Luận văn sư phạm hông gian phân lá tạo bởi các k quỹ đạo chiều cựu đại của một vài md5

KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K–QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA MỘT VÀI MD5–NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN NGUYỄN CÔNG TRÍ MỤC LỤC BẢNG CHỈ DẪN CÁC THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU .0 MỞ ĐẦU CHƯƠNG I .6 LỚP MD–NHÓM LIE VÀ MD-ĐẠI SỐ LIE .6 § NHẮC LẠI KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM LIE 1.1 Định Nghóa 1.2 Các Ví Dụ 1.3 Tập Con Liên Thông – Phủ Đơn Lieân 1.4 Một Vài Tính Chất § NHẮC LẠI KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐẠI SỐ LIE 2.1 Định Nghóa 2.2 Các Ví Dụ 10 2.3 Đồng Cấu Đại Số Lie 11 2.4 Biểu Diễn Chính Quy Của Đại Số Lie 12 2.5 Đại Số Lie Giải Được Và Đại Số Lie Lũy Linh 13 § SỰ LIÊN HỆ GIỮA NHÓM LIE VÀ ĐẠI SỐ LIE 15 3.1 Đại Số Lie Tương ng Với Một Nhóm Lie Đã Cho 15 3.2 Nhóm Lie Liên Thông Đơn Liên Tương ng Với Đại Số Lie 16 3.3 nh Xạ Mũ Exp 17 § BIỂU DIỄN PHỤ HP VÀ K-BIỂU DIỄN LỚP MD-NHÓM LIE VÀ MD-ĐẠI SỐ LIE 18 4.1 K-Biểu Diễn Của Một Nhóm Lie 19 4.2 Các MD−Nhóm Và MD−Đại Số 20 CHƯƠNG II 22 VÀI VÍ DỤ VỀ MD5–ĐẠI SỐ LIE VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K–QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5–NHÓM LIE LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG .22 § NHẮC LẠI PHƯƠNG PHÁP MÔ TẢ CÁC K−QUỸ ĐẠO .22 1.1 Nhắc Lại Khái Niệm K–Quỹ Đạo Của Nhóm Lie 22 1.2 Bổ Đề 23 1.3 Bổ Đề 25 1.4 Mệnh Đề (Xem [Sa] Hoaëc [Bo]) 25 1.5 Hệ Quả 26 § VÀI VÍ DỤ VỀ MD5–ĐẠI SỐ LIE VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K–QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5–NHÓM LIE LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 26 2.1 Liệt Kê Vài MD5–Đại Số Và MD5–Nhóm 26 2.2 Bức Tranh Hình Học Các K–Quỹ Đạo Của Các MD5–Nhóm Đã Xét 28 2.3 Hệ 46 CHƯƠNG III 47 KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD–NHÓM LIE 47 § PHÂN LÁ – PHÂN LÁ ĐO ĐƯC .47 1.1 Phân Bố Khả Tích Trên Đa Tạp Vi Phân 47 1.2 Phaân Laù 48 1.3 Tôpô Phân Lá 50 1.4 Phân Lá Đo Được 52 1.5 Sự Liên Hệ Giữa Độ Đo Hoành Và Độ Đo Thông Thường 54 § CÁC MD5 – PHÂN LÁ LIÊÂN KẾT VỚI CÁC MD5–NHÓM ĐÃ XÉT 55 2.1 Định Lý 56 2.2 Chuù Yù 56 2.3 Phép Chứng Minh Định Lý 56 2.4 Tôpô Phân Lá Của Các MD5–Phân Lá Đã Xét 59 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 BẢNG CHỈ DẪN CÁC THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU Chữ đầu Thuật ngữ (ký hiệu) Trang xuất A nh xạ mũ exp 16 B Biễu diễn tuyến tính đại số Lie 11 Biễu diễn quy ad 12 Biễu diễn phụ hợp (K –biểu diễn, biểu diễn Kirollov) K 19 Biễu diễn khớp 11 Biễu diễn phụ hợp Ad 18 Đa tạp hoành 50 Đại số Lie L, G Đại số Lie Ideal 13 Đ Đại số Lie nhóm Lie K M N P T 15 Đại số Lie dẫn xuất L , G , L , G ,… 13 Đại số Lie giải 14 Đại số Lie lũy linh 14 Đồng cấu đại số Lie 11 Độ đo hoành (đối với phân lá) ∧ 51 Độ đo X–bất biến 52 K–quỹ đạo (quỹ đạo Kirollov) Ω 19 Không gian V/F phân 49 Kiểu tôpô phân 49 MD–nhóm, MD – đại số 19 MD - nhóm, MD - đại số 19 Nhóm Lie exponential 18 Nhóm Lie G Nhóm Lie giải được, lũy linh 16 Phân bố, phân bố khả tích F 45 Phân (V, F) 46 Phân cho phân thớ p: V→B 48 Phân cho tác động nhóm Lie 48 Phân kiểu tôpô 49 Phân đo 50 Phủ đơn liên (phủ phổ dụng) nhóm Lie G Tập hoành Borel 51 Tôpô phân 48 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết nhóm Lie đại số Lie thực, lớp nhóm Lie đại số Lie giải đóng vai trò quan trọng Cấu trúc nhóm Lie đại số Lie giải dường đơn giản, nhiên việc phân loại chúng chưa giải triệt để Nhờ phương pháp quỹ đạo Kirillov (xem [Ki]), năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đề nghị xét lớp nhóm Lie đại số Lie thực giải mà đơn giản phương diện phân tầng K–quỹ đạo (quỹ đạo Kirillov) Đó lớp MD–nhóm MD–đại số Một nhóm Lie thực giải mà K–quỹ đạo không chiều chiều cực đại gọi MD–nhóm Khi số chiều cực đại số chiều nhóm nhóm gọi MD –nhóm Đại số Lie MD–nhóm (tương ứng, MD – nhóm) gọi MD–đại số (tương ứng, MD – đại số) Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So–Vi]) phân loại triệt để lớp MD – đại số Lớp gồm đại số Lie giao hoán n–chiều n (n ≥ 1), đại số Lie 2–chiều aff đại số Lie 4–chiều aff Việc phân loại lớp MD–đại số đến toán mở Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp MD–nhóm MD–đại số theo số chiều Tức xét lớp MDn–nhóm (và MDn–đại số) gồm MD– nhóm (và MD–đại số ) n–chiều Vì tất đại số Lie 4–chiều Người thực hiện: Nguyễn Công Trí Luận Văn Thạc Sỹ Người Hướng Dẫn: TS Lê Anh Vũ liệt kê hết từ lâu nên ta xét lớp MDn–nhóm MDn–đại số với n≥4 Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) liệt kê toàn lớp MD4– đại số Đến năm 1990, lớp MD4–đại số Lê Anh Vũ (xem [Vu2], Vu4], Vu5]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) Gần đây, năm 2003, Lê Anh Vũ (xem[Vu6]) giới thiệu ba ví dụ đặc sắc MD5–đại số Hiện tại, lớp MD5–đại số chưa liệt kê phân loại đầy đủ Về phương diện hình học, không gian K–quỹ đạo MD– nhóm đơn giản Theo số chiều, MD–nhóm gồm hai tầng K– quỹ đạo: tầng quỹ đạo 0–chiều tầng quỹ đạo chiều cực đại Xét riêng tầng quỹ đạo chiều cực đại MD–nhóm liên thông, ta thấy quỹ đạo đa tạp liên thông, đôi rời có số chiều Điều gợi cho ta nghó đến phân Các phân xuất khảo sát lời giải hệ khả tích phương trình vi phân thường Kể từ công trình Reeb (xem [Re]) năm 1952, phân thực trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học nhanh chóng phát triển thành ngành mạnh hình học vi phân Đó lý thuyết tôpô phân Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp việc nghiên cứu phân lá, phân định hướng Khi trang bị độ đo hoành, phân gọi phân đo Người thực hiện: Nguyễn Công Trí Luận Văn Thạc Sỹ Người Hướng Dẫn: TS Lê Anh Vũ Bản luận văn nhằm mục đích kết hợp việc nghiên cứu MD5–nhóm MD5–đại số với tôpô phân đo Cụ thể, toán mà luận văn đề cập bao gồm bước sau • Bước 1: Liệt kê số MD5–đại số hoàn toàn • Bước 2: Mô tả tranh hình học K–quỹ đạo MD5–nhóm liên thông đơn liên ứng với MD5–đại số liệt kê • Bước 3: Nghiên cứu tôpô phân phân đo liên kết với MD5–nhóm xét Bởi luận văn mang tên “không gian phân tạo K–quỹ đạo chiều cực đại vài MD5–nhóm liên thông đơn liên” Về nội dung, luận văn gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Phần mở đầu nêu xuất xứ vấn đề đặt toán nghiên cứu Chương I giới thiệu khái niệm cần thiết nhóm Lie, đại số Lie lớp MD–nhóm, MD–đại số Chương II chương III phần luận văn trình bày tỷ mỉ ba bước 1, 2, vừa kể kết đạt với đầy đủ chứng minh chặt chẽ Phần kết luận sau nhận xét vấn đề mở gợi lên cần phải tiếp tục nghiên cứu Các kết nhận luận văn là: Liệt kê bốn MD5–đại số họ vô hạn MD5–đại số phụ thuộc tham số thực khác Tất MD5–đại số không đẳng cấu (xem chương II; §2, mục 2.1 hệ 2) Người thực hiện: Nguyễn Công Trí Luận Văn Thạc Sỹ Người Hướng Dẫn: TS Lê Anh Vũ Mô tả tranh hình học K–quỹ đạo tất MD5– nhóm liên thông, đơn liên ứng với MD5–đại số liệt kê (xem chương II, §2, mục 2.2, định lý 1) Chứng tỏ rằng, MD5–nhóm liên thông đơn liên xét, họ K–quỹ đạo chiều cực đại lập thành phân đo Các phân tạo thành gọi MD5–phân Đồng thời mô tả chi tiết tôpô phân MD5–phân (xem chương III, §2, định lý 3, định lý mục 2.4) Việc liệt kê MD5–đại số mô tả tôpô phân MD5–phân tính toán túy đại số giải tích dựa dự cảm trực giác hình học Phương pháp mô tả hình học K–quỹ đạo MD5–nhóm xét phương pháp giới thiệu đầy đủ tài liệu [Vu2] Các kết luận văn nêu định lý 1, định lý 3, định lý hệ hoàn toàn công bố tạp chí chuyên ngành thời gian tới Các ký hiệu dùng luận văn ký hiệu thông dụng, giải thích dùng lần đầu (xem bảng dẫn thuật ngữ ký hiệu) Để trích dẫn kết quả, dùng ký hiệu quen thuộc Chẳng hạn xem [So–Vi, Theorem 4] có nghóa xem định lý tài liệu [So–Vi] Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy nghiêm khắc tiến s Lê Anh Vũ Tác giả xin chân thành biết ơn thầy Người thực hiện: Nguyễn Công Trí Luận Văn Thạc Sỹ 51 Người Hướng Dẫn: TS Lê Anh Vũ Như hệ trực tiếp mệnh đề 1.2.2, tất phân chiều đa tạp vi phân có cấu trúc địa phương Tuy nhiên chúng khác theo quan điểm toàn cục Bài toán “Tôpô phân lá” nghiên cứu quan điểm tôpô vấn đề toàn cục phân Chẳng hạn tồn compact, trù mật, điều kiện đồng phôi lá, … 1.3.1 Không gian phân Một vấn đề toàn cục khác phân việc xét không gian phân Không gian V/F phân (V, F), không gian thương không gian tôpô V thu điểm Nhiều ví dụ phân tôpô V/F không tách hay không tách, chí có tôpô tầm thường Nếu phân (V, F) cho phân thớ p: V → B không gian V/F không gian đáy B phân thớ xác định phân Còn (V,F) cho tác động nhóm G V/F lại không gian V/G G-quỹ đạo 1.3.2 Kiểu tôpô phân Người thực hiện: Nguyễn Công Trí Luận Văn Thạc Sỹ 52 Người Hướng Dẫn: TS Lê Anh Vũ Hai phân (V1, F1) (V2, F2) gọi tương đương (tôpô) hay kiểu tôpô phân có đồng phôi h: V1 → V2 cho h chuyển F1 lên F2 Theo quan điểm tôpô, vấn đề địa phương toàn cục phân kiểu tôpô hoàn toàn Nói riêng, không gian hai phân tương đương đồng phôi 1.4 PHÂN LÁ ĐO ĐƯC Nhiều ví dụ phân cho thấy vấn đề cần phải lưu ý là: đa tạp phân V phân (V, F) compact, không compact Nói cách khác, phân lá nói chung không compact Do khó nói tính chất toàn cục không compact L từ thông tin địa phương cho phân bố xác định phân Trong đó, L compact, nhiều kết hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương phân thớ tiếp xúc sang bất biến toàn cục L (xem [Co], Introduction) Như vậy, nghiên cứu tôpô phân lá, điều cần quan tâm trước tiên “số lượng” không compact không gian phân Nói cách khác, cần tìm cách trang bị cho không gian độ đo thích hợp A Connes [Co] đưa khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp với không gian phân mà sau sơ giới thiệu 1.4.1 Đa tạp hoành – tập hoành Borel Người thực hiện: Nguyễn Công Trí Luận Văn Thạc Sỹ 53 Người Hướng Dẫn: TS Lê Anh Vũ Giả sử (V, F) phân Đa tạp N V gọi hoành ∀p∈N, Tp(V) chẻ thành tổng trực tiếp Tp(N)⊕Fp Khi hiển nhiên dimN=codimF Hơn chọn đồ phân (U, ϕ) quanh điểm p∈N cho U tương ứng 1-1 với điểm N∩U: tức U cắt N điểm Tập Borel B đa tạp phân V gọi tập hoành Borel B∩L đếm được, với L phân Một ý quan trọng tập hoành Borel hợp đếm tập hoành Borel B kiểu sau đây: tồn đơn ánh ψ: B → N từ B vào đa tạp hoành N cho ψ(x) thuộc chứa x, với x∈B (xem [Co, Introduction]) 1.4.2 Độ đo hoành phân – phân đo Một độ đo hoành Λ phân (V, F) ánh xạ σ-cộng tính B Λ ( B ) từ họ tập hoành Borel V đến [0, +∞] cho tiên đề sau thỏa: (Λ1) Nếu ψ: B1 → B2 song ánh Borel ψ(x) thuộc chứa x (∀x∈B1) Λ(B1)= Λ(B2) (tính đẳng biến Borel) (Λ2) Λ(K)