nam, 2012 Phan Huy Khải, “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học phổ thông: Các toán hình học Tổ hợp”, Nhà xuất Giáo dục, 2007 Trần Nam Dũng, “Nguyên lí cực hạn)”, 2012 Người thực Phạm Doãn Lê Bình Trang 11 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị THPT chuyên Lương Thế Vinh CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc , ngày tháng năm PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:2016 - 2017 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Họ tên tác giả: Phạm Doãn Lê Bình Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: THPT chuyên Lương Thế Vinh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn:  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Có giải pháp hoàn toàn  - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  Phiếu đánh dấu X đầy đủ ô tương ứng, có ký tên xác nhận người có thẩm quyền, đóng dấu đơn vị đóng kèm vào cuối sáng kiến kinh nghiệm XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) ... + Phương pháp đại lượng bất biến, đơn biến toán tổ hợp (2014) + Các toán tổ hợp kỳ thi học sinh giỏi (2016) NGUYÊN LÍ CỰC HẠN TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP Phạm Doãn Lê Bình Giáo viên trường THPT... khảo 11 Trang 1 Lý chọn đề tài Nguyên lí cực hạn nguyên lí đơn giản dễ hiểu vận dụng khéo léo giúp giải nhiều lớp toán, đặc biệt toán tổ hợp Nguyên lí cực hạn thường sử dụng kết hợp với phương... cận toán tổ hợp Nội dung đề tài 2.1 Nêu vấn đề Nguyên lí Trong tập hữu hạn khác rỗng số thực luôn chọn số bé số lớn Nguyên lí Trong tập hợp khác rỗng số tự nhiên luôn chọn số bé Để vận dụng nguyên