Hsg8 đs8 chuyên đề nguyên lý dirichlet trong số học (27 trang)

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG SỐ HỌC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giới thiệu nguyên lý Dirichlet Dirichlet (Đi-rích-lê) (1805 – 1859) nhà tốn học người Đức, cho người đưa định nghĩa đại hàm số Trên sở quan sát thực tế, ông phát biểu thành nguyên lí mang tên ông – nguyên lí Dirichlet: Không thể nhốt thỏ vào lồng mà lồng có khơng q thỏ Nói cách khác, nhốt thỏ vào lồng tồn lồng có từ trở lên Một cách tổng quát hơn, có k lồng để nhốt m thỏ (với k  kn  r (0  r  k  1) ) tồn lồng có chứa từ n + thỏ trở lên Ta dễ dàng minh nguyên lí Dirichet phương pháp phản chứng sau: Giả sử khơng có lồng n + thỏ trở lên, tức lồng chứa nhiều n thỏ, số thỏ chứa k lồng nhiều kn Điều mâu thuẫn với giả thiết có m thỏ với m  kn  r (0  r  k  1) Nguyên lí Dirichlet thật đơn giản, dễ hiểu vận dụng vào giải nhiều toán số học, đại số, hình học việc tồn hay nhiều đối tượng thỏa mãn điều kiện đặt Khi sử dụng nguyên lí Dirichlet vào toán cụ thể, điều quan trọng phải nhận (hay tạo ra) Lồng Thỏ Lồng Thỏ Một số dạng áp dụng nguyên lý Dirichlet  Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n  thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ  Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn hộp N chứa   đồ vật (Ở  x  số nguyên nhỏ có giá trị nhỏ x) k | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET  Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m  chuồng tồn chuồng  n  m  1 có   thỏ m    Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp: Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Phương pháp ứng dụng Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ có hiệu dùng để chứng nhiều kết sâu sắc toán học Nguyên lí Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện: + Số „thỏ” phải nhiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, không bắt buộc chuồng phải có thỏ Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngoài cịn áp dụng với ngun lý khác Một số toán thường gặp sau: 1) Trong n + số tự nhiên ln tìm hai số chia cho n có số dư (hoặc hiệu chúng chia hết cho n ) 2) Nếu đoạn thẳng độ dài đặt số đoạn thẳng có tổng độ dài lớn có hai số đoạn thẳng có điểm chung 3) Nếu đường trịn có bán kính đặt số cung có tổng độ dài lớn 2 có hai số cung có điểm chung 4) Trong hình có diện tích S đặt số hình có tổng diện tích lớn S có hai số hình có điểm chung B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh tồn chia hết * Cơ sở phương pháp: Thông thường ta coi m số tự nhiên cho m “con thỏ”, số dư phép chia số tự nhiên cho n “lồng”; có n lồng: lồng i (0  i  b) gồm số tự nhiên cho chia cho n dư i * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng rằng: a) Trong 2012 số tự nhiên ln tìm hai số chia cho 2011 có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho 2011) b) Trong 2012 sơ tự nhiên ln tìm số chia hết cho 2012 ln tìm hai số chia cho 2012 có số dư Hướng dẫn giải a) Ta coi 2012 số tự nhiên cho 2012 “con thỏ”; “lồng i” gồm số chia cho 2011 dư i (0  i  2011) nên có 2011 lồng: lồng 0, lồng 1, …, lồng 2010 Như có 2011 lồng chứa 2012 thỏ nên theo nguyên lí Dirchlet tồn lồng chứa khơng hai thỏ, tức có hai số chia cho 2011 có số dư b) Nếu 2012 số cho có số chia hết cho 2012 ta chọn ln số Nếu khơng có số chia hết cho 2012 chia cho 2012 nhận nhiều 2012 số dư khác 1, 2, …, 2011 Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số chia cho 2012 có số dư Nhận xét Ta tổng qt tốn sau: 1) Trong n + số tự nhiên ln tìm hai số chia cho n có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho n) 2) Trong n số tự nhiên ln tìm số chia hết cho n ln tìm hai số chia cho n có số dư Bài tốn Chứng minh ln tìm số có dạng 20122012…2012 (gồm số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2013 Hướng dẫn giải Xét 2014 số sau: 2012, 20122012, , 2012 2012 (gồm 2014 số 2102) Đem 2014 số chia cho 2013, có 2014 số mà có 2013 số dư phép chia cho 2013 (là 0, 1, 2, , 2012) nên tồn hai số chia cho 2013 có số dư, chẳng hạn a = 2012 2012 (gồm i 2012) b = 2012 2012 (gồm j 2012) với  i  j  2014 Khi b  a  2012 2012.104i (gồm j – i 2012) chia hết cho 2013 Lại có ƯCLN (104i , 2013)  nên số 2012 2012 (gồm j – i 2012 chia hết cho 2013 Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số có dạng 2012 2012, “lồng” số dư phép chia cho 2013) Nhận xét Mấu chốt toán chọn 2014 (= 2013 + 1) số tự nhiên có dạng cho Từ ta phát biểu nhiều tốn tương tự, chẳng hạn như: Chứng minh ln tìm số có dạng 111 chia hết cho 29 .3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bài toán Cho sáu số tự nhiên a, b, c, d , e, g Chứng minh sáu số ấy, tồn số chia hết cho tồn vài số có tổng chia hết cho Hướng dẫn giải Trường hợp có số ta chọn số thỏa mãn yêu cầu đề Trường hợp sáu số lớn Xét số sau S1  a S2  a  b S3  a  b  c S4  a  b  c  d S5  a  b  c  d  e S6  a  b  c  d  e  g Đem số chia cho ta nhận số dư thuộc tập {0,1, 2,3, 4,5} Nếu tồn Si (i  1, 2, , 6) chia hết cho tốn chứng minh Nếu khơng có Si chia hết cho ta có số chia hết cho nhận loại số dư khác (1, 2,3, 4,5) ; theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số chia cho có số dư, chẳng hạn S2 S5 hiệu hai số chia hết cho 6, tức c  d  e chia hết cho Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số Si, “lồng” số dư phép chia cho 6) Nhận xét Ta phát biểu tốn tổng qt sau: Cho n số tự nhiên a1 , a2 , , an Chứng minh tồn số chia hết cho n tồn vài số có tổng chia hết cho n Bài toán Chứng minh rằng: a) Trong n số tự nhiên liên tiếp ln tìm số chia hết cho n b) Trong 39 số tự nhiên liên tiếp ln tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải a) Giả sử khơng tìm số n số tự nhiên liên tiếp cho mà chia hết cho n Khi n số chia cho n nhận nhiều n – số dư khác (1, 2,3, , n  1) , theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số chia hết cho n có số dư, chẳng hạn a b với a  b , a – b chia hết cho n, điều mâu thuẫn với  a  b  n Từ suy điều phải chứng minh b) Lấy 20 số tự nhiên liên tiếp đầu dãy, ta ln tìm số có chữ số hàng đơn vị có chữ số hàng chục khác 9.Giả sử N tổng chữ số N s Khi 11 số N , N  1, N  2, N  3, N  9, N  19 nằm 39 số cho Vì N tận nên tổng chữ số N , N  1, N  2, , N  s, s  1, s  2, , s  Vì N tận có chữ số hàng chục khác nên tổng chữ số N + 10 s + 1, tổng chữ số N + 19 s + 10 Trong 11 số tự nhiên liên tiếp s, s  1, s  2, s  3, , s  9, s  10 ln tìm số chia hết cho 11 Chẳng hạn số s  i(0  i  10) : Nếu  i  ta chọn số N  i thỏa mãn yêu cầu toán; i = 10 ta chọn số N + 19 thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét Mấu chốt để giải toán câu b) phải tìm 11 số 39 số cho có tổng chữ số thứ tự 11 số tự nhiên liên tiếp, đồng thời sử dụng kết câu a) Bài toán Cho số tự nhiên từ đến 2012 Hỏi chọn nhiều số cho tổng hai số chúng khơng chia hết cho hiệu nó? Hướng dẫn giải Nhận thấy, hai số chia cho dư hiệu chúng chia hết cho 3, tổng chúng chia cho dư 1; nên tổng chúng không chia hết cho hiệu chúng Trong số tự nhiên từ đến 2012, có 671 số chia cho dư số có dạng 3k  (k  0,1, 2, ,670) Khi hai số 671 số có tổng chia dư 1, hiệu chia hết cho 3, nên tổng không chia hết cho hiệu chúng Ta chứng minh chọn nhiều 672( 671  1) số số từ đến 2012, 672 số ln tìm a, b(a  b) cho a  b  (Thật vậy, giả sử ngược lại hiệu số nhỏ số lớn số chọn không nhỏ 3.671  2013 Điều mâu thuẫn giả thiết với hiệu số lớn số nhỏ không vượt 2012 1  2011 ), nghĩa a – b - Nếu a – b = hiển nhiên a + b chia hết cho a – b (= 1) - Nếu a – b = a + b số chẵn nên a + b chia hết cho a – b (= 2) Như từ 2012 số cho chọn 671 số thỏa mãn điều kiện toán Suy số lượng lớn số phải tìm 671  Dạng 2: Bài tốn tính chất phần tử tập hợp * Cở sở phương pháp: Thông thường ta phải lập tập hợp có tính chất cần thiết sử dụng ngun lí Dirichlet để chứng tỏ có hai phần tử thuộc hai tập hợp * Ví dụ minh họa: Bài toán Cho sáu số nguyên dương đôi khác nhỏ 10 Chứng minh ln tìm số có số tổng hai số cịn lại .5 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Hướng dẫn giải Gọi sáu số nguyên dương cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 với  a1  a2   a6  10 Đặt A  {a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } gồm phần tử có dạng am với m{2,3, 4,5, 6} Đặt B  {a2  a1 , a3  a1 , a4  a1 , a5  a1 , a6  a1} gồm phần tử có dạng an  a1 với n {2,3, 4,5,6} Ta thấy phần tử hai tập hợp A B thuộc tập hợp gồm phần tử {1, 2,3, ,9} tổng số phần tử hai tập hợp A B   10 Theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số mà chúng thuộc tập hợp, nên có số thuộc tập hợp A số thuộc tập hợp B, tức am  an  a1 , an  am  a1 Ba số am , an , a1 đôi khác Thật vậy, am  an am  an a1  trái với giả thiết toán Vậy tồn ba số am , an , a1 số cho mà an  am  a1 (đpcm) (Ở đây, có 10 “thỏ” 10 số a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a2  a1 , a3  a1 , a4  a1 , a5  a1 , a6  a1 có “lồng” số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Nhận xét Để giải toán này, ta cần tạo hai tập hợp gồm phần tử nhỏ hợn 10 tổng số phần tử hai tập hợp phải khơng nhỏ 10 Từ suy tồn hai phần tử hai tập hợp Bài toán Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E  {3;6;9} Hướng dẫn giải Giả sử 700 số nguyên dương cho a1 , a2 , , a700 Ta xét tập hợp sau: A  {a1 , a2 , a700 }; B  {a1  6, a2  6, a700  6}; C  {a1  9, a2  9, a700  9}; Tổng số phần tử ba tập hợp A, B, C 700.3 = 2100, phần tử khơng vượt q 2006 + = 2015, mà 2100 > 2015 nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai phần tử Vì tập hợp A, B, C có phần tử đôi khác nên hai phần tử phải thuộc hai tập hợp: A B, A C, B C - Nếu hai phần tử thuộc A B, chẳng hạn  a j  suy  a j  - Nếu hai phần tử thuộc A C, chẳng hạn  a j  suy  a j  - Nếu hai phần tử thuộc B C, chẳng hạn   a j  suy  a j  Như ln tồn lại hai số thuộc tập hợp A có hiệu 3, 6, Ta điều phải chứng minh (Ở 2100 “thỏ” 2010 phần tử ba tập hợp A, B, C; 2015 “lồng” số từ đến 2015) Nhận xét Ta cịn có kết mạnh sau: Cho X tập hợp gồm 505 số nguyên dương khác nhau, số khơng lớn 2006 Trong tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E  {3;6;9} Chứng minh Gọi A tập hợp số thuộc X mà chia hết cho 3, gọi B tập hợp số thuộc X mà chia cho dư 1, gọi C tập hợp số thuộc X mà chia cho3 dư Có 505 số xếp vào ba tập hợp, mà 505 = 3.168 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tập hợp có chứa từ 169 số trở lên Trong tập hợp này, hai số có hiệu bội Tồn hai số x, y có hiệu nhỏ 12 Thật vậy, số tập hợp có hiệu khơng nhỏ 12 số lớn tập hợp không nhỏ 12.168 = 2016 > 2006, trái với đề Vậy tập hợp X tồn hai phần tử x, y mà x  y  E Bài toán Cho hai tập hợp số nguyên dương phân biệt mà số nhỏ n Chứng minh tổng số phần tử hai tập hợp khơng nhỏ n chọn tập hợp phần tử cho tổng chúng n Hướng dẫn giải Giả sử hai tập hợp số nguyên dương cho A  {a1 , a2 , , am } B  {b1 , b2 , , bk } với a  n (i  1, 2, , m) , b j  n ( j  1, 2, , k ) m  l  n Xét tập hợp C  {n  b1 , n  b2 , , n  bk } Nhận thấy, có tất n – số nguyên dương phân biệt nhỏ n, phần tử A C nhỏ n tổng số phần tử A C không nhỏ n Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai phần tử nhau, chúng không thuộc A C, phần tử thuộc A phần tử thuộc C, tức tồn hai số ap n  bq mà a p  n  bq  a p  bq  n (điều phải chứng minh) (Ở coi m + k “thỏ” số nguyên dương thuộc tập hợp A C, n – “lồng” số nguyên dương từ đến n – 1)  Dạng 3: Bài tốn liên quan đến bảng vng * Cở sở phương pháp: Một bảng vng kích thước n x n gồm n dòng, n cột đường chéo Mỗi dịng, cột, đường chéo có n vng .7 | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Một bảng vng kích thước m x n gồm m dịng n cột * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho mảng vng kích thước x Người ta viết vào ô bảng số -1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Hướng dẫn giải Bảng ô vuông kích thước x có dịng, cột, đường chéo nên có 12 tổng số tính theo dịng, theo cột theo đường chéo Mỗi dịng, cột đường chéo có ghi số thuộc tập {–1; 0; 1} Vì giá trị tổng thuộc tập hợp {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} có 11 phần tử Có 12 tổng nhận tập 11 giá trị khác nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai tổng nhận giá trị Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” tổng nên có 12 “thỏ”, “lồng” giá trị tổng nên có 11 “lồng”) Nhận xét Với cách giải tương tự, ta có tốn tổng qt sau: Cho bảng ô vuông kích thước n x n Người ta viết vào ô bảng số –1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Bài tốn Trên bảng vng kích thước x 8, ta viết số tự nhiên từ đến 64, số viết vào ô cách tùy ý Chứng minh tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng không nhỏ Hướng dẫn giải Ta xét hàng có ô ghi số cột có ô ghi số 64 Hiệu hai ô 63 Số cặp ô kề từ ô ghi số đến ô ghi số 64 nhiều 14 (gồm cặp ô chung cạnh tính theo hàng cặp ô chung cạnh tính theo cột) Ta có 64 = 14.4 + nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai ô kề mà hai số ghi có hiệu khơng nhỏ + = Bài toán chứng minh (Ở đây, “thỏ” hiệu hai số 64 số (từ đến 64) nên có 63 thỏ; “lồng” số cặp vuông kề từ ô ghi số đến ô ghi số 64 nên có nhiều 14 lồng) Nhận xét  Mấu chốt toán quan tâm đến hai ô vuông ghi số nhỏ (số 1) số lớn (số 64) có lớn 63; đồng thời xét từ ô ghi số đến ô ghi số 64 cần tối đa (8 – 1) + (8 – 1) = 14 Ở ta vận dụng ngun lí Dirichlet tổng quát: Có m thỏ, nhốt vào k lồng mà m = kn + r (1  r  k  1) tồn lồng chứa khơng n + thỏ  Nếu thay bảng chữ nhật gồm x 10 vng, ghi số từ đến 80 khơng lặp cách tùy ý kết cầu tốn cịn hay khơng? Hãy chứng minh  Dạng 4: Bài toán liên quan đến thực tế Cở sở phương pháp: Khi chứng minh tồn số đối tượng thỏa mãn điều kiện đó, ta thường sử dụng ngun lí Dirichlet Điều quan trọng phải xác định “thỏ” “lồng” * Ví dụ minh họa: Bài tốn Một tổ học tập có 10 học sinh Khi viết tả, tổ mắc lỗi, bạn Bình mắc nhiều lỗi (mắc lỗi) Chứng minh tổ có bạn mắc số lỗi Hướng dẫn giải Ta coi “thỏ” học sinh (trừ bạn Bình) nên có thỏ; “lồng” số lỗi tả học sinh mắc phải nên có lồng: lồng i gồm học sinh mắc i lỗi (i = 1, 2, 3, 4) Có thỏ nhốt vào lồng, mà = 4.2 + 1, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng + = thỏ, tức có bạn mắc số lỗi Bài toán Ở vịng chung kết cờ vua có đấu thủ tham gia Mỗi đấu thủ phải gặp đủ đấu thủ lại, người trận Chứng minh rằng, thời điểm đấu, có hai đấu thủ đấu số trận Hướng dẫn giải Ta coi “thỏ” đấu thủ nên có thỏ; “lồng” số trận đấu đấu thủ nên có lồng: “lồng i” gồm đấu thủ thi đấu i trận (với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Ta thấy lồng lồng không đồng thời tồn tại, có đấu thủ chưa đấu trận khơng có đấu thủ đấu đủ trận, có đấu thủ đấu đủ trận khơng có chưa đấu trận Như vậy, có lồng chứa thỏ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng thỏ, tức thời điểm cược đấu ln tìm đấu thủ đấu dùng số trận Bài tốn Có nhà khoa học viết thư trao đổi với hai đề tài: bảo vệ mơi trường chương trình dân số Chứng minh có ba nhà khoa học trao đổi đề tài Hướng dẫn giải | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Gọi nhà khoa học A, B, C, D, E, F Nhà khoa học A viết thư trao đổi với nhà khoa học cịn lại đề tài, có  2.2  nên theo nguyên lí Dirichlet tồn nhà khoa học (chẳng hạn B, C, D) nhà khoa học A trao đổi đề tài (chẳng hạn đề tài môi trường) Trong ba nhà khoa học B, C, D có hai người trao đổi đề môi trường (chẳng hạn B, C) ta chọn A, B, C trao đổi đề tài Nếu ba nhà khoa học B, C, D khơng có hai người trao đổi đề tài môi trường họ trao đổi với đề tài dân số, ta chọn B, C, D trao đổi đề tài (Ở coi nhà khoa học (trừ A) “thỏ” nên có thỏ, coi đề tài “lồng” nên có lồng vận dụng nguyên lí Dirichlet tổng quát)  Dạng 5: Bài toán liên quan đến xếp * Cơ sở phương pháp: Các toán xếp chỗ, phân cơng việc khơng địi hỏi nhiều kiến thức kĩ tính tốn, chúng chủ yếu kết hợp suy luận lơgic để xét khả xảy với nguyên lí Dirichlet * Ví dụ minh họa: Bài tốn Có 20 người định bơi thuyền 10 thuyền đôi Biết hai người A B mà khơng quen tổng số người quen A người quen B khơng nhỏ 19 Chứng minh phân công vào thuyền đôi cho thuyền hai người quen Hướng dẫn giải Nếu 20 người khơng có hai người quen tổng số người quen hai người Điều mâu thuẫn với giả thiết tổng số người quen hai người không nhỏ 19 Vậy tồn số cặp quen Ta xếp cặp quen vào thuyền đôi Gọi k số lượng thuyền lớn mà ta xếp cặp quen vào thuyền kí hiệu thuyền thứ i xếp hai người Ai Bi quen (1  i  k ) Giả sử k  , kí hiệu tập hợp M gồm người chưa xếp vào thuyền nào, tức gồm người đôi không quen Chọn hai người A B tập hợp M Theo tổng số người quen A số người quen B không nhỏ 19 người quen A quen B xếp vào thuyền Như có 19 người quen hệ quen A B xếp vào nhiều thuyền đôi (trừ thuyền A, B chưa xếp), mà 19 = 9.2 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn thuyền chở người quen A B Nhưng ta xếp lại 10 Bài tốn Cho hình vng ABCD chín đường thẳng phân biệt thỏa mãn đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có diện tích tỷ lệ với Chứng minh tồn ba đường thẳng đồng qui điểm Hướng dẫn giải M B C B H Q P C I A D N K J D A Nhận xét: đường thẳng cho khơng thể qua trung điểm cạnh hình vng ABCD ngược lại hình vng bị phân thành hai phần tam giác ngũ giác Giả sử đường thẳng số cắt cạnh BC M cắt cạnh AD N Các hình thang ABMN CDNM có chiều cao nên từ giả thiết suy MN chia đoạn thẳng nối trung điểm P ,Q AB CD theo tỷ lệ Dễ thấy có điểm chia đường trung bình hing vng ABCD theo tỷ lệ I , J , K , H Có đường thẳng đia qua điểm này; theo nguyên tắc Dirichlet, phải có đường thẳng qua điểm Bài toán Cho đa giác gồm 1999 cạnh Người ta sơn đỉnh đa giác màu xanh đỏ Chứng minh phải tồn đỉnh sơn màu tạo thành tam giác cân Hướng dẫn giải Ta có đa giác 1999 cạnh nên có 1999 đỉnh Do phải tồn đỉnh kề P Q sơn màu ( chẳng hạn màu đỏ) Vì đa giác cho đa giác có số lẻ đỉnh, phải tồn đỉnh nằm đường trung trực đoạn thẳng PQ Giả sử đỉnh A 13 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Nếu A tơ màu đỏ ta có APQ tam giác cân có đỉnh A, P, Q tô màu đỏ Nếu A tô màu xanh Lúc gọi B C đỉnh khác đa giác kề với P Q Nếu đỉnh B C tơ màu xanh ABC cân có đỉnh tơ màu xanh Nếu ngược lại ttrong hai đỉnh B C mà tơ màu đỏ tam giác BPQ tam giác CPQ tam giác cân có đỉnh tô màu đỏ C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Một đồi thơng có 800 000 thơng Trên thơng có khơng q 500 000 Chứng minh có thơng có số Bài Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống Bài Cho dãy số gồm số tự nhiên a1 , a2 , a3 , a4 , a5 Chứng minh tồn số chia hết cho tổng số số liên tiếp dãy cho chia hết cho Bài Cho p số nguyên tố lớn chứng minh tồn số có dạng 111 11 mà chia hết cho p Bài Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi ta tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 hay khơng? Bài Chứng minh 52 số tự nhiên tùy ý, chí có cặp gồm hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Bài Chứng minh tồn lũy thừa 29 mà chữ số tận 00001 Bài (Bài tốn áp dụng lần ngun tắc Dirichlet) Có 17 nhà tốn học viết thư cho trao đổi vấn đề khoa học, người viết thư cho người vấn đề Chứng minh có nhà toán học trao đổi với vấn đề Bài Một lớp học có 30 học sinh Khi viết tả, em A phạm 14 lỗi, em khác phạm lỗi Chứng minh có học sinh khơng mắc lỗi mắc số lỗi Bài 10 Cho người tùy ý Chứng minh số có hai người có số người quen ( ý A quen B B quen A) 14 Bài 11 Trong giải bóng đá có 10 đội tham gia, hai đội số phải đấu với trận Chứng minh thời điểm lịch thi đấu có hai đội đấu số trận Bài 12 Chứng minh số n nguyên dương ta tìm số tự nhiên mà chữ số bao gồm có chữ số chữ số chia hết cho n Bài 13 Chứng minh tồn số viết toàn chữ số chia hết cho 2011 Bài 14 Chứng minh ( n, 2010 ) = ln tồn số k nguyên dương cho nk – chia hết cho 2010 Bài 15 Chứng minh 1007 số tự nhiên tồn hai số cho tổng hiệu chúng chia hết cho 2011 Bài 16 Cho n + số nguyên dương khác nhỏ 2n ( n > ) Chứng minh chọn số mà số tổng hai số Bài 17 Cho tam giác ABC có cạnh Đánh dấu điểm phân biệt ABC Chứng minh tồn điểm số mà khoảng cách chúng nhỏ 0,5 Bài 18 Bên hình vng có cạnh 1, lấy 51 điểm phân biệt Chứng minh phải tồn điểm số 51 điểm nằm hình trịn có bán kính Bài 19 Bên hình trịn  O, R  có diện tích 8, người ta lấy 17 điểm phân biệt Chứng minh tìm điểm tạo thành tam giác có diện tích bé Bài 20.Bên sân hình chữ nhật có chiều dài 4m chiều rộng 3m có chim ăn Chứng minh phải có hai chim mà khoảng cách đậu chúng nhỏ 5m Bài 21 Các điểm mặt phẳng tô ba màu: xanh, đỏ, vàng Chứng minh tồn điểm tơ màu khoảng chúng Bài 22 Trên mặt phẳng cho 100 điểm Nối điểm với 66 điểm số 99 điểm lại đoạn thẳng Chứng minh xãy trường hợp có điểm số điểm 100 điểm cho không nối với Bài 23 Cho điểm phân biệt nằm bên hình vng ABCD có cạnh 35  Chứng minh tìm điểm hình vng cho cho, khoảng cách từ đến ểm cho lớn 10 .15 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bài 24 Mỗi điểm cửa mặt phẳng tô hai màu xanh đỏ Chứng minh tìm ba điểm tô màu tạo thành tam giác có cạnh Bài 25 Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu đen đỏ Chứng tỏ tồn tam giác mà đỉnh tơ màu Bài 26 Trên mặt phẳng cho 2000 đường thẳng phân biệt, đôi cắt Chứng minh tồn đường thẳng mà góc tạo chúng khơng lớn 180 2000 Bài 27 Bên đường trịn có bán kính 2000 có 8000 đoạn thẳng có độ dài Chứng minh dựng đường thẳng d song song vng góc với đường thẳng l cho trước, d cắt hai đoạn thẳng cho Bài 28 Cho bảng vng kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông đơn vị Điền vào ô vuông bảng số nguyên dương không vượt 10 cho hai số hai ô vuông chung cạnh chung đỉnh nguyên tố Chứng minh bảng vng cho có số xuất 17 lần Bài 29.Trong hình chữ nhật kích thước 1.2 ta lấy 6n  điểm với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng số điểm cho n Bài 30 Cho điểm mặt phẳng tô hai màu xanh, đỏ Chứng minh tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu HƯỚNG DẪN Bài Ta tưởng tượng thông "thỏ", có 800.000 "thỏ" nhốt vào khơng q 500.000 "chiếc lồng" Lồng ứng với thơng có cây, lồng ứng với thơng có v.v Số thỏ lớn số lồng, theo ngun tắc Đirichlet có lồng nhốt khơng thỏ nghĩa có thơng có số Bài Một năm có 12 tháng Ta phân chia 40 học sinh vào 12 tháng Nếu tháng có khơng q học sinh sinh số học sinh không quá: 3.12 = 36 mà 36 < 40 (vơ lý) Vậy tồn tháng có học sinh trùng tháng sinh ( 40 thỏ 40 học sinh, 12 lồng 12 tên tháng) Bài Ta thành lập dãy số gồm số sau đây: 16 S1  a1 S2  a1  a2 S3  a1  a2  a3 S4  a1  a2  a3  a4 S5  a1  a2  a3  a4  a5 - Nếu cách Si  i  1, ,5 chia hết cho tốn chứng minh - Nếu khơng có số chia hết cho đem chia số Si cho số dư có giá trị từ đến Có số dư mà có giá trị (5 thỏ, lồng) Theo ngun tắc Đirichlet phải có số dư có giá trị Hiệu chúng chia hết cho Hiệu tổng liên tiếp Bài Xét dãy số 1,11,111, , 111 11 p chữ số1 Ta chứng minh dãy phải có số chia hết cho p Giả sử kết luận không đúng, tức khơng có số dãylại chia hết cho p Cho tương ứng số dư phép chia cho p Tập hợp số dư thuộc tập hợp {1, 2, 3, , p – 1} (Do thuộc tập hợp này) Ta lại có p số dãy số Vì theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho p Giả sử số 111 11 (m chữ số 1) số 111 11 (n chữ số 1) với 1  n  m  p  Từ ta có (111 11  111 11) p, hay 111 000 p Hay 111 10n p m chữ số1 n chữ số1 m  n chữ số1 n chữ so (1) m  n chữ số1 Do p sơ ngun tố lớn nên (p; 10) = 1, Vì từ (1) ta suy 111 p (2) m  n chữ soá1 111 số thuộc dãy nên từ (2) suy mâu thuẫn với giả thiết Vậy giả sử phản chứng m  n chữ số1 sai Ta suy điều phải chứng minh Bài Từ 20 số dãy ta tìm số mà chữ số hàng đơn vị 0, hai số phải có số có chữ số hàng chục khác Giả sử N số đó, ta gọi S tổng chữ số N .17 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Ta có dãy số N, N + 1, N + 2, N + 9, N + 19 11 số nằm 39 số cho trước mà tổng chữ số chúng S, S + 1, S + 2, S + 9, S + 10 Đó 11 số tự nhiên liên tiếp, phải có số chia hết cho 11 Bài Để làm xuất số "thỏ" số "lồng ta làm sau: Trong tập hợp số dư phép chia cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100 thành lập thành nhóm sau: (0 ; 0), (1 ; 99), (2 ; 98), (3 ; 97), (4 ; 96), (5 ; 95), (6 ; 94) (49 ; 51), (50 ; 50) Chú ý có 50 cặp vậy, ta thêm vào cặp (0, 0) có 51 cặp (51 lồng) - Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 có 52 số dư (52 thỏ) - Có 52 số dư mà có 51 nhóm, theo nguyên tắc Dirichlet phải có số dư rơi vào nhóm Rõ ràng cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư hai số tự nhiên có tổng hiệu chia hết cho 100 (đpcm) Bài Trước hết ta ý rằng: 29m có tận m số chẵn 29m có tận m số lẻ Ta xét 105 lũy thừa 29 với số mũ chẵn khác Có hai khả xảy ra: a Trong có số mũ 2k mà 292k có tận 00001 tốn chứng minh b Khơng có số mũ 2k để 292k có tận 00001 Từ b, ta thấy rằng: Số số có chữ số tận khác nhỏ 105 (kể từ chữ số tận 00002, 00003, 99 999, 105) số số khác mà ta xét 105 số Theo nguyên tắc Dirichlet phải có hai lũy thừa có chữ số tận dùng Giả sử A1 = 29 2k1 = M1 105 abcd1 18 A2 = 29 2k = M2 105 abcd1 Có thể giả sử k1 > k2 mà khơng làm tính chất tổng qt tốn Thế ta có: A1 - A2 = 29 2k1 - 29 2k = (M1 - M2) 105   A1 - A2 = 29 2k1 - 29 2k = 29 2k 29 2(k - k )  Vì 29 2k có tận A1 - A2 = (M1 - M2)105 có tận khơng số nên suy   29 2(k - k )  phải có tận khơng chữ số 0, từ suy 29 2(k - k ) có tận 00001 (số chữ số 4) Ta tìm số k = 2(k1 - k) thỏa mãn đề (đpcm) Bài Gọi A nhà toán học số 17 nhà tốn học, nhà toán học A phải trao đổi với 16 nhà tốn học cịn lại vấn đề Như nhà tốn học A phải trao đổi với nhà tốn học vấn đề Vì trao đổi với số nhà tốn học vấn đề số nhà tốn học trao đổi với A 16 (Các bạn diễn tả theo khái niệm "thỏ" "lồng" để thấy áp dụng nguyên tắcDirichlet lần thứ nhất.) - Gọi nhà toán học trao đổi với nhà toán học A vấn đề (giả sử vấn đề I) A1, A2, A3, A4, A5, A6 Như có nhà toán học trao đổi với vấn đề (khơng kể trao đổi với A) Như có nhà toán học A1, A2, A3, A4, A5, A6 trao đổi với vấn đề, I, II, III Có hai khả xảy ra: a Nếu có nhà tốn học trao đổi với vấn đề I có nhà toán học (kể A) trao đổi với vấn đề I Bài toán chứng minh b Nếu khơng có nhà tốn học nhà tốn học A1, A2 A6 trao đổi vấn đề I ta có nhà tốn học trao đổi với vấn đề II III Theo ngun tắcDirichlet có nhà tốn học trao đổi với vấn đề II III Bài toán chứng minh Bài Để tôn trọng ta cần thay đổi ngôn ngữ thỏ, chuồng học sinh , phòng Phòng 1: Chứa em mắc lỗi Phòng 2: Chứa em mắc lỗi .19 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET …………………………………… Phòng 14: Chứa em mắc 14 lỗi Phòng 15: Chứa em khơng mắc lỗi Theo giả thiết phịng 14 có em A Cịn lại 14 phịng chứa 29 em Theo nguyên lý Dirichlet tồn phòng chứa em Từ có điều phải chứng minh Bài 10 Có người nên số người quen nhiều người Phòng 0: Chứa người khơng có người quen Phịng 1: Chứa người có người quen ……………………………………………………… Phịng 4: Chứa người có người quen Để ý phịng & phịng khơng thể có người Thực chất người chứa phòng Theo nguyên lý Dirichlet tồn phịng chứa người Từ có điều phải chứng minh Bài 11 Xét thời điểm lịch thi đấu ( đội thi đấu tối đa trận) Phòng 0: Chứa đội chưa đấu trận Phòng 1: Chứa đội thi đấu trận ……………………………………………… Phòng 9: Chứa đội thi đấu trận Để ý phịng phịng khơng thể có đội thi đấu Thực chất 10 đội chứa phòng Theo nguyên lý Dirichlet ta suy điều phải chứng minh Bài 12 Xét n+ số sau: a1  5; a2  55; ; an 1  55 ( n+1 chữ số 5) 20 Theo nguyên lý Dirichlet : với n+1 số tồn hai số có số dư chia cho n Hiệu hai số số có dạng: 55…50…0 gồm toàn chữ số chữ số chia hết cho n Đó điều phải chứng minh! Bài 13 Xét 2012 số a1  8; a2  88; ; a2012  88 (2012 chữ số 8) Tương tự ví dụ tồn số có dạng 88…80…0 ( n chữ số k chữ số 0) chia hết cho 2011 Mà: 88…80…0 = 88…8.10k (10k,2011) = suy số: 88…8 chia hết cho 2011 Điều phải chứng minh! ( Lưu ý: 2011 số nguyên tố) Bài 14 Xét 2011 số sau: n; n2 ; n3;…; n2011 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 2010.Giả sử hai số ni nj với  i  j  2011 Khi nj – ni = ni (n j – i – 1) = ni ( nk – 1) chia hết cho 2010 ( k = j - i số nguyên dương) Vậy nk – chia hết cho 2010 ( (ni, 2010) =1) Bài 15 Ta xét phép chia 1007 số cho 2011 xếp vào: Nhóm 0: Các số chia hết cho 2011 ( dư 0) Nhóm 1: Các số chia cho 2011 dư 2010 Nhóm 2: Các số chia cho 2011 dư 2009 ………………………………………………… Nhóm 1005: Các số chia cho 2011 dư 1005 1006 Theo nguyên lý Dirichlet tồn nhóm chứa hai số Theo cách xếp nhóm tổng hiệu hai số chia hết cho 2011 Bài 16 Sắp thứ tự n + số cho  a1  a2   an 1  2n ( Nhóm 1) Xét thêm n số: b1  a2  a1; b2  a3  a1; ; bn  an 1  a1 Ta có:  b1  b2   bn  2n (Nhóm 2) Tập 2n số nhóm ( trừ a1 nhóm 1) nhận 2n -1 giá trị ( chuồng) Theo nguyên lý Dirichlet có số khơng nhóm nhóm tức phải thuộc nhóm Từ suy điều phải chứng minh! Bài 17 .21 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET A C B Các đường trung bình ABC chia thành bốn tam giác có cạnh 0,5 Theo nguyên tắc Dirichlet, tồn điểm rơi vào tam giác nhỏ Ta có khoảng cách điểm nhỏ 0,5 Bài 18 Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh 0,2 Suy theo nguyên tắc Dirichlet, tồn điểm nằm hình vng Ta có bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng bán kính  Suy điểm cho nằm hình trịn Bài 19 O Chia hình trịn  O, R  thành phần Do hình quạt có diện tích Theo ngun tắc Dirichlet, có hình quạt chưa nhiều điểm Xét điểm phân biệt hình quạt cho Dễ thấy tam giác tạo điểm có diện tích bé Bài 20 Chia sân thành hình vẽ Áp dụng nguyên tắc Dirichlet, ta suy kết cần chứng minh 22     Bài 21 Dựng 0; P điểm thược 0; Dựng hình thoi OAPB có đường chéo OP cạnh Gọi I giao điểm hai đường chéo, ta có: OI  O  3  AI  AO  OI        2 A I B P  AI   AB  Vậy AOB có cạnh Giả sử ngược lại, cặp hai điểm có khaongr cách chúng mà tô hai màu khác Khơng matas tính chất tổng qt, ta giả sử điểm O tô màu xanh, điểm A tô màu đỏ điểm B tô màu vàng Bởi PA  PB  suy P phải tô màu xanh   Với cách lập luận ta suy ra, tất điểm đường 0; tô màu   xanh Mặt khác dễ dàng tìm 0; hai điểm mà khoảng cách chúng , nên theo giả sử chúng tô hai màu khác Vô lý Điều vơ lý chứng tỏ có hai điểm tô màu mà khoảng cách chúng Bài 22 Gọi điểm cho A1 , A2 , A3 , Kí hiệu: M   A1 , A2 , A3 , , A100 , A33 , N   A34 , A35 , A36 , , A66  , P   A67 , A68 , A69 , , A100  Tập M gồm 33 điểm, tập N gồm 33 điểm tập P gồm 34 điểm Trường hợp toán: yêu cầu chứng minh xảy như: Mỗi điểm tập hợp M nối với điểm tập hợp N P Ccacs điểm tập hợp N nối với điểm tập hợp P tập M Các điểm tập hợp P nối với điểm có tập M tập N (2 tập có 66 điểm) .23 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Thật vậy, giả sử  Ai , Aj , Ak , Al  điểm số 100 điểm Theo ngun tắc Dirichlet awrt phải có điểm thuộc vào tập hợp ( M , N P ) Do với cách phân chia đây, điểm không nối với Bài 23 Gọi K , I trung điểm cạnh AB CD K A Trên đoạn KI lấy điểm M N cho: KM  NI  B M Ta có: MN  KI  KM  NI = 35   16  19  N AM  BM  DN  CN D  35        20   C D Do ta vẽ đường có tâm A, B, C, D, M , N bán kính 10 đường trịn khơng cắt Bởi có điểm phân biệt nằm hình vng, tồn hình trịn khơng chứa điểm số điểm cho Nhận thấy, tâm đường trịn có khoảng tới điểm cho lớn 10 Bài 24 Dựng tam giác có cạnh Nếu ba đỉnh to màu (xanh đỏ) tốn chứng minh Trong trường hợp ngược lại, xét tam giác ABC có cạnh AB  mà A B tô hai màu khác P Lấy điểm D mặt phẳng cho AO  BO  Vì A, B khác màu nên D màu với hai điểm A B Suy tồn đoạn t hẳng AD  BD  có mút tơ hai màu khác Giả sử đoạn thẳng AD Gọi K A K trung điểm đoạn thẳng AD K màu với hai điểm A D Giả sử K A có màu xánh Q 24 D Vẽ tam giác APK AQK Nếu P Q có màu xanh ta có tam giác APK AQK có cạnh ba đỉnh tơ màu xanh Nếu P Q có màu đỏ tam giác PQD có đỉnh tơ màu đỏ Dễ thấy, tam giác PQD có cạnh Bài 25 Cách Có thể giải 808 H I Cách 2: giải cách sau đây: C Vẽ tam giác ABC ba đỉnh A, B, C tô màu ta có điều phải chứng minh A F Nếu A, B, C tô màu khác nhau, theo B nguyên tắc Dirichlet, phải có hai đỉnh tô màu Giả sử đỉnh A B tô màu D E đen, C tơ màu đỏ Dựng lục giác ADGEFC có tâm B G Ta có tam giác ADB Nếu D tơ màu đen ta có điều phải chứng minh Cịn D tô màu đỏ, lại xét tam giác CDE Nếu E tơ màu đỏ tam giác CDE có ba đỉnh tơ màu đỏ, thỏa mãn Có ngược lại E tơ màu đen, lại xét tam giác BEF Nếu F tơ màu đen ta có BEF có ba đỉnh tô màu đen, thỏa mãn Giả sử ngược lại F tơ màu đỏ, lại xét tam giác CFH Nếu điểm H tơ màu đỏ ta có tam giác CFH có ba đỉnh to màu đỏ, thỏa mãn Cịn giả sử ngược lại H tơ màu đen lại vẽ tam giác BHI Nếu I tơ màu đen tam giác BHI có ba đỉnh tơ màu đen, thỏa mãn Giả sử ngược lại, I tô màu đỏ xét tam giác IDF Dễ thấy tam giác IDF đều, theo ta có ba đỉnh I , D, F tô màu đỏ, thỏa mãn Tóm lại: ta chứng tỏ rằng, tồn tam giác mà ba đỉnh tô màu .25 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bài 26 Lấy điểm O mặt phẳng Qua O dựng đường thẳng song song với 2000 đường thẳng cho Tại O ta có 4000 góc đơi đối đỉnh có tổng số đo 360 Từ suy điều phải chứng minh Bài 27 Giả sử xy đường thẳng vuông góc với l Ta đánh dấu đoạn thẳng theo thứ tự 1, 2,3, ,8000 Chiếu đoạn thẳng lên hai đường thẳng xy l Kí hiệu bi ( i  1, 2, ,8000 ) tương ứng độ dài đoạn thẳng cho đường thẳng xy l Ta có  bi  với i  1, 2, Do  a1  a2  a8000    b1  b2  Suy ra: a1  a2  b1  b2  ,8000 b8000   8000  4000  4000 a8000  4000 b8000  4000 Ta có 8000 đoạn thẳng chiếu vng góc lên đường kính đường với độ dài 4000 Nếu hình chiếu đoạn thẳng cho lên đường thẳng l mà khơng có điểm chung ta có: a1  a2  a8000  4000 Vì l tìm điểm hình chiếu điểm thuộc hai số đoạn thẳng cho Khi đường thẳng vng góc với l dựng qua điểm có điểm chung với hai đoạn thẳng số 8000 đoạn thẳng cho Bài 28 Xét hình vng cạnh 2x2 , hình vng có hình vuông nhỏ chung cạnh chung đỉnh nên tồn nhiều số chẵn, nhiều số chia hết cho có số lẻ không chia hết cho Bảng 10x10 chia thành 25 hình vng có cạnh 2x2 nên có 50 số lẻ không chia hết cho Từ đến có số lẻ khơng chia hết cho 1, 5, Áp dụng nguyên  50  lí Dirichlet ta ba số xuất     17 lần 3 Bài 29 Chia cạnh hình chữ nhật thành n đoạn 2n đoạn ,mỗi đoạn có độ dài Nối điểm chia đường thẳng song songvới cạnh hình chữ nhật ta n n.2n  2n2 hình vng nhỏ với cạnh Nếu hình vng chứa khơng q điểm tổng số n 26 điểm cho không 3.2n2  6n2 (trái với giả thiết) Do phải tồn hình vng chứa khơng điểm Rõ ràng hình vng cạnh nội tiếp đường trịn bán kính đường trịn n 2n chứa đường trịn đồng tâm bán kính n Bài 30 Lấy năm điểm tùy ý cho ba A' điểm thẳng hàng mặt phẳng Khi dùng có hai màu để tơ đỉnh, mà A theo nguyên lí Dirichlet phải tồn ba điểm G A, B, C có màu đỏ Như ta có tam giác ABC với ba đỉnh màu đỏ Gọi G trọng tâm N P số màu Giả sử ba điểm B M C B' C' tam giác ABC Chỉ có hai khả xảy ra: + Nếu G có màu đỏ Khi A, B, C, G đỏ tốn giải + Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC đoạn AA’  3GA, BB’  3GB, CC’  3GC Khi gọi M, N, P tương ứng trung điểm BC, CA, AB A’A  3AG  6GM  A’A  2AM Tương tự B’B  2BN, CC’  2CP Do tam giác A‟BC, B‟AC, C‟AB tương ứng nhận A, B, C trọng tâm Mặt khác, ta có tam giác ABC A‟B‟C‟ có trọng tâm G Có hai trường hợp sau xảy ra:  Nếu A‟, B‟, C‟ xanh Khi tam giác A‟B‟C‟ trọng tâm G có màu xanh  Nếu điểm A‟, B‟, C‟ có màu đỏ Khơng tính tổng quát giả sử A‟ đỏ Khi đo tam giác A‟BC trọng tâm A màu đỏ Vậy khả tồn tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu .27 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN