1. Trang chủ
  2. » Tất cả

Cong thuc va ung dung cua nguyen ham tich phan chon loc

12 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 378,61 KB

Nội dung

III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1 NGUYÊN HÀM 1 Khaùi nieäm nguyeân haøm  Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K Haøm soá F ñược gọi laø nguyeân haøm cuûa f treân K neáu ''''( ) ( )F x f x , x K  N[.]

III NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §1 NGUN HÀM Khái niệm nguyên hàm  Cho hàm số f xác định K Hàm số F gọi nguyên hàm f K nếu: F '( x)  f ( x) , x  K  Nếu F  x  nguyên hàm f  x  K họ nguyên hàm f  x  K là:  f ( x)dx  F( x)  C ,C   Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Tính chất   f '( x )dx  f ( x )  C    f ( x)  g( x)dx   f ( x)dx   g( x)dx Nguyên hàm số hàm số thường gặp   0dx  C   dx  x  C    x dx    x dx  ln x  C  e x 1  C,  1 x dx  e x  C (  1)   kf ( x)dx  k  f ( x )dx (k  0) ax  C (0  a  1) ln a  x  a dx    cos xdx  sin x  C   sin xdx   cos x  C     cos2 x sin2 x dx  tan x  C dx   cot x  C   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C (a  0)   sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C (a  0) ax  b dx  eax b  C, (a  0) a  e   ax  bdx  a ln ax  b  C 1 Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu  f (u)du  F(u)  C u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:  f u( x).u '( x)dx  F u( x)  C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì:  udv  uv   vdu VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  Dạng 1: Nếu f  x  có dạng:  f ( x )dx phương pháp đổi biến số f  x   g u( x ) u '( x ) ta đặt t  u( x)  dt  u '( x)dx  Khi f ( x )dx   g(t )dt ,  g(t )dt dễ dàng tìm Chú yù: Sau tính  g(t )dt theo t , ta phải thay lại t  u  x   Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến a2  x hoaëc a2  x hoaëc  x  a sin t,  x  a cos t, 0t  x  a tan t,  x  a cot t, 0t   t t   đó: VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P  x  đa thức x, ta thường gặp dạng sau:  P( x ).e x dx  P( x).cos xdx  P( x).sin xdx  P( x).ln xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f  x  , ta cần tìm hàm g  x  cho nguyên hàm hàm số f  x   g  x  dễ xác định so với f  x  Từ suy nguyên hàm f  x  Bước 1: Tìm hàm g  x  Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f  x   g  x  , tức là:  F ( x )  G( x )  A( x )  C1   F ( x )  G( x )  B( x )  C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F( x )  (*)  A( x)  B( x)  C nguyên hàm f  x  VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) hàm hữu tỉ: f ( x )  P( x ) Q( x ) – Nếu bậc P  x   bậc Q  x  ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P  x   bậc Q  x  Q  x  có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f  x  thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Chẳng hạn: ( x  m)(ax  bx  c)  A B   ( x  a)( x  b) x  a x  b A Bx  C  , vớ i   b2  4ac  x  m ax  bx  c ( x  a)2 ( x  b)2  A B C D    x  a ( x  a)2 x  b ( x  b)2 f(x) hàm vô tỉ  ax  b  + f  x   R  x, m  cx  d   đặt t  m  ax  b cx  d    f  x  R   ( x  a)( x  b)    + đặt t  xa  xb  f  x  hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn: + sin ( x  a)  ( x  b)  sin(a  b)  1 ,  sử dụ ng    sin(a  b)  sin( x  a).sin( x  b) sin(a  b) sin( x  a).sin( x  b)  + sin ( x  a)  ( x  b)  sin(a  b)  1 ,  sử dụ ng    sin(a  b)  cos( x  a).cos( x  b) sin(a  b) cos( x  a).cos( x  b)  + cos ( x  a)  ( x  b) 1 ,  sin( x  a).cos( x  b) cos(a  b) sin( x  a).cos( x  b)  cos(a  b)   sử dụ ng   cos(a  b)   + Neáu R( sin x,cos x)  R(sin x,cos x) đặt + Neáu R(sin x,  cos x)  R(sin x,cos x) đặt t  cosx t  sinx + Nếu t  tanx (hoaëc t  cotx ) R( sin x,  cos x)  R(sin x,cos x) đặt §2 TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân  Cho hàm số f liên tục K a, b  K Nếu F nguyên hàm f K thì: F  b  – F  a  đgl tích phân f từ a đến b kí hiệu b  f ( x )dx a b  f ( x )dx  F(b)  F(a) a  Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x , tức là: b b b a a a  f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du   F(b)  F(a)  Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y  f  x  liên tục không âm đoạn  a; b  diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b laø: b S   f ( x )dx a Tính chất tích phân   f ( x )dx    a b b a a  kf ( x )dx  k  f ( x )dx  b (k : const) b b b b c b a a a a a c   f ( x)  g( x)dx   f ( x )dx   g( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  Nếu f  x    a; b  b  f ( x )dx  a  Neáu f  x   g  x   a; b  b  a b f ( x )dx   g( x )dx a Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số a f ( x )dx    f ( x )dx b  b u( b ) a u( a )  f u( x ).u '( x )dx   f (u)du đó: u  u  x  có đạo hàm liên tục K , y  f  u  liên tục hàm hợp f u  x  xác định K , a, b  K b) Phương pháp tích phân phần b b b Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K , a, b  K thì:  udv  uv a   vdu a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm b b a a – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho  vdu dễ tính  udv VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F  x  cuûa f  x  , sử dụng trực tiếp định nghóa tích phân: b  f ( x )dx  F(b)  F(a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: g( x )  f u( x ).u '( x) b u( b ) a u( a )  g( x )dx   f (u)du Dạng 2: Giả sử ta cần tính   f ( x )dx  x  x  t  (t  K ) vaø a, b  K thoả mãn   x  a  ,   x  b  Đặt  b b  a a  f ( x )dx   f  x(t ) x '(t )dt   g(t )dt  g(t)  f  x(t).x '(t) Dạng thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến  x  a cos t, 0t  x  a tan t,  x  a cot t, 0t  a2  x hoaëc a2  x hoaëc  x  a sin t, x  t t      t    ;  \ 0  2 a , sin t x  a2   a VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương  0;ng phầ xphá  p tích , phâtntừ \  n cos t 2 Với P  x  đa thức x , ta thường gặp dạng sau: b b b b a a a a x  P( x ).e dx  P( x ).cos xdx  P( x ).sin xdx  P( x ).l n xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f  x  có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f  x  sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ  Nếu hàm số f  x  liên tục hàm số lẻ  a; a   Nếu hàm số f  x  liên tục hàm số chẵn  a; a  a  f ( x )dx  a a  a a f ( x )dx   f ( x )dx Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: Bước 1: Phân tích I  a  f ( x )dx  a  a Bước 2: Tính tích phân J   a    J   f ( x )dx; K   f ( x )dx    a   a f ( x )dx   f ( x )dx f ( x )dx baèng phương pháp đổi biến Đặt t  –x a – Nếu f  x  hàm số lẻ J  –K  I  J  K  – Nếu f  x  hàm số chẵn J  K Dạng Nếu f  x  liên tục hàm chẵn  f ( x)  dx   f ( x )dx  a   x  I  J  K  2K thì: (với   + a  0) Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự I  f ( x) f ( x) dx  dx   x  x  x dx  a   a  a 1  f ( x) Để tính J ta đặt: t  –x   f (x) f (x)  J   dx; K   dx  x x   a  a        Dạng Nếu f  x  liên tục  0;   2   f (sin x )dx  Để chứng minh tính chất ta đặt: t   f (cos x )dx  x Dạng Nếu f  x  liên tục vaø f (a  b  x)  f ( x) hoaëc f (a  b  x)   f ( x) đặt: t  a  b – x Đặc biệt, a  b   đặt t  – x a  b  2 đặt t  2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f  x  ta cần tìm hàm g  x  cho nguyên hàm hàm số f  x   g  x  deã xác định so với f  x  Từ suy nguyên hàm f  x  Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g  x  Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f  x   g  x  , tức là:  F ( x )  G( x )  A( x )  C1   F ( x )  G( x )  B( x )  C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F( x )  (*)  A( x)  B( x)  C nguyên hàm f  x  VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n   f ( x, n)dx n phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường gặp a số yêu cầu sau:  Thiết lập công thức truy hồi, tức biểu diễn I n theo I n  k (1  k  n)  Chứng minh công thức truy hồi cho trước  Tính giá trị I n cụ thể §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Diện tích hình phẳng  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị  C  hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  – Trục hoành – Hai đường thẳng x  a, x  b laø: b S   f ( x ) dx a 1  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị hàm số y  f  x  , y  g  x  liên tục đoạn  a; b  – Hai đường x  a, x  b thẳng b là: 2 S   f ( x )  g( x ) dx a Chú ý:  Nếu đoạn  a; b  , hàm số f  x  không đổi dấu thì: b  f ( x ) dx  a b  f ( x )dx a  Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f  x  f  x  – g  x   đoạn  a; b  Giả sử tìm nghiệm c, d  c  d  Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b  a c d b a c d f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx hoaëc = c  f ( x )dx  a d  f ( x )dx  c b  f ( x)dx d treân đoạn a; c  , c; d  ,  d; b hàm số f  x  không đổi dấu)  Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thị x  g  y  , x  h  y  (g h hai hàm số liên tục đoạn c; d ) – Hai đường thẳng x  c, x  d (vì d S   g( y)  h( y) dy c Thể tích vật thể  Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm điểm a b S  x  diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a  x  b) Giả sử S  x  liên tục đoạn  a; b  Thể tích B laø: b V   S( x )dx a  Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: C  : y  f  x  , trục hoành, x  a, x  b  a  b  sinh quay quanh truïc Ox : b V    f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh truïc Oy : C  : x  g  y  , truïc tung, y  c, y  d laø: d V    g2 ( y )dy c ... Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh truïc Oy : C  : x  g  y  , truïc tung, y  c, y  d laø: d V    g2 ( y )dy c ... nghóa hình học: Nếu hàm số y  f  x  liên tục không âm đoạn  a; b  diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b là: b S   f ( x )dx a... ).cos xdx  P( x ).sin xdx  P( x ).l n xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv e x dx cos xdx sin xdx P(x) VA? ?N ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f  x  có chứa

Ngày đăng: 15/02/2023, 15:17