Luận án tiến sĩ Toán học: Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đạo hàm riêng

Kết quả chínhcủa chúng ta sẽ được trình bày lần lượt trong các Chương 1, 2 và 3 với nộidung tóm tắt như sau: Chương 1, chúng ta trình bày một phương pháp phần tử hữu hạn trungtam đơn điệ

DẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VÕ ĐỨC CẦM HẢI

LUẬN AN TIÊN SĨ TOÁN HỌC

TP Hồ Chí Minh - Năm 2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VÕ ĐỨC CAM HAI

PHƯƠNG PHAP PHAN TỬ HỮU HAN TRUNG TAM

TÌM NGHIỆM XẤP XỈ CHO BÀI TOÁN ĐẠO HÀM RIÊNG

Ngành: Toán Giải tích

Mã số ngành: 62460102

Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Thành Nhân

Phản biện 2: TS Nguyễn Minh Quân

Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Tuấn Duy

Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Thành Nhân

Phản biện độc lập 2: PGS.TS Lê Phương

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Ông Thanh Hải

2 T5 Hoàng Thị Thảo Phương

TP Hồ Chí Minh - Năm 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Giải tích, với đề tài "Phương pháp

phần tử hữu hạn trung tâm tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đạo hàm riêng"

là công trình khoa học do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Ông

Thanh Hải và Tiến sĩ Hoàng Thị Thảo Phương Các kết quả mà tôi viết chung

với các tác giả đều được sự đồng thuận để đưa vào luận án này Những kết

quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và không trùng

lắp với các công trình đã công bố trong và ngoài nước

Nghiên cứu sinh

Võ Đức Cẩm Hải

11

LỜI CÁM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Ông Thanh Hải,

Tiến sĩ Hoàng Thị Thảo Phương, đã giới thiệu đề tài, gợi ý cho tôi nhiều vấn

đề và ý tưởng mới, góp phần quan trọng hình thành nên luận án cũng như tận

tình giúp đỡ tôi trong học tập và nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành

cảm ơn các nhà khoa học là thành viên trong các Hội đồng chấm luận án tiến

sĩ cấp Đơn vị chuyên môn và cấp Cơ sở đào tạo, là các chuyên gia phản biệnđộc lập và chính thức của luận án, về những nhận xét đánh giá và bình luận

quý báu cùng với những đề nghị quan trọng nhằm tạo điều kiện để tôi hoàn

thành tốt luận án Tôi trân trọng cẩm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin

học, Bộ môn Toán Giải tích, Bộ môn Ứng dụng Tin học và Phòng Sau Dai

học của Trường Dai học Khoa học tự nhiên, Dai học Quốc gia Thành phố Hồ

Chí Minh về những giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn

thành luận án Qua luận án này tôi cũng bày tỏ lời cảm ơn đối với các đồng

nghiệp thân thiết ở Khoa Toán — Tin học đã động viên giúp đỡ tôi trong quátrình hoàn thành luận án Cuối cùng, tôi xin dành tất cả tình yêu thương chogia đình, bạn bè và người thân của tôi, sự quan tâm của họ góp phần không

nhỏ vào việc hoàn thành luận án này.

IV

CHƯƠNG 2 [Phương pháp phan tử trung tâm lưới lệch cho bài

toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén được và gần không

nén được trên lưới tổng quát trong hai chiều

2.1 Giới thiệu| ko 34

221 Mô hình bài toán| 37

2.2.2 Bài toán rời rạc| Ặ Q Q Q Q Q ee 382.3 Bai toán đàn hồi tuyến tính tai trang thái gần như không nén| 43

2.3.1 Mô hình bài toán 43

2.3.2 Bài toán rời rạc| 0000000 ee 452.3.3 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm bài toán (2.3.4)

2.41 Bài toán mang Cook} .004 52

2.4.2 Tấm vuông| ẶẶ c c eee 532.5 Kétluan) c Q Q Q Q Q Q Q n2 xxx 2x v2 62

CHƯƠNG 3 [Phương pháp phan tử trung tâm lưới lệch cho bài

3.3.1 Lưới banđầu 69

3.3.2 Lưới kếp| HQ ko 70 3.3.3 Lưới kép phụ tứ diện| 73

3.4 Phương pháp 3D S5C-EFBEBM|I 74

3.4.1 Trường hợp đàn hồi tuyến tinh tai trạng thái nén

3.4.2 Trường hợp đàn hồi tuyến tính tại trạng thái gần như

Danh sach ky hiéu

Nguyên lý cực đại rời rac

Cell-centered finite element method

Phương pháp phan tử hữu han trung tâm

Monotone nonlinear cell centered finite element method

Phương pháp phan tử hữu han trung tam phi tuyến đơn điệu

Mimetic finite difference method Phương pháp giả sai phân hữu han

Mixed finite volume method

Phương pháp hỗn hợp thể tích hữu han

Finite volume method

Phương pháp thé tích hữu han

Discrete duality finite volume method

Phương pháp rời rạc đối ngẫu thể tích hữu hạn

Staggered cell-centered finite element method

Phương pháp phan tử hữu han trung tâm lưới lệch

Tổng quan

Cấu trúc của luận án bao gồm phần tổng quan, ba chương chính, kết luận,

danh mục công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo Kết quả chínhcủa chúng ta sẽ được trình bày lần lượt trong các Chương 1, 2 và 3 với nộidung tóm tắt như sau:

Chương 1, chúng ta trình bày một phương pháp phần tử hữu hạn trungtam đơn điệu phi tuyến (MNFECC), cho các bài toán khuếch tán trong môi

trường vật chất không đẳng hướng và không đồng nhất, trên lưới ban đầu

tổng quát Phương pháp này thỏa nguyên lý cực đại rời rac (NLCDRR), xem

Định nghĩa [1.2.3| Thêm nữa, phương phap MNFECC được chứng minh thỏatính cưỡng bức và liên tục Từ các kết quả số khi so sánh với các phươngpháp số khác, phương pháp MNFECC là hiệu quả hơn về độ chính xác, chi

phí tính toán va đáp ứng NLCDRR.

Chương 2, chúng ta trình bày một phương pháp số mới, gọi là phương phápphần tử hữu hạn trung tâm lưới lệch (SC-FEM) cho bài toán đàn hồi tuyếntính tại trạng thái nén và trạng thái gần như không nén trong hai chiều

Phương pháp SC-FEM trình bay quá trình xây dựng lưới kép và lưới kép phụ

tam giác từ lưới tổng quát ban đầu Tiếp đến, chuyển vị được xấp xỉ bởi các

hàm Lagrange từng phần bậc 1 trên lưới kép phụ này, và trong trường hợp

bài toán tuyến tính tại trạng thái gần như không nén, áp suất được xấp xỉ bởihàm hằng số từng phần trên lưới kép Phương pháp SC-FEM là dạng phần tửtrung tâm (cell-centered), nghĩa là nghiệm xấp xỉ được tính toán tương ứng

tại từng phần tử của lưới ban đầu (đối với chuyển vị) và của lưới kép (đối

với áp suất) Bên cạnh đó, phương pháp này được chứng minh tính ổn định

và hội tụ Thêm nữa, tại trạng thái đàn hồi tuyến tính gần như không nén,

tính ổn định của phương pháp được chứng minh bằng cách sử dụng kỹ thuật

2

marco-element (xem Định lý b.3.1) Từ kết quả số so sánh với các phương

pháp khác, phương pháp SC-FEM có độ chính xác, ổn định hơn.

Trong Chương 3, chúng ta trình bày một phương pháp số được mở rộng từ

phương pháp phần SCFEM đã được đề xuất và đánh giá ở [I], để áp dụng cho

bài toán đàn hồi tuyến tính trong ba chiều, được gọi là phương pháp phần

tử hữu hạn trung tâm lưới lệch trong ba chiều (3D SC-FEM) Từ một lưới

tổng quát ban đầu trong ba chiều, phương pháp 3D SC-FEM trình bày quá

trình xây dựng một lưới kép đa diện và lưới kép phụ tứ diện, trong đó mỗi

phần tử lưới kép (phần tử macro-element) chứa một tập hợp các phần tử tứ

diện liền kề của lưới kép phụ Dựa trên cấu trúc lưới kép và lưới kép phụ,

chuyển vị được xấp xỉ bởi hàm Lagrange bậc 1 trên lưới kép phụ tứ diện, và

áp suất được xấp xỉ bởi hàm đặc trưng trên lưới kép Tương tự, như trong

hai chiều, cấu trúc lưới kép, lưới kép phụ giúp không gian xấp xỉ chuyển vị và

áp suất thỏa mãn điều kiện macro-element (điều kiện (M1)-(M4) trong Dinh

lý 2.3.1) Do đó phương pháp 3D SC-FEM cũng được chứng minh có tính ổn

định và sự hội tụ Bên cạnh đó, kết quả số được thực hiện trên các loại lưới

trong ba chiều, đã chỉ ra rằng phương pháp 3D SC-FEM có độ chính xác, ổn

định hơn so với các phương pháp số khác được so sánh

CHUONG 1

Phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm phi

tuyến đơn điệu cho bài toán khuếch tán không

đẳng hướng và không đồng nhất

1.1 Giới thiệu

Các bài toán khuếch tán không đẳng hướng và không đồng nhất đóng vai

trò quan trọng trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau như kỹthuật dầu khí [2] 3|, xử lý anh [4], vật lý plasma [5} (6) [7] Nghiệm bài toán đã

được nghiên cứu trong [8} [9] Trong chương này, chúng ta quan tâm đến bài

toán khuếch tán trên một miền mở bị chặn 2 trong R? với biên Lipschitz Ø9

AEP < A(z)£ -£ < ANE), (1.1.2)

với hầu khắp nơi trên © và với mọi £ € R?.

Hàm nguồn ƒ thuộc L?(Q) Dé đơn giản, chúng ta sử dụng điều kiện biên Dirichlet thuần nhất Chúng ta có thể mở rộng cho các loại điều kiện biên

khác như trong [I0 Chương 1, Mục 1.4].

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại nguyén ly cực đại Định lý 1] và như

sau:

Định lý 1.1.1 Nghiệm u € C?(Q) A Co(Q) của bài toán (1.1.1) đạt cực dai

trên biên OQ nếu f không dương trên © va ƒ € C*(Q) tới a € (0,1)

Và theo [[Tl Hệ quả 2], chúng ta có nguyên ly bảo toàn đương sau

Hệ quả 1.1.2 Nếu ƒ không âm trên © va f € C%(Q) vdi a € (0,1), khi đó

nghiệm u € C?(Q)N Co(Q) của bài toán (1.1.1) cũng không âm

Theo Dinh lý 2.2] va [12], nguyên ly bảo toàn dương và nguyên lý cực

đại là tương đương.

Nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) được trình bày dưới dạng:

Tìm u € HẠ(©) sao cho

Q Q

Theo các gia sử cho tensor A và ham f được đưa ra ở trên, bài toán

có nghiệm duy nhất uv € /2(9) (xem [14| Chương 1])

Có ba khó khăn chính trong việc giải các nghiệm xấp xỉ cho bài toán này:

thứ nhất, với một tensor tính thấm không đồng nhất và không đẳng hướng đầy đủ, rất khó cho các phương pháp số để có được một nghiệm xấp xỉ hội tụ

về nghiệm yêu của bài toán; thứ hai, rất khó để thiết kế các phương pháp số trên các lưới tổng quát; và phần lớn các phương pháp số không thỏa Nguyên

lý cực đại rời rac Vi phạm của NLCDRR có thé dẫn đến sự không ổn định

pháp FECC, thỏa mãn tính liên tục cục bộ của các thông lượng Trong [Hỗ],

kết quả số chỉ ra rằng trên cùng một lưới ban đầu, phương pháp FECC đưa racác nghiệm chính xác hon so với phương pháp phan tử hữu han (FEM) [16],

phương pháp giả sai phân hữu hạn (MFD) [T7|, phương pháp hỗn hợp thể tích

5

hữu hạn (MFV) [18], phương pháp thể tích hữu han (FVM) [19] 20], phươngpháp compact-stencil MPFA [21], phương pháp DDFV va phuong phap

SUSHI [23] Một phan mở rộng của phương pháp FECC, cu thể là phương

pháp SC-FEM, cho các bài toán đàn hồi tuyến tính hai chiều, ba chiều tại

trang thái nén và gần như không thể nén đã được nghiên cứu trong [1l 24].

Tuy nhiên, phương pháp FECC vi phạm NLCDRR, khi nó được ap dụngcho một bài toán khuếch tán không dang hướng mạnh (xem Muc[L.5.2) Nhược điểm này cũng xuất hiện trong việc tìm nghiệm xấp xỉ của phương pháp thể tích hữu hạn 25] và phần tử hữu hạn cổ điển 26] cho các tensor khuếch tan

không đẳng hướng mạnh và/hoặc các lưới bị biến dạng Trong trường hợp

xấp xỉ phần tử hữu hạn tuyến tính từng phần cho bài toán Poisson trên tam

giác và tứ giác, chúng đủ để yêu cầu rằng tất cả các tam giác đều nhọn

(tất cả các góc nhỏ hơn hoặc bằng z/2), và tất cả các tứ giác đều thuộc loạikhông phân nhánh [28] (tỷ lệ phương diện nhỏ hơn hoặc bằng V2) Tuy nhiên,trong [29], các tác giả chỉ ra rằng các phần tử hữu hạn bậc cao hơn không

thỏa mãn NLCDRR trong phương pháp hình học.

Dé bảo toàn NLCDRR, một lớp khác nhau trong phương pháp thể tích hữu

hạn [30] [31] [32| được hiệu chỉnh bằng cách rời rac hóa phi tuyến Tuy nhiên,các phương pháp này được yêu cầu bởi các điều kiện trên hình học hoặc tỷ lệ

không dang hướng để có được độ cưỡng bức Bên cạnh đó, hiệu chỉnh thông lượng đại số được trình bày trong cung cấp một khung tổng quát để xây

dựng sự rời rạc đơn điệu trên các lưới không cấu trúc Phương pháp này sử

dụng kết hợp các tiêu chí đại số và hình hoc để tuân theo NLCDRR.

Mục đích của chương này là xây dựng phương pháp MNFECC, cải tiến

từ phương pháp FECC, thỏa NLCDRR cho bài toán khuếch tán khong dang

hướng mạnh, trong khi các tính chất quan trọng của nó bao gồm tính cưỡng

bức, sự hội tụ vẫn được giữ lại mà không cần điều kiện về hình học Ngoài

ra, hệ phương trình phi tuyến của MNFECC được giải bằng phương pháp lặp

có thể được tính bằng các phần tử chưa biết của lưới ban đầu.

Phần còn lại của chương này bao gồm 4 phần sau: trong Phần [L.2| chúng

ta nhắc lại phương pháp FECC cho sự rời rac bài toán (1.1.3) Trong Phan

6

chúng ta trình bày phương pháp MNFECC với nghiệm của chúng được

giải bằng phương pháp lặp (1.3.32) Hệ phương trình phi tuyến của nó chỉ

liên quan đến các phần tử chưa biết, ma trận ghép đối xứng, xác định dương

Trong Phần|1.4| chúng ta trình bày chứng minh sự tồn tại nghiệm, tính cưỡng

bức, tính hội tụ va đáp ứng NLCDRR cho phương phép MNFECC Trong

Phần [1.5| kết quả số cho thấy phương pháp được đề xuất có hiệu quả về mặtchính xác và theo nguyên lý cực đại rời rạc.

1.2 Phuong pháp FECC

Nhắc lại phương pháp FECC, đầu tiên chúng ta giới thiệu các ký hiệu vacấu trúc của lưới ban đầu M, lưới kép M* và lưới kép phụ M**:

1.2.1 Xây dựng lưới

Với một miền đa giác O C R?, chúng ta xét một lưới ban đầu M của 9 sao

cho 9 = Urey K Từ giờ chúng ta giả sử: mỗi phan tử K € M là một đa giác

hình sao Điểm lưới của nó là một điểm K € int(K), với int(X) là tập hợp các điểm trong của K.

Tiếp theo, để xây dựng lưới kép M*, chúng ta có giả sử sau: đường nối hai

điểm lưới của hai phan tử lân cận bất kỳ thì nằm bên trong © và giao với các

cạnh chung của hai phần tử

Lưới kép M* được xây dựng dựa vào lưới ban đầu theo cách mà mỗi phan

tử lưới của M* tương ứng với một đỉnh của M Chúng ta ký hiệu là tập

hợp tất cả các nút hoặc đỉnh của M Với mỗi phần tử K e M, chúng ta định

(a) Nếu M là một đỉnh trong, chúng ta nhận được phan tử lưới kép M liên

kết với đỉnh M bằng cách nối các điểm lưới của các phần tử lân cận trong My Chúng ta chọn M là điểm lưới kép của M.

(b) Nếu M nằm trên biên Ø9 và giả sử rằng Kg va Kg là hai phan tử (giống

hoặc khác) trong My Ký hiệu E C 0Kg và Ec OK; dé chi hai canh

trên biên có M là đỉnh Phan tử lưới kép M được định nghĩa bằng cách

nối các điểm lưới của các phần tử lân cận trong My và điểm lưới của

Kp (và Kg) với một điểm trong được chọn (vi dụ trung điểm) của E (và

tương ứng) Chú ý rằng trong trường hợp này M có M là đỉnh của nó.

Chúng ta gọi điểm M là một điểm lưới kép của AM.

Hình 1.2.1: Trái: Ví dụ của hai phần tử lưới kép tương ứng với một nút

trong (xanh dương) và một nút biên (xanh ngọc) của lưới ban đầu M; Phải: lưới ban đầu M (đường liền nét) và lưới kép của nó M* (đường nét đứt).

Tập hợp tất cả M định nghĩa một lưới kép M* sao cho 9= |J AM (chú ý

chúng ta chọn đỉnh M của lưới ban đầu V là điểm lưới kép của phần tử lưới

kép tương ứng M € ').

Lay Y* là một tập gồm các đỉnh của các phần tử của M* Với mỗi phần tử

đối ngẫu M € M*, tập Vĩ, chứa tất cả các đỉnh của M

Cuối cùng, chúng ta xây dựng lưới kép phụ M** dưới dang một lưới tamgiác phụ của lưới kép ⁄ như sau: Với một phan tử M € M*, chúng ta xây

dựng các phần tử M** bằng cách nối M với tất cả các đỉnh của M* (xemHình [1.2.2):

Q= UJ T.

TeM**

Lay Y** là tập hợp các đỉnh của các phần tử của M** Lay P € V** bất kỳ,

chúng ta định nghĩa tập Me = {T7 € M*, có chung đỉnh P} là tất cả các

phan tử có chung đỉnh P, số lượng phần tử của tập hợp Ms được ký hiệu

bởi card(M).

Kích thước của ba lưới M, M* và M* lần lượt được định nghĩa bởi size(M) =

max diam(ƒ€), size(M*) = max diam(Mf), h := size(M**) = max diam(7), với

ke MeM* TcM**

diam(#) là đường kính đường tròn ngoại tiếp của K Chú ý rằng, size(M),

size(M*) và size(M**) sẽ được giả sử đồng thời tiến về 0, khi chúng ta chứng

minh sự hội tụ của phương pháp số

Chú ý 1.2.1 Bang cách xây dựng, chúng ta có:

(a) Với moi phan tử tam giác T € M* (nghĩa là ØTn09 =O), có nhiều nhất

hai phan tử lưới K vi LEM sao cho Tñn K 40 uà Tn L FO

(b) V** bao gồm ba tập C, C* va V5 chứa các điểm lưới của các phan tử lưới

ban đầu, các điểm lưới của các phan tử lưới kép va các điểm tương ứng

nam trên biên:

VY =C U CtU VS, (1.2.1)

trong đóC = {K, VK € M}, C*:= {M, VM € AI} va Vet, = {P € V** NaN}.

Chú ú rằng chúng ta ký hiệu điểm lưới K va M lần lượt tương ứng tới

phần tủ lưới ban đầu K e M va phan tử lưới kép M € ME

(c) Ton tại một hằng số nguyên p, không phụ thuộc vao size(MU*), thỏa man

card(ME) < p vdi mọi P € Y**.

Với mỗi phần tử cơ sở £ € M và trung bình của tensor A được ký hiệu

bởi Ax = a Se A(z)dz Hon nữa, với T € M** bất ky, chúng ta định nghĩa

Ar = Ag trên TOK 4 0 Mục đích của chúng ta là giải quyết trường hợp

không đẳng hướng khong đồng nhất khi A không liên tục trên các phần tử cơ

sở, nghĩa là:

Ar #Ay, — với K,beM, Kz#L bất kỳ (1.2.2)

Phương pháp FECC giải một nghiệm xấp xỉ của bài toán bằng cách

tìm các giá trị của nó tại tất cả các nút P € Y** Do đó, chúng ta định nghĩa:

9

Hình 1.2.2: Trái: Ví dụ về các phần tử tam giác của lưới kép phụ M** được

tao từ các phần tử lưới kép được liên kết của lưới kép M*; Phải: lưới ban

đầu M (đường liền nét) và lưới kép phụ M** (đường nét đứt)

Hy, là tập tất cả các vecto up, := (up)pcy trong đó up được coi là giá trị xấp

xi của nghiệm u(P) với mọi P € V**:

Do Chú ý b), chúng ta có

Un = (Up) pep = (ux) Kec; (Mw)Mec-› (MP)Pevz; ) - (1.2.3)

Ngoài ra, để xử lý các điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, chúng ta cần phải

tạo ra một tập con H? của ?(„, như sau:

HY = {u, Hạ: up=0 VPCY}S}.

Để nhận được công thức biến phân rời rac liên quan đến bai toán (1.1.3),

chúng ta sẽ định nghĩa một toán tử chiếu ® và gradient rời rac VẠ trên H;, 6phần tiếp theo

1.2.2 Toán tử chiếu và gradient rời rac

Hai toán tử chiếu ® va gradient rời rac Vụ được định nghĩa trên mỗi phan

tử của M** Đặc biệt, toán tử chiếu ®(u„) là một ham trong L7(Q) va nó liêntục tuyến tinh từng phần trên mỗi phan tử T € M**; và gradient rời rac được

định nghĩa trên mỗi phần tử lưới kép phụ tam giác T € M* khi hệ số A không

liên tục (như trường hợp (1.2.2).

Chúng ta xét tam giác 7 = (MKL) ¢ M* khi K, L là hai điểm lưới của hai phan tử cơ sở K,L € M, và M là một điểm lưới của một phần tử lưới

10

M € M* (xem Hình 1.2.3) Ký hiệu o để chỉ cạnh chung của và L và Ở„ € ø

là điểm giao nhau giữa đoạn [KH] vac Với up, € Hy, bất kỳ, hạn chế của 6(u;)

trên 7 được ký hiệu bởi ®r(u„), là một hàm liên tục và tuyến tính trên mỗi

hai tam giác con (MKC,) và (MLC,).

Lay uM, một biến phụ sẽ được định nghĩa sau, là một xấp xỉ của up tại

C, xem từ M Ngoài ra, ký hiệu nic » MK] va NKC,] để chi các vectơ

M

h

h

Hình 1.2.3: Trái: Một phan tử của lưới kép phụ 7 = (MKL); Phải: Các vectơ

pháp tuyến ngoài của mỗi tam giác con

pháp tuyến ngoài của tam giác (MKC,) sao cho chiều dài của các vectơ nàylần lượt bằng với đoạn [MC], [MK] va [KŒ,] (xem Hình [1.2.3) Chúng ta

cũng ký hiệu meyxc,) là độ đo của tam giác (MKC,) Chúng ta chú ý rằng

Tương tự, hạn chế của uy, và VAu„ trên tam giác (MEŒ,) lần lượt là

(ii) Chúng ta chọn u‡f để thỏa mãn tính liên tục của thông lượng qua [MŒ,]:

AK (Vaun)(mKc.) k nic.) + At (Van) mic.) k nic.) = 0 (1.2.6)

với n’ la chuyển vi của vectơ n, khi đó sau khi thực hiện một số phép

toán trên Phương trình (1.2.6) chúng ta suy ra được

uM = Byum + Ögu + Brun, (1.2.8)

Chú ý 1.2.2 Với mỗi cạnh trong ơ = [MM] của lưới M, có hati giá trị

zap zỉ uẦT, uM của u tại Œ„ VoiuM, giá trị uM có thể được biểu diễn như

một sự kết hợp tuyến tính của ưu, uy va uy Cùng sự khác biệt giữa các

giá trị do của vecto pháp tuyến ngoài, diện tích của hai hành tam giác

(M,K,L) va (M,K,L), có hai giá trị khác của u tại Ơ„: uM # uM, Với

điều kiện biên Dirichlet thuần nhất, uM = 0 nếu C, € da

Thay (1.2.8) vào (1.2.4) và (1.2.5), chúng ta kết luận rằng gradient rờirac Vauy, bị hạn chế trên tam giác 7 = (MKL) e M* phụ thuộc tuyến

12

tính vào ba giá tri nút uy, Và uz:

ñ(MKC,) = nimc.| + BxNmMK), TMKƠ,) = ÔLP[MKI:

ñ(MKƠ,) = Nikc,) + BMTMMK}; 7 MLC.) = Ben);

ñ(MLC,) = Nic.) + Öt|Mi): Rimic.) = ®\rơ,| + Bummer) (1.2.11)

Từ các định nghĩa trong cấu trúc lưới kép phụ, không gian rời rac Hy, vàtoán tử chiếu ® và gradient rời rac, chúng ta giới thiệu họ rời rac D** =

1.2.3 Hệ tuyến tính của phương pháp FECC

Từ (1.1.3), với điều kiện Dirichlet thuần nhất, chúng ta xây dựng hệ đại

số tuyến tính được liên kết bằng cách chọn

với mỗi Pe (V**\ V3) = C*UC Chúng ta được

[ovauy Vu de [ 7 oof) ax, VP € (C*UC), (1.2.14)

Q Q

trong đó gradient rời rac chi phụ thuộc vào các giá trị nút ug, Q € V*

(xem công thức (1.2.9) và (1.2.10)).

Bây giờ, chúng ta tiến hành như trong trang 12-14], đầu tiên chon

up = uM với mỗi M € C* trong (1.2.14) và nhận được hệ tuyến tính:

Duy | + Bun|vi= F*, (1.2.15)

13

trong đó u„|w- := (Mw)MeAMr› Uni := (ux)Kem, F* = (fo f® (uf) da) peo là

một ma trận cột phụ thuộc vào f và ma trận vuông D là ma trận đường chéo

xác định dương, vì supp(VAz) € M Điều này ngụ ý

up[e = ĐT!(EE*~— Eun|): (1.2.16)

Kế tiếp, chúng ta lấy v, = vk với mỗi K € C:

Gun|A4x + Hulu = FP, (1.2.17)

trong đó H là một ma trận vuông đối xứng, F là một ma trận cột phụ thuộc

vào ƒ và Œ là ma trận chuyển vị của E.

Từ (1.2.15) và (1.2.17), chúng ta nhận được hệ phương trình sau được liên

chứng minh chi tiết trong [15].

Ngoài ra, thay (1.2.16) vào (1.2.17), chúng ta nhận được hệ tuyến tính khác

chỉ liên quan đến 0| := (uk) Kem như sau

(H —-GD"'E) w\u =F -GD'F" (1.2.19)

Ma tran A := H —GD~'!E là một biến đổi của ma tran độ cứng Với giả

sử (1.2.7), A là ma trận đối xứng xác định dương trên lưới tổng quát, kết quả

này được chứng minh chi tiết trong [Hỗ]

Hệ chỉ ra rằng phương pháp FECC là một phương pháp phần tử hữu

hạn trung tâm, vì hệ nay chỉ có các biến ux tương ứng với từng phan tử lưới

keM.

Chúng ta cũng nhắc lại Hệ qua 5.4 trong rằng phương pháp FECC hội

tụ, nghĩa là, ®(øu„) hội tụ về nghiệm chính xác wera của bài toán và

VAu„ tiến đến Viera khi h > 0

14

Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào nguyên lý cực đại rời rạc cho phương

pháp FECC Chúng ta giới thiệu các định nghĩa sau dựa trên Dinh lý

và Hệ quả [1.1.2]

Định nghĩa 1.2.3 Bai foán (1.1.3) thỏa man

(a) Nguyên lú cực đại rời rạc nếu

f <0 hau khắp nơi trong 9 => max uy < 0, (1.2.20)

(b) Bảo toàn không âm rời rac nếu

f>0 hau khắp nơi trong Q > uy > 0, (1.2.21)

khi uj, là nghiệm cua bài toán (1.1.3)

Tương tự như kết quả [Hj Định lý 3.2] và [83] Mệnh đề 1.4], các nguyên

tắc (a) và (b) từ Dinh nghĩa [1.2.3] tương đương, vì phương pháp FECC tuân theo ý tưởng về phương pháp phần tử hữu hạn tiêu chuẩn áp dụng trên lưới kép phụ M** (trong trường hợp tensor thấm đẳng hướng, hai phương pháp

này tương đương trên M**).

Định nghĩa 1.2.4 Gid sử ƒ >0 trên Q Nếu up, là một nghiệm cho phương

pháp thỏa mãn NECDRR, khi đó uy > 0.

Tuy nhiên, Mục chỉ ra rằng FECC vi phạm NLCDRR

Do đó trong mục sau, chúng ta trình bày kỹ thuật phi tuyến đơn điệu để

hiệu chỉnh FECC và thiết lập phương pháp MNFECC thỏa NLCDRR.

1.3 Phương pháp MNFECC

Với họ rời rac D* = (MI**,?(,,®,VA), chúng ta định nghĩa một toán tử

AP” : Hy, > Hy, với (1.2.14), sao cho

—APTM (uy) -vP = | (AVAu,)-VAoj da, VP e€(C*UC), (1.3.1)

2

15

khi AP’ (up) = (AB (un)) peyes

điều kiện biên Dirichlet thuần nhất.

thỏa mãn AB” (up) = 0 với mọi P € 35, với

Một sự hiệu chỉnh cho phương pháp FECC được định nghĩa bởi A?” là

một họ (0P.q) p.y- PeV(P) của các hàm đp : H, > R, trong đó tập V(P)

tương ứng với kết cấu của phương pháp FECC được định nghĩa như sau

(a) Nếu P €C là một điểm lưới ban đầu của P € M, khi đó

V(P) =Yp| } LJ iu Me M* có điểm lưới „)) _— (13.9)

McYp

(b) Nếu P € C* là một điểm lưới kép của P € M*, khi đó

V(P) =VpU {P}, (1.3.3)

chú ý rằng V7 C CU V35

Chú ý 1.3.1 Tờ cấu trúc lưới kép, lưới kép phụ va Chú ý|1.2.1| một tập V()

đối xứng theo nghĩa: uới P,Q € (CUC*), nếu P e V(Q) khi đó Q e V(P)

Với định nghĩa trên của V(P), với mọi P € (C UC*), chúng ta viết toán tử rời

rac tuyến tính A?” dưới dang sau:

Wun € HẠ, VP €(CUC*), Ap (,)= Sapa (ug-up) — (134)

QeV(P)

Bay giờ, chúng ta cung cấp một tham số 7 > 0 Với mọi u, € HY, với mọi

P€CUC” và mọi Q € V(P), chúng ta định nghĩa một hiệu chỉnh B như sau

Chú ý rằng nếu một trong 3` |uy—up|hoae YO ug — uọ| bằng không,

YeV(P) ZEV(Q)

; AB” (un)| 4B" (un) on ag

thì số hang tương ứng —-— 7) hoặc —C— sai trỏ thành (1.3.5)

YeV(P) ZeV(Q)

Sử dung hiệu chỉnh trên B, chúng ta định nghĩa phương pháp MNFECC như

sau: tim up, = (up)pey:‹ € H} sao cho

SẼ (uy) = 10 (o)dz, WPe(C*UC), (1.3.7)

SP” (uy) = QéV(P) (1.3.8)

0, PeV5o,

VỚI moi up € HY Và hàm nội suy P; (vf) dựa trên ham cơ sở Larange bậc 1

trên lưới M** là xác định dương vì vP > 0, điều này đảm bảo rằng nếu ƒ > 0thì khi đó về phải cũng dương.

Kế tiếp, để trình bay chi tiết hơn về toán tử AP, chúng ta cần giới thiệu và

nhắc lại các ký hiệu, các định nghĩa, các bổ đề sau trong [I5]: chúng ta xét một phần tử lưới tam giác 7 := (MKL) ¢ I**, xem Hình {1.3.1}

w Với mỗi cặp điểm (P,Q) € Vi, := {(P,@) | P,Q € Vị}, cạnh được liên

kết [PQ] có một trung điểm Ctpại.

» Các vectƠd TK, TML VATLK trực giao với các cạnh TCimxjl; [TC mz) và

[TC x1], và tương ứng bằng với độ dài của các cạnh này

17

e Các vectƠ nx, nạ, tụ, NE, Ny Và nụ 2 trực giao (với cùng độ dài) với

các cạnh [ML], [MK], [KL], [MƠp] (KŒg| và [LƠ,].

e Các giá tri dik, dKm va dim la ba khoang cách từ K đến ITC Kx 1)] (dix =

dz), tit M đến [TCIgmi] (dgw = du), từ L đến (TCipm)) (dtm =

duz)-Bên cạnh đó, các khoảng cách này được dùng để tính diện tích

MT = » dpo|Tpạl (1.3.9)

(P,Q)€V?

với Vz" = {(K,L), (K,M), (M,L)}.

e Chúng ta sử dung ký hiệu trên để định nghĩa chuẩn của không gian Hy,

như sau: cho mỗi uy, € Ha,

Mi = {T e M*TM* | A không liên tục trên T}

Theo Bổ đề 5.1 và 5.2 trong [15], với bat kỳ uy € Hy, 7 € (MKL) © MTM,

gradient rời rac (VA„)+ được viết dưới dang sau

(i) với Te Me

const?

MT (Vauna)r = (um — UK)TKM + (uz — UM)TML + (uK — UL)TLK, (1.3.11)

= (um — uK)Nem + (UL — UK INKL: (1.3.12)

= (ug — uM)'g + (ut — um }Tự, (1.3.13)

4n — TO — To S— a —

VỚI Ney = TKM — TML: Nxt = TML — TLK› NyK = TLK — TKM Và Nyy =

TLK-18

(ii) với Te M*TM \ (Mỹ U Min)

const

MT (VAtyr) = (um — UK) (TKM + €KM) + (uz — um) (TML + €ML) (1.3.14)

+ (ux — Uz) (TLK + €LK)

= (um — UK nk + (Un — UK) NL (1.3.15)

= (ux — uM) + (ur — uM) (1.3.16)

TLK — €LK› NyK = TLK +€LK —TKM —€KM and Nyy, = TML T€ML — TLK —

€LK-(iii) với 7 € M**, T có hai tập con 7x = TOK, 7T = TOL Trên mỗi tập con

TQ = T., hay Tg = Tạ, chúng ta có

MTg (VAth)¿ = (um — ux) Onur + (up — um) Đế, + (uy — up) 07% (1.3.18)

= (um — up + (un — uK)Ng, (1.3.19)

Mew trén Tr, MT, (Vaun)r, Ũ trên Tr,

+: To _ alo To To — glo To To _ glo To Và To _

vỚI Meu = 8xM — OME MeL = Out — 8LK tụy = Đụ — Ủy, Và ML =

Tọ TQ

Out — LK

Sử dung các công thức (1.2.14) va (1.3.1), chúng ta định nghĩa toán tử A?”

như sau: với mỗi M €C* và K €C,

19

s Trong (1.3.1), chọn P = M €C%, về trái được viết lại như sau

my [Aw (Vaun)rg] (Van) +

Và thay thé các công thức (1.3.12})-(1.3.20) vào (1.3.22), chúng ta nhận được

Air (un) = So AAr(un), -Atr(0n) = oem (ux — une) + fy (ty, — Um),

Chú ý rằng phương trình (1.3.7) không tuyến tính, khi đó chúng ta thực

()

h

là nghiệm của nó Chúng ta cố định uạ = ul) trong Bpg(un) trong (1.3.8) và

phương pháp lặp cho (1.3.7) có thể được viết như sau:

—ADTM (ut) + Beaty 1) (ul (i+1) - uf") - In (vf) da, (1.3.25)

QeV(P

hiện thuật toán lặp để giải nó Va với mỗi bước lặp (i), chúng ta ký hiệu u

với mọi P € CUC*.

Để xây dựng một hệ tuyến tính được liên kết với (1.3.25), chúng ta thực hiện

hai bước sau:

Bước 1: Lay uM € H°, với M C*, chúng ta viết lại (1.3.25) như sau

_AT” (a )+ » Suy (sh ”) (w (+1) — uf?) -[s Dị (uM) da,

card(-) của một tập hợp để chỉ số lượng phần tử có trong tập hợp đó Và ma

trận vuông S> Buy (22) Reard(C*) xcard(C*)

Yev(M) MeC*,MeC*

là ma trận xác định dương, vì chúng ta có (1.3.1), Chú ý|L.3.1| ma tran độ

cứng trong (1.2.18) xác định dương, và tất cả các hệ số By y > 0 Điều này

dẫn đến ma trận vuông D cũng là ma trận xác định dương.

Bước 2: Chúng ta thực hiện như trong Bước 1 bằng cách chọn ‡ˆ € #ƒ, với K €C,

khi đó (1.3.25) được viết lại bằng

21

—AR” (2) + » Bez (24) (uct? — uy?) = | fPi (vf) dz

Thay thế hệ phương trình nay vào (1.3.29), chúng ta nhận được hệ phương

trình tuyến tính sau có biến DI tương ứng phần tử lưới ban đầu M:

Chúng ta dừng thuật toán trên khi tiêu chí Ì

1.4 Tính chất toán học của MNFECC

Từ bây giờ chúng ta thực hiện tất cả các giả sử cho phương pháp FECCMục 5] Với các giả sử nay, chúng ta bắt đầu đánh giá nghiệm của phương

pháp theo chuẩn ||: Ìim , nó giúp cho phương pháp này có tính cưỡng bứcsau:

22

Mệnh đề 1.4.1 Phương pháp MNFECC có tính cưỡng bức, có nghia là tồn

tại một hằng số dương p, sao cho

Wun Hn, > Sp (un)up > mlluw|fps-: (1.4.1)

PE(C*UC)

Chứng minh Nhân (1.3.8) với up, sau đó lay tong 2 về với mọi P € (CUC*),

và sử dung tính chat (1.1.2) cùng với (1.3.1), chúng ta được

Pe(CUC*) Pe(CUC*)

+ So up 3` Bra (un) (up — ug) > Al|VAsl se: (1.4.2)

Pe(CUC*) QeV(P)

Do chúng ta có tính chất đối xứng của tập V(P) (xem Chú ý|1.3.1) nên

» up » ai Un) (up — ug) -» » Beg ( Un) (up — ug)” +

Pe(CUđ*) QeV(P Pe(CUC*) QeV(P)

Nhờ vào bất hin thức Hi (21) Éc thỏa |jupll?p < CallVatill? scary?)

chúng ta kết hợp phương trình trên với (1.4.2) để nhận được (1.4.1) với p =

À/Ga.

Tính chất cưỡng bức này cho phép chúng ta đánh giá một nghiệm của

phương pháp MNFECC bang kết quả sau:

Mệnh đề 1.4.2 Với up, là một nghiệm của (1.3.7), ton tại một hằng số dương

p2 chỉ phụ thuộc Q thỏa mãn

u„lli,p- < ø2l/llr2(o): (1.4.3)

Chứng minh Chúng ta nhân (1.3.7) với up, lấy tổng P € (C*UC), sử dung

AllVAwsllÖ»(op> Š So SP (un up = | fe) )P1 (up) da

Pe(C*UC)

< II/IrselLPi(wa)llrs¿ey < Crallll2cayllVauall gagay2- (1-4-4)

Do hai bat đẳng thức (1.4.4) và (21)], chúng ta được

(2/6) |luallap Š Àl[VAwnllgs(ep> S Caz||fllr2(o)- (1.4.5)

Do đó, chúng ta có thể chọn p2 = Cavs để có được

23

Ngoài ra, tính cưỡng bức cũng đảm bảo tồn tại một nghiệm cho phươngpháp MNFECC:

Mệnh đề 1.4.3 Bai toán (1.3.7) tồn tại một nghiệm up

Chứng minh Với bat kỳ up, € H2, đầu tiên chúng ta định nghĩa ánh xạ H nối

AP” và SP” bằng H(f,uy„) = —(1—t)A?TM (up) + tŠP”(u„) với Vt € [0,1] Rõ

ràng, chúng ta có

ak *

H(0,uạ) = A?” (up) và H(1, up) = SŠ””(uạ) (1.4.6)

Bên cạnh đó, chúng ta cần đánh giá nghiệm của phương trình sau

với Fy = ( [ ft) (sƑ) 3z)

2 Pe(C*UC)

Dựa trên tinh cưỡng bức của —.AP” và SP”, với mọi t e [0,1] và nghiệm

(1.4.7), chúng ta có tính cưỡng bức sau

A(t, un) “Un > (1 - HAV atallpeayy + tAll Vattallpoay)? 2 ØIl|tw |Ì,p :

trong đó nghiệm của cũng bị chặn bởi giá trị pel|f||z2(q) theo chuẩn

|| - lap Kết quả này cùng với chỉ ra một ánh xạ H là một hợp nối

phép đồng luân A?” và SP” Do đó, bậc topo của Brower H(0,-) = SP” thì

giống với bậc của H(1,-) = —.AP” khác không (do —.AP””(u„,) = Fp luôn cómột nghiệm duy nhất) Kết quả là, tồn tại một nghiệm cho phương pháp MNFECC (1.3.7).

Mệnh đề 1.4.4 Với tham số n > 1, phương pháp MNFECC thỏa mãn

NL-CDRR (xem Định nghĩa , điều nay có nghĩa: giả sử ƒ > 0 trên Q, khi

đó nghiệm uy = (u Của (1.3.7) thỏa mãn min up > 0.

Chứng minh Với nghiệm uy = (up)pey- € HY của (1.3.7), chúng ta đặt

up, = min up.

° Peys

24

Xét giả sử đầu tiên: Py € (C*UC) là một điểm lưới của một phần tử lưới

Đụ € (ME UM) sao cho ØPụnôO = Ú Tại điểm Po, chú ý rằng V(Po) C (C* UC),

YeV (Po) QeV(P.) ° Q

|AP, (un)! |AP (un)

+n - (up, — uy)v32 3} (luạT— up|) 3) (luạ— wy])

~~ (lup, — ual) 3) (lug — upy!) 3) (ue - uy)

QEV (Po) QEV(Po) QeV(Y)

Thay thé (1.4.8) vào về trái của (1.3.7), chúng ta được

» Op, y (up, — uy) = | fø )Pi (vp)

YeV(P\)

Rõ ràng, SP (up) nhỏ hơn 0 Điều này mâu thuẫn với fi, ƒ()Pi (vf) dx > 0,

khi đó giả sử đầu tiên là không thể.

Do đó, phần tử lưới Po phải thỏa mãn OP) 109 # O, khi đó SẼ” (up) được

biểu diễn bằng

SP, (un) =Ap, (unlu)+ So Bpuy(up—uy)+ À” — Bp,zup,

Y¥ €V(Po)\V3i, ZEV (Po) Wa3,

~~ (lup, — ual) 3) (lug — up,|) 3} (lua— uy)

QeV (Po) QEV (Po) QeV(P)

4 AB, (unla)sgn(up,) | nlAB, (unlar)| 50

Pạ,Z =

>) (lug — up,Ì) » (lug -= up,Ì)

QEV (Po) QEV (Po)

25

Rõ ràng, chúng ta biết

» Op, y (UP, — uy) <0, va Sp, (up) = i ƒh (0) dz> 0,

QD

YeV(Po)\Yš

do đó giá trị up, phải lớn hơn 0.

Sau đây, chúng ta sẽ chỉ ra sự hội tụ của phương pháp MNFECC:

Với ham bất kỳ ¿ € Œ#(9), om ta dat yn = (YP) pep € HY, với yp = ý(P)

Chúng ta nhân phương trình (1.3.7) tại P cho yp và tinh tổng trên P € (C* UC)

chúng ta được

¬>» AD” (up) ypt » YP » cai Un) (up — ug) (1.4.9)

Pe(C*UC) Pe(C*UC) QeV(P

= [te r)P (yn) de.

Rõ ràng, về phải hội tụ về Jol #)¿dz, khi h — 0 Ngoài ra, do sự hội tu của

phương pháp FECC, FECCB được biểu thị trong [I5| Mệnh đề 5.3 và Hệ quả

5.4], các kết quả này cùng với (1.3.1) đảm bảo rằng

¬» AD “(us)er = | AV aun: Vardar [Ae Vụdz, (1.4.10)

Pe(C*UC) lở

khi h > 0, với u là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1.3).

Với số hạng đã được hiệu chỉnh, chúng ta sử dụng tính chất đối xứng và xác

định dương (Bp.g(un) = Bg p(un), Bpq(un) > 0) để tính

S” gp ` Brag (ua) (up-ue)= À` ` Bpo(u,)upep+

Pe(C*UC) QeV (P) Pe(C*UC) QE(V (P)NV3S)

+ » Bpa (un) (up — ug) (yp — 9q)

Do đó, với bất kỳ ¿ € Œƒ(©), khi h > 0, phương trình (1.4.9) hội tụ về

[avevear= [ fear

Q Q

với u là nghiệm duy nhất của (1.1.3).

Bổ đề 1.4.5 Với up, là một nghiệm của phương pháp MNFECC (1.3.7), va

uới bat kỳ ¿ € C£°(Q) đặt vn = (@P)pcy € HY uới yp = ¿(P), chúng ta có

» » Bp.g(un)|ug — up| |ép — #q| — 0, (1.4.11)

Pe(đ*Uđ) QeV(P)

khi h — 0, cho bất kỳ P € (C*UC) là một điểm lưới của P e (M*UM) Chú

ú rằng nếu Q € (V(P)nYjš) khi đó ug = vq =0, do up, € HY

Chứng minh Với định nghĩa (1.3.5) và (1.3.6), chúng ta có một hằng số dương

p3, chỉ phụ thuộc vào 7, sao cho

So diam(K)AR (un)| = | diam) ` [van Vaekas (1.4.13)

Kec Kec TEM

27

Xét P= M €C* của một phan tử đối ngẫu M € M*, chúng ta xử lý các tính

toán ở trên để có được

IV aon ley? <ps VM cC”, ( » san < po.

Dựa vào (1.4.12), (1.4.16) va (1.4.17), (1.4.11) được chứng minh thỏa man

1.5 Kết quả số

Trong mục này, chúng ta thực hiện hai bài kiểm tra số nhằm xác minh kết quả số để có được sự hội tụ và NLCDRR của phương pháp MNFECC Dé

trình bày công việc này, chúng ta cần giới thiệu các ký hiệu sau:

Thuật toán dừng ở bước lặp thứ nit, trong khi nghiệm số uy, =

(up)pcy bằng ul), Bên cạnh đó, hai ký hiệu umin và umax được định nghĩa

là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của nghiệm xấp xi up

Sai số tương đối trên lưới kép phụ M* trong L? của phương pháp MNFECCđược ký hiệu là erl2x¿ , được tính bằng

với nghiệm giải tích wu.

Tóc độ hội tụ của nó được biểu thị cho mỗi số lưới i > 2, như sau:

log (e2 ax /eri2G 0 )

Jog, (man /ouleg?)

trong đó nux¿-: là số biến trong hệ tuyến tinh (1.3.30) Ngoài ra, nuyy là sốbiến trong hệ tuyến tính (1.3.32)

Trong hai bài kiểm tra sau, miền Q được phân vùng bởi lưới đều hình chữ

ratlol2 A4: = —2

nhật.

29

1.5.1 Bài toán có nghiệm giải tích

Chúng ta bắt đầu bằng việc xét bài toán sau (xem [34i Mục 5.1]) để đánh

giá sự hội tụ của phương pháp FECC và MNFECC:

—div (AVu) = ƒ, trong 2 = (0,0.5) x (0,0.5),

u(z, y) = sin(rz) sin(zy), V(a,y) € 9.

Chúng ta thấy rang hệ số không dang hướng a của A là 108 Ngoài ra, hàm

nguồn f được tính từ nghiệm chính xác u và phương trình đầu tiên của (1.5.1)

dương.

Bảng trình bày kết quả số của phương pháp FECC và MNFECC (với

n = 0.5,1,1.25) Chúng ta thấy rằng: (i) Các phương pháp này thỏa mãn

NLCDRR; (ii) Với phương pháp FECC, tốc độ hội tu của nó gần bằng 2 va

với phương pháp MNFECC, tốc độ của nó gần bằng 1 (kết quả này tương

tự như kết quả của các phương pháp hiệu chỉnh phi tuyến [34]); (iii) phươngpháp PECC và MNFECC chính xác hơn các phương pháp gốc và các phương

pháp đã hiệu chỉnh được đề xuất bởi [34] trong cùng một bài kiểm tra và

cùng kích thước của lưới ban đầu (xem [34| Bảng 3]); (iv) Với phương phápMNFECC, nếu hệ số 7 nhỏ hơn, kết quả số được liên kết sẽ chính xác hơn

1.5.2 Bài toán không có nghiệm giải tích

Để đánh giá việc thỏa nguyên lý cực đại rời rạc, bài kiểm tra thứ hai (xem

(34) Mục 5.2]) được đề xuất như sau

—div (AVu) = ƒ, trong 9= (0,0,5) x (0,0.5), (1.5.3)

u(x, y) = 0, trên 09,

30

ratiol2 A1»: 2.29 2.04 1.98

umin 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000

Phương pháp MNFECC với 7 = 0.5

erl2 y= 6.697e-02 | 3.265e-02 | 1.615e-02 | 8.200e-03

ratiol2 A1»: 1.137 1.063 1.000

umin 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000

nit 7 6 5 4

Phương pháp MNFECC với 7 = 1

erl2 aye 1.191e-01 | 6.323e-02 | 3.149e-02 | 1.604e-02

ratiol2 ay 1.003 1.053 0.996

umin 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000

nit 8 8 7 6

Phương pháp MNFECC với 7 = 1.25

erl2 jy 1.424e-01 | 7.813e-02 | 3.904e-02 | 1.985e-02

ratiol2 x4» 0.950 1.048 0.998

umin 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 nit 8 12 8 6

3l

trong đó tensor A tương tự như (1.5.2), và hàm nguồn được định nghĩa bởi

10 V(z,y) € (0.25,0.5) x (0.25, 0.5),

f(x,y) =

0 ngược lại.

Tuy nhiên, nghiệm của (3.5.2) không được xác định.

Với Bài kiểm tra|1.5.2| các kết quả số được trình bày trong Bảng chỉ ra

Phương pháp MNFECC với 7 = 1.25

umin 0.000000 | 0.000000 | 0.000000 | 0.000000

nit 13 16 25 68

rằng phương pháp FECC va MNFECC (với 7 = 0.5, 1) vi phạm NLCDRR

Và phương pháp MNFECC véi 7 = 1.25 thỏa mãn nguyên lý này, tuy nhiên

số bước lặp của nó lớn hơn nhiều so với các phương pháp khác

32

1.6 Kết luận

Trong chương 1, chúng ta sử dụng kỹ thuật phi tuyến đơn điệu để hiệu

chỉnh phương pháp FECC, mục đích tìm nghiệm xấp xỉ bài toán khuếch tán

không dang hướng và không đồng nhất trên lưới tổng quát, và nghiệm xấp xi

này thỏa nguyên lý cực đại rời rạc Phương pháp số này được gọi là phươngpháp phần tử hữu hạn trung tâm phi tuyến đơn điệu (MNFECC), cũng là

một phương pháp phần tử hữu hạn trung tâm được hiểu theo nghĩa nghiệm

xấp xỉ được tính toán tại biến trung tâm tương ứng từng phần tử lưới banđầu Thêm nữa, tính cưỡng bức và hội tụ của phương pháp MNFECC cũng

đã được chứng minh chi tiết trong chương này Và các kết quả số cũng chi rarằng phương pháp MNFECC là hiệu quả, hội tụ, và thỏa nguyên lý cực đại

TỜI rac.

33

CHƯƠNG 2

Phương pháp phần tử trung tâm lưới lệch cho bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén

được và gần không nén được trên lưới tổng

quát trong hai chiều

2.1 Giới thiệu

Phần lớn các vấn đề vật lý quan trọng liên quan đến việc phân tích sự

biến dạng tại trạng thái nén hoặc gần như không nén của vật rắn đàn hồi

tuyến tính Trong đó, nổi tiếng nhất là phương pháp phần tử hữu hạn bậc

thấp, cho kết quả tốt trong bài toán đàn hồi tuyến tính tại trạng thái nén(35) 36] Tuy nhiên, trong trường hợp đàn hồi tại trạng thái gần như không

nén, khi tham số Lamé A tiến tới vô cùng, nó không còn chính xác Đây chính

là “hiệu ứng khóa', tức là nghiệm xấp xỉ không hội tụ đều Các phương phápkhác đã được đề xuất nhằm khắc phục vấn đề này, như phương pháp phần

tử hữu hạn loại h |Bïi [38], phương pháp B-bar [85], sử dụng công thức hỗn

hợp [39| 40) 41], tăng sức căng (EAS) [42 43] [44], biến đổi tích phân ổn định

[d5] 46] và các phần tử ứng suất hỗn hợp của 2 miền [47], tiếp cận hàm dòng

[48] và mô phỏng phương pháp sai phân hữu hạn [49] Ngoài ra, có một vài

bài báo khảo sát công thức trung bình áp suất tại các nút (trong đó trường

áp suất là hằng số trên một tập các tam giác hoặc tứ diện 50) ñT| (52) 53].Trong số các phương pháp trên, chỉ có một số ít là dựa trên sự chính xác

của toán giải tích, chang hạn, 55] Trong [52], tác giả sử dụng một

hàm áp suất không liên tục trên lưới kép và hàm bubble trên lưới ban đầu

34