Chuyên đề nguyên lý dirichlet trong số học (40 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG SỐ HỌC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giới thiệu nguyên lý Dirichlet Dirichlet (Đi-rích-lê) (1805 – 1859) nhà toán học người Đức, cho người đưa định nghĩa đại hàm số Trên sở quan sát thực tế, ông phát biểu thành ngun lí mang tên ơng – ngun lí Dirichlet: Không thể nhốt thỏ vào lồng mà lồng có khơng q thỏ Nói cách khác, nhốt thỏ vào lồng tồn lồng có từ trở lên Một cách tổng quát hơn, có k lồng để nhốt m thỏ (với k kn  r (0  r k  1) ) tồn lồng có chứa từ n + thỏ trở lên Ta dễ dàng minh ngun lí Dirichet phương pháp phản chứng sau: Giả sử lồng n + thỏ trở lên, tức lồng chứa nhiều n thỏ, số thỏ chứa k lồng nhiều kn Điều mâu thuẫn với giả thiết có m thỏ với m kn  r (0  r k  1) Nguyên lí Dirichlet thật đơn giản, dễ hiểu vận dụng vào giải nhiều toán số học, đại số, hình học việc tồn hay nhiều đối tượng thỏa mãn điều kiện đặt Khi sử dụng nguyên lí Dirichlet vào tốn cụ thể, điều quan trọng phải nhận (hay tạo ra) Lồng Thỏ Lồng Thỏ Một số dạng áp dụng nguyên lý Dirichlet  Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n  thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ  Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn  N hộp chứa   đồ vật (Ở  x  số nguyên nhỏ có giá trị nhỏ x)  k | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET  Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m 2 chuồng tồn chuồng  n  m  1 có   thỏ m    Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp: Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Phương pháp ứng dụng Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, cơng cụ có hiệu dùng để chứng nhiều kết sâu sắc tốn học Ngun lí Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện: + Số ‘thỏ” phải nhiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng”, không bắt buộc chuồng phải có thỏ Thường phương pháp Dirichlet áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng Ngồi cịn áp dụng với nguyên lý khác Một số toán thường gặp sau: 1) Trong n + số tự nhiên ln tìm hai số chia cho n có số dư (hoặc hiệu chúng chia hết cho n ) 2) Nếu đoạn thẳng độ dài đặt số đoạn thẳng có tổng độ dài lớn có hai số đoạn thẳng có điểm chung 3) Nếu đường trịn có bán kính đặt số cung có tổng độ dài lớn 2 có hai số cung có điểm chung 4) Trong hình có diện tích S đặt số hình có tổng diện tích lớn S có hai số hình có điểm chung CHUN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Chứng minh tồn chia hết * Cơ sở phương pháp: Thông thường ta coi m số tự nhiên cho m “con thỏ”, số dư phép chia số tự nhiên cho n “lồng”; có n lồng: lồng i (0 i b) gồm số tự nhiên cho chia cho n dư i * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng rằng: a) Trong 2012 số tự nhiên ln tìm hai số chia cho 2011 có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho 2011) b) Trong 2012 sô tự nhiên ln tìm số chia hết cho 2012 ln tìm hai số chia cho 2012 có số dư Hướng dẫn giải a) Ta coi 2012 số tự nhiên cho 2012 “con thỏ”; “lồng i” gồm số chia cho 2011 dư i (0 i 2011) nên có 2011 lồng: lồng 0, lồng 1, …, lồng 2010 Như có 2011 lồng chứa 2012 thỏ nên theo nguyên lí Dirchlet tồn lồng chứa khơng hai thỏ, tức có hai số chia cho 2011 có số dư b) Nếu 2012 số cho có số chia hết cho 2012 ta chọn ln số Nếu khơng có số chia hết cho 2012 chia cho 2012 nhận nhiều 2012 số dư khác 1, 2, …, 2011 Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai số chia cho 2012 có số dư Nhận xét Ta tổng quát toán sau: 1) Trong n + số tự nhiên ln tìm hai số chia cho n có số dư (hay hiệu chúng chia hết cho n) 2) Trong n số tự nhiên ln tìm số chia hết cho n ln tìm hai số chia cho n có số dư Bài tốn Chứng minh ln tìm số có dạng 20122012…2012 (gồm số 2012 viết liên tiếp nhau) chia hết cho 2013 Hướng dẫn giải Xét 2014 số sau: 2012, 20122012, , 2012 2012 (gồm 2014 số 2102) Đem 2014 số chia cho 2013, có 2014 số mà có 2013 số dư phép chia cho 2013 (là 0, 1, 2, , 2012) nên tồn hai số chia cho 2013 có số dư, chẳng hạn a = 2012 2012 (gồm i 2012) b = 2012 2012 (gồm j 2012) với i  j 2014 Khi b  a 2012 2012.10 4i (gồm j – i 2012) chia hết cho 2013 .3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Lại có ƯCLN (104i , 2013) 1 nên số 2012 2012 (gồm j – i 2012 chia hết cho 2013 Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số có dạng 2012 2012, “lồng” số dư phép chia cho 2013) Nhận xét Mấu chốt toán chọn 2014 (= 2013 + 1) số tự nhiên có dạng cho Từ ta phát biểu nhiều tốn tương tự, chẳng hạn như: Chứng minh ln tìm số có dạng 111 chia hết cho 29 Bài toán Cho sáu số tự nhiên a, b, c, d , e, g Chứng minh sáu số ấy, tồn số chia hết cho tồn vài số có tổng chia hết cho Hướng dẫn giải Trường hợp có số ta chọn số thỏa mãn yêu cầu đề Trường hợp sáu số lớn Xét số sau S1 a S a  b S3 a  b  c S a  b  c  d S5 a  b  c  d  e S6 a  b  c  d  e  g Đem số chia cho ta nhận số dư thuộc tập {0,1, 2,3, 4, 5} Nếu tồn Si (i 1, 2, , 6) chia hết cho tốn chứng minh Nếu khơng có Si chia hết cho ta có số chia hết cho nhận loại số dư khác (1, 2,3, 4,5) ; theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số chia cho có số dư, chẳng hạn S2 S5 hiệu hai số chia hết cho 6, tức c  d  e chia hết cho Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” số Si, “lồng” số dư phép chia cho 6) Nhận xét Ta phát biểu toán tổng quát sau: Cho n số tự nhiên a1 , a2 , , an Chứng minh tồn số chia hết cho n tồn vài số có tổng chia hết cho n Bài toán Chứng minh rằng: a) Trong n số tự nhiên liên tiếp ln tìm số chia hết cho n b) Trong 39 số tự nhiên liên tiếp ln tìm số mà tổng chữ số chia hết cho 11 Hướng dẫn giải a) Giả sử khơng tìm số n số tự nhiên liên tiếp cho mà chia hết cho n Khi n số chia cho n nhận nhiều n – số dư khác (1, 2, 3, , n  1) , theo nguyên CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN lí Dirichlet tồn hai số chia hết cho n có số dư, chẳng hạn a b với a  b , a – b chia hết cho n, điều mâu thuẫn với  a  b  n Từ suy điều phải chứng minh b) Lấy 20 số tự nhiên liên tiếp đầu dãy, ta tìm số có chữ số hàng đơn vị có chữ số hàng chục khác 9.Giả sử N tổng chữ số N s Khi 11 số N , N  1, N  2, N  3, N  9, N  19 nằm 39 số cho Vì N tận nên tổng chữ số N , N  1, N  2, , N  s, s  1, s  2, , s  Vì N tận có chữ số hàng chục khác nên tổng chữ số N + 10 s + 1, tổng chữ số N + 19 s + 10 Trong 11 số tự nhiên liên tiếp s, s  1, s  2, s  3, , s  9, s  10 ln tìm số chia hết cho 11 Chẳng hạn số s  i (0 i 10) : Nếu i 9 ta chọn số N  i thỏa mãn yêu cầu tốn; i = 10 ta chọn số N + 19 thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét Mấu chốt để giải toán câu b) phải tìm 11 số 39 số cho có tổng chữ số thứ tự 11 số tự nhiên liên tiếp, đồng thời sử dụng kết câu a) Bài toán Cho số tự nhiên từ đến 2012 Hỏi chọn nhiều số cho tổng hai số chúng khơng chia hết cho hiệu nó? Hướng dẫn giải Nhận thấy, hai số chia cho dư hiệu chúng chia hết cho 3, tổng chúng chia cho dư 1; nên tổng chúng không chia hết cho hiệu chúng Trong số tự nhiên từ đến 2012, có 671 số chia cho dư số có dạng 3k  (k 0,1, 2, , 670) Khi hai số 671 số có tổng chia dư 1, hiệu chia hết cho 3, nên tổng không chia hết cho hiệu chúng Ta chứng minh chọn nhiều 672(671  1) số số từ đến 2012, 672 số ln tìm a, b(a  b) cho a  b 2 (Thật vậy, giả sử ngược lại hiệu số nhỏ số lớn số chọn không nhỏ 3.671 2013 Điều mâu thuẫn giả thiết với hiệu số lớn số nhỏ không vượt 2012  2011 ), nghĩa a – b - Nếu a – b = hiển nhiên a + b chia hết cho a – b (= 1) - Nếu a – b = a + b số chẵn nên a + b chia hết cho a – b (= 2) Như từ 2012 số cho chọn 671 số thỏa mãn điều kiện toán Suy số lượng lớn số phải tìm 671  Dạng 2: Bài tốn tính chất phần tử tập hợp * Cở sở phương pháp: Thông thường ta phải lập tập hợp có tính chất cần thiết sử dụng ngun lí Dirichlet để chứng tỏ có hai phần tử thuộc hai tập hợp * Ví dụ minh họa: | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Bài tốn Cho sáu số ngun dương đơi khác nhỏ 10 Chứng minh tìm số có số tổng hai số lại Hướng dẫn giải Gọi sáu số nguyên dương cho a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 với  a1  a2   a6  10 Đặt A {a2 , a3 , a4 , a5 , a6 } gồm phần tử có dạng am với m  {2,3, 4,5, 6} Đặt B {a2  a1 , a3  a1 , a4  a1 , a5  a1 , a6  a1} gồm phần tử có dạng an  a1 với n  {2,3, 4,5, 6} Ta thấy phần tử hai tập hợp A B thuộc tập hợp gồm phần tử {1, 2,3, ,9} tổng số phần tử hai tập hợp A B  10 Theo nguyên lí Dirichlet tồn hai số mà chúng thuộc tập hợp, nên có số thuộc tập hợp A số thuộc tập hợp B, tức am an  a1 , an am  a1 Ba số am , an , a1 đơi khác Thật vậy, am an am an a1 0 trái với giả thiết toán Vậy tồn ba số am , an , a1 số cho mà an am  a1 (đpcm) (Ở đây, có 10 “thỏ” 10 số a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a2  a1 , a3  a1 , a4  a1 , a5  a1 , a6  a1 có “lồng” số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Nhận xét Để giải toán này, ta cần tạo hai tập hợp gồm phần tử nhỏ hợn 10 tổng số phần tử hai tập hợp phải không nhỏ 10 Từ suy tồn hai phần tử hai tập hợp Bài toán Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E {3;6;9} Hướng dẫn giải Giả sử 700 số nguyên dương cho a1 , a2 , , a700 Ta xét tập hợp sau: A {a1 , a2 , a700 }; B {a1  6, a2  6, a700  6}; C {a1  9, a2  9, a700  9}; Tổng số phần tử ba tập hợp A, B, C 700.3 = 2100, phần tử khơng vượt q 2006 + = 2015, mà 2100 > 2015 nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai phần tử Vì tập hợp A, B, C có phần tử đôi khác nên hai phần tử phải thuộc hai tập hợp: A B, A C, B C - Nếu hai phần tử thuộc A B, chẳng hạn a j  suy  a j 6 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN - Nếu hai phần tử thuộc A C, chẳng hạn a j  suy  a j 9 - Nếu hai phần tử thuộc B C, chẳng hạn  a j  suy  a j 3 Như tồn lại hai số thuộc tập hợp A có hiệu 3, 6, Ta điều phải chứng minh (Ở 2100 “thỏ” 2010 phần tử ba tập hợp A, B, C; 2015 “lồng” số từ đến 2015) Nhận xét Ta có kết mạnh sau: Cho X tập hợp gồm 505 số nguyên dương khác nhau, số không lớn 2006 Trong tập hợp X tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E {3;6;9} Chứng minh Gọi A tập hợp số thuộc X mà chia hết cho 3, gọi B tập hợp số thuộc X mà chia cho dư 1, gọi C tập hợp số thuộc X mà chia cho3 dư Có 505 số xếp vào ba tập hợp, mà 505 = 3.168 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tập hợp có chứa từ 169 số trở lên Trong tập hợp này, hai số có hiệu bội Tồn hai số x, y có hiệu nhỏ 12 Thật vậy, số tập hợp có hiệu khơng nhỏ 12 số lớn tập hợp không nhỏ 12.168 = 2016 > 2006, trái với đề Vậy tập hợp X tồn hai phần tử x, y mà x  y  E Bài toán Cho hai tập hợp số nguyên dương phân biệt mà số nhỏ n Chứng minh tổng số phần tử hai tập hợp khơng nhỏ n chọn tập hợp phần tử cho tổng chúng n Hướng dẫn giải Giả sử hai tập hợp số nguyên dương cho A {a1 , a2 , , am } B {b1 , b2 , , bk } với a  n (i 1, 2, , m) , b j  n ( j 1, 2, , k ) m  l n Xét tập hợp C {n  b1 , n  b2 , , n  bk } Nhận thấy, có tất n – số nguyên dương phân biệt nhỏ n, phần tử A C nhỏ n tổng số phần tử A C khơng nhỏ n Theo ngun lí Dirichlet, tồn hai phần tử nhau, chúng khơng thuộc A C, phần tử thuộc A phần tử thuộc C, tức tồn hai số ap n  bq mà a p n  bq  a p  bq n (điều phải chứng minh) (Ở coi m + k “thỏ” số nguyên dương thuộc tập hợp A C, n – “lồng” số nguyên dương từ đến n – 1)  Dạng 3: Bài tốn liên quan đến bảng vng * Cở sở phương pháp: Một bảng vng kích thước n x n gồm n dòng, n cột đường chéo Mỗi dịng, cột, đường chéo có n vng .7 | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Một bảng vng kích thước m x n gồm m dịng n cột * Ví dụ minh họa: Bài tốn Cho mảng vng kích thước x Người ta viết vào ô bảng số -1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Hướng dẫn giải Bảng vng kích thước x có dịng, cột, đường chéo nên có 12 tổng số tính theo dịng, theo cột theo đường chéo Mỗi dòng, cột đường chéo có ghi số thuộc tập {–1; 0; 1} Vì giá trị tổng thuộc tập hợp {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} có 11 phần tử Có 12 tổng nhận tập 11 giá trị khác nên theo nguyên lí Dirichlet tồn hai tổng nhận giá trị Bài toán chứng minh (Ở “thỏ” tổng nên có 12 “thỏ”, “lồng” giá trị tổng nên có 11 “lồng”) Nhận xét Với cách giải tương tự, ta có tốn tổng qt sau: Cho bảng vng kích thước n x n Người ta viết vào ô bảng số –1, 0, 1; sau tính tổng số theo cột, theo dòng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Bài tốn Trên bảng vng kích thước x 8, ta viết số tự nhiên từ đến 64, số viết vào ô cách tùy ý Chứng minh tồn hai ô vuông chung cạnh mà hiệu số ghi chúng không nhỏ Hướng dẫn giải Ta xét hàng có ghi số cột có ghi số 64 Hiệu hai ô 63 Số cặp ô kề từ ô ghi số đến ô ghi số 64 nhiều 14 (gồm cặp chung cạnh tính theo hàng cặp chung cạnh tính theo cột) Ta có 64 = 14.4 + nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai kề mà hai số ghi có hiệu khơng nhỏ + = Bài toán chứng minh (Ở đây, “thỏ” hiệu hai số 64 số (từ đến 64) nên có 63 thỏ; “lồng” số cặp ô vuông kề từ ô ghi số đến ghi số 64 nên có nhiều 14 lồng) Nhận xét  Mấu chốt toán quan tâm đến hai ô vuông ghi số nhỏ (số 1) số lớn (số 64) có lớn 63; đồng thời xét từ ô ghi số đến ô ghi số 64 cần tối đa (8 – 1) + (8 – 1) = 14 ô Ở ta vận dụng ngun lí Dirichlet tổng qt: Có m thỏ, nhốt vào k lồng mà m = kn + r (1 r k  1) tồn lồng chứa khơng n + thỏ  Nếu thay bảng chữ nhật gồm x 10 ô vuông, ghi số từ đến 80 khơng lặp cách tùy ý kết cầu tốn cịn hay khơng? Hãy chứng minh CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN  Dạng 4: Bài toán liên quan đến thực tế Cở sở phương pháp: Khi chứng minh tồn số đối tượng thỏa mãn điều kiện đó, ta thường sử dụng nguyên lí Dirichlet Điều quan trọng phải xác định “thỏ” “lồng” * Ví dụ minh họa: Bài tốn Một tổ học tập có 10 học sinh Khi viết tả, tổ mắc lỗi, bạn Bình mắc nhiều lỗi (mắc lỗi) Chứng minh tổ có bạn mắc số lỗi Hướng dẫn giải Ta coi “thỏ” học sinh (trừ bạn Bình) nên có thỏ; “lồng” số lỗi tả học sinh mắc phải nên có lồng: lồng i gồm học sinh mắc i lỗi (i = 1, 2, 3, 4) Có thỏ nhốt vào lồng, mà = 4.2 + 1, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng + = thỏ, tức có bạn mắc số lỗi Bài tốn Ở vịng chung kết cờ vua có đấu thủ tham gia Mỗi đấu thủ phải gặp đủ đấu thủ lại, người trận Chứng minh rằng, thời điểm đấu, có hai đấu thủ đấu số trận Hướng dẫn giải Ta coi “thỏ” đấu thủ nên có thỏ; “lồng” số trận đấu đấu thủ nên có lồng: “lồng i” gồm đấu thủ thi đấu i trận (với i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Ta thấy lồng lồng khơng đồng thời tồn tại, có đấu thủ chưa đấu trận khơng có đấu thủ đấu đủ trận, có đấu thủ đấu đủ trận khơng có chưa đấu trận Như vậy, có lồng chứa thỏ nên theo ngun lí Dirichlet tồn lồng chứa khơng thỏ, tức thời điểm cược đấu ln tìm đấu thủ đấu dùng số trận Bài tốn Có nhà khoa học viết thư trao đổi với hai đề tài: bảo vệ môi trường chương trình dân số Chứng minh có ba nhà khoa học trao đổi đề tài Hướng dẫn giải Gọi nhà khoa học A, B, C, D, E, F .9 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN NGUYÊN LÝ DIRICHLET Nhà khoa học A viết thư trao đổi với nhà khoa học lại đề tài, có 2.2  nên theo nguyên lí Dirichlet tồn nhà khoa học (chẳng hạn B, C, D) nhà khoa học A trao đổi đề tài (chẳng hạn đề tài môi trường) Trong ba nhà khoa học B, C, D có hai người trao đổi đề môi trường (chẳng hạn B, C) ta chọn A, B, C trao đổi đề tài Nếu ba nhà khoa học B, C, D khơng có hai người trao đổi đề tài mơi trường họ trao đổi với đề tài dân số, ta chọn B, C, D trao đổi đề tài (Ở coi nhà khoa học (trừ A) “thỏ” nên có thỏ, coi đề tài “lồng” nên có lồng vận dụng ngun lí Dirichlet tổng quát)  Dạng 5: Bài toán liên quan đến xếp * Cơ sở phương pháp: Các toán xếp chỗ, phân cơng việc khơng địi hỏi nhiều kiến thức kĩ tính tốn, chúng chủ yếu kết hợp suy luận lôgic để xét khả xảy với ngun lí Dirichlet * Ví dụ minh họa: Bài tốn Có 20 người định bơi thuyền 10 thuyền đôi Biết hai người A B mà khơng quen tổng số người quen A người quen B không nhỏ 19 Chứng minh phân cơng vào thuyền đôi cho thuyền hai người quen Hướng dẫn giải Nếu 20 người hai người quen tổng số người quen hai người Điều mâu thuẫn với giả thiết tổng số người quen hai người không nhỏ 19 Vậy tồn số cặp quen Ta xếp cặp quen vào thuyền đơi Gọi k số lượng thuyền lớn mà ta xếp cặp quen vào thuyền kí hiệu thuyền thứ i xếp hai người Ai Bi quen (1 i k ) Giả sử k 9 , kí hiệu tập hợp M gồm người chưa xếp vào thuyền nào, tức gồm người đôi không quen Chọn hai người A B tập hợp M Theo tổng số người quen A số người quen B không nhỏ 19 người quen A quen B xếp vào thuyền Như có 19 người quen hệ quen A B xếp vào nhiều thuyền đơi (trừ thuyền A, B chưa xếp), mà 19 = 9.2 + nên theo nguyên lí Dirichlet tồn thuyền chở người quen A B Nhưng ta xếp lại sau: k – thuyền giữ nguyên, thuyền thứ k xếp Ak B, thuyền thứ k + xếp A Bk Điều mâu thuẫn với giả sử Theo cách xếp ta tiếp tục xếp đến hết 10 thuyền cho thuyền hai người quen 10