Môn Đại số sơ cấp NGUYÊN LÝ DIRICHLET

Trường đại học Sư Phạm Hà Nội Khoa Toán - Tin Môn: Đại số sơ cấp NGUYÊN LÝ DIRICHLET Đinh Thị Quỳnh Hoa Nguyễn Thị Thùy Linh Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2019 Chủ đề 1: Hoa - Linh Mục lục Lời mở đầu Nguyên lí Dirichlet 2.1 Các dạng thể nguyên lí 2.1.1 Một số phát biểu thực tiễn 2.1.2 Các phát biểu dạng toán học 2.2 Bài toán nhận biết "chuồng" 2.3 Bài toán nhận biết "chuồng" "thỏ" Bài tập ứng dụng 3.1 Ứng dụng số học 3.2 Ứng dụng bất đẳng thức 3.3 Ứng dụng hình học 11 Bài tập đề cử 13 Trang Chủ đề 1: Hoa - Linh Lời mở đầu Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 – 5/5/1859) nhà toán học tiếng người Đức, người cho đưa định nghĩa đại hàm số Gia đình ơng xuất thân từ thị trấn Richelette Bỉ, mà họ ông "Lejeune Dirichlet", nghĩa tiếng Pháp "chàng trai trẻ từ Richelette" Ơng hồn thành chương trình phổ thơng Đức vào học đại học nơi ông giảng dạy Geogr Ohm Tuy nhiên điều kiện học tập trường đại học Đức không cao nên ơng định qua Paris học, ơng giảng dạy nhà tốn học tiếng thời Ông học trò lớn thiên tài Friedrich Gauss (1777-1855) Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz học trị ơng Sau ông qua đời, giảng Dirichlet kết khác ngành số học sưu tập, biên khảo xuất đồng nghiệp bạn ơng nhà tốn học Richard Dedekind di ta "Vorlesungen u ăber Zahlentheorie" (Cỏc bi giảng số học) Ơng đề cập tới ngun lí Dirichlet với tên gọi "nguyên lý ngăn kéo" (Schubfachprinzip) Vì vậy, tên gọi thông dụng khác nguyên lý chuồng bồ câu (Pigeon-hole) "nguyên lý ngăn kéo Dirichlet" hay gọi gọn "nguyên lý Dirichlet" (tên gọi gọn gây nhầm lẫn với nguyên lý Dirichlet hàm điều hòa) Trong số ngôn ngữ tiếng Pháp, tiếng Ý tiếng Đức, nguyên lý gọi tên "ngăn kéo" "chuồng bồ câu" Nguyên lý ngăn kéo Dirichlet ứng dụng trực tiếp cho tập hợp hữu hạn (hộp, ngăn kéo, chuồng bồ câu), áp dụng tập hợp vô hạn đặt vào song ánh Cụ thể trường hợp nguyên lý ngăn kéo có nội dung là: "khơng tồn đơn ánh tập hợp hữu hạn mà codomain nhỏ tập xác định nó" Một số định lý toán học bổ đề Siegel xây dựng nguyên lý Trang Chủ đề 1: Hoa - Linh Nguyên lí Dirichlet 2.1 2.1.1 Các dạng thể nguyên lí Một số phát biểu thực tiễn Phát biểu Số người nhiều số ghế ln có người khơng ngồi Phát biểu Bình nhỏ nước nhiều phải trào Phát biểu Trong 100 người có người sinh tháng Phát biểu Trong 1000 người có người có sinh nhật Phát biểu Lớp học có 45 học sinh mà điểm kiểm tra chí cho điểm chẵn ln có người có số điểm 2.1.2 Các phát biểu dạng toán học Phát biểu dạng bản: Nếu nhốt n + thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ Phát biểu dạng mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m ≥ chuồng tồn chuồng n−1 chứa + thỏ m 2.2 Bài toán nhận biết "chuồng" Ví dụ Chứng minh n + số ngun dương ln tồn hai số có hiệu chia hết cho n Lời giải Một số nguyên dương chia cho n có số dư n giá trị {0; 1; 2; ; n − 1} Do có n + số ngun dương mà có n số dư nên tồn hai số a b có số dư chia cho n, hiệu a − b chia hết cho n Ví dụ Một giá đựng sách có 25 ngăn, ngăn chứa tối đa 10 sách Chứng minh ta ln tìm ngăn có số sách Lời giải Số sách ngăn nhận 11 giá trị {0; 1; ; 10} 25 − Do có + = ngăn có số sách 11 Ta có điều phải chứng minh Trang Chủ đề 1: Hoa - Linh Ví dụ Người ta tung ngẫu nhiên lượng nhiều 200 viên sỏi vào khuông đất hình vng cạnh 10m Chứng minh tồn viên thẳng hàng lập thành tam giác có diện tích khơng vượt q nửa mét vuông Lời giải Ta chia khuông đất thành 100 vng diện tích mét vng đường song song với cạnh khuông đất Vì số viên sỏi nhiều 200 nên ln có viên A, B C thuộc ô vng Nếu A, B C khơng thẳng hàng chúng lập thành tam giác nằm hình vng cạnh 1m, diện tích khơng vượt q nửa mét vng Ta có điều phải chứng minh 2.3 Bài tốn nhận biết "chuồng" "thỏ" Ví dụ Cho 10 đội bóng tham gia giải đấu theo thể thức vòng tròn, tức hai đội phải đấu với trận Chứng minh thời điểm ln có hai đội thi đấu số trận Lời giải Nếu có hai đội chưa thi đấu trận tốn hiển nhiên đúng, ta xét hai trường hợp cịn lại TH1 Có đội chưa thi đấu trận Khi đội cịn lại đội thi đấu trận tối đa trận (vì có đội chưa thi đấu), có đội thi đấu số trận với TH2 Khơng có đội chưa thi đấu Khi đội thi đấu trận tối đa trận ( thi đấu với tất đội khác), có 10 đội nên có đội thi đấu số trận với Vậy toán chứng minh xong Ví dụ Chứng minh tồn số nguyên dương n bé 2018 để 3n − chia hết cho 2018 Lời giải Xét 2018 số 3, 32 , , 32018 Do (3; 2018) = nên không tồn i ∈ {1; 2; ; 2018} để 3i chia hết cho 2018 Suy 3i chia cho 2018 số dư 2017 giá trị {1; 2; ; 2017} với i = 1, 2018 Khi ln tồn ≤ i < j ≤ 2018 để 3i 3j có số dư chia cho 2018 hay Trang Chủ đề 1: Hoa - Linh 3i (3j−i − 1) = 3j − 3i chia hết cho 2018 Mà (3i ; 2018) = nên 3j−i − chia hết cho 2018 ≤ i < j ≤ 2018 nên < j − i < 2018 Vậy j − i số nguyên dương thỏa mãn tốn Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho 25 điểm mặt phẳng cho điểm có hai điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa 13 25 điểm cho Lời giải Nếu hai điểm có khoảng cách nhỏ ta chọn điểm A 25 điểm cho khoanh hình trịn tâm A bán kính Khi hình tròn chứa tất 25 điểm cho Nếu tồn hai điểm A, B có khoảng cách AB > Khi ta vẽ hai hình trịn tâm A B có bán kính 1, kí hiệu theo thứ tự (C1 ) (C2 ) Xét điểm C 23 điểm cịn lại Trong điểm A, B C tồn hai điểm có khoảng cách nhỏ mà AB > nên AC < BC < hay C nằm (C1 ) (C2 ) Vậy 25 điểm cho nằm hình trịn (C1 ) (C2 ) nên ln tồn hình trịn chứa 13 điểm Đây hình trịn thỏa mãn tốn Ta có điều phải chứng minh Trang Chủ đề 1: Hoa - Linh Bài tập ứng dụng 3.1 Ứng dụng số học Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n, ln tồn số tự nhiên có dạng 11 100 chia hết cho n Lời giải Xét n + số nguyên dương 1; 11; 111; ; 11 chia cho n nhận n số dư 0; 1; 2; n+1 c/s .; n − nên ln tồn hai số có số dư chia cho n, giả sử 11 11 11 11 với a c/s b c/s ≤ a < b ≤ n + Khi đó, số 11 11 00 00 = 11 11 − 11 11 chia hết cho n b−a c/s a c/s b c/s a c/s Ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho 101 số tự nhiên khơng vượt q 200 Chứng minh ta chọn từ 101 số cho hai số để số bội số Lời giải Gọi 101 số cho a1 , a2 , , a101 (ai ∈ N∗ ; ≤ 200 ∀i = 1, 101) Với i ∈ {1; 2; ; 101}, ta viết số dạng tiêu chuẩn 2ki bi ki số tự nhiên bi số nguyên dương lẻ Do ≤ 200 ∀i = 1, 101 nên 101 số lẻ b1 , b2 , , b101 vừa thu nhận giá trị nằm tập {1; 3; ; 199} Do có 101 số nhận 100 giá trị nên tồn số nhau, giả sử bx = by = b với x = y ∈ {1; 2; ; 101} Khi đó, ta có ax = 2kx b ay = 2ky b thỏa mãn số bội số Ta có điều phải chứng minh Chú ý: Ta tổng qt ví dụ thành toán: "Cho n + số nguyên dương khơng vượt q 2n với n số nguyên dương Chứng minh ta chọn từ n + số cho hai số để số bội số kia." Ví dụ Chứng minh n + số nguyên dương phân biệt khơng vượt q 2n ta ln tìm số nguyên tố với số nguyên dương n Lời giải Chia 2n số nguyên dương 1; 2; ; 2n thành n cặp (1; 2), (3; 4), , (2n − 1; 2n) Do có n + số xếp vào n cặp nên tồn hai số nằm cặp, hiển nhiên hai số nguyên tố Ta có điều phải chứng minh Trang Chủ đề 1: Hoa - Linh Ví dụ 10 Cho tập hợp M gồm 10 số ngun dương phân biệt khơng vượt 100 Chứng minh tồn hai tập không giao M để tổng phần tử chúng Lời giải Tập M có 10 phần tử nên số tập khác rỗng 210 − = 1023 Với tập khác rỗng X M , đặt tổng phần tử T (X) Ta có: ≤ T (X) ≤ 91 + 92 + + 100 < 1000 Khi T (X) nhận khơng q 1000 giá trị mà có 1023 tập khác rỗng M nên tồn hai tập A B M thỏa mãn T (A) = T (B) Đặt C = A ∩ B, hiển nhiên A \ C, B \ C hai tập khác rỗng rời M , T (A \ C) = T (A) − T (C) = T (B) − T (C) = T (B \ C) nên hai tập thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có điều phải chứng minh 3.2 Ứng dụng bất đẳng thức Ví dụ 11 Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) Lời giải Trước hết ta để ý đến đẳng thức xảy a = b = c = điều có nghĩa đẳng thức xảy a − 1; b − 1; c − 0; bất đẳng thức chứa đại lượng ab, abc nên ta nghĩ đến tích c(a − 1)(b − 1), nhiên ta chưa thể khẳng định tích có không âm hay không nên ta sử dụng nguyên lý Dirichlet Theo nguyên lý Dirichlet ta có Trong ba số thực a − 1, b − c − ln tồn hai số có tích khơng âm, khơng tính tổng qt giả sử (a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ ab + ≥ a + b Khi đó: a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2ab + 2c + 2abc = 2ab + 2c(ab + 1) ≥ 2ab + 2c(a + b) = 2(ab + bc + ca) Dấu xảy a = b = c = Bất đẳng thức chứng minh xong Trang Chủ đề 1: Hoa - Linh Nhận xét.Ta chứng minh bất đẳng thức với số thực thay đổi chút : a2 + b2 + c2 + a2 b2 c2 + ≥ 2(ab + bc + ca) Theo Nguyên lý Dirichlet c2 (a2 − 1)(b2 − 1) ≥ ⇒ a2 b2 c2 + c2 ≥ b2 c2 + c2 a2 Nên ta cần chứng minh a2 + b2 + + b2 c2 + c2 a2 ≥ 2(ab + bc + ca) ⇔ (a − b)2 + (bc − 1)2 + (ca − 1)2 ≥ Bất đẳng thức hiển nhiên Đẳng thức xảy a = b = c = ±1 Ví dụ 12 Cho số thực dương a,b,c Chứng minh a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ (a + 1)(b + 1)(c + 1) Lời giải Sau nhân hai vế cho bất đẳng thức tương đương với 2(a2 + b2 + c2 ) + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) + 2(a + b + c) Theo toán ta a2 + b2 + c2 + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) Phép chứng minh hoàn tất ta a2 + b2 + c2 + ≥ 2(a + b + c) ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ Bất đẳng thức cuối Đẳng thức xảy a = b = c = Bất đẳng thức chứng minh xong Ví dụ 13 Cho số thực dương a,b,c Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 + (abc − 1)2 Lời giải 2(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 4(a2 + b2 + c2 ) + 2abc + ≥ 9(ab + bc + ca) Theo Bất đẳng thức Cauchy 2a2 b2 + + 2b2 c2 + + 2c2 a2 + ≥ 4ab + 4bc + 4ca Và 3a2 + 3b2 + 3c2 ≥ 3ab + 3bc + 3ca Từ kết hợp với tốn ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 14 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca + abc = Chứng minh a + b + c ≥ ab + bc + ca Lời giải Trong ba số thực a − 1, b − c − tồn hai số có tích khơng âm, khơng tính tổng quát giả sử (a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ ab + ≥ a + b ⇔ c − ac − bc ≥ −abc Trang Chủ đề 1: Hoa - Linh Khi đó: a + b + c − (ab + bc + ca) ≥ a + b − ab − abc − ab Ta có ab + bc + ca + abc = nên c = , đó: a + b + ab a + b − ab − abc = a + b − ab − (a − b)2 ab(4 − ab) = ≥ a + b + ab a + b + ab Suy a + b + c − (ab + bc + ca) ≥ hay a + b + c ≥ ab + bc + ca Dấu xảy a = b = c = Bất đẳng thức chứng minh xong Ví dụ 15 Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh 16(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 5(a + b + c + 1)2 Lời giải Trong ba số thực 4a2 − 1, 4b2 − 4c2 − ln tồn hai số có tích khơng âm, khơng tính tổng quát giả sử (4a2 − 1)(4b2 − 1) ≥ ⇔ 16a2 b2 + ≥ 4(a2 + b2 ) ⇔ 16(a2 + 1)(b2 + 1) ≥ 5(4a2 + 4b2 + 3) Khi đó: 16(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 5(4a2 + 4b2 + 3)(c2 + 1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1 + + c2 + ≥ (a + b + c + 1)2 (4a2 + 4b2 + 3)(c2 + 1) = (4a2 + 4b2 + + 2) 4 Suy 16(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 5(a + b + c + 1)2 Dấu xảy a = b = c = Bất đẳng thức chứng minh xong Ví dụ 16 Cho số a, b, c dương Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9(ab + bc + ca) Lời giải Dễ dàng dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = Theo đánh giá quen thuộc ta có 9(ab + bc + ca) 3(a + b + c)2 Như ta cần chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki Như ta cần đánh giá từ (a + b + c)2 làm xuất a2 + 2, để ý ta thấy (a + b + c)2 (a2 + + 1)(1 + b2 + c2 ) = (a2 + 2)(1 + b2 + c2 ) Phép chứng minh hoàn tất ta 3(a2 + 2)(1 + b2 + c2 ) ≤ (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ⇔ 3(1 + b2 + c2 ) ≤ (b2 + 2)(c2 + 2) Biến đổi tương đương ta thu 3(1 + b2 + c2 ) ≤ (b2 + 2)(c2 + 2) ⇔ + 3b2 + 3c2 ≤ b2 c2 + 2b2 + 2c2 + ⇔ b2 c − b2 − c + ≥ Trang 10 Chủ đề 1: Hoa - Linh ⇔ (b2 − 1)(c2 − 1) ≥ Như ta cần (b2 − 1)(c2 − 1) 0, nhiên vai trò a, b, c nên theo nguyên lý Dirichlet ba số a2 − 1; b2 − 1; c2 − ln tồn hai số dấu ta hồn tồn giả sử hai số b2 − 1;b2 − 1.Bất đẳng thức chứng minh xong Ví dụ 17 Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a + b + c = CHứng minh (a2 − a + 1)(b2 − b + 1)(c2 − c + 1) ≥ Lời giải Theo nguyên lý Dirichlet hai số a − 1,b − 1, c − dấu, khơng tính tổng qt giả sử (b − 1)(c − 1) ≥ Khi ta (b2 − b + 1)(c2 − c + 1) = bc(b − 1)(c − 1) + b2 + c2 − b − c + b2 + c − b − c + 1 (b + c)2 − (b + c) + Do ta (a2 −a+1)(b2 −b+1)(c2 −c+1) ≥ (a2 −a+1)[ 12 (b+c)2 −(b+c)+1] = 21 (a2 −a+1)(a2 −4a+5) Nên ta cần chứng minh (a2 − a + 1)(a2 − 4a + 5) ≥ ⇔ (a − 1)2 (a2 − 3a + 3) ≥ Bất đẳng thức cuối Bất đẳng thức ban đầu chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = 3.3 Ứng dụng hình học Ví dụ 18 Tô màu 2n điểm liên tiếp đường thẳng hai màu xanh đỏ cho hai điểm cạnh tơ màu Chứng minh số điểm tô xanh tô đỏ Lời giải Đánh số điểm theo thứ tự từ trái qua phải ; 2; ; 2n chia thành n cặp (1; 2); (3; 4); ; (2n − 1; 2n) Do hai điểm cạnh phải khác màu nên cặp có điểm tơ xanh hay 2n điểm có n điểm tơ xanh Nếu có lớn n điểm tơ xanh có n cặp nên tồn cặp mà hai điểm tô màu xanh, điều trái với giả thiết Vậy có n điểm tơ xanh, kéo theo có n điểm tơ đỏ Bài tốn chứng minh xong Trang 11 Chủ đề 1: Hoa - Linh Ví dụ 19 Cho n điểm tô xanh n + điểm tơ đỏ xếp đường trịn Chứng minh tồn hai điểm màu đỏ xếp cạnh Lời giải Do có n điểm màu xanh nên chúng chia đường tròn thành n khoảng, khoảng tạo hai điểm màu xanh liên tiếp Chúng ta phải xếp n + điểm màu đỏ vào n khoảng trên, theo ngun lí Dirichlet tồn khoảng chứa hai điểm màu đỏ Hiển nhiên, khoảng có hai điểm màu đỏ xếp cạnh Bài tốn chứng minh xong Ví dụ 20 Cho điểm nằm hình trịn bán kính Chứng minh tồn hai √ điểm có khoảng cách khơng vượt q Lời giải Chia hình trịn thành phần hai đường kính vng góc với Do có điểm mà có phần nên tồn hai điểm nằm phần, khoảng cách √ hai điểm khơng vượt Bài toán chứng minh xong Câu hỏi: "Bài tốn cịn cịn điểm khơng?" Ví dụ 21 Cho điểm nằm mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Ta nối hai điểm đoạn thẳng tơ màu đoạn thẳng hai màu xanh đỏ Chứng minh tồn tam giác có cạnh tơ màu Lời giải Qua điểm có đoạn thẳng, chúng tô màu nên có đoạn thẳng tơ màu Giả sử đoạn thẳng AB, AC AD tô màu xanh Nếu đoạn thẳng BC, CD BD tơ màu đỏ tam giác BCD thỏa mãn tốn Cịn ba đoạn BC, CD BD tồn đoạn thẳng tơ màu xanh, giả sử BC tam giác ABC thỏa mãn tốn Vậy ta có tốn chứng minh xong Ví dụ 22 Trong hình vng diện tích 16, người ta đặt đa giác có tổng diện tích 20 Chứng minh có hai đa giác có diện tích phần chung lớn Lời giải Trong lời giải ta quy ước diện tích đa giác X |X| Gọi ba đa giác A, B C Khi |A| + |B| + |C| = 20 Trang 12 Chủ đề 1: Hoa - Linh Ta có: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − (|A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|) + |A ∩ B ∩ C| (∗) Do A, B C nằm hình vng diện tích 16 nên |A ∪ B ∪ C| ≤ 16 hiển nhiên |A ∩ B ∩ C| ≥ 0, từ kết hợp với (∗) ta suy 16 ≥ |A| + |B| + |C| − (|A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A|) hay |A ∩ B| + |B ∩ C| + |C ∩ A| ≥ |A| + |B| + |C| − 16 = Do ba số |A ∩ B|, |B ∩ C| |C ∩ A| có số khơng nhỏ số lớn 1, giả sử |A ∩ B| > Vậy A B đa giác thỏa mãn toán Ta có điều phải chứng minh Trang 13 hay Chủ đề 1: Hoa - Linh Bài tập đề cử Bài Trong hình vng có cạnh ta đặt 55 đường trịn có đường kính Chứng minh tồn đường thẳng giao với đường trịn Bài Cho bảng vng × Ta đánh dấu ngẫu nhiên 17 hình vng bảng Chứng minh ln tồn hình vng đánh dấu đơi khơng giao Bài Cho 17 nhà toán học trao đổi vấn đề, người trao đổi với người khác vấn đề Chứng minh có nhà tốn học trao đổi với vấn đề Bài Chứng minh từ số ngun dương ln tồn số có tổng chia hết cho Bài Chứng minh tồn hai mặt đa diện có số đỉnh Bài Chứng minh tồn số tự nhiên có dạng 20182018 2018 chia hết cho 2019 Bài Chứng minh n + số nguyên dương phân biệt nhỏ 2n ta ln chọn số cho số tổng hai số lại với số nguyên dương n lớn Bài Cho số thực không âm a, b, c Chứng minh (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 3(a + b + c)2 Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh a2 + b2 + c2 + a + b + c ≥ 2(ab + bc + ca) Bài 10 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + abc = Chứng minh ab + bc + ca − abc ≤ Bài 11 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 + + + ≥ 2(a + b + c) a2 b c Bài 12 Chứng minh từ 52 số ngun dương ln tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 100 Có thể tổng qt tốn lên khơng? Bài 13 Cho k n số nguyên dương A tập gồm (k − 1)n + số ngun dương phân biệt khơng vượt q kn Chứng minh có phần tử A biểu diễn thành tổng k phần tử A Bài 14 Viết số từ tới 2018 lên đường tròn theo thứ tự Chứng minh tồn hai số cạnh có tổng số chẵn Trang 14 Chủ đề 1: Hoa - Linh Bài 15 Cho bàn cờ vua × quân mã Hỏi qn mã xuất phát từ bàn cờ, qua bàn cờ lượt cuối quay trở ô xuất phát không? Bài 16 Viết số 3; 4; ; 13 lên đường trịn Có cách viết thỏa mãn hai số cạnh sai khác 3, đơn vị không? Bài 17 Cho điểm nằm hình trịn bán kính Chứng minh tồn hai điểm có khoảng cách khơng vượt q Bài 18 Trong hình chữ nhật kích thước × 4, người ta lấy ngẫu nhiên điểm Chứng √ minh tồn hai điểm có khoảng cách khơng vượt q Bài 19 Cho 17 điểm nằm mặt phẳng cho khơng có ba điểm thẳng hàng Ta nối hai điểm đoạn thẳng tơ màu đoạn thẳng ba màu xanh, vàng đỏ Chứng minh tồn tam giác có cạnh tơ màu Bài 20 Viết số tự nhiên từ đến lên đỉnh hình lập phương cho số xuất lần Chứng minh tồn hai cạnh hình lập phương cho tổng số viết hai đầu mút chúng Bài 21 Tìm số nguyên dương k nhỏ cho k số ngun dương phân biệt khơng vượt q 100 tồn số a, b, c d thỏa mãn a = b + c + d Bài 22 Chứng minh 55 số nguyên dương khơng vượt q 100 ln tồn hai số có hiệu Trang 15