Không gian phân lá tạo bởi các k quỹ Đạo chiều cực Đại của một lớp nhóm lie giải Được 5 chiều

Chương l: í dụ về MD5-đại số và bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MDS-nhóm liên thông đơn liên tướng ting.... Vài ví dụ về MDS-đại số vfà bức trị của các MDS-nhóm liên thông đơn

‘TRUONG DAI HOC SU PHAM THÀNH PHỐ HO CHÍ MINH

MÃ SỐ : CS2004.23.54 CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI : T.S LÊ ANH VŨ

THÀNH PHỐ HO CHÍ MINH

-204~

Mở đầu

Chương l:

í dụ về MD5-đại số và bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MDS-nhóm liên thông đơn liên tướng ting

$2 Vài ví dụ về MDS-đại số vfà bức trị của các MDS-nhóm liên thông đơn liên tương ứng - 'Chương II: Kông gian phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiểu cực Dai cia các MDS-nhóm liên thông đơn liên đã xét 29

§1 Nhấc lại khái niêm phân lá và phân lá đo được ?

$2 Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét 35 4

——=——

MỞ ĐẦU

Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của một hệ khả tích các phương trình vi phân thường Kể từ công trình của Reeb (xem [Re}) năm 1952, các phân lá mới thực sự ở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành một ngành mạnh của hình học vi phân Đó là lý thuyết tôpô phân lá

Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa ra khái niệm độ đo hoành rất thích hợp đối với việc nghiên cứu các phân lá Khi đã được trang bị một đô

đo hoành, phân lá được gọi là phân lá đo được Tô pô phân lá tìm được nhiễu ứng dụng trong Toán học nói riêng, trong khoa học tự nhiên nói chung, đặc biệt là trong Vật lý, Cơ học

Năm 1980, khi nghiên cứu biểu diễn nhóm Lie và phương phấp quỹ đạo của Kirlllov (xem [Ki]), Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã để nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo (quỹ đạo Kirillov) Đó là lớp các MD-nhém va MD-dai số Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo của nó hoặc không chiều hoặc chiểu cực đại được gọi là MD-nhóm Khi số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm còn được gọi là MMD~ nhóm Đại số Lie của một MD-nhóm (tương ứng, MD- nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD- đại số)

— Nam 1982, Hỗ Hữu Việt (xem [So-Vi]) đã phân loại triệt để lớp các MD~ đại số Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n-chiểu Rˆ (n > 1) đại số Lie 2-chiéu affR va đại số Lie 4-chiểu affC

Việc phân loại lớp các MD-đại

mở Để đơn

ố đến nay vẫn còn là một bài toán

in hơn, ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại chiều Tức là xét các lớp con MDn-nhóm (và MDn-đại số) gồm các MD- nhóm (và MD-đại số ) n-chiểu Vì tất cả các đại số Lie dưới 4 chiều đã được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn-nhóm và MDn-đại số với ned

Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê toàn bộ lớp các MD4-đại số Đến năm 1990, lớp các MD#-đại số được chúng t6i (xem [Vu2] Vu4], Vu5]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lí Hiện tại, lớp các MD5-đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ 'Vẻ phương diện hình học, nếu bỏ đi các K-quỹ đạo 0-chiểu họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD-nhóm liên thông có những tính chất như họ các lá của moat không gian phân lá Như vậy, ta có thể kết hợp việc nghiên cứu các MD-nhóm và MD-đại số với các phân lá Năm 1990, chúng tôi đã chứng mình được rằng họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của tất cả các MD4-nhóm liên thông bất khả phân đều tạo thành các phân lá đo được mà được gọi là các MD4-phân lá Lớp các MD+ phân lá đã được chúng tôi phân loại tôpô trigt để, cho thêm một phép

mô tả chúng bởi tác động của nhóm Lie giao hoán R”, đồng thời đặc trưng các C*- đại số tương ứng với các MD4-phân lá đó bằng phương pháp KK~

—-— song hàm tử (xem [Vu2], [Vu3], [V4], [Vu5)) Nói một cách vấn tất, bài toán nghiên cứu lớp MD4 xem như đã được giải quyết trọn vẹn vẻ phương diện Tôpô ~ Hình học và đại số toán tử Từ nay, có thể bất đầu * tấn công “ lớp MDn với nS

Mục đích của để tài này là chuyển các kết quả đã đạt được từ lớp các MD4-nhóm và MD4-đại số sang lớp các MDS-nhóm và MD5-đại số

Cu thể, bài toán cơ bản mà để tài quan tâm nghiên cứu bao gồm các bước sau đây

Bước 1: Liệt kê ra một số MD5-đại số

Bước 2: Mô tả bức tranh hình học các K-quỹ đạo của mỗi MDS~ nhóm liên thông đơn liên ứng với MD5-đại số đã liệt kê 'Bước 3: Nghiên cứu tôpô phân lá của các phân lá đo được liên kết với mỗi MD5-nhóm đã xét

Bởi thế để tài được mang tên * Không gian phân lá tạo bởi các K— quỷ đạo chiểu cực đại của một lớp nhóm Lie giải được 5 chiểu”

‘Nam 2003, chúng tôi đã giới thiệu ba ví dụ về MDS-đại số và MD5~ nhóm đơn liên, liên thông tại hội nghị quốc tế vẻ Đại số Tô pô - Hình học ở BangKok, Thailand Các kết quả đã biết về lớp MD4 được chúng tôi

it bai toán theo các bước nêu trên cho anh Nguyễn Công Trí, giảng viên Toán trường Đại học Kinh tế thành phố Hô Chí Minh, học viên cao học Toán khóa 12 của trường Đại học Sư phạm thành phố Hổ Chí Minh làm

sỹ Chúng tôi đã hướng đẫn và cộng tác, phối hợp với anh Trí

=———————— cùng tiếp tục tìm thêm một số các MD5 ~ nhóm và MDS ~ dai số mới rồi tiến hành các tính toán tương tự như đã làm với ba ví dụ nêu trên 'Vẻ nội dung, báo cáo để tài gồm phẩn mở đầu, hai chương và phẩn kết luận Phẩn mở đầu nêu xuất xứ vấn để và đặt bài toán nghiên cứu Chương I và chương II là phẩn chính của để tài, trong đó trình bày tỷ mỷ lân lượt ba bước 1, 2,

vừa kể trên cùng các kết quả mới đạt được với đầy

đủ những chứng minh chặt chẽ Phẩn kết luận sau cùng là nhận xét về những vấn để mở cẩn phải tiếp tục nghiên cứu

Các kết quả chính mà chúng tôi cùng anh Nguyễn Công Trí nhận được là:

1 Liệt kê được bảy MD5-đại số và một họ vô hạn các MDS-đại số phụ thuộc một tham số thực khác 0 và 1 Tất cả các MD5-đại số này đều không đẳng cấu (xem chương l; §2, mục 2.1 và hệ quả 2)

2 Mô tả bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5~ nhóm liên thông, đơn liên ứng với các MD5-đại số đã liệt kê (xem chương

———— Bœ Việc liệt kê ra các MD5-đại số và mô tả tôpô phân lá của các MDS-phân lá là những tính toán thuẳn túy đại số và giải tích dựa trên những dự cảm trực giác hình học,

Phương pháp mô tả hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm đã xét là phương pháp đã được giới thiệu đầy đủ trong tài liệu [Vu2] Các kết quả chính của luận văn nêu trong các định lý 1, 3, 4 và hệ quả 2 là hoàn toàn mới Chúng tôi đã viết thành hai bài báo [Vu6] và [Vu - Trị Bài Mathematics Con bài [Vu ~ Ti] sẽ được gửi công bố trên một tạp chí chuyên ngành trong thời gian tới

'Các ký hiệu được dùng trong bản báo cáo hoặc là các ký iệu thông dung, hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem bảng chỉ dẫn thuật ngữ

và ký hiệu) Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi cũng dùng những ký hiệu quen thuộc Chẳng hạn xem [Co, Iroduetion] có nghĩa là xem phan nhập môn của tài liệu [Co]

“Tác giả xin chân thành cám ơn Giáo sư Tiến sỹ khoa học Đỗ Ngọc Diệp người thay đáng kính luôn dành cho tác giả sự động viên, giúp đỡ quý báu trong nghiên cứu khoa học suốt nhiều năm qua Chân thành cám

ơn Ban Giám Hiệu, Ban Chủ Nhiệm và Tổ Hình học khoa Toán ~ Tin học, phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học phòng Kế hoạch ~ Tài chính

“Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ, tạo điều kiện vật chất và tình thần cho tác giả hoàn thành để tài khoa học này

—=———— ae

"Tác giả hân hạnh được cám ơn Trường Đại học Mahidol ( Bangkok, Thailand ), đặc biệt là Giáo sư Tiến sỹ Yongwimon và Tiến sỹ Nguyễn Văn Sanh đã mời, tài trợ cho tác giả tham dự và đọc báo cáo kết quả nghiên cứu tại Hội thảo quốc tế về Đại số ~ Hình học ở Bangkok, Thailand, tháng I2 năm 2003 Tác giả chân thành cám ơn Trường Đại học sư phạm Tây nam Trung quốc, đặc biệt là Giáo sư Karping Shum và Giáo sư Guiyun Chen đã mời, tài trợ cho tác giả tham dự và đọc báo cáo kết quả nghiên cứu tại Hội thảo quốc tế về Toán học rời rạc cùng ứng dung trong khoa hoc

“Tín học và các vấn dé có liên quan,

“Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Phó Giáo sư Tiến sỹ Bùi Xuân Hải, Tiến sỹ Trần Ngọc Hội, Tiến sỹ Trần Nam Dũng và tập thé xemine Đại số, khoa Toán ~ Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã thường xuyên trao đổi chuyên môn, đọc kỹ bản báo cáo để tài và cho những nhận xét xác đáng

Nutr hve hign: Le Anh Vi

——— CHUONG I

VAI Vi DY VỀ MDS-ĐẠI SỐ 'VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K~ QUỸ DAO CAC MDS - NHOM LIEN THONG BON LIÊN TƯƠNG ỨNG Trong chương này chúng ta sẽ đưa ra một số ví dụ đáng lưu ý và hoàn toàn mới về các MD5-đại số Lie đồng thời mô tả bức tranh hình học các K~quỹ đạo của các MD5-nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng Để độc giả tiện theo rõi, chúng tôi sẽ đành trọn mục đầu để nhắc lại những khái niệm cơ bản cẩn thiết nhất có liên quan đến các kết quả nghiên cứu

§1 BIỂU DIỄN PHỤ HỢP VÀ K - BIỂU DIỄN

LỚP MD - NHÓM VÀ MD - ĐẠI SỐ

1.1, K-biểu Diễn của một nhóm Lie

'Cho G là một nhóm Lie tùy ý và Ø là đại số Lie của nó Giả sử G tác đông lên @ bởi Ad: G -> Aut@ định nghĩa như dưới đây Ad(g)=(0,.R,,,Ì: @ — đ VgeG:

ở đó Lạ (tương ứng R,.,) là phép tịnh tiến trái (tương ứng phải) của G theo phân tử geG (tương ứng gˆ'eG) Tác động Ad còn gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong G

Ký hiệu @` là không gian đối ngẫu của đại số Lie đÿ Khi đó biểu diễn Ad cảm sinh ra một tác động K: G > Autg” cila G lên @” theo cách sau đây:

—————

<K(g)F,X>=<F, Ad(g ')X >, VXe đ, VF e đ, Ve<G;

ở đây, ký hiệu < E, X >, FeG’, XeG, chỉ giá trị của dạng tuyến tính Fe” tại trường vectơ (bất biến trái) Xe Tác động K được gọi là K-biểu diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong @* Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quy dao Kirilloy ciia G (trong G*), Mỗi K-quỹ đạo của G luôn là một G-đa tạp vi phân thuần nhất với

số chiểu chẩn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương thích với tác động của G

Ký hiệu O(G) là tập hợp các K-quỹ đạo của G và tang bị cho nó tôpô thương của tôpô tự nhiên trong G* Nói chung tôpô này khá xấu: nó

có thể không tách, thậm chí không nửa tách

à MD-đại số (tướng ứng MD -đại số)

Như đã nói trong phẩn mở đấu, thuật ngữ MI-nhóm, MD-đại số được dùng lần đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980(xem [Di]) Ngay sau

Ng we hien: Le Anh

Giả sử đ* là một MD-đại số Khi đó đ° = |Iđ, đ11 đ, đ]] là một đại số con giao hosn trong G (1

“Toàn bộ lớp MD4-đại số được liệt kê đẩy đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà (xem [Tra]) và được phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) bởi tác giả (xem [Vu2}, [Vu3], [Vu], [Vu5]) vào năm 1990 1.3, Nhắc lại phương pháp mô tả

các K = quỹ đạo của nhóm Lie

Mục này đành cho việc nhấc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của nhóm Lie đã được đưa ra trong [Vu?]

Cho G là nhóm Lie có đại số Lie @ và @` là không gian đối ngẫu của @ Khi đó, với mỗi F trong G’, K-qui dao Q¿ của G qua F được xác định bồi:

Ký hiệu expg: đ -> G là ánh xạ mũ của G va exp: EndgØ > AuteG

là ánh xạ mũ của nhóm Lie Autz@ các tự đẳng cấu R-tuyến tính của ‹

Nhắc lại rằng vi phân Ad = ad: @ -> Endạ @ của biểu diễn phụ hợp của G trong @ được xác định bởi công thức đơn giản sau: adụ Ø0 = [U, X], VU, X eG

“Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi đẳng thức Ad.expg =exp-ad

'Với mỗi Ue @, mỗi Fe @', ta xác định phẩn tử Fụ trong @' bởi biểu thức

<F„X>=<F,expaduX>, — VXeđ 1.3.1 Bổ Để (xem [Vu2]) Ta luôn có bao hàm thức

Hơn nữa, nếu expg là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra

Để tiện, ta sẽ ký hiệu tập (Fư Ue đ] là Q4) Như thế, bao ham thức (1.2) được viết lại là

Một điểu kiện đủ để đẳng thức xảy ra trong (1,3) la expo: G > G toàn ánh Thực ra, trong nhiều trường hợp một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expo cũng là đủ để có đẳng thức Q,{@) = Q¿ Cụ thể ta có khẳng định dưới đây

1.3.2 Bổ Đề (xem [Vu2))

Giả sử rằng G liên thông Hơn nita, họ các £2(@) F e 4` lập thành phân hoạch của @ và mọi (3Í G), FQ déu ciing md hode cing déng (tương đối) trong (2), Fe @ Khi đó (2{@) = f2 VFe ở` ¡

Người thực hiện: LỄ Ảnh Vì

(1) exp: GG la vi phôi giải tích (hay G là nhóm exponential) (2)YXeQ ady không có một giá trị riêng phúc thuẫn ảo nào 1.3.4 Hệ quả (xem [Vu2))

“Nếu G là nhóm Lie thực, giải được, liên thông, hữu hạn chiễu với đại s& Lie G của nó có tính chất (2) trong mệnh đề (1.3.3) thì ánh xạ mũ sao : @ — G là toàn ánh

§2 VÀI VÍ DỤ VỀ MD5-ĐẠI SỐ VÀ BỨC TRANH CAC K-QUY DAO CUA CAC MD -NHOM LIEN THONG BON LIEN TUONG UNG 3.1 Liệt kê vài MDS ~ đại số

Suốt phần còn lại của chương này, G luôn là ký hiệu để chỉ một nhóm Lie liên thông 5 chiếu với @ là đại số Lie cia G Lúc đó với tư cách

là một không gian vectơ thực 5-chiểu @ = R” bởi một cơ sở (X), Xs, Xs, Xa, Xs) di chọn cố định trong 4 Không gian đối ngẫu của đ được ký hiệu là @ Đương nhiên @#»= RỂ bởi cơ sở đối ngẫu (X7 X; Xị, Xị, Xi của cơ sở (Xi, Xa, Xs, Na Xs) trong G

Ta xét các đại số Lie @sa¡ Bsi2e sin Esa Gs220» sao,

€‹4ìđ s43 (AeRA(0,1)) Tất cả chúng đều là các đại số Lie thực 5-chiểu sinh bởi (Xj, Xa, Xs, X4, Xs) và các móc Lie được cho lần lượt dưới đây 211.Ø!

(1) Gs: IX, Xsl= Xs, tit cả cde méc Lie còn lại đều

của các MDS~ nhóm đã xét

Gọi G là một nhóm tùy ý thuBe (Geis, Gar Geis Garin Geran Gy2n Gras Graz) QeRMO.1}) và 4 là đại số Lic tương ứng thuộc (đấu đế Grim Bsa đa Grau Grau Gaz) (À € RMO, 1) Gọi @ là không gian đối ngẫu của đại số Lie cha G Mỗi Xe Ø có tọa

độ (a, b,c, d, D trong cơ sở [Xị, Xz, Xs, Xa, Xs}, mỗi Fe €' có toạ độ (0, , + 8, ø) trong cơ sở đối ngẫu [X;.X;, Xị, X;, X;} của(Xụ, Xa, Xs Xa, Xs}-

©, là K-quỹ đạo của G trong @ chứa E Định lý sau đây nói vể bức tranh hình học các K-quÿ đạo của các nhóm Gs¡¡, Gs¡2, Gẹià, Giai, G33, Giay Gái Gý22(L€R(0, T])

2.2.1, Binh lý 1 (vê bức tranh hình học các K-quỹ đạo) Giữ nguyên các ký hiệu nêu trên Khi đó (3y được mô tả trong từng trường hợp cụ thể như sau

()G=Gi¡¿

(i) Nếu ơ= 0 thì ty = [F(œ, ft y ä 0)J: quỹ đạo 0-chiểu (ii) Nếu oO thi Qp = [at B „ 1, 54.8 ER; ox > Of: quỹ đạo là một nữa mặt phẳng (2 ~chiéu)

(4) G=G

(i) Nếu ð=ơ= 0 thi Q=(F( a x, 0, 0)]: quy đạo 0-chiễu (ii) Nếu ð= 0: ơ0 thì Qe=[(a, B z 0, sz 5 ER: os > O}: qui đạo là một nữa mặt phẳng (2-chiễu)

(ili) Nếu Š£0: ø= 0 thì Qp= [(œ, đi +, t, 0/4, 1€ Ñ; Ä > Of: quy đạo là một nềa mặt phẳng (2-chiễu)

(iw) Nếu ð#0 và ø#0 thì (3= [(œ ft š, t, 372, 8 ER; 0-85 0,

ðt >0, ðs> 0]: quỹ đạo là một nửa mặt phẳng(2-chiều) (5) G=Gs22

(i) Néiu 5=0=0 thi { =[F(œ, đi y 0, 0)J: quỹ đạo 0-chiễu

Người thực hiện: Lê Anh Vũ

(iv) Néu 620 vd 020 thi Qy = fa, Bz, s, )/ ot" - bs = 0:

6 > 0: ơy > 0J: quÿ đạo là một mặt trụ (2-chiễu),

(ii)Nếu y¿0==ð=ơ thì {=|(x 0 š, 0 0)/ y£>0): quỹ đạo là một nửa mặt phẳng toạ độ ( 2 ~ chiễu )

(il)Nếu 8/0=Ø=y=Ø thì (»=[(x 0 0 t 0)/ 8>0): quỹ đạo là một nữa mặt phẳng toa dé ( 2 ~ chiều )

(9)Nếu ø #0==y=ð thì f3y=[(x, 0 0, 0, u)/ øw >0): quỹ đạo là một nửa mặt phẳng toạ độ ( 2 ~ chiều )

(vi) Nếu fy #0=ôơ thì quỹ đạo là một phân mặt phẳng 2 - chiễu như sau

=H y, 0+, u)//# =ôy Pu ~cy =0: By>0; &>0; ou>0)

(xv) Nếu yêơ£0=/thì quỹ đạo là một phần mặt phẳng 2 - chiễu như sai

M02 =0; 20; &>0; ou>0) I(x, 0, 2 1, uy t=

tai) Nếu ByS0#0 thì quỹ đạo là một phn mat phdng 2 — chiéu như sai

-|x»ze

ae % -yy=/I<8y=/u~øy=0|" 2y>yc>bii>ters0 (8)G=G:¿¿

(i) Nếu Ø=y=ð=ơ= 0 thi f=[F(œ 0, 0, 0 0)J: quỹ dao 0-chiéu (ii) Nếu y=ð=0£ 8 +ơ` thì t3 = [(x, , 0.0, u)/y? +02 = P40? J

‹uÿ đạo là một mặt trụ tròn xoay ( 2 ~ chiều )

ti) Nếu ÿ=ø=0£y` +8 thì Op = [(x, Ö, z t, 0)/z” +” =y`+ổ quỹ dao là một mặt trụ tròn xoay ( 2 ~ chiều )

(iv) Néw Ø`+ø` >02y` +ð thì f%y là quỹ đạo 2~chiễu như sau:

=|e»zea,

ae 2, yet = By ~ 6

y thề =8 vơ; + sự vất 3.3.2 Chứng mình định lý Ï

“Trước tiên chúng ta sẽ mô tả {@) trong từng trường hợp G thuộc

(Giá Gái» Gái+ Gsx Gs>zäy Gra» Grats Gsa2, }(AERMO, 1), vi 24(G)=1Fx/ Xe G | và Fxe đ cho bởi

<F¿.V >= <P, explady)V >, VX, Ve G Nawitvehien BÊ AT VD

Như vậy, để xác định Ex, với mọi Xe“đ, chúng ta cẩn phải xác định explady) trong 09 58 {Xj, Xz, Xs, Xe Xs)- Toa độ (x,yZ.Lu)của Exe @'=R` được xác định như sau

(3) Vi Gs, 5 Khi d6:

[ “TRƯNỂN | lui Mg Baltes

SEO

Deora) cosa -sine 0 0

(ds frina-deoio) 0 0 case -sing (F-dsine-feosay 0 0 sina cose

H1 +8") khí yÈv8'x0z 8° vợt Như vậy, ta đã mô tả xong (3;(đ) cho tất cả các nhóm Gs„„, G;;z, G53, Gs21, Gs22anGs.o(A€R\MO, 1}) RO rang, theo ménh để 1.3.3, các nhóm này déu la nhém exponetial Do 46, tr bd dé 1.3.1, ta c6 Q4G)= Oy đối với tất cả các nhóm kể trên Riêng với các nhóm G:z›, G.›, để thấy

———ễ— ee các ©¿.(@) đều vừa đóng vừa mở (tương đối) trong ©¿ Từ bổ để 1.3.2 ta lại

có €u()= Qụ Định lý được chứng mình hoàn toàn

3.3.3 Minh họa hình học

'Từ định lý trên, chúng ta có thể hình dung một cách hình học về bức tranh các K-quỹ đạo của các nhóm liên thông đơn liên đã xét Lưu ý rằng

€ được đồng nhất với R bởi cơ sở đối ngẫu ( X; X5 44, XG) của cơ sở (X,, Xs, Xs X4, Xs) trong Z Dudi đây ta nêu mình họa hình hoe cho một vải nhóm đầu

Ta hãy xem RỶ x ((00)] (c RỶ = @') như trục OX để hình dung

@* = R` như R` = OXts Khi đó mặt phẳng OXt là tập các quỹ đạo O-chidu, cdn họ các quỹ đạo 2-chiểu chính là họ các nửa mặt phẳng song song với nhau và vuông góc với OX ở phía trên hoặc phía dưới mặt OXt như đã trình bày trong hình 1 Rõ ràng họ các K-quỷ đạo 2-chiều lập thành

'xR = RSR L RR, phân hoạch của đa tạp con mở Vị = R\ R'x{0) =

của RẺ

Hình 1

Bức tranh hình học các K~quỹ đạo của nhóm G4,

* Mặt phẳng OXt là tập các K-quy dao 0-chiéu

* Mỗi nửa mặt phẳng trên hoặc dưới OXt là một K-quỹ' đạo 2- chiểu

(2) G=Gsi2

Tập các quỹ đạo 0-chiểu là siêu phẳng toạ độ có phương trình s=0 trong @” = RỶ Mỗi quỹ đạo 2-chiểu là một mặt phẳng dạng _{(œ, B)}* R?(ø]c R`=đ'

Ta hãy xem RẺ x((0,0))x R (CR” = @`) như trục OS để hình dung

4 zR” như R” = OztS Khi đó mặt phẳng Ozt là tập các quỹ đạo 0-chiểu, còn họ các quỹ đạo 2-chiểu chính là họ các mặt phẳng song song với nhau và vuông góc với OS như đã trình bày trong hình 2 Các K-quỹ đạo 2-chiểu lập thành phân hoạch của đa tạp con mở Vị= RÂ R%(0) =R°xR= R®%R 2 RSR, của RẺ

SESS

Hình 2

Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của nhóm G¿,¡x

* Mặt phẳng Ozt là tập các K-quỹ đạo 0-chiểu;

* Mỗi mặt phẳng song song với mặt phẳng Ozt

là một K-quỹ đạo 2 — chiểu

(3) G=G;;,

Tập các quỹ đạo 0-chiểu là một 3-phẳng toạ độ trong @'= RỶ có phương trình: t = 0, s = 0 Mỗi quỹ đạo 2-chiểu là một nửa mặt phẳng 2- chiểu nằm trong 3-phẳng có phương trình: x = a (const); y= B (const) cia đ'= R” Xét một 3-phẳng tùy ý (x = œ (const); y = B (const)} cla G's R’, Đồng nhất 3-phẳng này với không gian tọa độ 3-chiểu OZ1s Khi đó bức tranh các K-quỹ đạo trên không gian này được minh hoạ như hình 3 Họ các quỹ đạo 2-chiểu lập thành phân hoạch của đa tạp V; = R R”x(0,0} trong RỶ,

XaoinehenleAnve

'Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của nhóm Gs,

* Trục OZ đại diện cho tập các K-quỹ đạo 0-chiểu;

* Mỗi nửa mặt phẳng với bờ là trục OZ đều là quỹ đạo 2-chiều (5) G=Gs220) (Me (R\{0,1})

Họ quỹ đạo 0-chiểu là 3-phẳng tọa độ có phương trình: t= 0; s=0 trong ‹Ÿ= R” Mỗi quỹ đạo 2-chiểu đều nằm trọn vẹn trong một 3-phẳng, của @” = RỶ có phương trình: x = at (const); y = B (const) Xét mặt 3-phdng {x = a (const); y = B (const)} trong @”= RỶ Đồng nhất nó với không gian tọa độ 3-chiểu OZts Khi đó các quỹ đạo 2-chiểu hoặc là các nửa mặt phẳng toạ độ OZ1 (t <0 hay t >0); OZs (s>0 hay s<0) hoặc là các mặt trụ trục OZ như đã minh họa trong hình 4 'Các quỹ đạo 2-chiéu cũng lập thành phân hoạch của đa tạp con mỡ V;= R RẦx((0/0)] của RẺ

Nguoi thye hign: Le Anh Vo

Hình 4

Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của nhóm G:za(2.e (R\(0,1])

* Trục OZ đại diện cho tập các K-quỹ đạo 0-chiểu;

* Mỗi nửa mặt phẳng với bờ OZ hay mặt trụ trục OZ đều là một K-quỹ đạo 2-chiều

Như là hệ quả trực tiếp của định lý 1, ta có khẳng định sau đây 2.2.3 Hệ quả 2

Các đại s6 Lie si» Bsi2 Bsr» Gs2r saa» Gsax Gran Gs42(AERNO, 1}) đều là các MDS-đại số Do đó các nhóm Lie G;¡¡, G52, Gs13, Gs2u Gs22.» G23, Gran Geez (AERVO, 1) déu la MDS-

nhóm liên thông đơn liên Lì

'CHƯƠNG II

KHONG GIAN PHAN LA TAO BOI CAC K - QUY ĐẠO CHIEU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MDS- NHÓM LIEN THONG BON LIEN DA XET

§1, NHẮC LẠI KHÁI NIỆM PHÂN LÁ VÀ PHÂN LÁ ĐO ĐƯỢC Nguoi thực hiện: LẺ Anh Vo

1.1.2 Mệnh dé (xem [Co, Introduetion])

“Các khẳng định sau đây là tương đương,

(1) là phân bố khả tích trên V

(2) WeeV, Fda tap con md U trong V chita x và một phép ngập (submersion) p:U > R! (q = codim¥ = dimV-dim¥ ) sao cho 2#Äj=ker(p.)„ VU

(3) CYŒ)=[xeC*(TV)J/X,€ :#„ xeVJlà đại số Lie con của của đại

số Lie C”TV) các trường vect trơn trên V (4) Ideal J(8) các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên 2 là ổn định đối với phép lấy vi phân ngoài

‘Nhu thé, moi phan thé con 1-chiều :Z của TV đều khả tích Nhưng khi dim;Z >2 thì điểu kiện khả tích là không tẩm thường 1.2 Phân lá

12.1 Định nghĩa

'gười thực hiện: LẺ Anh Vì

ow te My

c** là các hằng số (phụ thuộc vào từng tấm) Bản đỗ địa phương (U,@) ứng với hệ toa độ địa phương nêu trên được

lá (V, 2) Như vậy, đa tạp phân lá V soi là một ẩn đổ phân lá của pl

luôn có thể được phủ bởi một tập bản đổ gồm các bản đổ phân lá Giả sử có một họ # các đa tạp con của một đa tạp trơn V tạo thành phân hoạch của V sao cho mỗi Le Y' đều là một đa tạp con tích phân liên thông tối đại của cùng một phân bố khả tích # trên V Khi đó # chính là họ các lá của phân lá (V, 2) Ta thường đồng nhất v với chính phân bố #' và

Người thực

“Tương tự nếu có nhóm Lie G tác động (liên tục) lên V sao cho mỗi quỹ đạo của G là và chỉ là một lá của (V, #) thì ta cũng bảo phân lá (V,.2)

“được cho bởi tác động của nhóm G lên đa tạp phân lá V 1.2.4 Tôpô phân lá

Như một hệ quả trực tiếp của mệnh để 1.2.2, tất cả các phân lá cùng chiều trên cùng một đa tạp vi phân đều có cấu trúc địa phương như nhau 'Tuy nhiên chúng có thể rất khác nhau theo quan điểm toàn cục Bài toán của “Tôpô phân lá” là nghiên cứu trên quan điểm tôpô các vấn để toàn cục

về các phân lá Chẳng hạn sự tổn tại lá ompaet, lá trì mật, điểu kiện đồng phôi của các lá,

1.2.5 Không gian các lá của phân lá

Một vấn để toàn cục khác về các phân lá là việc xét không gian các

lá của một phân lá Không gian các lá V1 của phân lá (V, Z) đó là không gian thương của không gian tôpô V khi thu các lá về một điểm Nhiều ví dụ

về các phân lá chỉ ra rằng tôpô của V/z có thể không tách hay không nữa tách, thậm chí có khi là tôpô tẩm thường

Người thực hiện: LẺ Ảnh Vì

Nếu phân lá (V, #) được cho bởi phân thớ p: V —> B thì không gian các lá V/¿ chính là không gian đáy B của phân thớ xác định phân lá Còn khi (V¿#) được cho bởi tác động của nhóm G thì_V/¿ lại là khong gian Vic các G-quỹ đạo,

1.2.6 Kiểu tôpô của các phân lá

Hai phân lá (Vị, -3/) va (Vz, 2#) được gọi là tương đương (tôpô) hay cùng kiểu tôpô phân lá nếu có một đồng phôi h: V, => V; sao cho h chuyển mỗi lá của ¿, lên mỗi lá của Z8,

Theo quan điểm tôpô, các vấn để địa phương cũng như toàn cục của các phân lá cùng kiểu tôpô là hoàn toàn như nhau Nói riêng, các không gian lá của hai phân lá tương đương là đồng phôi

1.3 Phân lá đo được

Nhiều ví dụ về phân lá cho thấy một vấn để cần phải lưu ý là: mặc

dù đa tạp phân lá V của phân lá (V, #) là compact, các lá của nó có thể khong compact N6i cách khác, đối với mỗi phân lá các lá của nó nói chung không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá Trong khi đó, nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển thông tin dia phương của phân thứ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L (xem [Co], Introducion)

Như vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điểu cẩn quan tâm trước tiên là "số lượng” các lá không compact trong không gian phân lá Nói cách khác, cn tìm cách trang bị cho không gian các lá một độ 'gười thực hiện: LỄ Ảnh Vĩ

———

do thich hgp A Connes (Co] đã đưa ra khái niệm về đô đo hoành đặc biệt thích hợp với không gian lá của các phân lá mà sau đây chúng ta sẽ sơ bộ giới thiệu

1.3.1, Ba tap con hoành ~ tập hoành Borel

Giả sử (V, ) là một phân lá Đa tạp con N của V được gọi là hoàn": nếu YpeN, T,(V) chẻ ra thành tổng trực tiếp T,(N)@#, Khi đó hiển nhiên dimN=codim#, Hơn nữa có thể chọn một bản đổ phân lá (U, @) quanh mỗi điểm peN sao cho các tấm của U tương ứng 1-1 với các điểm của N⁄U: tức là mỗi tấm trong U cất N tại duy nhất một điểm

Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu BexL đếm được, với mỗi lá L của phân lá

Một chú ý quan trọng là mỗi tập hoành Borel đều là hợp đếm được của các tập hoành Borel B kiểu sau đây: tổn tại đơn ánh : B ~> N từ B vào

da tap con hoành N nào đó sao cho tụ(x) thuộc lá chứa x, với mỗi xeB (xem

để sau đây được thỏa:

(Ay) Nếu ự: Bị => B; là song ánh Borel và w(x) thuộc lá chứa x (YxeB,) thì A(B,)= A(B;) (tính đẳng biến Borel)

(A;) A(K)<+s nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành

Phân lá (V, -¥) đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá

do được

1.3.3 Sự liên hệ giữa độ đo hoành và độ đo thông thường

Đối với các phân lá (V, 2) xác định bởi phân bố khả tích định hướng được có một sự liên hệ thú vị giữa các độ đo hoành với các độ đo thông thường trên đa tạp phân lá V

Chọn một hướng cho % Khi đó phân thổ A*Z (dimZ=k) chẻ ra thành hai phần (AÈZ)* và (A5#) nhờ nhát cắt zero Cố định một K-trường vectơ XeC"(A*#)* và một độ đo ụ nào đó trên đa tạp phân lá V, Nếu (U, @) là một bản đổ phân lá thì U có thể đồng nhất với tích trực tiếp Nxx của một

đa tạp con hoành N nào đó với một tấm mẫu x Khi 46 han ché jily cba trên U chế ra thành tích của hai độ đo gạ trên N và w„ trên x Ký hiệu px là

độ đo dọc theo mỗi lá xác định bởi phẩn tử thể tích X

Ta bảo rằng độ đo p 1a X-bất biến nếu pự và u„ tỷ lê đối với mọi bản

đỏ phân lá (U, ) của phân lá

Hai cap (X, y) và (Y, V) Œ, YeC*(A%), w là X-bất biến, V là Y-bất biến) được gọi là ương đương, ký hiệu (X, u)~(Y, V) nếu có hàm trơn @eCP(V) sao cho Y=@X, =@},

1.3.4 Mệnh dé (xem [Co, section 1,3})

“Nếu phân lá (V, :8) cho bởi 3 định hướng, ta có một song ánh giữa tập các lớp tương đương của các cặp (X, w) (gồm Xe C”(Ä`#)* và độ đo X~bất biển „ trên V, diw#=k) với tập các độ đo hoành trên phân lá đó L` Người thực hiện: LẺ Anh Vũ

Giả sử đã cho cấp (X, W) Khi 46 46 do hoành tương ứng với lớp của (X, p) có thể xác định như sau: nếu B là tập con hoành trong miễn U của một bản đổ phân lá thì

§2 CÁC MD5 - PHÂN LÁ LIÊN KẾT VỚI CÁC

MDS - NHÓM ĐÃ XÉT

Trong [Vu2], [Vu3], [Vu4], [Vu5], tác giả đã chứng minh rằng, đối với mỗi MD4 ~ nhóm liên thông đơn liên bất khả phân, họ các K ~ quỹ đạo chiều cực đại luôn tạo thành một phân lá đo được Một khẳng định tương tự tiếp tục được thiết lập đối với các MDS-nhóm liên thông, đơn liên G;„„ Gia; Gáiy 52.16 Gs220% Gs2% Grats Gsa2 (AERMO, 1}) Cy thé ta có định,

lý sau đây

2.1 Định lý 3 (xem [Vu6| và [Vụ - Tri])

Giả sử G là một MDS-nhóm liên thông đơn liên bất kỳ từ G‹, , Gš ¡ 2

Già Gau sza¿y Gsyy Gšx¡, Gs42 (AERVO, 1]), Fe ld ho cde K-quy dao

chiêu cực đại của nó và Vo= 4Q/ QEFa} Khi đó (Vọ, Fe) la mot phân lá

do được Chúng ta sẽ gọi phân lá này là MD5~phân lá liên kết với G `

22 Chủ ý

ÑgHN Thực hiện LỄ Anh Vi

(ứ %,, )bởi (f, % ).n= L2 Chẳng hạn (1 5, ) sẽ được ký hiệu là (f;.5.„„,) 4 e Rt\{0.1} Tương tự cho những trường hợp còn lại

Bước 2: trang bị cho („

Đối với bước 1, ta sẽ trực tiếp chỉ ra hê vi phân So gồm các trường vectd trén Vo sinh ra phân bố 5Zo Tương tự như ký hiệu của “Zo, nếu G= Gyo, (n=l.2) thì So cũng sẽ được ký hiệu là S,, Chẳng hạn $, sẽ được

ký hiệu là S „4e R0}

Sau đây ta sẽ đưa ra cụ thể các hé So đối với từng MDS-nhóm liên thông đơn liên G đã xét Đối với các Sa mà G thuộc { G::y, G:x¡, G4; } xin xem [Vu6, Theorem 3] Còn các So khác như dưới đây Nawravehi@n LeAnn Va