Luận văn sư phạm Về một lớp con các md5 - Đại số và phân lá tạo bởi các k - Quỹ đạo

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Dương Minh Thành VỀ MỘT LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ VÀ PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD5-NHĨM LIÊN THƠNG TƯƠNG ỨNG Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2006 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng cá nhân hướng dẫn Tiến sĩ Lê Anh Vũ Những kết luận văn mà khơng trích dẫn kết tơi nghiên cứu Tác giả MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU Chương – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ 1.1 Nhắc lại khái niệm nhóm Lie 13 1.2 Nhắc lại khái niệm đại số Lie 14 1.3 Sự liên hệ nhóm Lie đại số Lie 19 1.4 Biểu diễn phụ hợp K-biểu diễn lớp MD-nhóm MD-đại số 22 Chương – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CĨ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HỐN CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC KQUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHĨM LIÊN THƠNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 2.1 Nhắc lại phương pháp mô tả K-quỹ đạo 26 2.2 Lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hốn chiều 29 2.3 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với MD5-đại số xét 37 Chương – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT 3.1 Phân – Phân đo 48 3.2 Các MD5-phân liên kết với MD5-nhóm xét 53 KẾT LUẬN 57 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 PHỤ LỤC 63 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut (V): nhóm tự đẳng cấu không gian vectơ V AutG : nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G B: tập hoành Borel C : trường số phức C ∞ (V ) : không gian hàm khả vi vô hạn lần đa tạp V End(V) : không gian đồng cấu không gian vectơ V exp : ánh xạ mũ exp G* : không gian đối ngẫu đại số Lie G GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực J ( F ) : ideal dạng vi phân triệt tiêu F Lie(G) : đại số Lie nhóm Lie G Mat(n; R) : tập hợp ma trận vuông cấp n hệ số thực R : trường số thực TeG không gian tiếp xúc G tạo điểm đơn vị e V / F : không gian phân Ω F : quỹ đạo Kirillov qua F ∧ : độ đo hoành (đối với phân lá) MỞ ĐẦU Lý thuyết biểu diễn lĩnh vực quan trọng, đóng vai trị cốt yếu nhiều hướng nghiên cứu toán học vật lý học đại: giải tích điều hịa trừu tượng, lý thuyết số, nhóm đại số, học lượng tử, vật lý hạt bản, lý thuyết trường lượng tử, hình học đại số, nhóm lượng tử, … Một cách tự nhiên, toán quan trọng lý thuyết biểu diễn tốn phân loại biểu diễn hay cịn gọi tốn đối ngẫu unita Tức cho trước nhóm G, phân loại tất biểu diễn unita bất khả quy G (sai khác đẳng cấu) Đối tượng quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie đại số Lie Nghiên cứu phân loại biểu diễn nhóm Lie đại số Lie cho ta thơng tin nhóm đại số nhóm tương ứng Để giải tốn này, A.A.Kirillov (xem [Ki]) phát minh phương pháp quỹ đạo nhanh chóng trở thành cơng cụ đắc lực lý thuyết biểu diễn Phương pháp cho phép ta nhận tất biểu diễn unita bất khả quy nhóm Lie liên thơng, đơn liên, giải từ K-quỹ đạo nguyên Trong khoảng thập niên 60 70 kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov nhiều nhà toán học giới L.Auslander, B Kostant, Đỗ Ngọc Diệp, … nghiên cứu, cải tiến, mở rộng áp dụng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Đóng vai trị then chốt phương pháp quỹ đạo Kirillov Kquỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp (hay cịn gọi K-biểu diễn) Do đó, việc mơ tả K-quỹ đạo nhóm Lie, nhóm Lie liên thơng giải được, có ý nghĩa quan trọng lý thuyết biểu diễn nhóm Lie Nhờ phương pháp quỹ đạo Kirillov, năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đề nghị xét lớp nhóm Lie đại số Lie thực giải đơn giản phương diện phân tầng K-quỹ đạo (tức quỹ đạo Kirillov) Đó lớp MD-nhóm MD-đại số Một nhóm Lie thực giải mà K-quỹ đạo 0-chiều có chiều cực đại gọi MD-nhóm Khi số chiều cực đại số chiều nhóm nhóm gọi MD -nhóm Đại số Lie MD-nhóm (tương ứng, MD -nhóm) gọi MD-đại số (tương ứng, MD -đại số) Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) liệt kê phân loại triệt để lớp MD -đại số Lớp bao gồm đại số Lie giao hoán n-chiều đại số Lie 2-chiều aff n ( n ≥ ), đại số Lie 4-chiều aff Việc phân loại MD-đại số đến toán mở Để đơn giản, ta phân nhỏ lớp MD-nhóm MD-đại số theo số chiều Khi ta kí hiệu MDn-nhóm MDn-đại số MD-nhóm MD-đại số có số chiều n Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) liệt kê, chưa phân loại, toàn lớp MD4-đại số Phải đến năm 1990, báo luận án tiến sĩ mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) MD4-đại số Chú ý rằng, cơng trình đó, Lê Anh Vũ cịn chứng minh họ K-quỹ đạo chiều cực đại tất MD4-nhóm liên thơng bất khả phân tạo thành phân đo theo nghĩa Connes Và tác giả gọi phân MD4-phân Thêm vào đó, Lê Anh Vũ cịn phân loại tôpô triệt để, cho thêm phép mô tả chúng tác động nhóm Lie giao hốn R2, đồng thời đặc trưng C*- đại số tương ứng với MD4-phân phương pháp KK-song hàm tử Với kết sâu sắc vậy, ta coi lớp MDn-nhóm MDn-đại số giải triệt để trường hợp n ≤ Do ta xét tốn trường hợp n ≥ Cụ thể với n = tốn chưa giải trọn vẹn Về phương diện hình học, khơng gian K-quỹ đạo MD-nhóm đơn giản Theo số chiều, MD-nhóm gồm tầng K-quỹ đạo: tầng quỹ đạo 0-chiều tầng quỹ đạo chiều cực đại Xét riêng tầng quỹ đạo chiều cực đại MD-nhóm liên thơng ta thu quỹ đạo đa tạp liên thông đôi rời số chiều, điều cho ta liên tưởng đến phân Các phân xuất khảo sát lời giải hệ khả tích phương trình vi phân thường Tuy nhiên, phải đến cơng trình Reeb (xem [Re]) đời năm 1952 phân thực trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học nhanh chóng phát triển thành ngành mạnh hình học vi phân, lý thuyết tơpơ phân Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa khái niệm độ đo hồnh đặc biệt thích hợp với việc nghiên cứu phân lá, phân định hướng Khi trang bị độ đo hoành, phân gọi phân đo Trong năm gần đây, Lê Anh Vũ tiếp tục nghiên cứu tốn với n=5 Mặc dù phương pháp cơng cụ nghiên cứu cho trường hợp MD5 trường hợp MD4 số chiều tăng lên đơn vị nên tính tốn trở nên phức tạp nhiều Do đó, khoảng thời gian dài từ năm 1990 đến năm 2003, không MD5-đại số bất khả phân biết đến Thật có nhiều MD5-nhóm MD5-đại số khả phân, việc xét chúng quy xét MDn-nhóm MDn-đại số với n ≤ Điều khẳng định minh họa [Vu7] Do ta xét MD5-đại số bất khả phân Nếu không sợ lầm lẫn ta dùng thuật ngữ MD-đại số thay cho MDđại số bất khả phân Để đơn giản Lê Anh Vũ xét lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (với k