Chuyên đề NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ RỜI RẠC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - TIN Chuyên đề: NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ RỜI RẠC NHÓM Họ tên: Đào Đăng Tùng Hoàng Thị Quỳnh Chi ĐẠI SỐ SƠ CẤP HÀ NỘI 2022 I Cơ sở lý thuyết Nguyên lí cực trị rời rạc phát biểu sau: Trong tập hữu hạn khác rỗng số thực luôn: (a) Tồn số bé số lớn (b) Luôn xếp chúng theo trật tự tang giảm Nguyên lí thật đơn giản, vận động thấm sâu vào nhiều chứng minh toán học II Chứng minh tồn cấu hình Phương pháp chung: Trong thực tế muốn tách cá thể khỏi đám đông,người ta thường phải đưa tiêu chí đó, làm cho đối tượng cần tách trội theo tiêu chí Khi chứng minh tốn tồn cấu hình nguyên lí cực trị, người ta cần đặt quan hệ thứ tự đó, mà cấu hình tồn đối tượng cực trị 1) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh có vơ số ngun tố có dạng 6𝑛 + Chứng minh: (bằng phản chứng) Giả sử tập A hữu hạn số nguyên tố có dạng 6𝑛 +  𝑝 = 5, 𝑝 = 11, 𝑝 = 17, , 𝑝 tất số nguyên tố có dạng  𝐴≠∅ Mà A hữu hạn nên theo nguyên lí cực trị rời rạc  tồn số lớn 𝑝 ∈ 𝐴 Ta xét số 𝑟 = 6𝑝! − với 𝑝! = 𝑝 𝑝 𝑝 Rõ ràng r không chia hết cho không chia hết cho số 𝑝 , 𝑝 ,𝑝 , , 𝑝 Nếu ước nguyên tố r chia cho dư r phải có tính chất Nhưng 𝑟 ≡ (𝑚𝑜𝑑 6)  Mọi phần tử thuộc A không ước r Mặt khác 𝑟 có dạng 6𝑛 + nên 𝑟 phải có ước ngun tố dạng 6𝑛 + Gọi ước nguyên tố 𝑚 𝑚 ∉ A 𝑚 > 𝑝 (mâu thuẫn) Vậy có vơ hạn số ngun tố dạng 6𝑛 + Ví dụ 2: (Bài tốn Syvester, 1814-1897) Trên mặt phẳng cho n điểm (𝑛 ≥ 3) Biết đường thẳng qua điểm qua điểm thứ ba Chứng minh tồn n điểm cho thẳng hàng Chứng minh: Giả sử 𝑛 điểm cho không thẳng hàng =>Với điểm 𝐴 𝑛 điểm ln A tồn đường thẳng qua hai điểm số điểm cịn lại khơng qua 𝐴 B C Xét tập hợp tất khoảng cách từ điểm đến đường thẳng qua điểm số điểm lại khơng qua 𝐴 Vì số khoảng cách hữu hạn nên tồn khoảng cách ngắn (áp dụng nguyên lí cực trị rời rạc) Giả sử khoảng cách ngắn khoảng cách từ 𝐴 tới đường thẳng 𝐵𝐶 Nên ta hạ 𝐴𝐻 ⊥ 𝐵𝐶 Gọi 𝑆 tập 𝑛 điểm cho  𝐻 ∈ 𝑆 Ta có 𝐴𝐻 = 𝑑(𝐴, 𝐵𝐶) > 𝑑(𝐻, 𝐴𝐶) (mâu thuẫn theo giả sử AH khoảng cách ngắn nhất) Do 𝐻 ∉ S Từ giả thiết, đường thẳng qua điểm S qua điểm thứ ba thuộc 𝑆  ∃𝐷 ∈ 𝑆 nằm 𝐵𝐶 Giả sử 𝐶, 𝐷 nằm phía 𝐻 Ta có 𝑑(𝐴, 𝐵𝐶) = 𝐴𝐻 > 𝑑(𝐻, 𝐴𝐷) > 𝑑(𝐶, 𝐴𝐷) (mâu thuẫn) Vậy 𝑛 điểm cho thẳng hàng Ví dụ 3: Tám người ngồi xung quanh bàn ăn hình trịn Biết tuổi người trung bình cộng người kế bên (trái phải) Chứng tỏ tất người tuổi với Chứng minh: Trong người ln có người A nhiều tuổi (hoặc tuổi nhất) Giả sử a số tuổi người A, b c số tuổi người ngồi kế bên A Khi theo giả thiết ta có 𝑎 = Theo cách chọn trên, ta có 𝑎 ≥ 𝑏, 𝑎 ≥ 𝑐 => 𝑎 ≥ ⇒𝑎=𝑏=𝑐 Cứ tiếp tục ta người có tuổi 2) Bài tập vận dụng Bài 1: Chứng minh với số nguyên n>1, − không chia hết cho n Bài 2: Trên mặt phẳng cho hữu hạn đa giác (không thiết lồi) có tính chất hai đa giác ln có điểm chung Chứng minh tồn đường thẳng có điểm chung với tất đa giác Bài 3: Giả sử M khoảng cách lớn điểm phân biệt mặt phẳng m khoảng cách nhỏ chúng Chứng minh ≥ √3 Bài 4: Trên mặt bàn đặt số đồng xu với kích cỡ khơng giống đôi (các đồng xu không đươc đè lên phải nằm sấp ngửa bàn) Chứng minh dù ta đặt nữa, đồng xu tiếp xúc với nhiều đồng xu khác Hướng dẫn làm Bài 1: Chứng minh: Giả sử tồn số nguyên 𝑛 > ước − Khi n số lẻ ta gọi 𝑝 ước nguyên tố nhỏ 𝑛 𝑝 lẻ Theo định lí Ferma nhỏ ta có − chia hết cho p Gọi k số nguyên dương nhỏ cho − chia hết cho 𝑝  𝑘 ≤𝑝−1 √3 Nếu F khơng nằm đường chéo nằm trong ba tam giác AED, ACD, ABC Giả sử F nằm tam giác ACD  Một góc AFD, CFD, CFA ≥ 120◦  Nếu điểm cho tạo thành lục giác lồi Giả sử khơng có góc lục giác ≥ 120◦ ⇒ Tổng góc đỉnh đa giác < 120.6 = 720 (vơ lí) ⇒ Tồn góc ≥ 120◦ Như ta chứng minh ln tồn tam giác có góc lớn ≥120◦ Giả sử góc tam giác α ≤ β ≤ γ, cạnh đối diện tương ứng a, b, c Ta có 𝑐 𝑠𝑖𝑛 𝛾 = ≥ 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛾 𝑠𝑖𝑛 𝛾 𝑠𝑖𝑛 𝛾 𝛾 = = = 2𝑠𝑖𝑛 ≥ 2𝑠𝑖𝑛 60° = √3 𝛾 𝛼 + 𝛽 𝑠𝑖𝑛 90° − 𝛾 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 2 Bài 4: Giải: Dùng phản chứng, góc đối diện với cạnh lớn lớn tam giác, ta chứng minh đồng xu tiếp xúc với đồng xu khác lớn Vì số đồng xu hữu hạn nên tồn đồng xu với đường kính nhỏ Theo nhận xét bên tiếp xúc với nhiều đồng xu khác III Thiết lập thứ tự yếu tố bình đẳng Việc thiết lập thứ tự yếu tố bình đẳng làm giảm nhiều trường hợp xét tốn Ví dụ 1: tìm số nguyên tố a, b, c cho abc < ab + ac + bc Giải Do vai trị bình đẳng a, b, c nên ta giả sử a ≤ b ≤ c Khi ta có: ab + bc + ca ≤ 3bc Nếu a ≥ ⇒ 3bc ≤ abc ⇒ ab + bc + ca ≤ abc (mâu thuẫn) Vậy a = (vì a số ngun tố) Do đó: 2bc  2b  bc  2c  1   b5 c b + Nếu b = ⇒ c số nguyên tố + Nếu b = ⇒ c số nguyên tố + Nếu b = ⇒ c = c = Ví dụ 2: Có người câu tất 100 cá Biết khơng có hai người câu số cá Chứng minh có số người câu tổng số cá khơng 50 Giải Gọi số cá người thứ i câu Không giảm tổng quát, ta giả sử: a1 < a2 < < a7 Ta a5 + a6 + a7 ≥ 50 Thật vậy, giả sử ngược lại : a5 + a6 + a7 < 50 Khi a5  15  a4  14  a3  13  a2  12  a1  11  a1  a2  a3   a7  11  12  13  14  50  100 Vậy có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Tìm tất số ngun dương x, y, z cho xyz = + x + y + z Giải Do vai trị bình đẳng x, y, z nên ta giả sử x ≥ y ≥ z Khi có khả sau: Cả số (không thoả mãn) x > 1; y = z = ⇒ x = 11 + x (vô lý) x ≥ y > 1; z = ⇒ xy = 10 + x + y hay 11 = (x − 1)(y − 1) Vì x − ≥ y − nên x − = 11 y − = 11 Do x = 12; y = 2; z = x ≥ y ≥ z > Đặt u = x − 2, v = y − 2, w = z − Ta có u ≥ v ≥ w ≥ 15 + u + v + w = (u + 2)(v + 2)(w + 2) = uvw + 2(uv + vw + wu) + 4(u + v + w) + ⇒ = uvw + 2(uv + vw + wu) + 3(u + v + w) – Nếu v = ⇒ w = ⇒ = 3u (vô lý) – Nếu v > ⇒ u ≥ v ≥ ⇒ 2uv + 3(u + v) ≥ (loại) Vậy nghiệm toán hoán vị (12, 2, 1) Ví dụ 3: Tìm số nguyên dương đôi khác x, y, z thoã mãn x3  y  z   x  y  z  Giải Vì vai trị x, y, z nên ta giả sử x < y < z x3  y  z  x  y  z  Áp dụng bất đẳng thức:   3   Với x, y, z ≥ ta suy x + y + z ≤ Dấu khơng xảy x, y, z đôi khác Vậy x + y + z ≤ (1) Mặt khác x + y + z ≥ + + = (2) Từ (1), (2) ta suy x + y + z ∈ {6, 7, 8} Từ kết hợp với phương trình ban đầu ta tìm x, y, z Vậy (x, y, z) = (1, 2, 3) hốn vị BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập Chứng minh đoạn thẳng, đoạn có độ dài l nguyên tuỳ ý với < l < 13, chọn đoạn để làm cạnh tam giác Chứng minh tốn khơng dùng đoạn thẳng Bài tập Tìm 12 số nguyên dương, cho tổng chúng tích chúng Bài tập (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c số nguyên dương r số thực bất kỳ, r ≥ Chứng minh Bài tập Cho x, y, z ≥ x + y + z = Chứng minh rằng:  xy  yz  xz  3xyz  HƯỚNG DẪN LÀM BÀI Bài tập Chứng minh đoạn thẳng, đoạn có độ dài l nguyên tuỳ ý với < l < 13, chọn đoạn để làm cạnh tam giác Chứng minh tốn khơng dùng đoạn thẳng Giải Nhận xét: Nếu số dương a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c chúng độ dài cạnh tam giác a < b + c Giả sử đoạn cho có độ dài tương ứng l1, l2, , l7 Không tính tổng quát, ta giả sử ≥ l1 ≥ ≥ l7 Giả sử không chọn đoạn làm cạnh tam giác ta có: l3 ≥ l1 + l2 ≥ + = l4 ≥ l2 + l3 ≥ + = l5 ≥ l3 + l4 ≥ + = l6 ≥ l4 + l5 ≥ + = l7 ≥ l5 + l6 ≥ + = 13 Điều mâu thuẫn với giả thiết l7 < 13 Vậy chọn đoạn để làm cạnh tam giác Nếu dùng đoạn tốn khơng cịn đúng, ví dụ lấy đoạn có độ dài tương ứng l1 = l2 = 1; l3 = 2; l4 = 3; l5 = 5; l6 = Bài tập Tìm 12 số nguyên dương, cho tổng chúng tích chúng Giải 10 Gọi 12 số nguyên dương cần tìm x1, x2, , x12 khơng tính tổng quát ta giả sử x1 ≥ x2 ≥ ≥ x12 (1) Theo giả thiết ta có: x x i 1 Mà theo (1) ta có 12 hay x i 2 i 12 12 i i 1 12 12 i 1 i 1  xi  12 x1 ,  xi  12 x1  124 Vì 24  16 nên 11 số x2 , x3 , , x12 khơng thể có số lớn Vậy 12 số phải tìm khơng thể có số lớn Do xảy trường hợp sau: Cả 12 số (khơng thỗ mãn) x1  x2  x3   x12  Từ (2) suy x1  11  x1 (không thỏa mãn) x1  x2  x3   x12  Từ (2) suy x1  x2  10  x1 x2  x1  12; x2  x1  x2  x3  x4   x12  Từ (2) suy x1  x2  x3   x1 x2 x3 (giải tương tự ví dụ trên) x1  x2  x3  x4  x5   x12  Từ (2) suy x1  x2  x3  x4   x1 x2 x3 x4 (3) Đặt yi  xi  2, i  1,4 Thay vào (3) ta được: (3)  16  y1  y2  y3  y4   y1   y2    y3    y4      y1   y4   y1 y2  y3  y4   y3 y4  y1  y2    y1 y2  y3 y4   y1 y2 y3 y4 Do y1  y2  y3  y4  suy x1  x2  x3  x4  Bài tập (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c số nguyên dương r số thực bất kỳ, r ≥ Chứng minh a r ( a  b)( a  c)  b r (b  c)(b  a)  c r (c  a )(c  b)  Do vai trị bình đẳng a, b, c nên ta giả sử a ≥ b ≥ c 11 Ta viết lại bất đẳng thức cho thành: a r (a  b)(a  c)  br (b  c)(a  b)  c r ( a  c)(b  c)   (a  b)  a r ( a  c)  b r (b  c)   c r (a  c )(b  c)  Vì a ≥ b ≥ c nên bất đẳng thức Bài tập Cho x, y, z ≥ x + y + z = Chứng minh rằng:  xy  yz  xz  3xyz  Giải b Do vai trị bình đẳng x, y, z nên ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ Từ suy z   3xyz  xy  yz  xz  xyz  yz  zx  1 Đặt z   k ,0  k  Mà x  y  z   x  y   k 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  x y 1 k  xy         3 2 Mà xy  yz  xz  xyz  xy (1  3z )  z ( x  y )  1 k  1    xy  yz  zx  3xyz      3k     k   k    k  3 2 3   12