skkn các bài toán tổ hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi

BM 01-Bia SKKN S GIO DC V O TO NG NAI n v THPT chuyờn Lng Th Vinh Mó s: (Do HKH S GD&T ghi) SNG KIN KINH NGHIM CC BI TON T HP TRONG CC K THI HC SINH GII Ngi thc hin: Phm Doón Lờ Bỡnh Lnh vc nghiờn cu: - Qun lý giỏo dc - Phng phỏp dy hc b mụn: Toỏn - Lnh vc khỏc: Cú ớnh kốm: Cỏc sn phm khụng th hin bn in SKKN Mụ hỡnh Phn mm Phim nh Hin vt khỏc Nm hc: 2015 - 2016 BM02-LLKHSKKN S LC Lí LCH KHOA HC I THễNG TIN CHUNG V C NHN H v tờn: Phm Doón Lờ Bỡnh Ngy thỏng nm sinh: 23/04/1986 Nam, n: Nam a ch: 1123, KP7, P Long Bỡnh, TP Biờn Hũa, ng Nai in thoi: 0613930245 (nh riờng) ; TD: 01683531100 Fax: E-mail: lebinh234@gmail.com Chc v: Giỏo viờn n v cụng tỏc: Trng THPT chuyờn Lng Th Vinh II TRèNH O TO - Hc v (hoc trỡnh chuyờn mụn, nghip v) cao nht: Thc s - Nm nhn bng: 2012 - Chuyờn ngnh o to: i s v lý thuyt s III KINH NGHIM KHOA HC - Lnh vc chuyờn mụn cú kinh nghim: S phm Toỏn S nm cú kinh nghim: - Cỏc sỏng kin kinh nghim ó cú nm gn õy: + Phng phỏp i lng bt bin, n bin cỏc bi toỏn t hp (2014) CC BI TON T HP TRONG CC THI HC SINH GII Phm Doón Lờ Bỡnh Giỏo viờn trng THPT chuyờn Lng Th Vinh Thỏng nm 2016 Mc lc Lý chn ti Ni 2.1 2.2 2.3 2.4 dung ti Bi toỏn chia ko Euler Bi toỏn s dng bt bin - n Bi toỏn cc tr t hp Bi rốn luyn thờm bin 2 10 12 Hiu qu ca ti 15 Ti liu tham kho 15 Trang 1 Lý chn ti Cỏc bi toỏn t hp thng xut hin cỏc k thi hc sinh gii quc gia v quc t Qua quỏ trỡnh bi dng i tuyn hc sinh gii tụi nhn thy hc sinh thng yu phn toỏn ny Cỏc em hc sinh thng lỳng tỳng vic lm bi cỏc bi toỏn khỏ a dng v thng khụng mu mc Do ú tụi tng hp mt s bi t hp cỏc thi chn i tuyn hc sinh gii quc gia ca cỏc tnh, thi hc sinh gii quc gia v quc t theo mt s phng phỏp quen thuc m hc sinh ó c hc l: quy tc m, phng phỏp n bin, bt bin v phng phỏp cc hn nhm to ngun ti liu cho hc sinh quen thuc hn vi mt s bi toỏn t hp cỏc k thi cú kt qu thi tt hn Ni dung ti 2.1 Bi toỏn chia ko Euler Cú n chic ko ging chia cho m em Hi cú tt c bao nhiờu cỏch chia ko? S nghim ca bi toỏn trờn cng l s nghim ca bi toỏn: Tỡm s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xm = n (m, n N) m1 ỏp s cho hai bi toỏn trờn u l Cm+n1 T bi toỏn ny, ta cú th phỏt trin cho cỏc trng hp khỏc nh sau: 1) S nghim nguyờn dng ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xm = n (m, n N v m n) m1 l Cn1 2) Cho cỏc s t nhiờn n, , , m S nghim nguyờn ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xm = n tha xi i , i = 1, m bng vi s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh (x1 ) + (x2 ) + ã ã ã + (xm m ) = n (1 + + ã ã ã + m ) m iu kin cú nghim l n i i=1 Trang 3) S nghim nguyờn khụng õm ca bt phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xm n (m, n N) bng vi s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xm + xm+1 = n (m, n N) m l Cm+n Vớ d (Chn i tuyn QG ca ng Nai 2014 - 2015, ngy th nht) Mt s t nhiờn c gi l s may mn nu tng cỏc ch s ca nú l Gi a1 , a2 , , an , l dóy tt c cỏc s may mn c sp xp theo th t tng dn Hi : a) S 2014 l s hng th my ca dóy? b) S hng a325 l s no? Gii: Xột dóy s may mn a1 , a2 , , an , ú a1 = v an l s ln nht cú k ch s Khi ú ta coi cỏc s cú ớt hn k ch s dóy l s cú k ch s vi cỏc ch s u tiờn bng Vớ d = 00 ; 16 = 00 16 k1 ch s k2 ch s Vy s cỏc s cú dóy chớnh l s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + xk = a) bit 2014 l s hng th my ca dóy thỡ ta xột dóy s may mn a1 , a2 , , an , ú a1 = v an = 1600 Khi ú n bng s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh x1 + x2 + ã ã ã + x4 = x1 Ta gii phng trỡnh trờn hai trng hp x1 = v x1 = thỡ c n = C92 + C82 = 64 T ú suy s 2005 l s hng th 65 v s 2014 l s hng th 66 ca dóy b) Ta nhn thy vi k = thỡ n = 330 Do ú s hng th 330 l s 70000 T ú m ngc ti ta cú a329 = 61000; a328 = 60100; a327 = 60010; a326 = 60001; a325 = 52000 Vớ d (Chn i d tuyn QG ca ng Nai 2015 - 2016) Mt xõu nh phõn cú di n l mt dóy cú dng a1 a2 an , ú {0; 1} vi i = 1, n Hi cú bao nhiờu xõu nh phõn cú di bng 40, ng thi xõu nh phõn ú cú ớt nht ch s v sau mi ch s cú ớt nht ch s Trang Gii: Nu xõu cú k s thỡ s cú ớt nht 7k s Do ú ta cú k + 7k 40, suy k Gi s xõu cú k s (3 k 5) t x0 l s cỏc s ng bờn trỏi s u tiờn, xi l s cỏc s ng gia s th i v th i + vi i = 1, 2, , k v xk l s cỏc s ng bờn phi s th k Khi ú ta cú x0 + x1 + ã ã ã + xk = 40 k () x1 , x2 , xk t yi = xi vi i = 1, k Khi ú s nghim nguyờn khụng õm ca (*) chớnh l s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh x0 + y1 + y2 + ã ã ã + yk = 40 8k(1) k S nghim nguyờn khụng õm ca (1) l C407k Vy s cỏc xõu nh phõn tha yờu cu bi toỏn l: k C407k = C19 + C12 + C55 = 1465 k=3 Vớ d (VMO-2012) Cho mt nhúm gm cụ gỏi, kớ hiu l G1 , G2 , G3 , G4 , G5 v 12 chng trai Cú 17 chic gh c sp thnh mt hng ngang Ngi ta xp nhúm ngi ó cho ngi vo cỏc chic gh ú cho cỏc iu kin sau c ng thi tha món: a) Mi gh cú ỳng mt ngi ngi; b) Th t ngi ca cỏc cụ gỏi, xột t trỏi qua phi l G1 , G2 , G3 , G4 , G5 ; c) Gia G1 v G2 cú ớt nht chng trai; d) Gia G4 v G5 cú ớt nht chng trai v nhiu nht chng trai; Hi cú tt c bao nhiờu cỏch xp nh vy? (Hai cỏch xp c coi l khỏc nu tn ti mt chic gh m ngi ngi chic gh ú hai cỏch xp l khỏc nhau) Gii: Gi s chng trai ngi bờn trỏi ca cụ gỏi G1 l B1 ; s chng trai ngi gia cụ gỏi Gi v Gi+1 l Bi+1 vi i = 2, v s chng trai ngi bờn phi ca cụ gỏi G5 l B6 Theo bi, ta cú h phng trỡnh sau: B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 = 12 B2 B5 Trang t B3 = B3 v B5 = B5 1, ta cú h phng trỡnh mi nh sau: B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 = B5 S cỏch xp ch ngi ca cỏc cụ gỏi bng vi s nghim nguyờn khụng õm ca h phng trỡnh trờn p dng bi toỏn chia ko Euler vi cỏc trng hp B5 nhn ln lt cỏc giỏ tr 0, 1, 2, ta s cú kt qu l 4 C12 + C11 + C10 + C94 = 1161 (cỏch) Tuy nhiờn, ng vi mi trng hp ngi ca cỏc cụ gỏi thỡ 12 chng trai cú th i v trớ cho nhau, ú s cỏch xp cho ngi cho tt c mi ngi tha yờu cu bi toỏn s l 12!.1161 cỏch Vớ d (Trng ụng Toỏn hc Nam, 12-2013) Cho n > l mt s nguyờn dng Xột hp cỏc ng i ngn nht trờn li nguyờn t im A(0; 0) n im B(n; n) Mt ng i nh th s tng ng vi mt dóy gm n lnh T (lờn trờn) v n lnh P (sang phi) Trong dóy ú, mt cp lnh (T, P) k c gi l mt bc chuyn (lu ý, cp (P, T) khụng c gi l bc chuyn) Vớ d dóy PTTPTPPT cú bc chuyn Hóy tỡm s cỏc ng i ngn nht t A n B cú ỳng a) bc chuyn; b) bc chuyn Gii: a) ng i ngn nht trờn li nguyờn t im A(0; 0) n im B(n; n) l n bc T v n bc P ng i ngn nht t A n B cú ỳng bc chuyn thỡ phi cú dng PP P TT T PP P TT T x1 x2 x3 x2 ú x1 , x2 , x3 , x4 l nghim nguyờn khụng õm ca h phng trỡnh x + x4 = n (1) x1 + x3 = n (2) x3 x2 p dng bi toỏn chia ko Euler, ta cú s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh (1), (2) ln lt l Cn1 , Cn1 Do ú, s cỏc ng i cú th lp c tha yờu cu bi toỏn l Cn1 Trang b) ng i ngn nht t A n B cú ỳng bc chuyn thỡ phi cú dng PP P TT T PP P TT T PP P TT T x1 x2 x3 x4 x5 x6 ú x1 , x2 , x3 l nghim nguyờn khụng õm ca h phng trỡnh x2 + x4 + x6 = n (3) x1 + x3 + x5 = n (4) xi vi i = 2, Rừ rng h phng trỡnh trờn ch cú nghim n p dng bi toỏn chia ko Euler, ta cú s nghim nguyờn khụng õm ca phng trỡnh (3), (4) ln lt l Cn2 , Cn2 Do ú, s cỏc ng i cú th lp c tha yờu cu bi toỏn l Cn2 Vớ d (VMO - 2014) Trong mt a giỏc u cú 103 cnh, 79 nh ca a giỏc c tụ mu , 24 nh cũn li ca nú c tụ mu xanh Gi A l s nh mu k nhau, B l s nh mu xanh k Tỡm a) tt c cỏc giỏ tr cú th ca cp (A, B); b) s cỏch tụ mu cỏc nh ca a giỏc cho B = 14 , bit rng hai cỏch tụ c coi l ging nu chỳng cú th nhn c t qua phộp quay quanh tõm ng trũn ngoi tip ca a giỏc Gii: a) Gi s cú tt c k on m mi on gm cỏc ton nh mu liờn tip Ký hiu x1 , x2 , , xk l s cỏc nh mu mi on ny Khi ú ta cú k xi = 79, xi i=1 Nh vy cng phi cú ỳng k on mu xanh nm gia nhng on mu ny Ký hiu y1 , y2 , , yk l s cỏc nh mu xanh mi on ny Khi ú ta cú k yi = 24, yi i=1 k Khi ú A = k (xi 1) = 79 k v B = i=1 (yi 1) = 24 k Vy giỏ tr i=1 ca A v B ch ph thuc vo k Ta thy k cú th nhn bt c giỏ tr no t n 24, ú A v B cú th nhn 24 cp giỏ tr tng ng Trang b) B = 14 thỡ theo cõu a) ta cn tụ mu cho cú ỳng 10 on gm ton cỏc nh nm xen k vi 10 on gm ton cỏc nh xanh Xột h phng trỡnh 10 10 xi = 79, i=1 yi = 24, i=1 ú xi , yi l cỏc s nguyờn dng Ta c nh mt nh ca a giỏc, vớ d gi nh ú l O Vi mi b nghim (x1 , x2 , , x10 ) v (y1 , y2 , , y10 ) ca h, ta tụ mu bt u t nh O, x1 nh liờn tip mu (bao gm c nh O) tip theo l y1 nh mu xanh, ri n x2 nh v y2 nh xanh, D thy S gm tt c cỏc cỏch tụ mu nh trờn vột ht cỏc cỏch tụ mu m B = 14 Ta cn xột xem s cỏc cỏch tụ mu thuc S cú bao nhiờu cỏch tng ng vi (tc l nhn c bng cỏch quay quanh tõm) Ta cú mt nhn xột quen thuc: s nh a giỏc 103 l s nguyờn t nờn quay a giỏc quanh tõm luụn cú ớt nht nh c quay n nh cú mu khỏc vi nú Nh vy mi cỏch tụ mu S tng ng vi cỏch tụ mu khỏc, tng ng vi vic hoỏn v vũng quanh c hai b nghim (x1 , x2 , , x10 ) v (y1 , y2 , , y10 ) S phn t ca S l 9 9 C23 C78 C23 Do ú tng s cỏch tụ mu tha bi l C78 10 2.2 Bi toỏn s dng bt bin - n bin Vớ d (IMO Shortlist 2014 - Iran) Cho 2m t giy Trờn mi t giy u ghi s Ta thc hin hot ng sau: rỳt t giy bt k, nu s c ghi trờn hai t giy l a, b thỡ ta xúa s ú i v thay vo l a + b c hai t giy ú Chng minh sau m2m1 bc thc hin nh vy thỡ tng cỏc s trờn cỏc t giy l mt s ln hn hoc bng 4m Gii: Cho Pk v Sk ln lt l tớch v tng ca cỏc s trờn cỏc t giy bc th k Gi s ti bc th k + 1, s a v b c thay th bng a + b Trong tớch ca cỏc s, s ab ó c thay bng (a + b)2 , cũn nhng tha s cũn li khụng thay i Do (a + b)2 4ab nờn ta cú Pk+1 4Pk Bt u vi P0 = 1, ta dựng quy np thỡ suy Pk 4k vi mi s nguyờn k T ú suy m1 Pm2m1 4m2 m = (2m )2 p dng bt ng thc AM - GM, ta cú: Sm2m1 2m 2m Pm2m1 2m 2m = 4m Vớ d (IMO Shortlist 2011) Cho n l mt s nguyờn dng Cho cỏi cõn thng bng v n qu cõn cú lng ln lt l 20 , 21 , , 2n1 u Trang tiờn ta ly qu cõn v t lờn a cõn bờn trỏi Sau ú, ta ln lt ly tng qu cõn v t lờn a cõn bờn trỏi hoc bờn phi cho a cõn bờn phi khụng bao gi nng hn a cõn bờn trỏi n cỏc qu cõn c sp ht lờn cõn thỡ dng li Tớnh s cỏch sp cú th Gii: Gi f (n) l s cỏch xp n qu cõn lờn a tha yờu cu bi toỏn, vi n u tiờn, chỳng ta cn ý: Nu ln sp th nht, ta ly qu cõn nng 20 thỡ ta ch cú cỏch sp nht l nú lờn a cõn bờn trỏi Nu qu cõn nng 20 c sp vo mt ln bt kỡ no khỏc ln th nht thỡ ta cú th b nú vo a cõn bờn trỏi hoc bờn phi u c vỡ lng ca cỏc qu cõn a trỏi luụn ln hn a phi ớt nht l Do ú, ng vi mt cỏch xp vi b cỏc qu cõn 21 , 22 , , 2n1 thỡ ta cú 2n cỏch xp qu cõn 20 vo mt lt bt kỡ no ú ng thi, ta cn ý rng, s cỏch xp ca b cỏc qu cõn 21 , 22 , , 2n1 bng vi s cỏch xp ca b cỏc qu cõn 20 , 21 , , 2n2 Vy f (n) = (2n 1)f (n 1) Do f (1) = v dựng truy hi, ta cú f (n) = (2n 1).(2n 3) 5.3.1 vi mi n Vớ d ( thi chn i tuyn tham d VMO 2014 THPT chuyờn Khoa Hc T Nhiờn, vũng 1) Ta xp mt hoỏn v ca (1, 2, 3, , 2014) lờn vũng trũn v kớ hiu cỏc s bi a1 , a2 , a3 , , a2014 theo chiu kim ng h Quy c a2015 = a1 v a0 = a2014 Gi N l s cỏc ch s i 2014 cho hoc ai1 > > ai+1 hoc ai1 < < ai+1 Tỡm tt c cỏc giỏ tr cú th cú ca N Gii: Gi cỏc ch s tha l T , cũn li l S Xột b s (ai2 , ai1 , , ai+1 , ai+2 ) v (aj2 , aj1 , , aj+1 , aj+2 ) vi i, j = 1, 2014 v quy c a2015 = a1 , a2016 = a2 , a1 = a2013 v a0 = a2014 Khi ú ta i thnh aj thỡ s cú cỏc tỡnh sau xy ra: Nu hai b s (ai1 , ), , ai+1 cựng i du so sỏnh (>, y thỡ thay thnh b (x y; y; u + v; v), nu cú x < y thỡ thay thnh b (x; y x; u; v + u) Thut toỏn ny dng li b (x; y; u; v) cú x = y Ngi ta bt u bng b (m; n; m; n) (m; n N ) Chng minh rng: sau thut toỏn kt thỳc, ta cú: trung bỡnh cng ca hai s sau khụng nh hn bi chung nh nht ca m; n Bi Cho a; b; c; d l b bn s nguyờn ụi mt khỏc Ta nh ngha phộp bin i T l bin i b (x; y; z; t) cú th t thnh b (x y; y z; z t; t x) Chng minh vi b ban u bt k thỡ sau mt s hu hn bc, ta cú th thu c b mi m cú ớt nht mt s bn s mi ny ln hn 2016 Bi Bt u mt b gm s nguyờn bt k, ngi ta thc hin quy tc T sau: T (a; b; c; d) (|a b|; |b c|; |c d|; |d a|) Chng minh rng: sau mt s hu hn bc, ta cú th thu c b (0; 0; 0; 0) Bi 10 Cho mt s s nguyờn dng trờn bng (nhiu hn mt s) Chn hai s nguyờn phõn bit chỳng v thay th bi USCLN v BSCNN ca hai s ú Chng minh rng: sau mt s hu hn bc, cỏc s ú khụng thay i Bi 11 Cho hai dóy s (xn ) v (yn ) cú x1 = a; y1 = b; xn+1 = xn + y n 2xn yn ; yn+1 = xn + yn ú < a < b Tỡm gii hn ca cỏc dóy s (xn ), (yn ) Trang 14 Bi 12 Mi s dóy 20 ; 21 ; 22 ; 23 ; ; 22013 ; 22014 u c thay bng tng cỏc ch s ca nú cho n cỏc s nhn c dóy cú ch s Chng minh rng dóy s thu c: s ch s chn nhiu hn s ch s l Hiu qu ca ti Hc sinh cú thờm kinh nghim vic x lý cỏc bi toỏn t hp bng phng phỏp s dng nguyờn lớ cc hn Ti liu tham kho Nguyn Th Ngc nh , Xung quanh bi toỏn chia ko ca Euler, bỏo Toỏn hc tui tr s 424 (thỏng 10 nm 2012) Cỏc thi hc sinh gii su tm trờn internet Ngi thc hin Phm Doón Lờ Bỡnh Trang 15 BM04-NXGSKKN S GD&T NG NAI n v THPT chuyờn Lng Th Vinh CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM c lp - T - Hnh phỳc , ngy thỏng nm PHIU NHN XẫT, NH GI SNG KIN KINH NGHIM Nm hc: 2015 - 2016 Tờn sỏng kin kinh nghim: CC BI TON T HP TRONG CC K THI HC SINH GII H v tờn tỏc gi: Phm Doón Lờ Bỡnh Chc v: Giỏo viờn n v: THPT chuyờn Lng Th Vinh Lnh vc: (ỏnh du X vo cỏc ụ tng ng, ghi rừ tờn b mụn hoc lnh vc khỏc) - Qun lý giỏo dc - Phng phỏp dy hc b mụn: - Phng phỏp giỏo dc - Lnh vc khỏc: Sỏng kin kinh nghim ó c trin khai ỏp dng: Ti n v Trong Ngnh Tớnh mi (ỏnh du X vo ụ di õy) - Cú gii phỏp hon ton mi - Cú gii phỏp ci tin, i mi t gii phỏp ó cú Hiu qu (ỏnh du X vo ụ di õy) - Hon ton mi v ó trin khai ỏp dng ton ngnh cú hiu qu cao - Cú tớnh ci tin hoc i mi t nhng gii phỏp ó cú v ó trin khai ỏp dng ton ngnh cú hiu qu cao - Hon ton mi v ó trin khai ỏp dng ti n v cú hiu qu cao - Cú tớnh ci tin hoc i mi t nhng gii phỏp ó cú v ó trin khai ỏp dng ti n v cú hiu qu Kh nng ỏp dng (ỏnh du X vo ụ mi dũng di õy) - Cung cp c cỏc lun c khoa hc cho vic hoch nh ng li, chớnh sỏch: Tt Khỏ t - a cỏc gii phỏp khuyn ngh cú kh nng ng dng thc tin, d thc hin v d i vo cuc sng: Tt Khỏ t - ó c ỏp dng thc t t hiu qu hoc cú kh nng ỏp dng t hiu qu phm vi rng: Tt Khỏ t Phiu ny c ỏnh du X y cỏc ụ tng ng, cú ký tờn xỏc nhn ca ngi cú thm quyn, úng du ca n v v úng kốm vo cui mi bn sỏng kin kinh nghim XC NHN CA T CHUYấN MễN (Ký tờn v ghi rừ h tờn) TH TRNG N V (Ký tờn, ghi rừ h tờn v úng du) ... Cỏc bi toỏn t hp thng xut hin cỏc k thi hc sinh gii quc gia v quc t Qua quỏ trỡnh bi dng i tuyn hc sinh gii tụi nhn thy hc sinh thng yu phn toỏn ny Cỏc em hc sinh thng lỳng tỳng vic lm bi cỏc bi... mu mc Do ú tụi tng hp mt s bi t hp cỏc thi chn i tuyn hc sinh gii quc gia ca cỏc tnh, thi hc sinh gii quc gia v quc t theo mt s phng phỏp quen thuc m hc sinh ó c hc l: quy tc m, phng phỏp n bin,... nghim ó cú nm gn õy: + Phng phỏp i lng bt bin, n bin cỏc bi toỏn t hp (2014) CC BI TON T HP TRONG CC THI HC SINH GII Phm Doón Lờ Bỡnh Giỏo viờn trng THPT chuyờn Lng Th Vinh Thỏng nm 2016 Mc lc Lý