III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1 NGUYÊN HÀM 1 Khaùi nieäm nguyeân haøm Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K Haøm soá F ñược gọi laø nguyeân haøm cuûa f treân K neáu ''''( ) ( )F x f x , x K N[.]
III NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1 NGUN HÀM Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K nếu: F '( x) f ( x) , x K Nếu F x nguyên hàm f x K họ nguyên hàm f x K là: f ( x)dx F( x) C ,C Mọi hàm số f x liên tục K có nguyên hàm K Tính chất f '( x )dx f ( x ) C f ( x) g( x)dx f ( x)dx g( x)dx Nguyên hàm số hàm số thường gặp 0dx C dx x C x dx x dx ln x C e x 1 C, 1 x dx e x C ( 1) kf ( x)dx k f ( x )dx (k 0) ax C (0 a 1) ln a x a dx cos xdx sin x C sin xdx cos x C cos2 x sin2 x dx tan x C dx cot x C cos(ax b)dx a sin(ax b) C (a 0) sin(ax b)dx a cos(ax b) C (a 0) ax b dx eax b C, (a 0) a e ax bdx a ln ax b C 1 Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu f (u)du F(u) C u u( x ) có đạo hàm liên tục thì: f u( x).u '( x)dx F u( x) C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: udv uv vdu VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm Dạng 1: Nếu f x có dạng: f ( x )dx phương pháp đổi biến số f x g u( x ) u '( x ) ta đặt t u( x) dt u '( x)dx Khi f ( x )dx g(t )dt , g(t )dt dễ dàng tìm Chú yù: Sau tính g(t )dt theo t , ta phải thay lại t u x Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến a2 x hoaëc a2 x hoaëc x a sin t, x a cos t, 0t x a tan t, x a cot t, 0t t t đó: VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P x đa thức x, ta thường gặp dạng sau: P( x ).e x dx P( x).cos xdx P( x).sin xdx P( x).ln xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f x , ta cần tìm hàm g x cho nguyên hàm hàm số f x g x dễ xác định so với f x Từ suy nguyên hàm f x Bước 1: Tìm hàm g x Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f x g x , tức là: F ( x ) G( x ) A( x ) C1 F ( x ) G( x ) B( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F( x ) (*) A( x) B( x) C nguyên hàm f x VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) hàm hữu tỉ: f ( x ) P( x ) Q( x ) – Nếu bậc P x bậc Q x ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P x bậc Q x Q x có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f x thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Chẳng hạn: ( x m)(ax bx c) A B ( x a)( x b) x a x b A Bx C , vớ i b2 4ac x m ax bx c ( x a)2 ( x b)2 A B C D x a ( x a)2 x b ( x b)2 f(x) hàm vô tỉ ax b + f x R x, m cx d đặt t m ax b cx d f x R ( x a)( x b) + đặt t xa xb f x hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn: + sin ( x a) ( x b) sin(a b) 1 , sử dụ ng sin(a b) sin( x a).sin( x b) sin(a b) sin( x a).sin( x b) + sin ( x a) ( x b) sin(a b) 1 , sử dụ ng sin(a b) cos( x a).cos( x b) sin(a b) cos( x a).cos( x b) + cos ( x a) ( x b) 1 , sin( x a).cos( x b) cos(a b) sin( x a).cos( x b) cos(a b) sử dụ ng cos(a b) + Neáu R( sin x,cos x) R(sin x,cos x) đặt + Neáu R(sin x, cos x) R(sin x,cos x) đặt t cosx t sinx + Nếu t tanx (hoaëc t cotx ) R( sin x, cos x) R(sin x,cos x) đặt §2 TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục K a, b K Nếu F nguyên hàm f K thì: F b – F a đgl tích phân f từ a đến b kí hiệu b f ( x )dx a b f ( x )dx F(b) F(a) a Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x , tức là: b b b a a a f ( x )dx f (t)dt f (u)du F(b) F(a) Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y f x liên tục không âm đoạn a; b diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y f x , trục Ox hai đường thẳng x a, x b laø: b S f ( x )dx a Tính chất tích phân f ( x )dx a b b a a kf ( x )dx k f ( x )dx b (k : const) b b b b c b a a a a a c f ( x) g( x)dx f ( x )dx g( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx Nếu f x a; b b f ( x )dx a Neáu f x g x a; b b a b f ( x )dx g( x )dx a Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số a f ( x )dx f ( x )dx b b u( b ) a u( a ) f u( x ).u '( x )dx f (u)du đó: u u x có đạo hàm liên tục K , y f u liên tục hàm hợp f u x xác định K , a, b K b) Phương pháp tích phân phần b b b Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K , a, b K thì: udv uv a vdu a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm b b a a – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho vdu dễ tính udv VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F x cuûa f x , sử dụng trực tiếp định nghóa tích phân: b f ( x )dx F(b) F(a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: g( x ) f u( x ).u '( x) b u( b ) a u( a ) g( x )dx f (u)du Dạng 2: Giả sử ta cần tính f ( x )dx x x t (t K ) vaø a, b K thoả mãn x a , x b Đặt b b a a f ( x )dx f x(t ) x '(t )dt g(t )dt g(t) f x(t).x '(t) Dạng thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến x a cos t, 0t x a tan t, x a cot t, 0t a2 x hoaëc a2 x hoaëc x a sin t, x t t t ; \ 0 2 a , sin t x a2 a VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương 0;ng phầ xphá p tích , phâtntừ \ n cos t 2 Với P x đa thức x , ta thường gặp dạng sau: b b b b a a a a x P( x ).e dx P( x ).cos xdx P( x ).sin xdx P( x ).l n xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f x có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f x sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ Nếu hàm số f x liên tục hàm số lẻ a; a Nếu hàm số f x liên tục hàm số chẵn a; a a f ( x )dx a a a a f ( x )dx f ( x )dx Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: Bước 1: Phân tích I a f ( x )dx a a Bước 2: Tính tích phân J a J f ( x )dx; K f ( x )dx a a f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx baèng phương pháp đổi biến Đặt t –x a – Nếu f x hàm số lẻ J –K I J K – Nếu f x hàm số chẵn J K Dạng Nếu f x liên tục hàm chẵn f ( x) dx f ( x )dx a x I J K 2K thì: (với + a 0) Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự I f ( x) f ( x) dx dx x x x dx a a a 1 f ( x) Để tính J ta đặt: t –x f (x) f (x) J dx; K dx x x a a Dạng Nếu f x liên tục 0; 2 f (sin x )dx Để chứng minh tính chất ta đặt: t f (cos x )dx x Dạng Nếu f x liên tục vaø f (a b x) f ( x) hoaëc f (a b x) f ( x) đặt: t a b – x Đặc biệt, a b đặt t – x a b 2 đặt t 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f x ta cần tìm hàm g x cho nguyên hàm hàm số f x g x deã xác định so với f x Từ suy nguyên hàm f x Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g x Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f x g x , tức là: F ( x ) G( x ) A( x ) C1 F ( x ) G( x ) B( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F( x ) (*) A( x) B( x) C nguyên hàm f x VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n f ( x, n)dx n phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường gặp a số yêu cầu sau: Thiết lập công thức truy hồi, tức biểu diễn I n theo I n k (1 k n) Chứng minh công thức truy hồi cho trước Tính giá trị I n cụ thể §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Diện tích hình phẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị C hàm số y f x liên tục đoạn a; b – Trục hoành – Hai đường thẳng x a, x b laø: b S f ( x ) dx a 1 Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị hàm số y f x , y g x liên tục đoạn a; b – Hai đường x a, x b thẳng b là: 2 S f ( x ) g( x ) dx a Chú ý: Nếu đoạn a; b , hàm số f x không đổi dấu thì: b f ( x ) dx a b f ( x )dx a Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f x f x – g x đoạn a; b Giả sử tìm nghiệm c, d c d Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b a c d b a c d f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx hoaëc = c f ( x )dx a d f ( x )dx c b f ( x)dx d treân đoạn a; c , c; d , d; b hàm số f x không đổi dấu) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị x g y , x h y (g h hai hàm số liên tục đoạn c; d ) – Hai đường thẳng x c, x d (vì d S g( y) h( y) dy c Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b S x diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a x b) Giả sử S x liên tục đoạn a; b Thể tích B laø: b V S( x )dx a Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: C : y f x , trục hoành, x a, x b a b sinh quay quanh truïc Ox : b V f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh truïc Oy : C : x g y , truïc tung, y c, y d laø: d V g2 ( y )dy c ... Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh truïc Oy : C : x g y , truïc tung, y c, y d laø: d V g2 ( y )dy c ... nghóa hình học: Nếu hàm số y f x liên tục không âm đoạn a; b diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y f x , trục Ox hai đường thẳng x a, x b là: b S f ( x )dx a... ).cos xdx P( x ).sin xdx P( x ).l n xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) VA? ?N ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f x có chứa