Không gian LP và các ứng dụng của định lý hội tụ đơn điệu và định lý hội tụ bị chặn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM W X ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC p KHÔNG GIAN L VÀ CÁC ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HỘI TỤ ĐƠN ĐIỆU VÀ ĐỊNH LÝ HỘI TỤ BỊ CHẬN NGƯỜI THỰC HIỆN : NGUYỄN NHƯ LÂN ĐƠN VỊ : BỘ MƠN TỐN – KHOA SƯ PHẠM LONG XUYÊN - 2004 LỜI NĨI ĐẦU k Dựa vào tính chất hình học không gian ¡ , người ta xây dựng k lý thuyết tích phân Lebesgue cho khơng gian ¡ mà khơng dựa lý thuyết độ đo Lý thuyết tích phân xây dựng theo lối trình bày tài liệu Lý Thuyết Tích Phân Giáo Sư ĐẶNG ĐÌNH ÁNG Trên p sở đó, đề tài khảo sát tính chất khơng gian L ( Ω ) Đã có nhiều tài liệu trình bày khơng gian L ( Ω ) hầu hết tài liệu trình bày dựa lý thuyết độ đo Ở đề tài này, chứng p minh tính chất khơng gian L ( Ω ) ta chủ yếu dựa vào định lý hội tụ đơn điệu định lý hội tụ bị chận mà không dựa lý thuyết độ đo, hai p định lý biểu diễn Riesz cho không gian L ( Ω ) chứng minh không dựa lý thuyết độ đo Đây điểm khác biệt đề tài so với tài liệu khác trình bày Nội dung đề tài gồm năm phần: Trong phần thứ trình bày kiến thức chuẩn bị Phần thứ hai trình bày định nghĩa tính chất p & & , bất không gian L ( Ω ) , ta chứng minh bất đẳng thức Holder p đẳng thức Minkowski tính đầy đủ không gian L ( Ω ) Phần thứ ba p trình bày tính trù mật tách không gian L ( Ω ) , ta chứng minh tập hàm bậc thang, tập hàm bậc thang có giá compact ∞ p chứa Ω tập Cc ( Ω ) trù mật L ( Ω ) , với ≤ p < ∞ Phần p thứ tư trình bày tập compact tương đối L ( Ω ) , kết phần định lý IV.1, định lý IV.2, hai định lý điều kiện để p tập L ( Ω ) compact tương đối Phần cuối ta trình bày p tính lồi đối ngẫu không gian L ( Ω ) , kết p phần bất đẳng thức Clarkson, định lý biểu diễn Riesz cho L ( Ω ) , với p < p < ∞ , định lý biểu diễn Riesz cho L1 ( Ω ) KHÄNG GIAN LP V CẠC ỈÏNG DỦNG CA ÂËNH L HÄÜI TỦ ÂÅN ÂIÃÛU V HÄÜI TỦ BË CHÁÛN I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Từ sau ta quy ước Ω tập đo ¡ n Ta quy ước hai hàm đo f g f = f h.h Bổ đề i/ Nếu < p < ∞ p′ = p ( p − 1) , 1 ab ≤ a p + b p′ ∀a ≥ 0, ∀b ≥ (1) p p′ ii/ Nếu ≤ p < ∞ a ≥ 0,b ≥ 0, (a + b) p ≤ 2p−1 ( a p + b p ) ( 2) Chứng minh i/ Nếu a = b = , dễ thấy (1) Nếu a > 0,b > , hàm log lõm ( 0,∞ ) , ta có ⎛1 ⎞ 1 log ⎜ a p + b p′ ⎟ ≥ log a p + log b p′ = log ab p′ ⎠ p p′ ⎝p Vậy 1 ab ≤ a p + b p′ ∀a ≥ 0, ∀b ≥ p p′ ii/ Nếu a = , dễ thấy ( ) Nếu a > , ( ) viết dạng (1 + x ) p ≤ 2p−1 (1 + x p ) ≤ x = b a Hàm f ( x ) = (1 + x ) p (1 + x ) thoả f ( ) = = lim f ( x ) p x →∞ f ( x ) > < x < ∞ Do f ( x ) ≤ f (1) = 2p−1 ∀x ≥ Bổ đề Nếu < p ≤ ≤ t ≤ 1, p′ p′ ( p −1) 1+ t 1− t ⎛1 ⎞ + ≤ ⎜ + ⎟ 2 ⎝2 ⎠ p′ = p ( p − 1) số liên hợp với p , ( 3) Chứng minh Nếu p = or t = or t = , dễ thấy ( 3) Giả sử < p < 2, < t < Đặt t = (1 − s ) (1 + s ) < s < 1, > s > với < t < 1, ( 3) trở thành p −1 1⎡ p p + s ) + (1 − s ) ⎤ − (1 + s p′ ) ≥ ( ⎦ 2⎣ Nếu ta ký hiệu ⎛ p ⎞ p ( p − 1)( p − ) ( p − k + 1) ⎛p⎞ , k ≥ 1, ⎜ ⎟ = ⎜ k ⎟ = k! ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ta có ∞ p −1 ⎛ p − 1⎞ p′k 1⎡ ∞ ⎛p⎞ ∞ ⎛p⎞ p p k + s ) + (1 − s ) ⎤ − (1 + s p′ ) = ∑ ⎜ ⎟ s k + ∑ ⎜ ⎟ ( −s ) − ∑ ⎜ ( ⎟s ⎦ 2⎣ ⎝k⎠ ⎝k⎠ ⎝k ⎠ ⎛ p ⎞ 2k ∞ ⎛ p − 1⎞ p′k = ∑⎜ ⎟s − ∑⎜ ⎟s k =0 ⎝ 2k ⎠ k =0 ⎝ k ⎠ ∞ ⎧ p ⎛ ⎞ ⎛ p − ⎞ p′( 2k −1) ⎛ p − 1⎞ 2p′k ⎫ −⎜ = ∑ ⎨⎜ ⎟ s 2k − ⎜ ⎟s ⎟s ⎬ k =0 ⎩⎝ 2k ⎠ ⎝ 2k − 1⎠ ⎝ 2k ⎠ ⎭ Ta chứng minh số hạng chuỗi dương với < s < Số hạng thứ k viết dạng p ( p − 1)( − p )( − p ) ( 2k − − p ) 2k s ( 2k )! ( p − 1)( − p )( − p ) ( 2k − − p ) s p′( 2k −1) + ( p − 1)( − p ) ( 2k − p ) s 2kp′ − ( 2k − 1)! ( 2k )! ∞ ( − p )( − p ) ( 2k − p ) s 2k ⎡ p ( p − 1)( − p ) ( 2k − p ) − p − s p′( 2k −1)−2k + p − s 2kp′−2k ⎤ ⎢ ⎥ 2k ( 2k − p ) 2k − p 2k ( 2k − 1)! ⎣ ⎦ 2k − p p − 2k p − ( − p )( − p ) ( 2k − p ) s 2k ⎡ − s( ) ( ) − − s ( ) ⎤ = ⎢ ⎥ ( 2k − 1)! ⎣ ( 2k − p ) ( p − 1) 2k ( p − 1) ⎦ = Vì p < , nên ( − p )( − p ) ( 2k − p ) s 2k > , ( 2k − 1)! ≤ ( 2k − p ) ( p − 1) ≤ 2k ( p − 1) nên − s( ) ( ) 1− s ( ) − > ( 2k − p ) ( p − 1) 2k ( p − 1) 2k − p p −1 2k p −1 (với < s < , hàm f ( x ) = (1 − s x ) x tăng với x > ) Từ ta có ( 3) Bổ đề Giả sử z, w ∈ £ Nếu < p < , p′ ( p −1) p′ z+w z−w ⎛1 p p⎞ + ≤⎜ z + w ⎟ 2 ⎝2 ⎠ p′ = p ( p − 1) Nếu ≤ p < ∞ , p′ ( 4) , p′ z+w z−w p p + ≤ z + w ( 5) 2 2 Chứng minh Ta giả sử z ≥ w > Khi ( ) viết lại + reiθ p′ − reiθ + p′ ( p −1) ⎛1 ⎞ ≤ ⎜ + rp ⎟ , ( 6) ⎝2 ⎠ w z = reiθ ,r ≥ 0,0 ≤ θ < 2π Nếu θ = , ( ) chứng minh bổ đề Ta chứng tỏ với r cố định hàm f ( θ ) = + reiθ p′ p′ + − reiθ , có giá trị cực đại θ = Vì f ( θ ) = (1 + r + 2r cos θ ) p′ ≤ θ < 2π + (1 + r − 2r cos θ ) p′ , f ( 2π − ) = f ( π − ) = f ( ) , nên ta cần xét f [ 0, π 2] Vì p′ ≥ , ta có f ′ ( θ ) = − p′r sin θ [ (1 + r + 2r cos θ ) ( p′ )−1 − (1 + r − 2r cos θ ) ( p′ )−1 ]≤ ∀θ∈ [ 0, π 2] Như giá trị cực đại f xảy θ = ( ) chứng minh Nếu ≤ p < ∞ , < p′ ≤ Khi giao hốn p p′ ( ) , áp dụng ( ) , ta có p p ( p′−1) p p′ z+w z−w ⎛ p′ p′ ⎞ ⎛ p′ p′ ⎞ =⎜ z + w ⎟ + ≤⎜ z + w ⎟ 2 2 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ′ ′ p p p p p′ p′ p p ⎞ ⎛1⎞ ( p p′)−1 ⎛ ⎛ ⎞ ≤2 ⎜⎜ ⎜ ⎟ z + ⎜ ⎟ w ⎟⎟ = z + w ⎝2⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠ Định lý I.1(Ascoli-Arzela) Giả sử Ω miền bị chận ¡ k Một tập K ⊂ C Ω compact tương đối C Ω thoả: ( ) ( ) i/ Tồn số M cho với φ∈ K x ∈ Ω, φ ( x ) ≤ M ii/ Với ε > tồn φ∈ K, x, y ∈ Ω x − y < δ thi φ ( x ) − φ ( y ) < ε δ > cho Định lý I.2 Một tập A compact tương đối không gian Banach X với số dương ε tồn tập hữu hạn N ε phần tử X với tính chất A⊂ UΒ ( y ) ε y∈Ν ε Một tập N ε với tính chất gọi ε -net hữu hạn A Định lý I.3(Hội tụ đơn điệu) Cho ( f m ) dãy tăng hàm khả tích ¡ n Nếu dãy tích phân bị chận trên, có hàm khả tích f : ¡ n → ¡ cho f m → f h.h lim ∫ f m ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx m →∞ Định lý I.4(Hội tụ bị chận) Cho ( f m ) dãy tăng hàm khả tích ¡ n cho lim f m ( x ) = f ( x ) h.h Nếu có hàm khả m →∞ tích g cho f m ( x ) ≤ g ( x ) h.h , f khả tích, lim ∫ f m ( x ) − f ( x ) dx = m →∞ lim ∫ f m ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx m →∞ Định lý I.5(Fubini) Cho f hàm khả tích ¡ r +s Thì tích phân g ( y ) = ∫ f ( x, y )dx tồn với h.h y, tích phân g ( x ) = ∫ f ( x, y )dy tồn với h.h x Ngoài ra, g h khả tích ta có ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ f u du f x, y dx dy f x, y dy = = ( ) ( ) ( ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ dx ∫r +s ∫s ⎜ ∫r ∫r ⎜ ∫s ⎟ ¡ ¡ ⎝¡ ¡ ⎝¡ ⎠ ⎠ r s Định lý I.6(Fubini-Tonelli) Cho f : ¡ × ¡ → ¡ hàm đo ≥ Nếu ∫ ∫ f ( x, y ) dxdy < ∞ ∫ ∫ f ( x, y ) dydx < ∞ ¡ s f khả tích ¡ r ¡ r ¡ s Định lý I.7 Cho T song ánh khả vi từ tập mở U vào tập mở W (trong ¡ n ), ngồi T −1 liên tục Khi f khả tích W f o T khả tích U ∫ f ( y ) dy = ∫ f ( T ( x ) ) JacT ( x ) dx T( U ) W Định nghĩa Cho f hàm đo ¡ n Đặt A = {x ∈ ¡ n : f ( x ) ≠ 0} Khi bao đóng A ¡ n gọi giá f, ký hiệu supp f Định nghĩa Cho tập mở Ω ⊂ ¡ n , ta ký hiệu C ( Ω ) tập hàm liên tục Ω , Cm ( Ω ) tập hợp hàm khả vi liên tục tới bậc m Ω , C ∞ ∞ (Ω) = I Cm ( Ω ) , m =1 Ccm ( Ω ) = {f ∈ Cm ( Ω ) : sup p f ⊂⊂ Ω} , C∞c ( Ω ) = {f ∈ C∞ ( Ω ) : sup p f ⊂⊂ Ω} Định lý I.8 Cho hàm không âm ϕ thuộc vào C∞c ( Ω ) thoả ϕ ( x ) = x ≥ , ∫ ϕ = ¡ n Khi ε > , hàm ϕε xác định ⎛x⎞ ϕε ( x ) = ε −1ϕ ⎜ ⎟ ⎝ε⎠ không âm, thuộc vào C∞c ( Ω ) thoả ϕε ( x ) = x ≥ ε , ∫ ϕ ( x ) dx = ε ¡ n Định nghĩa Cho hai hàm f g xác định ¡ n Khi hàm f ∗ g xác định f ∗ g(x) = ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy ¡ n với giả thiết tích phân tồn tại, gọi tích chập f g II ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CƠ BẢN CỦA KHƠNG GIAN LP ( Ω ) Định nghĩa Cho f hàm đo Ω , f khả tích Ω , ta định nghĩa p với ≤ p < ∞ LP ( ¡ ⎛ p ⎞p f p =⎜∫ f ⎟ ⎝Ω ⎠ Tập hợp tất hàm f thoả f n p ) Tập hợp tất hàm f thoả f khả tích Ω ký hiệu p khả tích W mà W ⊂⊂ Ω ký hiệu L1LOC ( Ω ) & & ) Âënh lyï II.1 ( báút âàóng thỉïc Holder < p , q < ∞ l hai säú liãn håüp Nãúu vaì u ∈ LP (Ω) , v Lq (), thỗ uv L1 ( Ω ) vaì ∫ Ω uv ≤ u p v (7) q Chæïng minh : Nãúu u p =0 hoỷc v q = , thỗ u(x).v(x) = h.k.n Vỗ thóỳ uv L1() vaỡ (1) õổồỹc tha Nãúu v u p >0 v q > , thỗ theo bỏỳt õúng thổùc Young p u(x) v(x) u(x) v(x) ≤ + p up vq p u q vq p q q h.k.n Ω Ta suy uv ∈ L1(Ω) vaì ∫ Ω u.v ≤ u p v q hay uv Âënh lyï ≤ u p v q II.2 (báút âàóng thỉïc Minkowski) Nãúu ≤ p < ∞ v u,vL p (), thỗ L p (), vaỡ ( u + v ) ∈ u+v p ≤ u p + v p (8) Chæïng minh Våi p = 1: Ta coï ⎪u(x) + v(x)⎪ ≤ ⎪u(x) ⎪ + ⎪v(x) ⎪ h.k.n Ω ( u + v ) ∈ L1(Ω) v Do âọ ∫ u+v ≤ Ω ∫ u + Ω ∫ v , Ω hay u+v ≤ u 1 + v 1 < p < ∞ : Våïi Ta coï u(x ) + v(x ) p ≤ ( u(x ) + v(x ) )p ≤ 2p (u(x) p + h.k.n Do âoï ( u + v ) ∈ L p (Ω) Màût khaïc , ∫ u+v p ≤ Ω ∫ u+v p−1 ( u + v Ω ⎛ ≤ ⎜⎜ ∫ u + v ⎝Ω åí âáy, p ⎞q ⎟ ⎟ ⎠ (u q = p/(p−1) Ta suy ⎛ ⎜∫ u+v ⎜ ⎝Ω hay ) p⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1− q ≤ u p + v p , p + v p ), v(x ) p ) u+v p ≤ u p + v p p laì chuáøn Lp(Ω), ≤ p Hãû quaí II.3 < ∞ Váûy Lp(Ω) våïi khäng gian âënh chuáøn 1≤ p < ∞ laì Định lý II.4 Với < p < cho p′ = p ( p − 1) < Giả sử f ∈ Lp ( Ω ) p′ < ∫ g ( x ) dx < ∞ Ω Thì p′ 1p ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ p p′ ∫Ω f ( x ) g ( x ) dx ≥ ⎩⎨Ω∫ f ( x ) dx ⎭⎬ ⎩⎨Ω∫ g ( x ) dx ⎭⎬ Chứng minh Ta giả sử fg ∈ L1 ( Ω ) Đặt φ = g −1 (9) p ψ = fg Khi ψ ∈ Lq ( Ω ) q = p > 1, p′ = − pq′ q ′ = q ( q − 1) ta có φ∈ Lq′ ( Ω ) Theo ( ) ta có ∫ f (x) p Ω dx = ∫ φ ( x ) ψ ( x ) dx ≤ ψ Ω q φ q′ p 1− p ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ p′ = ⎨ ∫ f ( x ) g ( x ) dx ⎬ ⎨ ∫ g ( x ) dx ⎬ ⎩Ω ⎭ ⎩Ω ⎭ Từ ta suy ( ) Định lý II.5 Giả sử < p < Nếu u, v ∈ Lp ( Ω ) , u + v p ≥ u p (10 ) v p Chứng minh Nếu u = v = LP ( Ω ) , (10 ) tầm thường Ngược lại vế trái lớn không Áp dụng ( ) ta có u + v p p ( = ∫ u (x) + v(x) Ω ) ( u ( x ) + v ( x ) ) dx p −1 29 { } ii/ với j tập hợp u Ω : u ∈ K compact tương đối LP ( Ω ) ; j iii/ với ε > , tồn j cho ∫ u ( x ) dx < ε p với u ∈ K Ω \ Ωj Khi K compact tương đối LP ( Ω ) Chứng minh Lấy dãy {u n } ⊂ K Khi theo (ii) tồn dãy {u( ) } cho {u( ) } hội tụ L ( Ω ) Sau chọn {u( ) }, ,{u( ) } , ta chọn dãy {u( ) } {u( ) } cho n {u n n k n ( k +1) n P Ω1 } hội tụ L (Ω p Ωk +1 k +1 ) Do Lp ( Ωj ) vói ≤ j ≤ k + theo (i) { k +1 n u (n k +1) Ωj } k n hội tụ Đặt v n = u (n ) với n = 1,2, Rõ ràng {v n } dãy {u n } Cho ε > , tồn j [theo (iii) ] cho n ∫ v n ( x ) − v m ( x ) dx < ε ( 22 ) p Ω \ Ωj với n,m = 1, 2, Ngoại trừ số hạng j − đầu tiên, {v n } dãy { } dãy Cauchy L ( Ω ) Như { } u (n ) v n j p j Ωj với n,m đủ lớn ta có ∫ v (x) − v (x) n m p dx < ε ( 23) Ωj Từ ( 22 ) ( 23) ta thấy {v n } dãy Cauchy Lp ( Ω ) hội tụ Lp ( Ω ) Do K compact tương đốI Lp ( Ω ) V TÊNH LÄƯI ÂÃƯU V ÂÄÚI NGÁÙU CA Lp ( Ω ) Âënh l V.1(báút âàóng thỉïc Clarkson) Cho u,v∈ Lp(Ω) Våïi 1< p < ∞ vaì p' = p/(p−1) Khi õoù (i) Nóỳu p < , thỗ 30 u+v p u+v p' p p u−v + p u−v + p' ≤ p u p p + ⎛1 ≥⎜ u ⎝2 p v p p , + v p p⎞ + v p p⎞ p p p' −1 ⎟ ⎠ (ii) Nãúu < p 2, thỗ u+v p' u+v p p p u−v + p' u−v + p ⎛1 ≤⎜ u ⎝2 p ≥ p u p p p + v p p p p' −1 ⎟ ⎠ , Chæïng minh (i) Våïi ≤ p < ∞, + p dủng bäø âãư våïi z = u(x), w = v(x), ta coï u+v p p u−v + p p = ∫ Ω p u+v u−v +∫ 2 Ω p ⎛ u+v p u−v p⎞ ⎛1 = ∫⎜ + ⎟⎟ ≤ ∫ ⎜ u ⎜ 2 Ω⎝ ⎠ Ω⎝ = u Ω∫ p + v Ω∫ p = u p p + p + v p⎞ v ⎟ ⎠ p p + Ta chụ ràịng * u p' p−1 = u p' p ,∀u ∈ Lp(Ω), * Vồùi p < thỗ 1< p' 2, tỉì bäø âãư 1, bàịng cạch thay p båíi p', z = ξ + η vaì w = ξ − η, ta âæåüc 31 ⎛ ξ + η p' ξ − η p' ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎜ u ⎝2 p p p−1 ≥ + v ⎞ ⎟ p ⎠ ξ p' −1 p p + η ⎛ ⎛1 = ⎜⎜ ∫ ⎜ u ⎝ Ω⎝ ⎛ ⎛ ⎜ u+v ≤ ⎜ ∫⎜ ⎜ Ω ⎜⎝ ⎝ p p (*) p ⎞⎞ + v p' + u−v p' −1 ⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ p' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ p−1 ⎞ p' −1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (do (*)) u+v = ≤ u+v p' + p−1 u−v p' u−v + p' p−1 p' (Minkowski) p−1 u+v = p' p u−v + p' p (ii) + Ta chuï yï ràòng * * u u p' p−1 p−1 = u + v p−1 p' ,∀u ∈ Lp(Ω), p ≤ u + v p−1 ,∀u, v ∈ Lp−1(Ω), < p < Våïi chụ trãn v ạp dủng bäø âãö cho z = u(x) , w = v(x) , ta âæåüc u+v p' p u−v + p' = p u+v p' p−1 u−v + p' p−1 32 p' p' ⎞ p−1 ⎞ p−1 ⎛ ⎛ u v u v + − ⎜ ⎟ ⎟ ≤ ⎜ ∫⎜ + ⎟ ⎟⎟ ⎜ Ω ⎜⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ ⎛1 ≤ ⎜⎜ ∫ ⎜ u ⎝Ω⎝ ⎛1 =⎜ u ⎝2 + v p p ⎞ ⎞⎟ ⎟⎟ ⎠⎠ p⎞ + v p p p ⎟ ⎠ p' −1 p' −1 + Theo bäø âãö 1, våïi < p ≤ 2, p' = p/(p−1) z+ w p' z−w + p' ⎛1 ≤⎜ z ⎝2 p⎞ + w ⎟ ⎠ p /( p−1) Ta suy z p + w p ⎛ z+ w ≤⎜ ⎜ ⎝ ≤2 p' + z−w p' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ p−1 ⎛ z+ w p z−w + ⎜ 2 ⎝ p− ⎜ p p⎞ ⎟ ⎟ ⎠ p z+ w z−w ≤ + 2 Váûy z p + w p p p z+ w z−w ≤ + 2 Aïp dủng báút âàóng thỉïc ny våïi z = u(x) , w = v(x), ta âæåüc u p p + v p p ⎛1 = ∫⎜ u Ω⎝ p + p⎞ v ⎟ ⎠ ⎛ u+v p u−v ≤ ∫⎜ + ⎜ 2 Ω⎝ p⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 33 = ∫ Ω u+v p = p u+v = ∫ Ω p u−v u−v + p p p Hãû qu V.2 Lp(Ω) läưi âãưu < p < ∞ u p ∈ Chæïng minh Láúy u,v = v p = , vaì u − v p ≥ ε > +) Nãúu ≤ p Charkson (i), ta coï u+v +) Nãúu p ≤1− p εp 2p < Lp(Ω) cho < ∞, tỉì báút âàóng thỉïc ≤ 2, tỉì báút âàóng thỉïc p u+v Charkson (ii), ta coï p' p ε p' ≤ − p' Trong caí hai trỉåìng håüp trãn,âãưu täưn tải δ = δ(ε) > cho u+v ≤1− δ p Mãûnh âãö V.3 Gi sỉí ≤ p ≤ ∞ v p' l säú m liãn håüp ca p Khi âọ våïi mäùi v ∈ LV : Lp(Ω) → ¡ xaïc âënh båíi Lp'(Ω), phiãúm hm ∫ uv LV(u) = ∀u ∈ Lp(Ω) Ω l tuún liãn tủc v LV ( Lp ( Ω ))' = v p' Chæïng minh Tỉì báút âàóng thỉïc Hưlder , ta cọ L V (u) ≤ ∫ uv ≤ u Ω p v p' 34 Do âọ LV ∈ ( Lp(Ω) )' v LV ( Lp ( Ω ))' ≤ v LV Ta chæïng minh p' ( Lp ( Ω ))' = v p' +) Nãúu < p ≤ ∞, ta âàût ⎧⎪ v(x ) u(x ) = ⎨ ⎪⎩0 Khi âoï p− v(x ) nãúu v(x ) ≠ nãúu v(x ) = u ∈ Lp(Ω) vaì LV(u) = u v v * Nãúu v p' p' = ∞ : +) Gi sỉí p = v âoï * Nãúu = 0, láúyu(x) = ∞ ∞ > 0, láúy0 < ε < v ∞ v táûp âo âỉåüc A ⊂ Ω cho < ⏐A⏐< ∞ , vaì v(x) ≥ v ∞ − ε , ∀x ∈ A Ta âàût ⎧⎪ v(x ) u(x ) = ⎨ ⎪⎩0 −1 v(x ) x A x \ A , thỗ u ∈ L1(Ω) vaì ( LV(u) ≥ u v ∞ ) −ε Nhæ váûy Lv (Lp ( Ω )) ' = v p' Bäø âãö Våïi < p < ∞ Nãúu L ∈ [ Lp(Ω) ]' vaì L [ Lp ( Ω )]' = 1, thỗ tọửn taỷi nhỏỳt w Lp() cho w p = L ( w) = Ngæåüc laỷi, nóỳu 35 w Lp() vaỡ w p =1, thỗ täưn tải nháút L ∈ [ Lp(Ω) ]' cho L [ Lp ( Ω )]' = L (w) = Chỉïng minh +) Gi sỉí L ∈ [ Lp(Ω) ]' v L = Khi âọ täưn tải dy (wn) ⊂ Lp(Ω) v lim L (w n ) = Bàịng cạch n thay wn båíi bäüi säú thêch håüp cuía wn cho w n = 1, ta cọ thãø gi sỉí L(wn) > cho w n p = , ⏐L(wn)⏐ > Gi sỉí dy (wn) khäng l dy Cauchy wn − wm ≥ ε Lp(Ω) Khi âọ täưn tải ε > cho våïi moüi m, n ∈ ¥ , âọ tỉì läưi âãưu, ta cọ (w n − w m ) ≤ 1− δ , åí âáy δ l mäüt säú p dỉång cọỳ õởnh Vỗ vỏỷy w +w wn + wm n m ⎟ ⎜ = 1≥ L ⎜ wn + wm ⎟ p⎠ ⎝ ≥ −1 p ⎛ w + wm ⎞ L⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ 1 [L (w n ) + L (w m )] 1− δ (*) Cho n, m → ∞, ta suy âiãưu máu thùn Nhỉ váûy (wn) laỡ mọỹt daợy Cauchy Lp() vaỡ vỗ thóỳ häüi tủ tåïi pháưn tỉí w∈Lp(Ω) Dãù tháúy ràịng w p = 1, vaì L (w) = lim L (w n ) = n Tênh nháút cuía w âỉåüc suy tỉì (*) +) Gi sỉí w∈Lp(Ω) vaì w p = 1, ta âàût 36 ⎧⎪ w(x ) v(x ) = ⎨ ⎪⎩0 p− w(x) nãúu w(x ) ≠ nãúu w(x ) = , thỗ v L p () vaỡ phióỳm haỡm LV : Lp(Ω) → tuún liãn tủc tha w LV(w) = p p = 1vaì L [ Lp ( Ω )]' = v p' = w p / p' p ¡ = Ta chæïng minh sæû nháút Gi sỉí L1,L2 ∈ [ Lp(Ω) ]' cho L = L = L (w) = L (w) = 1, ta chæïng minh L1 = L2 Nãúu L1 ≠ L2 , täưn tải u∈ Lp(Ω) cho L1(u) ≠ L2(u) Thay u båíi bäüi säú thêch håüp ca u, ta cọ thãø gi sỉí ràịng L1(u) − L2(u) = 2, âọ thay u båíi täøng ca våïi bäüi säú thêch håüp ca w, ta coï thãø sàõp xãúp cho L1(u) = vaỡ L2(u) = Nóỳu t > 0, thỗ L1( w + tu ) = + t ; vỗ L = nãn w + tu p ≥ + t Tæång tæû , L2( w − tu ) = + t ; vỗ thóỳ w − tu p ≥ + t * Nãúu < p ≤ Clarkson (ii), ta coï 1+ t p u p p , tỉì (w + tu) + (w − tu) = ≥ p p báút âàóng (w + tu) − (w − tu) + thæïc p p 1 p p w + tu p + w − tu p ≥ (1 + t )p 2 * Nãúu ≤ p < ∞, tỉì báút âàóng thỉïc Clarkson (i), ta cọ 1+ t p' u p' p ( w + tu) + (w − tu) = p' p (w + tu) − (w − tu) + p' p 37 p p⎞ ⎛1 ≥ ⎜ w + tu p + w − tu p ⎟ ⎝2 ⎠ u Do váûy ta suy p p' −1 ≥ (1 + t ) p = , âiãưu ny khäng thãø xy L = L2 Nhỉ váûy Âënh lyï V.4 ( Âënh lyï biãøu diãùn Riesz cho Lp(Ω)) Våïi < p < ∞ vaì L ∈ [Lp(Ω)]' Khi âọ täưn tải nháút v∈ Lp'(Ω) cho L ( u) = ∫ uv ∀u ∈ Lp(Ω) Ω v Hån nỉỵa, Nhỉ thãú p' = L [ Lp ( Ω )]' [Lp(Ω)]' ≅ Lp'(Ω) Chæïng minh +) Nãúu L = , ta láúy v = +) Nãúu L ≠ 0, khäng máút täøng quạt, gi sỉí L [ Lp ( Ω )]' = Theo bäø âãư3, täưn tải w∈ Lp(Ω) våïi w p = 1sao cho L(w) = Ta âàût ⎧⎪ w(x ) v(x ) = ⎨ ⎪⎩0 Khi âoï p− w(x) nãúu w(x ) ≠ nãúu w(x ) = v ∈ Lp'(Ω), v p' = v phiãúm hm LV : Lp(Ω) → R xạc âënh båíi L V ( u) = ∫ uv Ω , ∀u ∈ Lp(Ω) 38 thoía Lv [ Lp ( Ω )]' =1 v LV(w) = Theo bäø âãư 3, ta coï L = Lv Váûy L ( u) = ∫ uv ∀u ∈ Lp(Ω), , Ω vaì L [ Lp ( Ω )]' = v p' Bäø âãư Gi sỉí f ∈ L1loc (Ω) cho ∫fϕ = , ∀ϕ ∈ C∞c (Ω) Ω Khi âọ f = h.k.n trãn Ω Chỉïng minh Láúy táûp G ⊂ Ω cho G compact vaì chæïa Ω Theo âënh nghéa, f ∈ L1(G) , C∞c (G) tr máût L1(G) nãn täưn tải dy (ϕn) ⊂ C∞c (G) cho ϕn → f L1(G) Ta âàût ~ ϕn = ϕn , n = 1,2, + 2n thỗ ~ n ∈ C∞c (G) , Do ϕn → f ~ ϕn ≤ ~ vaì ∫ f ϕ n = , ∀n G L1(G), nãn coï mäüt dy (ϕ nk ) cho ϕ nk → f h.k.n ~ trãn G, âoï ϕ nk = ϕ nk 1+ ϕ 2nk → f 1+ f h.k.n trãn G 39 ~ Fk = f ϕ nk , ta cọ Xẹt ~ f ∈ L1 (G) , vaì Fk ≤ f ϕ nk ≤ * f2 * Fk → 1+ f h.k.n trãn G Theo âënh lyï häüi tuû bë cháûn, lim ∫ Fk = ∫ lim Fk = k →∞ G G k →∞ ∫ f2 G1 + f2 ~ ∫ Fk = ∫ f ϕ nk = , ∀k G G f2 ∫ nãn G1 + f2 = Tỉì âọ suy f = h.k.n trãn G Do G choün báút kyì nãn ta suy f = Âënh lyï V.5 h.k.n trãn Ω (Định lý biãøu diãùn Riesz cho L1(Ω)) Cho L ∈ [ L1(Ω) ]' Khi âọ täưn tải nháút v ∈ L∞(Ω) cho L ( u) = ∫ uv , ∀ u ∈ L 1( Ω ) Ω v v Nhỉ váûy ∞ = L [ L1( Ω )]' [ L1(Ω) ]' ≅ L∞(Ω) Chæïng minh Gèa sỉí L ≠ v L [ L1( Ω )]' =1 40 Ω