Phương pháp thế vị lớp cho bài toán biên với dữ liệu hardy

Chuong 1 Giới thiệu bài toán Bai toán giá trị biên với dữ liêu không liên tục trên miễn Lipschitz đồng vai trò ‘quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và giải tích điều h

KHOA TOÁN - TIN HỌC

0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ LỚP CHO BÀI TOÁN BIÊN V6I DU LIEU HARDY

Ho và tên: Nguyễn Trọng Nhân MSSV: 46.01.101.101

GVHD: TS Nguyễn Ngọc Trọng

TP Ho Chi Minh, Thang 5, 2024

Muc luc

1 Giới thiệu bài toán)

Ø_ Một số kết quả cơ bản cho toán tử Schrodinger|

Chuong 1

Giới thiệu bài toán

Bai toán giá trị biên với dữ liêu không liên tục trên miễn Lipschitz đồng vai trò

‘quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng và giải tích điều hòa Shen HỊ đã xét dữ liêu trong 2, 1 < p < 2 và không gian //! cho bài toán biên toán tử ~A + V trong đồ V là thế năng thuộc lớp Bx Brown khio sit dit lieu 17” cho bài toán biên Neumann với toán tit Laplace —A, trong

61 e<p <1 vid <e< 2 là một hằng số được xác định dựa vào cầu trúc

"Ta biết xầng các kết quả cho không gian Hardy đồng vai trò quan trong cho

lý thuyết nội suy: Một toán tử dưới tuyến tính bị chặn từ L! đón không gia cứu 'PHƯƠNG PHÁP THÊ VỊ LỚP CHO BÀI TOÁN BIÊN VỚI DỮ LIÊU HARDY” có ý nghĩa quan trọng,

Aục đích của bài nghiên cứu này là trình bày chỉ tiết một số kết quả với dữ liệu Hardy //” trong bài báo [6] cho bài toán bien Neumann vai Schrodinger ~A + V, trong đó V la thé nang không âm thỏa điều kiện reverse Holder B, Ta lưu ý ring Br C By Do đó kết quả này mở rộng kết quả của Shen [] và Brown

“Ta nói hàm không âm V € 1, (E") được nói là thuộc lớp BY (1 < q < %) nếu tồn tại một hằng số Cụ đương sao cho bất đẳng thite Holder ngược sau đây xảy

1m [ V(XMAX | <rt | V(X)AX

(afro) <i ve

với mọi qua ciu B trong R”

Mot trong nhing đặc trưng của lớp B, là tính tự điều chỉnh: Nếu V € B, với

toán

2

4> 1, thì ton tai © > 0 chỉ phụ thuộc vào m và hằng s6 Cy, sao cho V € Byte Mặc khác, By C By néu 1< p< g <

“Trong bài viết nà

bien a9, dat OCR n> 3, la mit Lipschitz, Cho điểm Q nim trên P(Q) = {X £9: |X — 0| <28(X)]

vi ð(X) là kí hiệu cho khoảng cách từ X đến biên @ Hàm w là hàm xác định trong ©, ta din nghĩa hàm cực đại không tiếp tuyến w* trên Ø9 là

với £ là hes 6 L oscity của biển,

voi “—* <p <1, ta néi a là một nguyên tử nếu tồn tại Qụ và r sao cho suppa C A(Qo,r) Noe) adQ =0

ngẫu của //(20) và C°(Ø0) được xác định Tạ nói Ôn

với mỗi hình tru Z và hàm có gid compact € C°(09'

trong đồ u(X) = (X + zey) với e„ = Í0, ,0,1)

Định lý sau day là kết quả chính của khóa luận

Khoa Tain - Tin hoe 3 Trudng Dai hoc Sv Pham TPHCM

Dinh ly 11 Cho V € Bụ, tổn tại 0< c < 2 sao cho nổi 1 — £ < p < 1 tà

3€ HP(B0), th lồn lại thỏa mẫn bài ton sa

Khóa luận có thể được xem như tiếp nối cong việc trong [T], trong đó Shen

đã giải quyết bài toán 7?-Neumnann (1 < p < 2) và H

thuộc lớp B„ Khác biệt lớn nhất giữa B„ và lớp B„ là tính chất sau

"Ta hưu ý rầng lớp B, không có tính chất trên T

trong đánh giá tiên nghiêm H] Do đó, để ta sẽ thay Ú

thiét lap các ước lượng tích phân cho V (xem Bổ đề

l chất trên rất quan trọng ính chất này bằng cách

Bài viết được chia làm 3 chương, Ngoài chương 1 giới thiệu bài toán, Chương

2 đành cho việc giới thiệu một số bổ đồ quan trọng và ước lượng tích phân cho bài toán biên với dữ liệu Hardy trong Chương 3

Ta chú ý rằng Ở luôn kí hiệu cho hằng số dương và không nhất thiết phải giống nhau trên từng đồng, nó phụ thuộc vào số chiều ø, hệ số Lipschitz hằng số Cụ của lớp By Kí tự X và Y là những điểm thuộc Ø hoặc R", trong khi

đó Q và P là những điểm trên biên 00 Ta đặt

eva D(X.) = B(X,r)n với eT

Tụ viết 4 < B (hoặc 3> A) và A~ B néu ton tại các hằng số duang CC" không phụ thuộc vào 4, Ø sao cho 4 < CØ và CA < Ø < ƠA tương ứng Khoa Toin - Tin hoc 4 Trudmg Dai hoc Se Pham TPHCM

“Tiếp theo ta có bổ đề sau:

Bé dé 2.6 [I Cho V eB, nồi g > Ì vie > 2 Ti wd lất là hằng số Cụ sẽ tổn

<e long IVuy2X + Dixon) joPvax + “ uta

<e ) (VuBAX + CC «x juP.vax +S ƒ F Iowxse) uta

với moi X © D(Xo,r) Thay vay, ta có:

1+ |X — Nom (V Xp) <1 + rm (V Xo) < em (V, No)

Loan” XY hax To Ween

Khoa Tain - Tin hoe 8 Trudng Dai hoc Sv Pham TPHCM

tuyễn Trọng Nhân “Khón Luân Tốt Nghiệp

Chứng mình Đặt r = 3|X —Y| Do

~AyP(,Y) + V(X)FVX,Y) =0 AyTi(X,Y) =0 nên ta có

~Ay (P(X.Y) — To(X.V)) = =V(X)P(X,Y)

Do dé;

Khoa Tain - Tin hoe 10 Truong Dai hoc Sv Pham TPHOM

Cm ND 5 cart Lew vn L vua, 20 <

i) nt vom =P eR Cm(W,X)

Huyễn Trọng Nhân Khóa Luận T6t Nghiệp

Cho f € (26),p > 1, ta định nghĩa thé vi lop don (single layer potential)

S/(X)= [ PAX.Q)/(Q)M9, for x eR”

Bổ đề 2.11 ([If]) Cho ƒ € 02(08),1 < p< œ view S(f) Khi ds

79) Laon < CIfilzơm

tà tới P € 8Ñ ta eb

Ổu (pì 1 pep BỊ +} PV F(P

TP) = 3/0954) + PM Í, ST 01/(0M0

‘Ta kí hiệu Ä (X,Y) là hàm Neumann và Œ(X, V) là hàm Green

lề 2.12 Cho Œ là miễn bị chăn Giả sử k là số nguyên tà k > 0 Thì

tôi hằng số Cụ không phụ thuậc tào X,Yˆ tà đường kính miễn 9 Chứng mình Tà sẽ chứng minh:

Cổ định X,¥ €& Dat rụ = [Xo ~ Yo

‘Trutmg hgp 1: 1» <—*

Cho FEC; m{V,Xa)

(RY) va supp fc € 0: <[¥— Xo] < ro} Dat

tvuen + [veux f opex

Khoa Tain - Tin hoe 12 Truong Dai hoc Sư Pham TPHCM

tuyễn Trọng Nhân “Khón Luân Tốt Nghiệp

tuyễn Trọng Nhân “Khón Luân Tốt Nghiệp

ITU =lu(Xi)I< =€z (/ meal

Nên do tính chit suppf ta có

tuyễn Trọng Nhân “Khón Luân Tốt Nghiệp

tuyễn Trọng Nhân “Khón Luân Tốt Nghiệp

Bổ đồ 2.18 Nếu 0 là miễn Lipscits bị chân, V € Bạ rà € 12 (09), tì tôn tại thỏa —âu + Vụ = 0 trong 9 sao cho |(Vu) san) < C|glipiaa) tà Ủm = 9

) PQ) = 9(Q) cho hiksn Qe aM Hơn nita, ta 06

[iv #m(V X]dX + [even xyhtax < [lve với mỗi s © (0,2), wi Cy lt hằng số không phu thuộc vio tà Akon tiên 00 theo nghĩa lmy-sQ.xerqey VM()

Nouyén Trong Nhân “Khón Luân Tốt Nghiệp

<emy.xy fia xniaayraa

Khoa Tain - Tin hoe 17 Truong Dai hoc Sv Pham TPHOM

<€ Ƒ IuÊao + ef, uiỀm(V, QJ24Q ef, ul?em(V, X)PAX

sof raase f vumime.xrax ba ñ +e Í IiBmfW,XAX h

Khoa Tain - Tin hoe 18 Trường Đại học Sư Phạm TPHCM

Chương 3

Sự tồn tại nghiệm trên khơng gian Hardy

Đầu tiên, ta cĩ kết quả san đây

Bổ đề 3.1 [8 Bổ đề 11] Cho B = B (0,8) CO vue WIP(B) wh p> n Dat + =1 — njp Tên tai C= C(n,p) s00 cho

sup - |VM(X)| 1+ Rom(W, Xo})* súp B2)

Bổ đề 3.8 Cho k là một số nguyên tuỳ ý Kha dé lồn tại 0 < ä < 1 và hằng số đương Cụ sà cho với mỗi X,Y,Z €Ế Hố |Z = X| < TT gu LÀ = VỊ, ta sứ

JZ-XƑ INQX,Y)~ NZ,Y)I {Lm (XIX YEN _— = YP ra

và Bồ để B2] có Wan er, vitar)

Vai mỗi X,Z thoả 0 < |X ~ Z|< 5 theo BO dé

không phụ thuộc vio nguyen ti a

Chang minh, N(.¥) € C%) (80) v6i a (p) = (n= 1) (1 = p) fp

Do « € 1%(00) nén theo Bé d’P.13}ta có tổn tại w théa min —Aw+ Vu = 0 trong

8 sao cho (Tu)" € L4(00) và u/dv == a hkn trén a0

Ta Gta 6 Øu(öt = a theo nghĩa HP, Tp đền, taiả ử supp ác A (Qu.n) với Qụ € Ø8 và tụ > 0, nliprga) < xịt)", Do [ 2 n(Q)4Q = 0, ta có thé viết

W(X) [„se=xix 4p))a(Q)d9

Khoa Tain - Tin hoe 20 Trường Dại hoc Su Pham TPHCM

tuyễn Trọng Nhân “Khón Luân Tốt Nghiệp

đẳng thức Holder, đánh giá cho #2 trong ta được:

fines mm tậu I(Vi)*(Q)J? 4Q

serenene ( ƒ Sofa)”

<e=len([ - isalfev [ is)” :

" ou

<omesenn([ |

trong đồ ta đã lưa ý dén suppa

“Tích phan theo biến 0, từ bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Caccioppoli

Từ đó,

10) <4 {fac ` ".:‹:)

sere „| Trees cos kế Ÿ sejmjT

Mặc khác, theo đánh giá cho 1%, bất

Jing thite Holder ta có

h -[ Iheaosny levy Phd < eng DOME (/ ivnPae) lb cre Dene (/ wae)" < ©

Khoa Toin - Tin hoc 22 Trường Dại hoc Su Pham TPHCM

Chương 4

kết luận

‘Voi những ứng dụng quan trọng trong vat lý cơ học lượng tử, trong y học và nhận được nhiều sự quan tâm và phát triển không ngừng Ở khóa luận này chúng tôi chưa phát triển tính duy nhất nghiêm cho bài toán Chính vì lý hướng phát triển tiếp theo cho bài toán này đó là ta sẽ tìm điều kiến thích hợp

để thu được tính duy nhất nghiêm Hơn nữa, chúng tôi sẽ dự kiến phát b toán Hardy trên miền không bị chặn và không gian hardy dia phương hoặc có trong trường hợp thé năng V' tổng quất hơn

Chuối cùng, tôi muốn gửi lời tri ân sâu sắc đến giảng viên hướng dẫn của tôi thấy T8 Nguyễn Ngọc Trọng, đã hỗ trợ tôi trong quá trình hoàn thiện khóa TPHCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình thực biện khóa luận khóa luân có thể còn những lỗi sai sốt, rất mong nhận được sự thông cảm và góp ¥ chan thành từ người đọc

do đó, bài

Tài liệu tham khảo

Bongioanni, B., Harbounre, E, & Salinas, O (2009) Riesz transforms re= lated to Schrodinger operators acting on BMO type spaces |J Math Anal, Appl 357 115-131]

{2] Brown, R M (1995) The Neumann problem on Lipschitz domains in Hardy spaces of order less than one [Pacific J Math 171 (2), 389-407} '3) Kutana, K., & Sugano, 8 (2000) A remark on estimates for wniformly

‘operators on weighted LP spaces and Morrey spaces (Math Nachr 209, No

1 (2000), 187-150}

Shen, Z (1994) On the Neumann problem for Schrodinger operators in Lipschit: domains [Indiana Univ Math J (1) 43, 143-174]

Stein, E M (1970) Singular Integral Operators and Differentiablity Prop- erties of Functions [Princeton University Press

[6] Tao, X., & Wang, H (2004) On the Newnan Problem for the Schrodinger Equations with Singular Potentials in Lipschitz Domains [Canad J Math Vol 56 (3), 655-072]

[7] Tao, X (2012) The Regularity Problems with Data in Hardy-Sobolew Spaces for Singular Schréidinger Equation in Lipschitz Domains [Potential Anal 36: 405-42

[s) Tong, N N & Truong, L X (2018) The Second - Order Ries: Trans forms Related to Schrodinger Operators Acting on BMO Type Spaces on the

1-651] Stratified Lie Group [Vietnam Journal of Mathematics 46 , 62