Các ứng dụng của định lý euler trong số học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== TRỊNH NGỌC MINH CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ EULER TRONG SỐ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI, 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== TRỊNH NGỌC MINH CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ EULER TRONG SỐ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Ths.Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI, 2019 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô môn tổ Đại số thầy cô giảng dạy tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hồn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy Đỗ Văn Kiên, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ bảo tận tình để em hồn thành khóa luận Do thời gian, lực thân điều kiệu ngoại cảnh nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Trịnh Ngọc Minh Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận Các ứng dụng định lý Euler số học cơng trình nghiên cứu cá nhân em hướng dẫn giảng viên ThS Đỗ Văn Kiên Đề tài kết hợp việc nghiên cứu, tìm tịi tổng kết tài liệu tham khảo nên nội dung khóa luận hồn tồn trung thực Đề tài sử dụng số tài liệu tham khảo ghi rõ danh mục "Tài liệu tham khảo" Nếu phát gian lận nào, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm khóa luận nghiên cứu ! Hà Nội, tháng năm 2019 Sinh viên Trịnh Ngọc Minh Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Vành số nguyên 1.1.1 Quan hệ hai 1.1.2 Xây dựng vành số nguyên 1.1.3 Vành lớp thặng dư Số nguyên tố 1.2.1 Số nguyên tố 1.2.2 Các số nguyên tố 10 Hàm Euler, định lý Euler 12 Những ứng dụng định lý Euler 2.1 15 Mật mã RSA 15 2.1.1 Lịch sử 15 2.1.2 Cơ chế hoạt động 16 2.1.3 Mã hóa 19 2.1.4 Giải mã 19 2.1.5 Tạo chữ ký số cho văn 22 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 2.3 Trịnh Ngọc Minh 2.1.6 Tại RSA hiệu quả? 22 Số giả nguyên tố 24 2.2.1 Số Mersenne 29 2.2.2 Số Fermat 32 2.2.3 Số Carmichael 34 Thuật tốn phân tích p − Pollard 38 2.3.1 Thuật toán p − Pollard 39 2.3.2 Chú ý 43 2.3.3 Bảo mật RSA 44 2.3.4 Sự phân tích thành thừa số số Mersenne 46 Kết luận 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh Lời mở đầu Leonhard Euler (1707-1783) nhà toán học tiếng kỉ XVII, ơng coi nhà tốn học vĩ đại lịch sử Euler có khám phá quan trọng có ảnh hưởng đặc biệt nhiều lĩnh vực toán học lý thuyết đồ thị, vi tích phân, lý thuyết số giải tích, giải tích tốn học, Tài lệu khóa luận đề cập, tổng hợp nghiên cứu cơng trình tiếng ơng, Định lý Euler -định lý đặc biệt quan trọng lý thuyết số Khóa luận gồm hai chương Chương "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày số khái niệm kết số nguyên tố, vành số nguyên, hàm Euler định lý Euler Chương "Những ứng dụng định lý Euler" trình bày ứng dụng định lý Euler bao gồm mật mã RSA số ứng dụng mật mã Khái niệm số giả nguyên tố số dạng số giả nguyên tố Thuật toán phân tích p − Pollard Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Vành số nguyên Quan hệ hai Cho hai tập hợp X, Y Mỗi tập S tích Descartes X × Y gọi quan hệ hai ngơi từ X vào Y Nếu (a, b) ∈ S ta nói a có quan hệ S với b ký hiệu aSb Đặc biệt X = Y ta nói S quan hệ hai X Định nghĩa 1.1 Cho S quan hệ hai ngơi X Ta nói S quan hệ tương đương thỏa mãn tính chất sau: (Phản xạ) Với a ∈ X suy aSa (Đối xứng) Với a, b ∈ X; aSb bSa (Bắc cầu) Với a, b, c ∈ X; aSb bSc aSc Định nghĩa 1.2 Cho S quan hệ hai ngơi X Ta nói S quan hệ thứ tự thỏa mãn tính chất sau: (Phản xạ) Với a ∈ X aSa Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh (Phản đối xứng) Với a, b ∈ X; aSb bSa a = b (Bắc cầu) Với a, b, c ∈ X; aSb bSc aSc 1.1.2 Xây dựng vành số nguyên Trên tập N × N ta định nghĩa quan hệ tương đương sau (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c Đặt N×N = (a, b)|a, b ∈ N ∼ tập thương N × N theo quan hệ tương đương ∼, (a, b) = (c, d) ∈ N × N|a + d = b + c lớp tương đương (a, b) N×N Trên tập ta trang bị hai phép toán cộng nhân sau ∼ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b).(c, d) = (ac, bd) N×N vành giao hốn có đơn vị (1, 1) = (a, a), ∀a ∈ N ∼ Xét ánh xạ N×N f : N −→ ∼ a −→ (a, 0) Khi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh đơn ánh thỏa mãn f (a.b) = f (a).f (b), f (a + b) = f (a) + f (b) Do ta đồng a với f (a), tức (a, 0) = a Khi phần tử (a, b) với a ≥ b (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) − (b, 0) = a − b Từ N×N = (a − b)|a, b ∈ N ∼ = {0; ±1; ±2; ±3; } Ta gọi vành N×N vành số nguyên Z ∼ Định lý 1.1 Vành Z vành cực tiểu, chứa tập hợp số tự nhiên N nửa nhóm cộng nửa nhóm nhân, nghĩa vành Z chứa tập hợp số tự nhiên N trùng với Z Hơn vành cực tiểu chứa tập hợp số tự nhiên N nửa nhóm cộng nửa nhóm nhân đẳng cấu với Z Chứng minh (Xem [3-tr.31]) Định nghĩa 1.3 Trên vành số nguyên Z ta xác định quan hệ hai (≤) sau: ∀x, y ∈ Z, x ≤ y y − x ∈ N Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh • Số giả nguyên tố với sở 23: 154, 165, 169, 265, 341, 385, 451, 481, 553, 561, 638, 956 • Số giả nguyên tố với sở 29: 105, 231, 268, 341, 364, 469, 481, 561, 651, 793, 871 Rõ ràng, danh sách trên, số số giả nguyên tố theo sở a với nhiều số a khơng phổ biến Tuy nhiên, nhìn qua danh sách trên, có lẽ bạn nhận thấy 561 = 3.11.17 xuất hầu hết danh sách, trừ 3, 11, 17, nhân tử 561 Tức là, tất số nguyên tố a < 29 số nguyên tố với 561, 561 số giả nguyên tố theo sở a Từ đó, số 561 ví dụ hợp số m có tính chất: với số a nguyên tố với m, mà am−1 ≡ (mod m), số gọi số Carmichael Định nghĩa 2.3 Một hợp số lẻ m số Carmichael m số giả nguyên tố theo sở a với số a nguyên tố với m Để kiểm chứng, ta quan sát với n = 561: Mệnh đề 2.4 561 = 3.11.17 số Carmichael Chứng minh Đầu tiên, dễ thấy 561 = × 11 × 17 hợp số Tiếp theo, ta chứng minh với số a số nguyên tố với 561 hay 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh a560 ≡ (mod 561) Để làm vậy, đồng nghĩa với việc ta chứng minh a560 ≡ (mod 3), a560 ≡ (mod 11), a560 ≡ (mod 17) Tiếp theo, định lý Fermat, a2 ≡ (mod 3), a10 ≡ (mod 11), a16 ≡ (mod 17), với a số nguyên tố với 3, 11 17 Vì 560 bội 2, 10 16, dẫn đến đồng dư viết ✷ Số Carmichael hiếm, ví dụ có 12 số Carmichael nhỏ 50000 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041 46657 Trong số 2051 số giả nguyên tố theo sở nhỏ 100.000.000 có 252 số số Carmichael Nó chứng minh vào năm 1992 có vơ số số Carmichael Sự tồn số Carmichael làm tan vỡ hy vọng định lý Fermat sử dụng phép thử tính nguyên tố Nếu m số Carmichael, khơng có phép thử số giả nguyên tố theo sở a xác định m hợp số (trừ đủ may mắn để chọn số số nguyên tố với m) 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Trịnh Ngọc Minh Thuật tốn phân tích p − Pollard Định lý Fermat sở thuật tốn phân tích p − Pollard, phát J.M Pollard (1974) Thuật tốn dùng để tìm thừa số ngun tố p số N p − tích số ngun tố nhỏ Để nói xác hơn, ý tưởng p − cấu thành số nguyên tố nhỏ, sử dụng thuật ngữ sau Định nghĩa 2.4 Cho k số, k ≥ Một số m số k-trơn ước nguyên tố m số nhỏ k Ví dụ • Các số 2-trơn lũy thừa 2; • Nếu tính số từ 180 đến 190, thấy: 180 = 22 32 5, 181 số nguyên tố, 182 = 2.7.13, 183 = 3.61, 184 = 23 23, 185 = 5.37, 186 = 2.3.31, 187 = 11.17, 188 = 22 47, 189 = 23 7, 190 = 2.5.19 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh Do 180 5-trơn, 180 189 7-trơn, 180, 182, 187, 189 190 19-trơn Rõ ràng, k lớn số lượng số k-trơn nhiều Sau ý tưởng đằng sau thuật toán Pollard p − Chúng ta muốn tìm thừa số số N Giả sử p thừa số nguyên tố N Nếu lấy sở a, định lý Fermat nói ap−1 ≡ (mod p) tương đương p chia hết ap−1 − 1, p chia hết N Do ước số chung lớn N ap−1 − ước số không tầm thường N Tuy nhiên, chưa biết p nên tính ap−1 Nhưng ap−1 ≡ (mod p), aB ≡ (mod p) với số B bội số p − Nếu tìm số B chia hết cho p − 1, aB ≡ (mod p) với p số nguyên tố Và số nguyên tố chia hết N , aB − 1, N > Trong thuật toán Pollard p − 1, số mũ B chọn đủ lớn cho p ước số nguyên tố N p − đồng thời p k-trơn cho giá trị k nhỏ, p − chia hết B 2.3.1 Thuật toán p − Pollard Chọn số a với tính trơn k xác định Với số nguyên tố q ≤ k , lấy e số mũ cho Eq = q e ≤ N < q e+1 , 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh đặt Eq Bk = p∈P,p≤k với Bk tích tất lũy thừa q e Giả sử cho N = 323 k = E2 = 28 , E3 = 35 , E5 = 53 , E7 = 72 B7 = 28 35 53 72 Nếu p số nguyên tố cho p − k-trơn p − ước Bk , theo định lý Fermat aB k ≡ (mod p) p chia hết aBk − Chúng ta tính U(N, aBk − 1) Nếu p chia hết N , sau p chia hết (N ,aBk − 1) (N, aBk − 1) > thừa số N Ví dụ Cho N = 1194653, a = 2, B = B13 tính aB Ở đây, B = 220 · 312 · 58 · 77 · 115 · 135 , tích tất lũy thừa số nguyên tố q ≤ 13 số mũ q xác định q e ≤ N < q e+1 Chúng ta tính tốn giá trị đồng dư không âm nhỏ nhất: 2B ≡ 56790 (modN ), 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh thấy 2B − 1, N = (56790 − 1, N ) = (56789, 1194653) = 521, ước số nguyên tố N Lý tìm thấy ước số 521 N 520 = 23 · · 13 cho 521 − = 520 13-trơn, 520 chia hết B dẫn đến 2B ≡ (mod 512) Ví dụ Lại cho N = 1194653, k = 5, B = B5 = 220 · 312 · 58 Chúng ta tính 2B ≡ 43666 (mod N ) (2B − 1, N ) = (443666 − 1, N ) = (43665, 1194653) = Thuật toán thất bại N = 1194653 khơng có ước số ngun tố p cho p − 5-trơn Trong thực tế, không cần phải xác định trước phạm vi tính trơn cụ thể Nếu việc xác định phạm vi k không thành công tốn nhiều thời gian, cần chọn phạm vi k lớn Sau Bk = Bk F F tích số nguyên tố q với k < q ≤ k 2Bk = (2Bk )F Vì vậy, để thay đổi từ k thành k , tiếp tục tính tốn 2Bk 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh cho để có 2Bk Chẳng hạn với N = 1194653, B13 (77 115 135 ) 2203 12 58 77 15 135 ) 2203 12 58 ) ( ( =2 = = 2B5 F F = 77 115 135 Nếu với N đủ lớn, hợp lý để N có khả tồn ước số nguyên tố p để p − k-trơn với giá trị k nhỏ Ví dụ, giả sử N số có sáu chữ số k phải lớn đến mức để có khả phân tích N thành thừa số? Nếu N < 106 , N chia hết cho số nguyên tố p < 1000 Có 167 số nguyên tố lẻ nhỏ 1000 Trong số này, • Có số ngun tố p cho p − 2-trơn (3, 5, 17 257); • Có 17 số ngun tố p để p − 3-trơn (ở 7, 13, 97, 193, 769, 19, 37, 73, 577, 109, 433, 163, 487); • Có 33 số ngun tố p cho p − 5-trơn (ở 11, 31, 41, 61, 101, 151, 181, 241, 251, 271, 401, 541, 601, 641, 751 811) Vì vậy, giả sử thực thuật toán Pollard p − với k = muốn tìm ước nguyên tố N nhỏ 1000 Chúng ta sử dụng B = 29 · 36 · 54 tích 2, với số mũ lớn cho số nhỏ 1000 Từ đó, với số nguyên tố p < 1000 để p − 5-trơn p − chia hết B Nếu số số 33 số nguyên tố ước N, với số a nào, aB − N chia 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh hết cho p Do đó, cần tính tốn kiểm tra để xem liệu 33 số nguyên tố nhỏ 1000 có số thừa số N khơng Việc mở rộng miền tính trơn k thu nhiều số nguyên tố Chúng ta tìm thấy: • 75 số 167 số nguyên tố lẻ nhỏ 1000 thỏa mãn p − 13-trơn • 107 số 167 số nguyên tố lẻ nhỏ 1000 thỏa mãn p − 31-trơn Do đó, thực thuật tốn Pollard p − số ngẫu nhiên có sáu chữ số N chọn k = 31, lại có N chia hết cho số 107 số nguyên tố thỏa mãn p − 31-trơn aB − 1, N > Mặt khác số nguyên tố p < 1000 lớn 983 Mà 983 − = × 491 491 số nguyên tố nên 983-1 không k-trơn với số k < 491 2.3.2 Chú ý Lưu ý hầu hết ví dụ trên, số mũ số nguyên tố q thừa số nguyên tố Bk lớn nhiều so với mức cần thiết Chúng ta lấy Bk bội chung nhỏ tất lũy thừa le l < k le < N Dạng khác Bk là: (i) Đặt Bk số nhỏ chia hết cho le với tất số nguyên tố l < k, le < M với M nhỏ N , 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh (ii) Đặt Bk = k!, (iii) Đặt Bk bội số chung nhỏ ,3 ,4 , .,k Mỗi phương án cho số mũ Bk nhỏ nhiều ứng với N k cho trước Tuy nhiên lại để mở khả thừa số p N có tính chất p − k-trơn, p − không ước Bk Để biết ví dụ việc sử dụng số mũ nhỏ hơn, xem mục "Sự phân tích thành thừa số Mersenne"(xem 2.3.4.) Do đó, việc thực thuật tốn Pollard p − đặt vấn đề việc cân độ lớn Bk với k cho trước độ lớn k để có khả thành cơng cao thời gian xác định Những vấn đề vượt phạm vi khóa luận Rất nhiều công việc thực để nghiên cứu thông suốt số Một kết Dickman (1930) gợi ý N √ N lớn, số lượng số N - trơn < N xấp xỉ , số lượng số N N -trơn < N khoảng Do đó, số N khoảng 1012 , khoảng 200 1 số nhỏ N 106 -trơn, khoảng số nhỏ N 200 1000-trơn 2.3.3 Bảo mật RSA Một tình vấn đề thành cơng hay thất bại thuật tốn Pollard p − có tầm quan trọng liên quan đến mật mã RSA Nhớ lại từ "Mật mã RSA"(2.1) mã RSA, mođun m = p1 p2 tích hai số nguyên tố lớn p1 p2 , bí mật chúng điều cần thiết cho mã để an tồn Vì m thường cơng khai, 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh nên m nhân tố làm tính bảo mật lượng thời gian hợp lý Theo quan điểm thuật toán phân tích p − Pollard, điều quan trọng p số nguyên tố chia hết m, p − khơng nên k-trơn cho k nhỏ Một cách để đảm bảo thuật tốn Pollard p − khơng hiệu tối đa cho phân tích mơđun m chọn ước nguyên tố p m cho p − = 2q với q số nguyên tố Khi k nhỏ cho p − k-trơn k = q, số gần lớn p Sẽ thời gian √ để thử chia m cho số nhỏ m thực thuật toán Pollard p − để tìm hệ số nguyên tố q-trơn m Một số nguyên tố p với tính chất mà p − = 2q với q số nguyên tố đơi gọi số ngun tố an tồn Trong số 167 số nguyên tố lẻ < 1000, 25 số nguyên tố an toàn Số nguyên tố an toàn lớn < 1000 983 Một số nguyên tố q cho 2q + = p số nguyên tố gọi số nguyên tố Sophie Germain, nhà toán học người Pháp đầu kỷ XIX, Sophie Germain Khoảng năm 1825, bà chứng minh q số nguyên tố cho 2q + số nguyên tố, xq + y q = z q khơng có nghiệm với x, y z số tự nhiên không đồng thời đồng dư với mođun q ( "trường hợp đầu tiên" định lý Fermat cuối) Trong viết này, khơng biết có hay khơng có vơ số số ngun tố Sophie Germain, có ước tính đốn số lượng 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh số nguyên tố Sophie Germain < m khoảng 1.32m (ln m)2 2.3.4 Sự phân tích thành thừa số số Mersenne Với p số nguyên tố, N = 2p −1 số Mersenne Như thấy phần 2.2, có nhiều số nguyên tố lượng lớn số Mersenne biết Tuy nhiên hầu hết số Mesenne hợp số Để tìm thừa số nguyên tố số Mersenne, hữu ích ta sử dụng định lý Fermat vào cách sau Nhớ lại q ước nguyên tố N = 2p − , 2p ≡ (mod N ) 2p ≡ (mod q) Vì Và từ đó, p số ngun tố, nên p phải bậc mođun q Khi đó, 2q−1 ≡ (mod q) Vậy nên p phải chia hết q − Điều có nghĩa q có dạng q = + mp, với giá trị m Sử dụng điều này, điều chỉnh phương pháp Pollard 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh p − để thử phân tích N thành thừa số sau Giả sử có ước nguyên tố q N , thiết số phải có dạng q = + mp, với m k- trơn số k nhỏ Đặt B = Bk số mũ tương ứng với m k thuật toán Pollard p − Nghĩa là, B số nhỏ chia hết cho tất số nguyên tố le với l ≤ k le ≤ m Khi m chia hết B, nên q − = pm chia hết pB Từ đó, định lý Fermat, với a < q, apB ≡ (mod q) nên apB − 1, N ≥ q (chúng ta cần chọn a = 0, cho 2pB = (2p )B ≡ (modN ) Vì N = 2p − 1, thuật tốn Pollard p − thất bại) Ví dụ Cho N = 2163 − số gồm có 50 chữ số Chúng ta tìm thừa số nguyên tố q = + 163m m 9-trơn Thay chọn B để đảm bảo thừa số nguyên tố p thỏa mãn p − 9-trơn, chọn số mũ nhỏ thay Với phương án thứ 2, đặt B = 9! thấy 5163B − 1, N = 704161, thừa số N Lý số 704161 xuất 704161 số 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh nguyên tố 704161 − = 704160 = 163m với m = 25 · 33 · 9-trơn chia hết B Với cách chọn B phương án tứ nhất, đặt B = 23 · · · m = 25 · 33 · không ước B, 3163B − 1, N = 1, nên thuật toán thất bại Điều làm sáng tỏ N = 2163 − tích số nguyên tố Đối với bốn số nguyên tố lại, m tương ứng k-trơn với tối thiểu k = 461, 6037, 10061 22392890561 Trang web GIMPS đưa thừa số nguyên tố q, gồm 27 chữ số, N = 22944999 − 1, tìm thấy thuật toán Pollard p − Thuật toán Pollard p − thành cơng trường hợp q − = 2944999m m 69061-trơn 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trịnh Ngọc Minh KẾT LUẬN Khóa luận tìm hiểu "Các ứng dụng định lý Euler số học" hai chương Chương cung cấp kiến thức sở số nguyên tố, vành số nguyên, hàm Euler định lý Euler làm tiền đề cho vấn đề chương sau Chương tìm hiểu mật mã RSA ứng dụng quan trọng mật mã RSA chữ ký số Chương cung cấp định nghĩa số giả nguyên tố, đem đến cho ta công cụ giúp thu hẹp lại tập hợp số số nguyên tố tập lớn xét, giới thiệu đến bạn đọc số dạng số giả nguyên tố phổ biến Cuối thuật tốn Pollard đưa cơng cụ giúp ta phân tích số thừa số nguyên tố Do thời gian kiến thức hạn hẹp nên khóa luận em cịn nhiều thiếu sót mong thầy góp ý để em hồn thiện 49 Tài liệu tham khảo [1] Lindsay N Childs(2008), A Concrete Introduction to Higher Algebra, Addision -pringer Science+Business Media Inc [2] Hồng Xn Sính(2005), Giáo trình Đại số đại cương, NXB Giáo dục [3] Lại Đức Thịnh(1977), Giáo trình Số học, NXB Giáo dục 50 ... nguyên, hàm Euler định lý Euler Chương "Những ứng dụng định lý Euler" trình bày ứng dụng định lý Euler bao gồm mật mã RSA số ứng dụng mật mã Khái niệm số giả nguyên tố số dạng số giả nguyên tố Thuật... ước số nguyên dương a Các số nguyên lớn không số nguyên tố hợp số Tập hợp số nguyên tố kí hiệu P Định lý 1.5 (Định lý số học) Mọi số tự nhiên a lớn viết cách (không kể sai khác thứ tự thừa số) ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== TRỊNH NGỌC MINH CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ EULER TRONG SỐ HỌC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Ths.Đỗ