Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm cho bài toán Đàn hồi với tính gần như không nén trên các lưới tổng quát

'TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỖ CHÍ MINH BAO CAO TONG KET DE TAL KHOA HQC VA CONG NGHE CAP TRUONG Đề tài: PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN TRUNG TÂM CHO BÀI TOÁN ĐÀN HỘI VỚI TÍNH GẦN NHƯ.. DE T

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 'TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỖ CHÍ MINH

BAO CAO TONG KET

DE TAL KHOA HQC VA CONG NGHE CAP TRUONG

Đề tài:

PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN TRUNG TÂM CHO BÀI TOÁN ĐÀN HỘI VỚI TÍNH GẦN NHƯ KHÔNG NÊN TRÊN CÁC LƯỚI TỎNG QUÁT

Xin chin thành cám ơn trường Đại học Sư Phạm Tp Hỗ Chỉ Minh, Khoa Toán- Tin va cic ding nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giá có thể thực biện tốt để tài nghiên cứu này

L Chủ nhiệm để tà: TS, Hoàng Thị Thảo Phương, kho Toán-Tịn Học, Trường

"Đại học Sư phạm Tp Hỗ Chí Minh,

3 Cá nhân phối hợp thực hiện: TS Ông Thanh Hải, khoa Toản-T học Khoa Học Tự Nhiễn, Đại học Quốc Gia Tp Hỗ Chỉ Minh trường Đại

“Tôm tắt kết quả nghiên cứu của đề tài

“Chương I: Tổng quan về đ tài

1 Tin ấp thiết của đồ ti

3 Mục iêu của để ti

3 Đồi lượng = Phạm vì nghiền cứu

4 Cách iếp ận - Phương pháp nghiên cứu

3 Nội đụng nghiền cứu

Chương 3: Các ết quả nghiên cứu đạt được 1.Giảihiu

2 Bi oe ni yh wag th gn bu ng nn bo hla bằng phương phấp phần tử hữu hạn trung tâm bộc th

332 Sự xây dựng các lưới và các không gian MAPA

lí và duy nhất nghiệm

34 Hệ phương rnhđại số nyễn nh

3 Kết gui số

3L Bãi toán mảng Conk

3.2 Bai toán đầm tải trọng một đầu

“Tài liệu tham khảo

Kết luận

"Xác nhận của đơn vị chủ trad

Sin sao thuyẾt mính đỀ ai khoa học và công nghệ cắp trường,

2.3 Bài toán rời rạc hoá ~ Sự tổn

DE TAI KHOA HQC VA CONG NGHE CAP TRUONG

“Tên để tài: Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm cho bài toán đàn hồi với tinh gần như không nén trên các lưới tổng quát

‘Ma sé: €82015.19.60

(Chic nhigm dé ti: TS, Hoang Thị Thảo Phương: Tel: 0914895791 -mail: phuonghtt@emup ed va

(Gor quan chi ti dé i: Khoa Tosin-Tin Hoe, Trung Đại học Sự phạm Tp.HCM

CC quan tờ nhiên phối hạp thực ign: TS Gog Thanh Hai, Khoa Todn-Tia, trưởng Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Tp HCM hải gian thực hiện: 12 tháng (t 09/2015 đến 09/2016),

1 Mục tiêu

Để xuất một phương pháp số mới đành cho bài toán đàn hồi tại trạng thái gin như không nén của vật liệu đàn hỗi, xây dựng cơ sở lý hiện của phương phảp; shững mình tính ôn định của thuậi toàn và tiến hảnh mô phỏng trên máy tỉnh để kiểm định sự hiệu quả và chính xác của mô bình thuật toán này

3 Nội dụng chính

'Chông tôi giới thiệu một phương pháp số mới cho bài toàn dan Wi ai trang thải

gn như không nén, gọi là phương pháp phẩn từ hữu hạn rung tâm bậc thấp,

“Công thức hỗn hợp được sử dụng, với hai biễn là độ dịch chuyển và hàm áp suất lần lượt được xắp xi bởi các hàm tuyển tính từng phẩn và hàm hing từng

tụ của phương pháp được chứng minh Các mồ phỏng sổ được tiến hành để nhau

3 Kết quả chỉnh đại được (khoa học, ng dng, dio to, kin :xã hội: Xây dựng được một phương pháp số mới cho bãi toin đản hồi tại trang thái gin sode mô phỏng sổ cho phương pháp đề xuất trên các bài toán thực tế khác nhau,

sỏ thể sử dụng trong các ngành kĩ thuật khi nghiên cửu vẻ vật liệu đản hồi Ngoài ra, kết quả của để tãi cố thể được sử dụng trong giảng dạy chuyên dé CGii tích số bộc đại học hoặc cho học viên cao học ngành Toán Ứng Dụng

Projet Tit: A cell-centered finite clement method forthe nearly incompressible incar clsticty problem on general meses Cade number: CS2015.1960

Ciondessoc:Dc Hoàng Thị Tháo Phương

ingløneuinglnaiuulo: DepafnentoF Mahbenadicx, HCMC University of Pedsgoey

Cooperating Intution: Dr Og Thanh Hii, Facuy of Mathematics ad Computer Science University of Science, VNU-HICM

Duration: feom September 2015 to September 2016

1 Objectives

Proposing a new numerical method fo solving the nearly incompressible Hine lastly problem, stung the torial tackground ofthe method, poving the stabiliy of the scheme sad canying out numerical expsrimens on

‘computers to investigate the performance of the method

Main contents:

We propose a now numerical method for the nearly incompressible linear slaslcity problem, calle the low-order cell-centered finite element method A snixed formulation is used in which the displacement and the pressure are respectively approximated by piccewise linear and piecewise constant functions con diffrent meshes The wellpasedness stability and convergence are proved Numerical simulations are carried out to investigate the performance of the

‘method on different test eases

Results obtained

We have constructed a new numerical method for the nearly incompressible have also carried out numerical experiments to study the performance of the applicd in enginecring when considering clasticity materials or can be used for

an undergraduate special course on Numerical Analysis or for graduate programs in Applied Mathematics

“Tính cắp thiết cia đ tài

cao s hoc c th đân ỗi gảng cao sĩ được ĩ dự ph én

dn định, biện tượng nấy được gợi 1a “volumetric locking” ign nay, chứng ta đã

số nhiều phương pháp số để khác phục tinh trạng nấy, chẳng bạn như sứ đụng tích phân suy giảm, phường pháp B-tar, sử dụng công thức hỗ hợp, phương pháp làm

tu bing him bsBbl< Tuy nhiễn, cc phương phấp này vẫn còn có các hạn chế

su diy

+ _ Không cho độ chỉnh xắc can,

«_ không ấp dụng trên đa dạng các lưới khắc nhau,

+ ˆ sử địng nhiều biển lâm tăng bao tổn tài nguyễn bổ nhớ mấy tỉnh và thi gian tính toán

Doi in cn phi ty mg in phong tiến mi Sơn bì sả tính ton cao bơn, áp dụng được rên đã dạng các lưới, sử dạn lâm tổn ti nguyên bộ nhớ máy ỉnh và giảm thời gian nh toán,

lý luận của phương pháp, chứng mình tính ôn định của thaật toán và tiên bảnh mô này

1.3 Đổi tượng ~ Phạm vĩ nghiên cứu

Đổi ưưmg nghiên ca: Sự hội tạ và ôn định của phương pháp thần tử hữu hạn trung

Ching ta xem xét bài toàn đàn hội toyển tính ở dạng hỗn hop bao gốm độ dịch hay vi dp sud ~sivioru))=F ten 2,

dint

F=0uin a,

‘i digw kiện biển Diichlethuẫn nhất

đồ là độ dịch chuyển, p à áp suất, ở là ứng sult và V là lục tác đụng Khi din bd là đẳng hướng, ơtu) được định nghĩa bởi:

‘o(u)= 2pe(u) + Adiviuy

ớiLlà ma trần đơn , l0) (bung) 1 V8 là các hệ số Lam cho bởi

“Chúng ta xây đọng không gian xắp xi hữu hạn ứng với mô hình phản ử hữu hạt

tm ching 1 pg lưới ban đầu về theo các phn i rên lưới ép (ong đổ hàm áp sảt được ai pr cho or oe sắp tới hp nyÊn ính cb cle Rim Ming nce pn cin ot be] Cb sàng tứ uới kép, ta xây đựng lưới tit ba Ia a tam giác, Từ đây bảm xắp xi ba

Hộ ch chuyển được xác định đưa tên các định mỗi am giác

Với không mo Xap xi cho độ địch chuyển và áp suất được xây đựng như trên, ta

iễ được công thức biển phân của bài tin rời rạc và chứng mình tính ôn định của hông số phương pháp mới để xuất cho một số bải toán thực tổ Sự so sinh ie kết quả số của phương pháp mới với các phương phập số iện có được thực hiền Đồng sa vậc so dnh lộc đồ it và mí số ương đố mí bưo chain ning lượng

"HÁP PHẢN TỪ HỮU HẠN TRUNG TÂM BẠC THÁP

ÍO BÀI TOÁN DẦN HỘI TUYẾN TÍNH

“TẠI TRẠNG THÁI GẦN NHƯ KHÔNG NÊN DƯỢC HOANG THỊ THÁO PHƯƠNG, VÕ ĐỨC CẮM HÃY”, ÔNG THANH HÃI” TÔM TAT

> Gees athe nora ayo mci St in eit + Ty

hu sing nn, go là phương pháp phản tế hữu họa trung tôm hộ thập (PTHHBT), Côn thế fide eg dag a git i là độ ch chan vs nim psu ini được

id cine higu qa cia pluaomg php mai dé uit

‘Keywords: linea elasticity low-order fie clemens, meroelment condition + Gihiệu

óc vợ lờ nụ pc sa đà i ing can sư sỉ đụ i arg tn oid gc nog i Anh nàng nh: hg ic Khi ohn a ie ti

nếu chúng ta sử dụng các phương pháp số thơng thường như phương pháp phản tử hữu bin, sai nhân hữu hạn để xắp xì sự dịch chuyên, sự biến dạng của những vặt lều này, tơi nghiệm sắp xi sẽ Khơng chỉnh xáe và khơng ơn định, ưn tượng này được gọi lÀ “cing elec” DS hid phương đấ ả âu dể xi để Hệ th th này nhự phương phảp phản từ lu bạn tì ơng cơn,

thức we hap I5] Nẹc cĩ một số bài bảo khảo sắt cơng thức

suit cis a (rong đĩ mừng ăn cất là hằng số ấn tp ác peace

diện) Cụ thé trong [8] tác gia sir dung him ap suit giản đoạn trên lưới kếp và hàm

bull ttn hd Bundi lim Huai, Gin iy, Bat ad dich ehuyén,Trong (10)

la lọc đẫy dủ để xắp x nghiệm của bãi tơ

TH S tạng tái ga lộc lơng hêt Ơ phương tấp ‘sani ile aoe shuyển bằng phương pháp phân tử hữu hạn bậc thấp và xắp xi áp suất bằng ri rạc 2a (0 trợ li đã Mn ứng và bắn đng se H n tục ng tha Mỹ trên

hương hấp kế in duc những hạn ch in ah) ho np xích me xin 6p cong thơng | dể sắn xi độ dịch chuyễm la phải sĩ dụng hoe hàm apa bc ex, hose i) Khong dp dng được trên lưới tổng quất, thêm các n rên cạnh một bộc định bền ạnh các nại rùng tâm phần từ điều này khiến thuật toắntrở nên kh tổn kềm vš mặt ínhlộn

“Trong bài bảo này, chúng tơi trình bảy một phương pháp số mới để xắp xi nghiệm

của bài toin đàn hội uyển tính gi tạng ti gẳn như khơng nén, gọi là phương pháp

phần tử hữu hạn trung tâm bậc thip (Pr (PTHHBT), phat triển từ phương pháp trung tim

cho bai tốn khuyêch tán [1|] Trong phương pháp PTHHIT, hàm dịch chuyên và

âm áp su lầ lượt được xp xi bỏ ed him tay inh ing pa va hg ong

phần trên các lưới khắc nhau, Phương pháp này cĩ các ưu điểm như sau: i) cĩ cơ sở

tên lực vi ác cứng nh về sổ đnh và hội xử ăn tu maerltnmt TT: đ cĩ thơ 3p dụng được tên Mới ng quấc ) sử dẹn ohm i hp i sung dru ® hin xe so do ih xy dn ah a ung im sử í ìa kếm vì mặt find) 6 th in ach wd pg ob ing dựa tên so iia phen hp = Si tEie ii

phip PTI (ho sản sự Pa dana ca li, nh nia se tên Sắp he Bài sản cơn ứng) sư nạ day th eh sia i tin a ih

vả Mộ tụ của phương Hiệp được chứng miei Ở mục ks bi quá sử sơ nh phương pháp PTHIIBT với phương phập MINT I] duge trình bảy

2, Bài tốn đàn hồi tuyến tính tại trạng thái gần như khơng nến rồi rạc hĩa bằng PTHHIET

Chúng giữ thấu nĩ hinh tà sảng ăn nh vi By ki ha bằng cách sử dụng PTHHBT, Cụ thể ta sẽ xây dựng các lưới sử đọng trong phương

nhấp dịnh ngha cá không gian xắp xi, viết bài toán ờirạc tương ông và chỉ sự a {ai nghiệm dạy nhất của bài ton, Codi cùng ta nu hệ phương trình đại số uyền tính liê Kết với tac trờng đó cúc Ăn aợc đặ ại ương tầm của các phẫ từ củ lưới ban đầu (đối với độ dịch chuyển) và lưới kép đồi với áp sắt) 2.1, Mb ink bi toda

‘Cho mia © bj chặn rong RÍ(d =2,3) với biên 0 Lipschitz Xáthài toán đàn ồiuyễn tính đừng ở dạng bản hợp hư

(ở đây A” kí hiệu ma trận chuyển vị của A), Â vả ø là các bệ số Lamẻ:

ae YE, yet (I+v)(1~2v)* lev)"

với V làu số Pisson và Z là môi Young,

‘Tirole định ngha tên a vit ải toán (1) dưới dạng:

vả hiện |H[ và |H[ lần hạt là các chuẩn trên /2(Q) và V, Ta định nghĩa các dạng

song tuyển tính và tuyển tỉnh sau:

Sur xy dung cée lubi wa cdc không gian xắp xi

DE dm gin, tax trig pai toán rong không gian hai chu, Ta lẫn lượt xây dựng các lưới sau: lưới ban đầu T,„ lưới kép 7` và lưới kếp phụ 7,” Sau độ, ta ịnh nghĩa cc không gian xp xi gm các hâm tuyển tính từng phần rên các phần từ phản tử của lưới kép 7,” (ddi voi dp suit),

Giả sử Ø là một miễn đa gic và T, là một lưới tổng quất của © bao gm ede

tp on không giao nha, đồng, liên thông và khác rằng của 2: ä=UK

Đổi với mỗi phần từ Ấ, ta chọn một điểm C„ bắt kì thuộc phẩn trong của K và gọi đô là điểm lưới của &”; a gid sit ring đoạn thẳng nỗi hai điểm lưới của hai phần tử lên kể BI kỉ của lưới ban đẫu chữa hoàn oàn tong 2 Lưới kép 7- thụ được bằng

cách nội các điện lối ca các nhân tự lối ban đâu với nhau và với rung điễm của các anh nằm tên biên Ø (xem Hình 1):

ñ<UM,

trong đồ Af là các phẫn tử của lười ép vi tk hiệu CỤ làđiễm lưới ca Aể (sắc bí tổng CỤ là một điểm trong của Af) Cuỗi cùng is xây dựng lưới kép phụ T,” là lưới tam giác phụ của T/ như sau: với mỗi Âf€ TT, tà nổi CỤ với các dink cia AF vi thú được các phần từ am giá, kí hiệu 7, của lưới kép pha (xem Hình 1) ä=Uf

AES Mình 1, Lưới ban đầu T, (đường đen liễn néU, lưới kép T° (durdmg xanb nét

0 và vỉ dụ về một số phần tử tam giác của lưới kép phụ 7,” (đường đỏ né đơ0, Không gian xắp xicho độ địch chuyển và áp suất lần lượt

p60, ={q 6 G(A)-9, |e PM), WMT, Je (0), 2.3 Bal toi rời rục hỏa - Sự lẫn gỉ và duy nhất nghiệm

Bi lon rời rạc hóa sử đụng PTHIIBT được phát iễu như sau: Tim u,€ V, và p, €Ợ, thoả mãn

Dinh Tôn abi uy sắt (uy

tact ắc omg sm

leat lloilo ill + ing pall ®

trong db (u, p)€ V, x L(Q) ta nghigm cia bai oán liên tục (6) và C ta hing sb de pi eh te ai

1 Đặng dõng hyễnính «(„) là đổ sãng lê ịc và thoả mãn điều kiện kháng

déu (uniform eoereivity), nghĩa là tổn tại hẳng số Œ >0 sao cho:

a(x.v.)>elv|| Vv„eV†=[x,<V,¡A(vu4)=0Vg,e0}-—— d0

3 Dạng song tuyển tỉnh Ö(,) là lên ục và thoả mãn đu kiến inFsup đều,

lồn tại hẳng số > sao cho:

CL ing i i i nh ng ching at ah i bai ton dn hii tai trạng tái gần như không nên Ở day, eh ta sit Song Ki tuft maerocleret {13} 44 ching minh bitdig the (11) Ching với xây dụng lưới của PTHMBT tị mỗi phần từ M của lưới kếp 7 smacroelement Ta edn chi ra rẳng không giản Nụ là một chu, với

Thất vậy, theo định nghĩa không gia xắp xì của PTHHBT, với q, Ó, ta có Jadine,=a,faivwo=a, [¥

Suy ma Ny @Q, nén My là không gian một chiều với mọi macroelement 1.4 Hệ phưanng tình đại số nyễn tính

.ệ phương tình đại số uyến tính tiên kết với bài toán (8) thụ được bằng cách lấy cậc làm tử lầ lượt là các hâm cơ ở acc không gan sắp Ý, và ° eee

do cich xiy dmg sist ns hh Rpm lì phang hp PTHHBT à nương ci ldi trong PTHHBT, có thể đưa về các lêm lưới áp treg

$c Hớc hÊ li học E4 #Á LN lAI tHOAB¿ lạt ứ (ác tép tên đồi đc tên hàm dc

"rên ý tưởng trình by ti Tan [I i im Ne oe The tha được có dạng

ete [SFL 1 Eh

tong đó A,B,C và F lần lượt là các ma trận liên kết với các dạng song tuyến tính (+), IS) e(x) và dạng tuyển tính E,()¡ hơn nữa ta có A là ma trận đổi xứng, xác định đương, C là ma trận đường chéo; các ẩn U =(u¿” Pe (s lục đặt ai trọng lâm của các phẫ tử lưới ban đẫu (đổi với độ dịch chuyển) vã ại trọng tâm sủa các phần tử lưới kép (đối với áp suẾU

hông số cho thuật oán FTHHIBT và so ánh các kế quả với

phương pháp MINI [1] Ta định nghĩa bai loại sai số của phương pháp PTHHBT như

sau: Sai s lại một, kí hiệu el2'”, là sử số ương đối theo chuẳn ong L của độ

dịch chuyển và được định nghĩa trên lưới bạn đu, Sais loại hai kí hiệu Hồ , sai sb tuong déi theo chuẩn tong ? của độ dich chuyến sử dụng phẫ tử hữu hạn tam, giác (FEM-T3) trên lưới kép phụ: EIKllue,)~á PP