Sự tồn tại và nghiệm tối Ưu của một số bài toán trong giải tích phi tuyến

Mục tiêu : đề tài nhăm 3 mục tiêu chính sau đây - Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc của tập nghiệm cho phương trình tích phân và tập nghiệm yếu của phương trình sóng nửa tuyến t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO | TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

BAO CAO TONG KET DE TAI KH&CN CAP BO

SU TON TAI VA NGHIEM TOI UU

CUA MOT SO BÀI TOÁN _ TRONG GIAI TICH PHI TUYEN

TP.HCM, NAM 2007

BQGIAODUCVADAOTAO | TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

BAO CAO TONG KET DE TAI KH&CN CAP BO

SU TON TAI VA NGHIEM TOI UU

CỦA MỘT SÓ BÀI TOÁN _ TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN

DANH SACH NHUNG NGUOI THAM GIA THUC HIEN

PGS TS Nguyén Bich Huy

PGS.TS Nguyén Dinh

-000 -TOM TAT KET QUA NGHIEN CUU DE TAI

KHOA HOC VA CONG NGHE CAP BO

Tén dé tai:

Sự tồn tại nghiệm và nghiệm tối ưu của một số bài toán trong giải tích phi tuyến

Mã số : B2005.23.68

Chủ nhiệm đề tài : PGS.TS Lê Hoàn Háo, Điện thoại (0875 22 625

Cơ quan chủ trì đề tài : Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM

Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện :

PGS.TS Nguyễn Bích Huy

PGS.TS Nguyễn Định

Thời gian thực hiện: 4/2005 đến 4/2006

1 Mục tiêu : đề tài nhăm 3 mục tiêu chính sau đây

- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và cấu trúc của tập nghiệm cho phương trình tích phân

và tập nghiệm yếu của phương trình sóng nửa tuyến tính

- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho lớp bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach

- Thiết lập các điều kiện tối ưu dạng Karush - Kuhn - Tucker, các điều kiện điểm yên ngựa, đối ngẫu và ồn định cho các bài toán tối ưu lỗi trong không gian vector tôpô lồi địa phuong Hausdorff

2 Nội dung chính:

- Chương I Tính compact và liên thông của tập nghiệm

- Chương 2 Bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach và áp dụng cho phuong trinh Kirchhoff

- Chương 3 Các điêu kiện chính qui dạng Farkas trong các bài toán tối ưu lồi vô hạn

3 Kết quả chính đạt được (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế - xã hội):

- Kết quả về khoa học : 3 bài báo, trong đó hai bài đã công bố trong tạp chí toán học nước ngoài năm 2004 - 2005 và một bài công bố năm 2006 trong Demonstrator số 36.

n di, các kết quả từng bước được triỂn khai ong các luận văn Thạc sĩ và luận án Tiên

-4) Lê Thị Phương Ngọc (Tiến s), Người hướng dẫn PGS.TS, Lê Hoàn Hóa Để tài Ung dụng phương pháp diêm bát động trong sự ôn tại nghiệm của phương trình Nguyễn Khải Hoàn, người hướng dẫn PGS.TS, Nguyễn Bích Huy Đề ti : Mật sô

“nghiên cứu về phương tinh logistic:

5) Trần Thị Bích Thụ, người hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy Để tài: Một số

ốp bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach,

‘Cooperating Insttution(s) : associate professor doctor Nguyen Bich Huy, associate

in Dinh,

professor doctor Nguy

Duration : from May 2005 to June 2006

1, Objectives

= Study the exis ce and the structure ofthe solution se of integral equations and

‘weak solution set of semi linear wave equations

- Study second-order Cauchy problem ina scale of Banach spaces,

- Provide Karush - Kun - Tucker and saddle point optimality condition , duality and stability for consi tent convex optimization problem posed in locally convex topological vector spaces

2 Main contents

~The connectivity and compactness of solution sets

- A second-order Cauchy problem ina scale of Banach spaces and applications to Kirchhoft equations

= New Fark {ype constraint qualifications in convex infinite programming

3 Results obtained

= Three were published in foreign mathematical Bulletins The result of these three papers were used in five Master-degree thesis

‘TOM TAT KET QUA NGHIEN COU BE TAL ' CHUONG 1 : TINH LIEN THONG VA COMPAC CUA TAP NGHIỆM s

‘The connectivity and compactness of solution sets 8 CHUONG 2: BALTOAN CAUCHY BAC HALTRONG THANG CAC KHONG GIAN BANACH VÀ ÁP DỰNG CHO PHƯƠNG TRÌNH KIRCHHOFF

A second-order Cauchy problem ina scale of Banach spaces and application to Kirchhoff equations 24 CHƯỚNG 3: CAC BIỀU KIÊN CHÍNH QUY DANG FARKAS TRONG CÁC BÀI TOÁN, TÔI ƯU LỎI VÔ HẠN

"New Farkas ~Type constraint Bookmark not defined qualiieations in convex infinite programrming Error! THUYET MINH BE TAL 6s

Nội dụng: Chúng tôi chứng mình tập nghiệm của phương trình tích phân sau là tập

Xi rng, comple va ign thôn

Cong cy chinh 1a lý thuyết bậc tôpô của trường compäc

1 Tông quan:

Bench i on vd bn nh, pit cn ah i co phuong tri vi phn, phuomg sa tích phân, phương trình đạo hàm riêng cứu về nh ên tông của tập nhện, Thí dụ một p dụng mene én cir Nhigu tie giả nghị

lad hin pn ith toán gi tị hiến ồn hợp cho phương vình Banbolk nứa nyễn tính có at lập nhs vo has khôn đơn dược heo |4] định lý khởi đầu là ông nghiệm có mặt cắt là tập liên thông được chứng inh bat Koes Tinh lên tông của áp nghiện được ti đầy tabs Fas Các đình lý này được nhiằu tá giả mửrộng cho Từ bá ảnh len lớp phương rnh i Sachi ip hm cho ph vì phân ân tình (1) và bài oán 2) S Sử sự kề qui cv (D1 6)¡ ẽ dụng tuyết bậc ops eho tng compe sa dah ý ea (2) được thế lập trong (146) Trên eơ

xi Nương cả ah alện chứng tà hứng nạ nghiện in và úp Tghiền sê củaZ]khác 3 Định lý vệ nh com lên hông củntập nghiện liên thôn

“Cho E là Không gian Danach với chun lạ, Đặt Xa = C((0,sz), E) là không gian Tiechet cấc hàm liê tc từ |0,z:) vào Etới họ ữa chuân ,66)sup([x()1,L€[0n]] với mọi n c N

Trong đó f, g thỏa mãn các, làu kiện

(hi): (0,20) x E> E lign tye véi nh chất: Với mỗi n € N, 3k, > 0 sao cho

(theo tht Ki 6 ip nghiện của phương liga thong,

"Để chứng mình định lý 1 t cần nln inh I điểm bắt động loi Krasuoselskii trong ing gia 6 ia phuong (2), dh vb nh comp lớn thing ci i Định] A84] định lý về sự xảp xì ipd đa phương cả ánh xa lên tự [1 (1), 6 b đh xẻ mự rộng in weIxem Vĩ chượng 2 vang

3, Định lý 2 về tinh comp, én ding ca ap nghiệm yeu

lâu dv\ du av

œ a): See ae

XO tng ger dnghn I he VV IV hai chun tong dn Cet su dy el 6} [a(w,v) là

(E) |/(6»)=7(5y]}< B,(Ml)lu—n| 2v.» R

Đinh lý 2 (A0 - (A2) và (E) thôa mãn Giá sử thêm [ iên tục Khí đ, với mi T>

0, tập hợp nghiệm yÊn (u, P) của bài toán (2) ao cho

ú €L” (0,T, v), u €L” 0, T, L*), u (0,0) EL? 0, T,), PO) € (0, 0

tập khá rồng, compắc và iên thông

"Để chứng mính định lý 2 ta cần định lý về sự tổn tại duy nhất nghiệm cho trường somplc

e

2006 (dính kèm toàn văn bài bảo: The connectiviy and compaciness of solution sets) t quả trong chương 1 sẽ được công bổ trong tạp chí Demonstrd số 36 năm

Le Hoan Hoa’, Le Thi Phuong Ngoc”

‘Depo Mata YC Ma Cay Uy a Eatin,

280 An Duong Vuong Si, Dist §, fo Chi Minh Chy, Viet Nam

‘hang coral Cp, of Npyen Chan St a Ten Cy, Viet Nam Esa: phoongngocedsp@dng van yn

Abstract : In this paper, we show that the solution set of the following equation is

where g, H, k are given functions,

‘The main tool is the topological degree theory of compact vector fields Keywords : Topological degree; Compact vector fields, Relatively compact set

1 Introduction,

Besides the existence problem for solution, the number of solutions or the structure of the solution set for many equations such as differential equations, integral equations, partial differential equations, have been considered by many mathematicians Many authors have considered the connectivity property of the solution set A paradigmatic application is the has two different solutions, then there must be a continuum of solutions,

‘According to [4], the first theorem stating that the solution funnel has connected sections was stated by A, Kneser Connectedness of the solution set was first established by

of differential equations There are three generalizations which are particularly important (it,

is well known in [4], Ch.6 -316 with the references therein)

the above quaions (1) and (2), whe all gvenfancons ssi condtons wo be speed a existence of solutions of easton (D-(2) was established in ([2 I [6D Based on the reulaf (2h [e) With apg the opologildeace ey of compat vector fs and ‘bout a continuous mapping er proves thatthe Solon set ofthe equation (1) andthe weak solution sof the equation @) re nonempty,

re chosen as that in the Following proofs pape cons of te set

presented nthe section 2 and

2 Theft theorem about the connectivity

and the main results of the paper will be teal Banach pace with nam Let X = 02,6) be the Freche and compactness of the solution set space “ a Continuous functions o [co Eh fal of Senos Up (Bt [On foreach nN, anu the mevie 49) 2a

Toners prove he here theorem of Krassnosel’skii type in locally convex space This theoremused et rl the flowing hore tee <n as Follows

Condition (A) ({2]) Let X be a locally convex topological vector space and let P be a Separating family of seminorma on X Let D be a suber of fine U, : D> X by Ux) = Ulx) +a X and let UD > X-Foranya ©

‘The operator U: D —> X is said to satisty condition (A) on a subset Q of X if: (ALI) For any a

€ 2, UND) cD

there exist EN and 8>0 such that for x, yeD with a (x,y) < implies a2 (UEC), UEGI)< & — where — aB(x,y) = max{p (USO) - ULO)).t./= 0,12, ue = (423 sand 2,=W V0)

‘Theorem Bi (2) Let X be a sequently complete sll convex space with separating family of teminorinsP Let U and C be operators on X such that {@) U satisfies condition (A) of (9 ray thee > pending oh at x

pen) - any €

Gin Te exits eX wh ihe pope! forany phere exstr «Nand € (0.1) (rand & depending on p) such that p (UE,(&) ~ UE,@)) $ Apr»), (09) Ciscompletely continuous, p(C(A)) < œ whenever P(A) < o, for AEX

(69 G dim, p(CG))/ pG) = 0 for allx €

“Then UC has a fixed po Remark 1 (2) Let X be a toe locally convex space with a separatis ily of serninorms P Let D be a sequentially complete subset of X- Le Ube a unto comin operator on D an well defined and continuous on £2 Furthermore, if in condition (A) can be choo fies condition (A) on a subset © of X Then the operator (-U)" independent of a £ © then the operator (-U)" is uniformly continuous in © [Remark 2 From the proof of theorem Bi ([2]) we have = Incase family of seminorms

is Fite ther exit Bounded open conex subst Dof D such that (LU}-IC() C D and ( < U)! C has a Fixed point in D (not in 8D) which is X wth ondary 8D andcosre precisely a Fixed point of U + Cin D (notin 8) ‘Theorem B2.([4)) Let (Ei) be a weal Banach space, D be a bounded of with boundary 8D and closure D and T: D> E be a compact operator Assume that T Satsies the conditions as follows {@) T has no fixed points on 8D and deg (LT, D, 0) # 0

(i) Ranh c> 0 ÖenlsơmDae on T dh IfŒ) =7@)|< £,ferallx

soc hat fra wh Be he eaation x the set of Fie points of T's one

theorem Bz cane unin ep s12 deve #82) "theorem BS {1} Let Eb Banach space, D be an open tbs of Ban D> F

‘be continuous Then foreach & > 0, there is a mapping fe: D> F that is locally Lipschitz such that,

‘Theorem B4 (Tietze (1915), Dugundyi (1951)) (see (7, eh 2, p49) Let M be a closed nonempty subset ofthe metric space X, ¥ be the normed space and f-M-Y be a continuous operator Then there exists a continuous mapping g : X + such

that €) (9) Ceol), where cof isthe conve al of 4) i) gx) = ffx) forall x And we als eal the flowing proposition, 2 [3 1 Proposition BS A s Sino conf a o only it foreach € N.Sis equicontinuous in (0) and th (Ox © §, Ce [0, 9} is telatively compact in E

‘The proof of Theorem 1

We prove tht foreach nthe sluton st of (1) on [0m is nonempty,

Step I

compact and cone

Pro Tạo let %,= Cin 6) he Ban upibbt «(0a pace ofall continuous

functions on (0, n] to E withthe norm xl, Leu

—> Xn be defined as follows:

ay U00 =]/tatác renl:

22, Can =favansanae retO.mh

Then, we ean prove ina similar manner in (2 emma 2 3) that: forall € Xp

đa feu." ons 2” pool, ween, vere re

‘And Cis completly continuous operator on X stsfying

exists a bounded ope ne al

'€(D) cD nd Uy Chae fed pi in Bc it notin 3D, leary Bis

operator Asabove, "i no fined pint in Further {B)< D and D conven, so we have vero, an (=0)! ph 28) yn <ö =II- U-I@) (+ U-I@)ln<e, - Vx,y €X„ — ` ha

h

Let

2 (6)/5 |0,n], x <

‘Then K is bounded in E So, Ñ is bounded in E, where R'is the closure of K, We note that, forall x ¢ Dands € (0, nl, xis) K

By the theorem By, thete exists a continuous mapping g

n]2x K on [0, n]2xB, here g / A denotes the restriction of g on A, such i 2.10) #0, nJ2xE) = cog(l0 nJ2xẾ)

By the theorem Bs, there exists ge that isa locally lipschitz operator on [0, n x E foals 0.9 and tư Ly xiên

Then (215) cis completely continuow:

tttows fom 22), 21,9215) a ral Oa forall x €D

420 (0) =y(0) =h(0)

Let

(2.22) b= max (a € |0,n]/x(9 = y (9, (0, al) Clearly, b 2 0

‘We suppose by contradiction that b <n, Since ge is locally lipschitzian, there exists r > 0

| <1) Since x, y are continuous, there is a> 0 such that b + 6 n and x(s), y(8) € Br for alls

< [b,b + ơ] We note thất [b, b + ơ] C |0, n] For all t © [b, b+ 0}, we have l1 ÏJ/Gixeb= 6620089 + ]jgdtsst=gaeseDe ais)

Since x{b) = y(b), this inequality implies that x(t) = y(t) for all /e [b+ 6] I follows that (0 =y(0 đorallte |0, b +]

From (2.22) and (2.23), we get a contradiction, Thus (2.20) holds Combining (2.7), (2.15), (2.18), (2.20) and applying theorem B2, the step 1 is proved

‘Step 2 We prove that the solution set of (1) on (0, 2) s nonempty, compact and connected Proof First, we note that if x(t) is a solution of (1) on (0,2) then x0, n]_ (isa solution of

exists a solution x* of (1) on [0, 2) such that x *)[0, tạ In other

‘word, xs is expanded on (0, Indeed, we consider the equation

4224) xí) =xnín) + fi f(s.x(s))ds + fi g(ts.x(s))ds, t>n

Applying the theorem Bs, with the proof is

We define x* 0,2) => E by, TC Bar l0)

(Đ báo, pt en

Clearly, x*() isa solution of (1) on [0, z) and x”]u„j = Xa

Let Se the solution set of (1) on [0 =) By (2, the theorem SI, is nonempty Now, we prove $ is compact and connected, Here, we only consider the set S such that for cach n € N, the set Sn = { x0 n], x € 8) D with D is defined in step 1

By step 1, Suis nonempty compact and connected on Xu = C(0, n}, E) Then, by proposition

Bs, we have $s relatively compact in Xo =C (|0, ),E)

Furthermore $ is losed Indeed, et (xx) be sequence in $ which converges to x9, ak»

<», then Xn) > lon] Prom «© S Hence, x» € S Thus $ is compact Xe lg} Se nd S is compact we obtain that Xo [on

‘We prove that is connected

Suppose, to get «contradiction, that Sis not connected Then there exists two sets Sand S*

‘which are nonempty, compact and disjointed such that S=S* S Pat Sf =f xlfon} X e 8') SẼ ={ xiJømj x.€ 8°}

tis clear that $f and Sif are nonempty, disjointed and § = Sÿ + Sif

On the other hand, Sf and Sar closed, Indeed,

Let [xu} be a sequence in Sf which converges tony, k > =, Then, there exists sequence {x} in * such that 3 [on] = Since S*is compact, there exists a subsequence x.) of {xz) such that xj, converges to y in S* This implies that XE lạ] =>], 8 =

It follows from y € S" and xf In) = %, -Converges to x that x0 = yjon} © Si Then S$ are closed Similary, Sf is also closed

This implies that , is not connected which gives the contradiction The step 2 is proved 3 The theorem 1 is proved completely =

3 The second theorem about the connectivity and compactness of the weak solution set Let = (0,1), QT, = 2x (0,1), T> 0, L? = L? (Q), H!= HQ), HE = HE (), where

xe the usual Sobolev spaces on 0

“The norm in L? is denoted by Ill < ,.> denotes the scalar product in L? or pair of dual scalar product of continuous linear functional with an element ofa function space, the norm of a Banach space X is denoted by iilx L’ (0, T; X), 1 Sp ©, denotes the Banach space of the real function u : (0, T) —> X measurable, such that

(À) & £Hf@,T), VT>0:

(Ái) & € HÍ0,T), VT>0and 0) =0;

(A4) The function H © C! (R) satisfies H(0)

(Pfu), F)-SBy hy 1 We nF eRe

‘Theorem 2 Let (A;)- (Ay) and (F;) hold Suppose in addition that fis continuous Then, for eves 0, thet of te weak sans P) of prem 2) sich tat 1°(0,T;V),uy € L°(0, 7:12), 105(0,t) € L2(0,T), PCO) € H*0,7), Isnonempry, compact In order to prove the theorem2 for convenience, let us recall the following theorem ((6)) and and comected the main seein the poo of terem The ntations which, reused in thistheorem re given asat

‘Theorem C ({61) (The existence and uniqueness of weak solution) Let (A;) - (Ay) and (F;) -(F) hold, Then, for every T > 0, there exists a weak solution (u, P)

‘of problem (2) such that

«(0 Tị 6, E170, T: Ub alOs) eL1O) Pine H'O,Th

1B satisfying, in addition, Furthermore, iff = in (F)) and the function

(Ay HeCUR) His) >-1 Vek: (Fa) BAM) EO, forallv 6 L(Qp, PT > 0,

‘Then the solution is unique

“The proof of theorem C (J6) Sesking the solution (um(Ð, Pi(0) with ty consists of several steps Step J (The Galerkin approximation)

Yh Gny (ey of the equations

(CA) <6 ).4> + ate(0,)< P.0) 240,4 < fil ta) >

(C8) Pan eat Men0.0- [AE sng sd

(CS) wires Fay > mason nH

“hen, S is a closed convex and bounded subset of the Banach space Y = C1({0, Tm}; Ri)

in Anping the Shand it eheorem, U has a fixed a) stl imps tat he te V 1C 3) ba vgluBo rt, Bn) ih sau on [Te

Step 2 A priori estates These estimates allow one to lake Ty = T for ll Step 3 Pasig oi Ther ox 3 sinus ‘of sequence Pa) Kas chosen two times), still denoted by {up Pa), such tha

ve vin, EV) weak su soonlyin L1G),

ty => vũ TẾ (0,T; LẺ) weak*,

"`"

Pa P in H'(0,T) weak, Pe? ae in Or,

i tn) > ft) in L™(0, FL) weak,

‘Thon (a Ps the weak scoton ofthe problem Step 4 Uniqueness of the solu

‘The proof of he theorem 2 The root coins ofthe following eps

U: § > Y is nonempty, compact, and

Step 1, The set of fined points © ofthe op

‘Where $= fe © CHO, Tal: Rll SM) isthe closure ofthe open convex and bounded subset RO) ll ND, wih

M> 0 Ta >0 wl chosen hi om Bs, there (0 Tn

Proof, We have 8! -> R is continuous, 30 forall > 0, by cst mpi R°> Ris locally Lipschitz approximation ¬ Mu, v) - fa(u, Wi<e/ p, Wu € R, off such that

Vy > Oj chosen inorder that 2s al enough

Clearly, First, we define the followings operators fis continuous

Let Ue: $+ Y be defined as follows

(0,6) > UA.) is denoted by Une

bbe defined as follows

ince IUcl¿ < M, lU¿cl <M, Yc € S,¥A€ [0, 1}, we have the operators

thermore, U when 2 = 1) have a fixed point ¢ © S but ¢ & 2S This shows that

an 060-2988

And we can prove in a similar manner as in (6] that Ức : Ÿ => Y is compact, with the otes, Namely/

we replace f by f, in the definition of operator U : $Y, we obtain the tive operator Us : § => Y The mapping f is continuous, ut BE (M, T) a

“Shove: and wath choosing M, Ty 1nd, we also have an estimation as in 6] ofthe term IIV,c - Vu, for alle as thas we have the operator Uc maps Sint isl © S and forall belongs ta neighbourhood, with ais > 0 smal enough, of cin § Ind

followin

forall cin 5, there exits the neighbourhoods with the same Smeth locally Lipse

(0, Ee, (ne) im R, forall t € [0, Tm], such that f is

radius o> 0 (Essen, Be, 0009

Mrokesinan fio Es owls tI Be,-2 x00,

Ie follows that there exists a constant Kix > 0 such that

Bete Ki (lot Ft)

Thus, similarly in (6, we also obtain that Us: > Y is continuous

‘We also have that Ua(S) is bounded and equicontinuous fore, Ue is compact with respect to the notm ll

‘This gives a contradiction with choosing b Thus, wy (0

Finally, we only prove that 6.10) de

sổ, (0 on 0, Ta -U, $,0) #0

‘This is proved as follows The family ofthe compact operators U; satifies the condition (3.7),

so applying the homotopy invariance property of the degree, we obtain deg(I-U - Us, 8,0) does not depend on 2 Ieimpli deg(F-U}, S, 0) = deg (I-Us, S, 0)

where I- U; =I U and Us s the constant mapping, since we have forall «

corresponding with um such that tn (€) = EJs émy (0, is continuous

Pa) o limmsit is nonempty, compact and connected,

We also have this result since the mapping in which for each (up, Py) is corresponding with the weak solution (u, P) is continuous

The theorem 2 is proved completely

References

[1] K Deimling, Nonlinear functional analysis, Springs York, 1985, [2] L H Hoa - K Schmitt, Fixed point Theorem of Krassnosel'sti type in locally cover spaces and applications to integral equations, Results in Math 28 (1994), 290-314 [3] L H Hoa - K Schmit, Periodie solutions of functional differential equations of retarded and neutral ypes in Banach spaces Boundary Value Problems for Functional Differential Equations, Editor Jonhny Henderson, World Scientific (1995), 177 - 185 [AI M.A Krasnosel'kii PP, Zabreiko, Geomerrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1984

[5] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoe Dinh, A semilinear wave equation associated with « linear differential with Cauchy data, Nonlinear Analysis, Theory, Methods

& Applications, Wo 24 (1995), pp 1261-1279

[6] Nguyen Thanh Long - Tran Minh Thuyet, A semilinear wave equation associatedwith a nonlinear integral equation, Demonstratio Mathematica, Vol XXXVI, No 4,

2008,

[7] Bberhard Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Springer Verlag New York Berlin Heidelberg Tokyo, Par

KHÔNG GIAN BANACH VA AP DUNG CHO PHƯƠNG TRÌNH

tại nghiệm của một lớp bài toán Cauchy cắp 2 thỏa điều kiện dạng cormpắc trong thang các không gian Banach Các kết quả trừu tượng nhận được sẽ được ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm trong lớp hàm Gevrey của phương trình dạng Kirchhoff

1 Về một lớp bài toán Cauchy bậc hai trong thang các không gian Banach, CCho (E,, le), 2 € [sb] C (0,2) là một thang các không gian Banach, nghĩa là với mọi cập À, À" e [ab],2.<2° thì ta luôn có

Eyck, ld, Sho

"Định lý 1 Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn

1) Với mội cặp (1, B) ma a > 2< ÿ < b thì A là ánh xạ song tuyển tính từ E; x Eạ vào Eva

Khi đó, mỗi 2 € (a,b) tổn tại số T, = min

Alon Po} ocho bi ton Cauchy

"

“Có nghiệm w : (0,7) 2 Rgdụngcho phaons inh Kirchot?

“Cho @ e EP lá tập mở, ta sẽ ký hiệu A(Q) la lop tit ede him thye w e CC)

So do 3K >0,3€ >0:IDf li KRẾ va en

nen

Voi 2 > 0, ta đặt E, là không gian các hàm u © C* (2) malay 1= Decne [ID ul] < ø

Ta có (E,l4 l), 2> 0 là một thang các không gian Banach (Q)=UỊB;: 2 >0}

"Nếu Ì < RM là một khoảng thì ta viết ú © C® (LA(Q) néu tin ti A> 0 sa0 cho tú €

CB,

Ta xét bài oán Cauchy sau đây

0 te) /[osj: foe) „ (sz)eQ,=[07]xo

u(0.x)=4(2), Du(0,2)=u(2) vxeÐ

‘wong do P,Q là các tip mo tong P CQ vA P bi chin cdm him £0, x BY oR thd mãn các điều kiện sau:

() NGA) e CƠ (@) với mọi u) [0TỊx 3 và với mọi œ£ NÌ tì ánh xạu DE

fí.„ u) thuộc lớp C (lR°, C (£.))V

(f1) Tên các số C >0, K >0 sao cho

[DES xl SKE VU) € xR Vae nN” Định lý2 Giả sử các giả thiết (HỤ), (H,) dupe tha min va us wy © A (2) Khi dé tin

tại TY <T số sao cho bài toàn (1) có nghiệm u CẺ [0, Tˆ], A (@))

"Để chứng mình định lý 2, tachỉ cần sử dụng định lý 1 cho A, B là các ảnh xạ sa as) flr t4)

Bài toán là một dạng mở rộng của phương tình KirehhofŸ và được nghiên cứu bạn Au Ệ đầu trong các bài báo của D Gourdin và M Mechab, Các tác giã trên đã dùng phương pháp khie dé nghiền cứu bài oán và phấi xây dựng các đánh giá khá phức tạp va dai đông Ngoài nghiệm của họ cũng hẹp hơn của chúng ôi

“đe Differential the Equations

` seemee(dlmser com Journal of ifferential

Equations ELseviER "` -wwewekevierconilocaejdc

‘A second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces and application to Kirchhoff equations

Nguyen Bich Huy’, Nguyen An Sum, Nguyen Anh Tuat Depa ates an nema, Unto Pee 280 An Duong Voong dit Hộ Chỉ Mình Cự

Received 29 Angus 200"

Avail online 26 Ass! 2004

Abstract scale of Banach spaces we sty th Catchy problem for he eqution = (Bult) u), where A i erator and B is 2/compleey continuous operator Obiained results are applied to prove existence of solutions nthe Gevey clas for Kitch

‘equations © 2004 Elsevier Ine All rights reserved,

Keyword: Cauchy problem Scale of Banach space: Gevey cls: KirchoTequations

1 Introdution i devoted othe sly of existence rests and apicaion ofa cas of secon ter Caahy proba nasal of Banach spaces, Existence and uniqueness ress for Cauchy problems of fist order in a scale of

email addres: nguyenbichbuy@ pom vnn vn (NB Huy

(422.0398 see font mater © 2004 Eee Ie All sight served Dot 10 1016) j-2008 05.016

2s

In Seton 2of te present paper we sal be concmed with eines res for a las of quaions saying a competes con

tr aba rest wl applied to prove the existence of soltons nthe Gees clas for generalized Kireollequivons conden in [3] The auhors a the paper 32) hhave used the complicated method based on formal norms of Leray-Waelbroock, Our method

‘of reducing to the equations in a scale of Banach spaces seems to be simpler and allows us to Tighten the assumptions on the data of the problem and also 0 give estimates for lifespan of the solution which are more exact than obsained in [4]

2 A second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces

Teondat th: section Het ws given sal dĩ Bưh mem Ll)À [ni]

0, +0) such that 2 <2” implies E> CE; and luh <luhy or all problems scale of Banach spaces consists in that operators under w € By The main difficulty in

‘Theorem 1 Let she following assumptions be satisfied

) For any pair (4, f), aS 2 < BS b, the operator A: = [0, T} +L (Ls Ex) is

‘continuous and there exists a number M > 0, independent of , , such that

fort © (0,7,) Here,

Heo) = aa tems, € =s90|Iã0)l FE LO.TH

pl Cle: 5 € 1.01, KO = e+ SAP en, @

Gates te= pe

Consider a number t € (0, T,) and choose > % such that Met” < (b - B)* Inequality (6)

shows that the sequence (un) converges in C((0, {] Ey) a funtion w Taking lìmi in E,- +E, satisfies (5), hence itis a solution of problem (1) Next we verify estimates (2), (3) For Simplicity of notations we set d'= Ve; we have from (6)

¬x` "=

bá)

For0 S£<(b— A)/d From (5) we obtain

weit = | [rams rains ft ptnde + sends

‘Where 2A) = (b +2 = d9) /2, By applying (2) we get

fort © [0,T,) Thus, (3) is established

Finally we prove uniqueness Let v (0, T] + By, bea solution of problem (1) Fix 2°

<A, we may repeat arguments in the proof of existence with 2, b, uy replaced by 2,2 and te

‘respectively, to oblain forthe Funetion w -v estimate (2) with 2) Consequently, ui) = Wi) for <t<min {T,0.%°)/4} and hence u(t) = vi for << T’ by standard reasons The proof'is complete

‘Theorem | will be needed in proving ofthe following main result of the paper:

‘Theorem 2 Let the following assumptions are satisfied

(1) For any pair (2, ), aS 2-< B <b the operator A: E, x Ey > Eis bilinear and there exists a number M > 0 independent of 2, such that

lAU.) < Q7 2gMUNy - đ - Ey, all we Ep (2) The operator B iscompletely continuous from C(0, T], E,) into C0, TỊ Bụ)

LAGRutty = AUBuCE) 2D Gp HBaKt — Burials lacButr) wy, < beet

comin and compas ofthe opr Fe hl sinew =F =P Cy

We will consider the Cauchy problem (14) in the scale (Ey.lp), € [À, È + ø] with e>

0 choosing later By applying to problem (14) the estimates of type (2), (3) with notations (4)

in Theorem | we get

mm

Tha + tee s for0 < L< mún{T, 24), where {() = A(Bui](0) Bus(0, Fux()) We have by assumption (1) of

tether te € Mite) = Aeon 6 aay 2

Finally, for 0 < t $ Th=min{ T,(b-2)/ 4a} we have from (15) - (17)

(912 +lg (0L; ;te {0.T]], We haye C10, T,}, Bd) equipped with the norm tl

from (19) F{X) < B(@,r) for some r> 0, and from (18)

Fas Fait can

for some constant K > 0 Since B is completely continuous, so is F Therefore, F has a fixed point in X by the Schauder theorem The theorem is proved 9 3: Application to Kirchhot equa he sale of spaces of functions nthe Grey clas

Let @.c B" be an open subset, we denote by A(2) the class of all real functions u € C(O) satisfying

Tis known that the family (EA, lA) 2 > 0 forms a scale of Banach spaces Moreover,

if a function w satisfies condition (20) then for i-<e we have

Lurks 2)" < aE p-naet x

hence u Ed Thus, we have A(O) = U(EA : > 0)

Lemma 1 The seale (E2, L3), 4 € [a.b] has the following properties: (If, v €E2 then wv € Ed and one has wi < Wlalvla (2) There exists a constant M > 0 depending only on a.b such that fora & <P<b fone has 4

lanl,€ pm DMÙỤ 4 Bp

‘Where A isthe laplacian

Proof (1) we have

Dru =D chotens &

‘When we define ở li cái 256% for all

mm a aa Iori < wots 1 7 en

> as aaa

By the rule for multiplication of two series, the right-hand side of (21) is equal to

lu and hence lavD, < lMAND,

(2) For a mall ~index ở = (Ì, g2 , ơn) ve set +2

I (gi +2, 02 ơn); the we

‘The lemma is proved

3.2 Cauchy problem for generalized Kirchhojf equations Following the paper [4] we consider the Cauchy problem,

forall (,x,u) € Oyx Be and all a € NV

In the paper [4] the following hypotheses on the function f are proposed (HP) Đặ/ © COT xR, R) forall « = Nn

(Hy) The ae c >0, K > 0 such that

lors,

TỄ ft xao Zz

ln‡/ess|<x

for all (,x,u) € Qyx RY and all a € N"

Clearly, hypothesis (11,) is more restrictive than (H.) and from the Mean value theorem we see that (H's) together (1) imply (H))