Chuyen de ung dung cua nguyen ly dirichlet hay nhat

1 ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP, SỐ HỌC, HÌNH HỌC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TỐN TỔ HỢP, SỐ HỌC VÀ HÌNH HỌC I Ngun lí Dirichlet Ngun lí Dirichlet - cịn gọi ngun lí chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) nguyên lý lồng nhốt thỏ nguyên lí xếp đồ vật v|o ngăn kéo (The Drawer Principle) - đưa nguyên tắc phân chia phần tử lớp  Nguyên lý Dirichlet bản: Nếu nhốt n  thỏ vào n chuồng có chuồng chứa hai thỏ  Nguyên lý Dirichlet tổng quát: Nếu có N đồ vật đặt vào k hộp tồn N hộp chứa   đồ vật (Ở đ}y  x  số nguyên nhỏ có giá trị nhỏ k x)  Nguyên lí Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m  chuồng tồn  n  m  1 chuồng có   thỏ  m   Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp: Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc n|o đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A m| chúng tương ứng với phần tử B II Phƣơng pháp ứng dụng Nguyên lí Dirichlet tưởng chừng đơn giản vậy, l| cơng cụ có hiệu dùng để chứng nhiều kết sâu sắc tốn học Ngun lí Dirichlet áp dụng cho tốn hình học, điều thể qua hệ thống tập sau: Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất tình nhốt ‚thỏ‛ v|o ‚chuồng‛ v| thoả mãn c{c điều kiện: + Số ‘thỏ‛ phải nhiều số chuồng + ‚Thỏ‛ phải nhốt hết vào ‚chuồng‛, không bắt buộc chuồng phải có thỏ Thường phương ph{p Dirichlet áp dụng kèm theo phương ph{p phản chứng Ngồi cịn áp dụng với nguyên lý khác III Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho bảng vng kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông đơn vị Điền v|o ô vuông bảng n|y số nguyên dương không vượt qu{ 10 cho hai số hai ô vuông chung cạnh chung đỉnh nguyên tố Chứng minh bảng vng cho có số xuất 17 lần Lời giải Xét hình vng cạnh 2x2 , hình vng n|y có hình vng nhỏ ln chung cạnh chung đỉnh nên tồn nhiều số chẵn, nhiều số chia hết cho có số lẻ không chia hết cho Bảng 10x10 chia th|nh 25 hình vng có cạnh 2x2 nên có 50 số lẻ khơng chia hết cho Từ đến có số lẻ không chia hết cho 1, 5, Áp dụng nguyên lí Dirichlet ta ba số xuất  50      17 lần 3 Ví dụ Giả sử bàn cờ hình chữ nhật có 3x7 ô vuông sơn đen trắng Chứng minh với c{ch sơn m|u bàn cờ ln tồn hình chữ nhật gồm góc màu Lời giải Mẫu sơn m|u xảy với bàn cờ có dạng từ đến Giả sử số cột thuộc dạng Bài toán chứng minh tất cột lại thuộc dạng 1, 2, Giả sử tất cột lại thuộc dạng 5, 6, 7, theo ngun lí Dirichlet hai số sau cột có cột dạng v| b|i to{n chứng minh Chứng minh ho|n to|n tương tự cột có dang Giả sử khơng có cột cột 1, theo ngun lí Dirichlet có cột dạng v| b|i to{n đựoc chứng minh Ví dụ Trong hình chữ nhật kích thước 1.2 ta lấy 6n  điểm với n số ngun dương Chứng minh tồn hình trịn có bán kính chứa khơng số c{c điểm n cho Lời giải Chia cạnh hình chữ nhật th|nh n đoạn v| 2n đoạn ,mỗi đoạn có độ dài Nối c{c điểm chia c{c đường thẳng song songvới cạnh hình chữ n nhật ta n.2n  2n2 hình vng nhỏ với cạnh Nếu hình vng chứa khơng n qu{ điểm tổng số điểm cho khơng qu{ 3.2n2  6n2 (trái với giả thiết) Do phải tồn hình vng chứa khơng điểm Rõ ràng hình vng cạnh đường trịn bán kính kính n nội tiếp n v| đường tròn n|y chứa đường tròn đồng tâm bán 2n Ví dụ Cho bảng vng gồm n.n ô vuông Mỗi ô vuông ghi số 1; 0; Chứng minh khơng tìm bảng vuông mà tổng số cột, hàng, đường chéo số khác Lời giải Do nhận ba số 0; 1; nên có trường hợp tất ô hàng cột đường chéo nhận giá trị nhận giá trị Do tổng số cột hàng đường chéo có giá trị nhỏ 0.n  giá trị lớn 2.n  2n Như tổng số hàng, cột, đường chéo nhận 2n  giá trị 0;1; 2; ; 2n Do bảng ô vuông n.n nên có n hàng, n cột v| hai đường chéo Do có 2n  tổng nhận 2n  giá trị số nguyên từ đến 2n Theo ngun tắc Dirichlet phải có tổng có giá trị Điều n|y có nghĩa l| khơng tìm bảng vng mà tổng số cột, h|ng, đường chéo số khác Ví dụ Ở vịng chung kết cờ vua có bạn tham gia Hai bạn phải đấu với trận v| người n|o phải gặp đủ đấu thủ Chứng minh thời điểm đấu, có hai đấu thủ đấu số trận Lời giải Giả sử số trận thi đấu bạn tham gia thi đấu cờ vua a1 ; a ; ; a Do hai bạn thi đấu với trận nên ta có   7, 1  i  Xét c{c trường hợp sau:  Tính đến thời điểm có bạn chưa đấu trận suy khơng có bạn n|o đấu đủ trận Khi   6, 1  i  tồn a k  a m có nghĩa l| có hai đấu thủ đấu số trận  Tính đến thời điểm xét, bạn đấu ván Khi ta có   7, 1  i  , tồn a k  a m có nghĩa l| có hai đấu thủ đấu số trận Vậy b|i to{n chứng minh Ví dụ Cho 40 số nguyên dương a1 ,a , ,a19 b1 , b2 , , b21 thoả mãn hai điều kiện:  a1  a   a19  200  b1  b2   b21  200 Chứng minh tồn bốn số a i ;a j ;bk ;bp với  i, j  19;1  k,p  21 thỏa mãn  a i  a j ; bk  bp   a j  a i  bp  bk Lời giải Xét tổng có dạng a m  bn với a m a1 ; a ; ; a19  bn b1 ; b2 ; ; b21  Do tập hợp a1 ; a ; ; a19  có 19 phần tử tập hợp b1 ; b2 ; ; b21  có 21 phần tử nên, nên ta có tất 19.21  399 tổng dạng a m  bn Chú ý  a1  a   a19  200  b1  b2   b21  200 nên  a m  bn  400 Nên tổng a m  bn nhận giá trị nguyên dương từ đến 400 Đến đ}y ta xét c{c trường hợp sau:  Nếu tổng nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 Khi từ giả thiết cảu tốn ta a1  b1  a  b1    a19  b21  400 a19  b21  200 a  a19 ; b1  b21 Từ ta suy  a19  a1  b21  b1  199  Nếu tổng không nhận đủ 399 giá trị từ đến 400 Khi với 399 tổng theo ngun lí Dirichlet tồn hai tổng có giá trị  a i  a j ; bk  bp Khơng tính tổng qt ta giả sử hai tổng l|   a j  bk  bp  a i  a i  a j ; bk  bp Từ suy   a j  a i  bp  bk Vậy b|i to{n chứng minh Ví dụ Trong tranh giải vô địch quốc gia bóng đ{ có 20 đội tham gia Số nhỏ trận đấu l| để đội ln tìm đội chơi với Lời giải Ta chia 20 đội thành nhóm, nhóm 10 đội c{c đội cùng1 nhóm thi đấu với Rõ ràng cách xếp thoả mãn c{c điều kiện toán tất có 90 trận đấu Ta chứng minh c{c điều kiện toán thoả mãn số trận đấu lớn 90 Giả sử ngược lại ta tìm đội A đấu số trận k  Ta ký hiệu c{c đội đấu với A l| X C{c đội không đấu với A l| Y, X  k; Y  19  k Dĩ nhiên c{c đội Y đấu với không hai đội thuộc Y A l| đội m| đội n|o chơi với Giả sử X có P cặp khơng chơi với Do đội Y phải đấu với đội P cặp X đội X có mặt không k  cặp số P cặp (X có tất k đội) Vì c{c đội X v| Y đấu số trận bé khác k  nên 19  k Mặt k 1 19  k P  P k 1 Như thay trận c{c đội X đấu với c{c đội Y trận đấu cần thiết giảm Như số trận đấu cần phải tiến hành là: k  k  1  19  k 18  k   k 2  18k  9.19   k    90  90 Vậy số trận đấu cần phải tiến hành 90 Ví dụ Chứng minh 39 số tự nhiên liên tiếp ln tồn số có tổng chữ số chia hết cho 11 Lời giải Xét tập hợp 39 số tự nhiên liên tiếp S  a1 ; a ; ; a 39  ,  1   1,  i  38  Trong tập a1 ; a ; ; a 20  tồn hai số có tận l| v| 10 Do hai số tồn số có chữ số hàng chục nhỏ 9, kí hiệu số l| A  Bc0   c  8, c  , B   Xét 11 số A; A  1; A  2; ; A  9; A  19 Nhận xét rằng: + 11 số thuộc tập S + 11 số có tổng chữ số 11 số tự nhiên liên tiếp tổng l|: s  A  ; s  A   1; s  A   2; ; s  A   9; s  A   10 ,với s  A  tổng chữ số A Trong 11 số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết cho 11 Do vậy, ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho tập A  1; 2; 3; ;16 Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ cho tập gồm k phần tử A tồn hai số phân biệt a, b mà a  b2 số nguyên tố Lời giải Nếu a, b chẵn a  b2 hợp số Do tập X A có hai phần tử phân biệt a, b mà a  b2 số ngun tố X khơng thể chứa số chẵn Suy k  Ta chứng tỏ k  giá trị nhỏ cần tìm Điều có ý nghĩa l| với tập X gồm phần tử A tồn hai phần tử phân biệt a, b mà a  b2 số nguyên tố Để chứng minh khẳng định ta chia tập A thành cặp hai phần tử phân biệt a, b mà a  b2 số nguyên tố, 1;  ,  2; 3 ,  5;  ,  6;11 , 7;10  ,  9;16  , 12;13 , 14;15 ta có tất cặp Theo nguyên lý Dirichlet phần tử X có hai phần tử thuộc cặp ta có điều phải chứng minh Ví dụ 10 Cho 2014 số tự nhiên Chứng minh số số có số chia hết cho 2014 có số số mà tổng số chia hết cho 2014 Lời giải Gọi 2014 số tự nhiên cho l| a1 ,a , ,a 2014 Xét dãy S1  a1 ; S2  a1  a ; ; S2014  a1  a   a 2014 Chia tất số hạng dãy cho 2014 ta có c{c trường hợp sau:  Trường hợp 1: Nếu có số hạng dãy chia hết cho 2014 b|i to{n chứng minh  Trường hợp 2: Nếu khơng có số hạng dãy chia hết cho 2014 có tất 2014 phép chia mà số dư gồm 1, 2, , 2013 theo nguyên lý Dirichle có hai số hạng dãy có số dư chia cho 2014 Gọi hai số hạng S i S j Khơng tính tổng quát, giả sử  i  j  2014 S i  a1  a  Lúc S j  Si 2014  a i 1   S j  a1  a     aj  a j 2014 Từ ta có điều phải chứng minh Ví dụ 11 Chứng minh từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 Lời giải Ta chứng minh từ số tự nhiên ln tìm số mà tổng chúng chia hết cho Thật vậy, số tự nhiên chia cho có phần dư l| 0, Nếu số dư có số 0, số 1, số tổng ba số tự nhiên tương ứng với ba số dư n|y l| chia hết cho Nếu số dư nhận không số 0, 1, theo nguyên tắc Dirichlet tồn số dư nhận giá trị tổng ba số tự nhiên tương ứng chia hết cho Từ 53 số tự nhiên cho chọn số mà tổng chúng a1 chia hết cho Xét 50 số lại chọn số mà tổng a2 chia hết cho Lặp lại lập luận từ 53 số ta chọn 17 bộ, gồm số có tổng a1, a2, < a17 cho tổng chia hết cho Chứng minh tương tự nhận thấy từ số tự nhiên mà số chia hết cho ta chọn số có tổng chia hết cho Vậy từ 17 số ta chọn gồm số có tổng b1 , b2 , , b5 cho bi với i 1; 2; 3; 4; 5 Từ số chia hết cho b1 , b2 , , b5 chọn số mà tổng chúng chia hết cho 27 Tổng số tổng 27 số ban đầu Vậy từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 Ví dụ 12 Trong giải bóng đ{ có 12 đội tham dự, thi đấu vòng tròn lượt(hai đội thi đấu với trận) a) Chứng minh sau bốn vòng đấu(mỗi đội thi đấu trận) ln tìm ba đội đơi chưa thi đấu với b) Khẳng định cịn khơng đội thi đấu trận Lời giải a) Có 12 đội mà đội thí đấu trận nên ln tìm hai đội chưa thi đấu với Gọi hai đội l| A v| B Vì A v| B thi đấu trận nên 10 đội cịn lại ln tìm hai đội chưa thi đấu với A B Gọi hai đội l| C Ba đội A, B, C chưa thi đấu với trận n|o nên ba đội A, B, C l| ba đội cần tìm 10 b) Ta chia 12 đội bóng thành hai nhóm, nhóm đội Trong nhóm đơi thi đấu với Như 12 đội này, đội thi đấu trận Xét ba đội tùy ý, theo nguyên lí Dirichlet ln tìm hai đội nhóm Như ba đội bóng ln tìm hai đội thí đấu với Do khẳng định khơng đội thi đấu trận Ví dụ 13 Cho X tập hợp gồm 700 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn 2006 Chứng minh tập hợp X ln tìm hai phần tử x, y cho x – y thuộc tập hợp E  3; 6; 9 Lời giải  700  Theo nguyên lý Dirichlet 700 số có     234 số có số dư   chia cho Gọi 234 số l|  a1  a   a 234  2006 Giả sử không tồn hai số a i ; a j   thỏa mãn  a j 3; 6; 9 a i  a j  12 (vì a i  a j a i  a j ) Trong 234 số trên, hai số kề nhau 12 đơn vị nên a 234  a1  233.12  2796  2006 , điều vơ lý Như ta có điều phải chứng minh Chú ý: + Ta làm chặt toán cách giảm số số cho ban đầu tăng gi{ trị cho số nhận Ta làm chặt tốn cách thay 700 số thành 504 số Gọi 504 số nguyên dương đôi kh{c cho l|  a1  a   a 504  2006 Xét 504   2016 số nguyên dương sau: a1 a2 < a 503 a 504 a1  a2  < a 503  a 504  79 Bài 33 Giả sử đội bóng l| A, B, C, D, E, F Xét đội A, theo nguyên lý Dirichlê ta suy A phải đấu khơng đấu với đội khác Khơng tính tổng qt ta giả sử A đấu với B, C, D + Nếu B,C, D cặp chưa đấu với b|i to{n chứng minh + Nếu B, C, D có hai đội đấu với nhau, ví dụ B v| C đội A, B, C cặp đấu với Như lúc có đội cặp đấu với chưa đấu với trận Bài 34 Gọi (O) l| đường tròn ngoại tiếp lục gi{c có cạnh 2, (O) có bán kính R  Gọi ABCD hình vng ngoại tiếp (O) Cạnh hình vng Chia hình vng thành 16 hình vng nhỏ, có cạnh Rõ ràng 16 hình vng chứa 81 điểm cho Vì 81  16.5  nên theo ngun lý Dirichlet tồn hình vng cạnh chứa điểm số c{c điểm cho 80 CHỦ ĐỀ 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nh| to{n học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) nêu định lí m| sau người ta gọi l| Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý ph{t biểu sau: “Nếu nhốt vào n lồng số thỏ mà số lượng lớn n ta tìm lồng mà có nhiều thỏ” Chúng ta biết bất đẳng thức l| dạng to{n hay v| khó, thường có c{c kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia v| Quốc tế Có nhiều phương ph{p để chứng minh bất đẳng thức phương ph{p chứng minh phép biến đổi tương đương, phương ph{p quy nạp, phương ph{p chứng minh phản chứng, dùng c{c BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki, Trong b|i viết n|y muốn giới thiệu phương ph{p chứng minh bất đẳng thức kh{ thú vị l| ứng dụng nguyên lí Dirichlet Với phương ph{p n|y, giúp chứng minh số b|i to{n bất đẳng thức c{ch gọn g|ng v| độc đ{o Từ ngun lí Dirichlet có mệnh đề có ý nghĩa quan trọng: Trong số thực a, b, c tìm hai số dấu Đ}y l| mệnh đề quan trọng, ta chọn ‚điểm rơi” (tức l| đẳng thức b|i to{n) ta {p dụng mệnh đề để chứng minh bất đẳng thức    Chẳng hạn đẳng thức xảy a  b  c  k ta giả sử số a  k ; b  k  dấu, (a  k )(b  k )  Chúng ta tìm hiểu số ví dụ sau để thấy ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet việc giải bất đẳng thức nào? Bài toán Cho a, b, c l| c{c số thực dương Chứng minh rằng: a      b2  c2   ab  bc  ca  Phân tích lời giải Dễ d|ng dự đo{n đẳng thức xẩy a  b  c  Theo đ{nh gi{ quen     thuộc ta có ab  bc  ca  a  b  c Như ta cần chứng minh 81 a      b2  c2   a  b  c  Quan s{t bất đẳng thức ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki Như ta  cần đ{nh gi{ từ a  b  c  l|m xuất a  , để ý ta thấy a  b  c  a 2       1  b2  c2  a   b2  c2 Phép chứng minh ho|n tất ta      1  b  c    b   c   2  a   b2  c2  a  b2  c2  2 2   Biến đổi tương đương ta thu        b  b c b c  1 c  1  Như ta cần  b  1 c  1  , nhiên vai trị a, b, c  b2  c2  b2  c2    3b2  3c2  b2c2  2b2  2c2  2 2 2 2 nên theo nguyên lí Dirichlet ba số a  1; b2  1; c2  tồn hai số dấu v| ta ho|n to|n giả sử hai số l| b2  1; c2  Như b|i to{n chứng minh xong Nhận xét: Ta chứng minh bất đẳng thức theo cách khác sau: Theo nguyên lí Dirichlet ba số ab  1; bc  1; ca  tồn hai số không trái dấu, Không tính tổng qt ta giả sử hai số ta ab  1; bc  ta ab  1bc  1   ab c   ab  bc a b c  b   ab c  1  ab  bc  2 2 Suy 2 Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành       b   ab  bc  a  b  c   ab  bc  ca    2ab nên a b  b c  c a    ab  bc  ca  a 2b 2c  a 2b  b 2c  c 2a  a  b  c   ab  bc  ca Ta có a 2b 2c Lại thấy a 2b 2 2 2 2 2 Và a  c  2ac Từ bất đẳng thức ta       a 2b 2c  a 2b  b 2c  c 2a  a  b  c   ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Bài toán Cho a, b, c l| c{c số thực khơng }m Chứng minh rằng:  a2  b2  c2  2abc   ab  bc  ca  82 Lời giải Trước hết ta để ý đến đẳng thức xẩy a  b  c  điều n|y có nghĩa l| đẳng thức xẩy a  1; b  1; c  0, ngo|i ta bất đẳng thức chứa c{c    đại lượng ab, abc, nên ta nghĩ đến tích c a  b  , nhiên ta chưa thể khẳng định tích có khơng }m hay khơng nên ta sử dụng ngun lí Dirichlet Theo nguyên lí Dirichlet ba số a  1; b  1; c  tồn hai số dấu, khơng tính tổng qu{t ta giả sử hai l| a  1; b  , ta có a  1 b  1   c a  1b  1   abc  ac  bc  c  Khi ta có    a2  b2  c2  2abc   a  b   c       abc  ac  bc  c  ab  bc  ca    1  c  abc  ac  bc  c   nên ta có a  b  2ab  1  c   2c  2abc  2ac  2bc  bc  ca   ab  bc  ca  Dễ thấy a  b 2 2  Suy a  b  c  2abc   ab  bc  ca 2  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Nhận xét: Ta chứng minh bất đẳng thức với số thực thay đổi chút:  a  b  c  a 2b 2c   ab  bc  ca     Theo ngun lí Dirichlet c a  b    a 2b 2c  c  b 2c  c 2a Nên ta cần chứng minh    a  b   b 2c  c 2a  ab  bc  ca  a  b   bc  1  ca  1 2 Bất đẳng thức hiển nhiên Đẳng thức xảy a  b  c  1 Bài toán Cho c{c số thực dương a, b, c Chứng minh     a2  b2  c2  2abc   a  b  c  Lời giải Sau nh}n vế cho bất đẳng thức tương đương với      a2  b2  c2  2abc   ab  bc  ca  a  b  c  Theo b|i to{n ta a  b  c  2abc   ab  bc  ca 2   Phép chứng minh ho|n tất ta         a2  b2  c2   a  b  c  a   b   c  Bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh 0 0 83 Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài toán Cho c{c số thực dương a, b, c Chứng minh a       (b2  2)(c2  2)  a  b  c  abc  Lời giải Bất đẳng thức tương đương với      a2b2  b2c2  c2a2  a2  b2  c2  2abc   ab  bc  ca  Theo bất đẳng thức Cauchy 2a2b2   2b2c2   2c2a2   4ab  4bc  4ca 3a2  3b2  3c2  3ab  3bc  3ca Và Từ kết hợp với b|i to{n ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài toán Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a2  b2  c2  abc  ab  bc  ca  abc  Chứng minh rằng: Lời giải Dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c        Cách 1: Theo ngun lí Dirichlet số a  ; b  ; c  dấu Không    c  a  1 b  1   abc  bc  ca  c tính tổng qu{t, giả sử a  b   Mặt kh{c ta có  a2  b2  c2  abc  2ab  c2  abc  c2  2ab  abc   c  ab Suy   Suy  ab  bc  ca  abc   c  bc  ca  bc  ca  c     Cách 2: Theo nguyên lý Dirichlet ta có c a  b    abc  bc  ca  c   ab  bc  ca  abc  ab  bc  ca  ac  bc  c  ab  bc  ca  abc  ab  c Ta chứng minh ab  c  2 Từ a2  b2  c2  abc  ta a  4; b  4; ab   a  b2  Mặt kh{c từ a2  b2  c2  abc  suy c2  abc  a2  b2   Xem đẳng thức l| l| phương trình l| bậc hai theo biến c   Khi ta       ab  a2  b2    a2  b2  Do phương trình có hai nghiệm 84 c ab    a   b  c  ab    a   b  2 2   a   b  ab  Vì c  nên c  2 2 Do ta ab  ab    a   b    ab  ab    a 4  b   2 2   ab    a   b     ab     a  2 2 2  b2  a  b    0 Vậy bất đẳng thức phải chứng minh Bài toán Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca rằng: Lời giải Khơng tính tổng qu{t, giả sử hai số a  b  khơng âm    Khi ta c a  b    abc  bc  ca  c    Suy a  b  c  abc  a  b  c  ac  bc  c  a  b  c  abc  a  b c  Mặt kh{c ta có a  b      ab  bc  ca  abc  c a  b  ab  abc  c a  b    c ab  4 1  a  b c 1  ab Do ta a  b  c  abc  nên ta có  Suy c    a  b  c  abc  ab  bc  ca  abc Hay a  b  c  ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Nhân xét: Ta chứng minh theo cách sau    Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  ,(c  1) dấu, khơng tính    tổng quát, giả sử a  b   Khi    c a  b    c  ac  bc  abc Do ta cần chứng minh a  b  ab  abc Từ giả thiết ab  bc  ca  abc  suy c   ab a  b  ab Thay vào bất đẳng thức ta bất đẳng thức tương đương là: 85   ab  a  b  ab     a  b a  b  ab  ab  a  b  a  b a  b  ab          0 Bất đẳng thức hiển nhiên Phép chứng minh hồn tất Bài tốn Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1   32 abc a b c   Lời giải 1   32 a bc  a b c Không tính tổng qu{t giả sử a  b  không âm  Bất đẳng thức viết lại l| P      Khi suy a  b   Ta có 1 1 1 P    32 a bc       2 a bc 3 a b c  a b  ab c 2 1 1 1 1 2      2c  a b  a  b  c       a 2b2  2a  2b  a b a b       1 1      a  b   ab  a b      0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài toán Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:          1 1 1  a   1  b   1   b   1  c   1   c   1  a   1  b c c a a b          Lời giải Đặt x  a  1 ; y  b  ; z  c  , bất đẳng thức cần chứng minh b c a viết lại th|nh  x  1 y  1   y  1 z  1   z  1 x  1  Hay ta cần chứng minh xy  yz  zx   x  y  z  Theo ngun lí Dirichlet số  x   ,  y   ,(z  2) dấu Khơng tính tổng qu{t, giả sử  x   y    , suy xy   2x  2y   x  y  z   2z  xy  Lại có xyz  abc   x  y  z   x  y  z   xy  z abc 86   z xy   Suy   xy   z    xy    Từ hai bất đẳng thức ta x  y  z  2z  xy   xy  yz  zx Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài toán Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a     a  b2  b  c2  c   Lời giải    Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  ,(c  1) dấu, khơng    tính tổng qu{t giả sử b  c   Khi ta b       b  c2  c   bc b  c   b2  c2  b  c   b2  c2  b  c   Do ta a   a b  c  b  c 1      1   a  1   b  c    b  c   1   a 2    a  b2  b  c2  c  2   a  a  4a   Nên ta cần chứng minh a    a   a  a2  4a    a  2   3a   Bất đẳng thức cuối Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài toán 10 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng:  a2  b2  c2  a  b  c  ab  bc  ca Lời giải     Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  ,(c  1) dấu, khơng   tính tổng qu{t giả sử a  1)(b    abc  ac  bc  c Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a  b  c  3 abc  Phép chứng minh ho|n tất ta  a2  b2  c2   ab  bc  ca Thật ta có  a2  b2  c2   a2  b2  c2  2abc  Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a2  b2  2ab; c2   2c Kết hợp với abc  ac  bc  c ta 87    a2  b2  c2   2ab  2c  bc  ca  c  ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Bài toán 11 Cho a, b, c l| c{c số thực khơng }m Chứng minh rằng: 2  a 1  b 1  c 1   a  b  c    abc       Lời giải      Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  , c  dấu Khơng    tính tổng qu{t, giả sử a  b    ab  a  b  Vì để ho|n tất b|i to{n ta cần chứng minh   c a  b 1   2  a 1  b 1  c 1   a  b  c         2  a 1  b 1  c 1   a  b 2 1 c    Hay         Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a  b  2   a  1   b  1   c  1 2   2  a  b  1  c     c 1   a b2 1c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Bài toán 12 Cho a, b, c l| c{c số thực dương Chứng minh rằng:    a2  b2  c2  abc   a  b  c Lời giải        Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  , c  dấu, khơng    tính tổng qu{t giả sử a  b    abc  ac  bc  c     Suy a2  b2  c2  abc   a  b2  c2  ac  bc  c  Phép chứng minh ho|n tất ta    a2  b2  c2  ac  bc  c   a  b  c  Thật vậy, bất đẳng tương đương với  b  c  2   c  a  2 2        a 1  b 1  c 1 0 Bất đẳng thức Vậy b|i to{n chứng minh xong Đẳng thức xảy | a  b  c  Nhận xét: Hồn tồn tương tự ta tổng qt hóa tốn trên: 88 a) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:      m a  b  c  abc  3m   2m  a  b  c Trong m số thực cho trước thỏa mãn m  2 b) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 2m  1 a     b  c  2abc   2m ab  bc  ca Trong m số thực cho trước thỏa mãn m  c) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ta ln có bất đẳng thức: abc  a  b  c2   a  b  c  ab  bc  ca d) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng:  2abc  a  b  c  13  a  b  c  Bài toán 13 Cho a, b, c l| c{c số thực không }m Chứng minh rằng:    a  b3  c3  3abc   ab  bc  ca  Lời giải       Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  , c  dấu,   khơng tính tổng qu{t giả sử a  1)(b    3abc  3ac  3bc  3c     Suy a  b3  c3  3abc   a  b3  c3  3ac  3bc  3c  Phép chứng minh ho|n tất ta   a    c    9ab  6bc  6ca  3c a  b3  c3  3ac  3bc  3c   ab  bc  ca b  Thật vậy, {p dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3c  3 c3 1.1  c3   1; 6ca  c3a 3.1  2c3  2a  6bc  b3 c3  2b3  2c3  2; 9ab  a 3.b3.1  3a  3b3  Cộng vế theo vế c{c bất đẳng thức ta   a  b3  c3   9ab  6bc  6ca  3c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Bài toán 14 Cho a, b, c l| c{c số thực không }m thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng:  9abc   ab  bc  ca Lời giải  89  Theo ngun lí Dirichlet số  a  1  1  1  ,  b   ,  c   dấu, 3  3  3   1 1 khơng tính tổng qu{t giả sử  a    b     9abc  3ac  3bc  c 3 3   9abc   3ac  3bc  c Suy  Phép chứng minh ho|n tất ta  3ac  3bc  c  ab  bc  ca  Thật bất đẳng thức tương đương với      1  c   4ab   a  b   4ab   a  b   c  c a  b  4ab   c  c  c  4ab 2 0 Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức thức xẩy v| abc 1 a  b  ; c  v| c{c ho{n vị Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta chứng minh tốn: Cho a, b, c số thực không âm  thoả mãn a  b  c  k Chứng minh rằng: 9abc  k  4k ab  bc  ca  Bài toán 15 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a  1  b  1  c  1  2 Lời giải 1 a 1 b 1 c 1          Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  , c  dấu,    không tính tổng qu{t giả sử a  b    a  b   ab  c 1 c Do ta a  1 b  1 c  1  1  a  b  ab  c  1  1  ab 1  c     c 1 c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có    a  1  b  2 1    a b  ab     ab    b a   b a c      ab c  1  ab a  b  ab a  b     Do ta        90 1    1  a  1  b  1  c   2  1a 1 b 1 c  c  c 1 c 1   c    c  1 2     c c 1 1 c  c  1 Như bất đẳng thức ban đầu chứng minh Đẳng thức xẩy 1 a b c 1 Bài toán 16 Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1     a  1  b  1  c  1 2 1 a  b  c 1 Lời giải Trước hết ta chứng minh   a  1  b   1  ab  Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với ab  1  a  1   b  1   a  1  b  1 2     ab a  b  ab   Như bất đẳng thức chứng minh Mà ta có c  nên ta có  ab  c a 1     b  1 2  c 1 c Phép chứng minh ho|n tất ta c  1 c c 1    1 a  b  c 1       Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  , c  dấu,    khơng tính tổng qu{t giả sử a  b    a  b   ab  Khi ta c  1 c c 1    c   a  b  c 1 1 c c 1    c 1  c 1 c  c 1 c   c c 1 1 c  c 1  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Bài toán 17 Cho a, b, c c{c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a3  b3  c3  a  1  b  1  c  1 2 Lời giải Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: 3 1 91 1    1 1a 1 b 1 c 1a  b  c 1 1    1 2 a  b  c 1 1a 1 b 1 c Bổ đề Bổ đề       + Bổ đề 1: Bất đẳng thức tương đương với   ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c   3abc  a  b2  c2  1a  b  c Đ{nh gi{ cuối theo bất đẳng thức Cauchy a2  b2  c2  3 a2b2c2  Vậy bổ đề chứng minh    + Bổ đề 2: Theo ngun lí Dirichlet số a  , b  ,(c  1) dấu,   khơng tính tổng qu{t giả sử a  1)(b    Ta có  1a    1 b  Do ta    ab   a  b  ab  1  a   b  1 c 1  ab   a  b c      (đúng) c   ab c  Suy   1  a  1  b  1  c  2  c   a  b  c 1 c 1 c 1    c 1  c 1 c 1 Vậy bổ đề chứng minh Trở lại b|i to{n bất đẳng thức cần chứng minhtương đương với 1    1a 1 b 1 b a 1     2 b 1    2 b 1  3 M| theo bổ đề ta có 1 2      2 1a 1 b 1 b a 1 b 1 b 1 2 2     1    2 a  b  c  a 1 b 1 b 1             Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy v| a  b  c  Bài toán 18 Cho a, b, c c{c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 92 b  c  a  a  b  c c  a  b  b  c  a  2 2  1  2c   c  a  b   2 a  b  c   c  a  b  2 Lời giải Chú ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức th|nh 1  2a  a  b  c 1  2b   b  c  a  2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng ph}n thức 1  2b  b  c  a  2 1  2c   c  a  b 2  2b  2c   b  c  1  a   1  b  1  2a   2a   c  a a  b  c 2 2 2 b2 2a b2  c2  a 2 Ta quy b|i to{n chứng minh  2  Theo ngun lí Dirichlet số  a   1 , 3  1  b  , 3   1  c   dấu, 3    1 1 1 khơng tính tổng qu{t giả sử  b    c     b2  c2   b  c    3 3 3   2a 2a 18a   Do ta 2 b  c2  a  9a  3a  2 a     a 3  Suy 2a b  c2 1  2a    a a  b  c 2 1  2a  18a   9a  3a  a   b  c  2 2 Dễ d|ng chứng minh    2a 18a  9a  3a  a  b  c     17a  3a   2   8a   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy v| a  b  c  Qua số b|i to{n trên, ta thấy nguyên lí Dirichlet khơng có ứng dụng việc giải to{n rời rạc, c{c b|i to{n số học, tổ hợp, < m| cịn có hiệu việc chứng minh số b|i to{n bất đẳng thức, số trường hợp cho ta lời giải vô đẹp đẽ v| s{ng, góp phần việc n}ng cao tư v| tạo hứng thú cho c{c học sinh u thích mơn to{n Hy vọng rằng, với suy nghĩ v| ví dụ 93 góp phần bổ sung thêm kiến thức v| kinh nghiệm việc chứng minh bất đẳng thức ... A l| đỉnh chung tam giác, ta chứng minh tất c{c tam gi{c nhận A l|m đỉnh chung Xét tam giác DEF bất kì, tam giác trùng với A tam giác có đỉnh chung với bốn tam gi{c m| có đỉnh chung l| A, điều... tam giác ln có điểm chung a) Xét tam giác ABC tam giác trên, tam giác tam gi{c có đỉnh chung với tam gi{c ABC, theo nguyên lí Dirichlet ba điểm A, B, C có điểm l| đỉnh chung tam gi{c, điều n|y... hai số hai ô vuông chung cạnh chung đỉnh nguyên tố Chứng minh bảng vng cho có số xuất 17 lần Lời giải Xét hình vng cạnh 2x2 , hình vng n|y có hình vng nhỏ ln chung cạnh chung đỉnh nên tồn nhiều