BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KY THUAT THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH
CƠNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CÁP TRƯỜNG
Trang 2
_ BO GIAO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THANH PHO HO CHI MINH
BAO CAO TONG KET
DE TAI KH&CN CAP TRUONG
Trang 3TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THANH PHO HO CHi MINH CONG HOA XA HOI CHU NGHIA VIET NAM Độc lập - Tự do - Hanh phúc
Khoa CKM
Tp HCM, ngay 28 thang 11 năm2013
THONG TIN KET QUA NGHIEN CUU
1 Thông tin chung:
- Tên đề tài:
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐĂNG HÌNH HỌC
GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HÒI HAI CHIÈU
- Mã số: T2013-113
- Chủ nhiệm: Đỗ Văn Hiến
- Cơ quan chủ trì: Dai học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh - Thời gian thực hiện: 25-03-2013 đến ngày 30-11-2013
2 Mục tiêu:
° Nghiên cứu phương pháp đảng hình học
e Ap dụng phương pháp IA cho bài toán Cook và bài toán dầm cong 1 Tinh mới và sáng tạo:
e Ap dung phuong pháp đắng hình học trong tính toán phân tích bài toán kỹ thuật 2 Kết quả nghiên cứu:
= Tìmhiểu phương pháp IA
So sánh giữa kết quả của lời giải bằng phương pháp IA và lời giải giải tích để đánh giá kết quả nghiên cứu
" Một số bài toán nghiên cứu: - Bai toan Cook
- Bai toan dam cong
3 San pham:
Đĩa CD chương trình tính toán cho 2 bài toán - Bài toán Cook
- Bai toan dam cong
6 Hiệu quả, phương thức chuyền giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: @ Ung dụng kết quả nghiên cứu trong việc giảng dạy môn phương pháp số nâng cao
e - Viết chương trình tích hợp vào các phần mềm FEM đã tồn tại
Trưởng Đơn vị - Chủ nhiệm đề tài
Trang 4MUC LUC
Chuong 01: TONG QUAN 1.1 Lý do chọn đề tài
1.2 Tinh hình nghiên cứu trong và ngoài nước
1.3 Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài
1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Ý nghĩa thực tiễn của dé tai
Chương 02: PHƯƠNG PHÁP ĐĂNG HÌNH HỌC 2.1 Giới thiệu 2.2 B-Spline 2.3 2.4 2.5 2.2.1 Vécto nut (Knot vecto) 2.2.2 Hàm cơ sở
2.2.3 Điểm điều khiển
2.2.4 Xây dựng đường cong B-Spline
NURBS
2.3.1 Điểm điều khiển
2.3.2 Ham co so
2.3.3 Xay dựng đường cong Nurbs 2.3.4 Xây dựng mặt cong Nurbs Patch và Elements Các phương pháp làm mịn 2.5.1 Làm mịn bằng cách tăng điểm nút Zieh Làm mịn bằng cách tăng bậc Chương 03: VÍ DỤ SÓ 3.1 3.2 Giới thiệu
Các bài toán hai chiều
Trang 6Chwong 01:
MO DAU
3.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu
- _ Tình hình nghiên cứu trên thế giới
CAE (Computer Aided Engineering) va CAD (Computer Aided Design) được xây dựng và phát triển độc lập nhau, do vậy chúng không thật sự tương thích nhau trong việc
mô tả hình học Điêu này dẫn đến một số lượng lớn công việc trùng lắp, đầu tiên mô hình CAD, sau đó lại mô hình lại trong FEM (Finite Element Method) Phương pháp đẳng
hinh hoc (1A — IsoGeomettric Anajy/sis) ra đời trong việc kết nối gitta CAD va FEM, cho
phép mô hình CAD duoc str dung trong mô hình FEM
IA được giới thiệu lần đầu tiên bởi Giáo sư Hughes [7] Mô hình IA này xây dựng
cho phép phân tích dùng chung cơ sở với mô hình hóa hình học Điều này trái ngược với
phương pháp phân tử hữu hạn truyền thống NURBS Q_ được sử dụng trong các phần mềm CAD cho phép mô hình hóa hình học một cách chính xác và những hàm này được sử dụng là hàm cơ sở trong phân tích tính toán
JA được nghiên cứu rộng rãi và ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau: phân tích
cấu trúc [7], nhiệt [7], tương tác rắn — lỏng[7],
Gần đây phương pháp T — Splines được phát triển làm mịn ở phạm vi địa phương
và ít điểm điều khiển hơn IA được phát triển mở rộng hơn để kết nối với FEM và Bezier
Etraction được đề xuất [14],
- - Tỉnh hình nghiên cứu trong nước
Trong nước nhóm nghiên cứu do PGS TS Nguyễn Xuân Hùng tại Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh đã nghiên cứu IA và có rất
nhiều bài báo xuất bản[ 15,16, 17]
3.2 Nhiệm vụ và giới hạn cúa đề tài
Nhiệm vụ
- _ Nghiên cứu phương pháp đăng hình học
Trang 7- Viét code Giới hạn
- Ap dụng cho một số bài toán đàn hồi 2 chiều tuyến tính: + Bai toan Cook
+ Bài toán dầm cong 3.3 Phuong phap nghién cứu:
- Phuong phap nghién ctru tng dung
- _ Phương pháp nghiên cứu thu thập tài liệu
3.4 Ý nghĩa thực tiễn của đề tài
Trang 8Chwong 02:
PHUONG PHAP DANG HINH HOC
21 Gidi thiéu
Thiết kế kỹ thuật ngày càng phức tạp (Hình 2.1) Nhà thiết kế có nhiệm vụ tạo ra các
tập tin CAD (Computer Aid Design) có định dạng thích hợp Tất cả các tập tin này là
tham số đầu vào cho các chương trình phân tích FEA Nhiệm vụ này tốn khá nhiều chi
phí khoản 80% thời gian của quá trình phân tích theo nghiên cứu của Michael Hardwick và Robert Clay phòng Sandia National Laboratories [7](Hình 2.2) Chúng ta cũng cần chú ý rằng phân tích phần tử hữu hạn cũng chỉ là phân tích hình học xắp xĩ, kết quả sẽ tạo ra sai số nếu số lượng phân tử chưa đủ xấp xĩ hình học chính xác (Hình 2.3) 1.000.000 PARTS SSN 18,750 TONS BOEING 777 LAND VEHICLE FIGHTER T pte, AIRCRAF “ 950.000 PARTS | Le TẾ a = 6.900 TONS à” ’ SA, ss ` `? MISSILE 103,000 PARTS xƒ' 44 254 TONS 14.000 PARTS 65 TONS we DD 30.000 PARTS 0 PARTS AUTOMOBILES 2 Pree 10 TONS \ a et =) INCREASING COMPLEXITY 4.000 PARTS 1.5 TONS \ Lt te — a 20 30 40 50 60 70 80 MANUFACTURING TIME
Hình 2.1: Thiết kế kỹ thuật ngay càng phúc tạp
Đó là lý do cho chúng ta đã đến lúc thay đổi kỹ thuật thiết kế và phân tích Các
nghiên cứu ban đầu đã chứng minh sự thành công của phương pháp đắng hình học ~ Hình
Trang 9Design Solid Model
Creation and/or Edit
4%
Analysis Solid Model
Creation and/or Edit Geometry Mesh Manipulation 6% Assemble Simulation Model —> Run Simulation Assign Model Parameters 6% Post-process Results 5% Archive Artifacts 1% TA VTP Hình 22 Uớc lượng thời gian trong phân tích và tạo mô hình bằng FEM —> (a) Finite element analysis 2.2 2.1.1 Vecto B-Splines[7,8] Knot
(a) Isogeometric analysis
Hinh 2.3 Mô hình biên phân tích FEM và IA
Vectơ nút (Knot) được viết dưới dang:
D6 dai cua vécto nut: n+ p+]
Trang 10Voi m=n+p+]: số nút véctơ (Chiều dài của véctơ nút)
n=(m-p-]): số điểm điều khiển
p: bậc của đường cong
Vectơ nút có thể tuần hồn (unjorm), hoặc khơng tuần hoàn (non-uniform)
Vi du:
[0 0,25 0,4 0,75 1] > véctơ nút không tuần hoàn
J0 0 0 ] 1 1) > vécto nut khéng tuan hoan, mở [0 0,5 ] 1,5 _ 2] véctơ nút tuần hoàn
[2 -I 0 | 2] > vécto nit tuan hoan
Vectơ nút gọi là “mở” (open) khi giá trị đầu và giá trị cuối lặp nhau (p+7) lần Vectơ
Trang 111 Ảo % 2 3 4 5 & Ir N50 % I 2 3 4 $3 § lr N 3,0 % 2 3 4 5 šŠ - Với p=], 2, Š—, :, = N,, (2) " BN A (2) 7 Nis pt (2) Gp ~ Gi lượn ~ Sat ‘| N | 1,1 Nia % I 2 3 4 5 Š 9 0 I 2 3 4 5 § [ N 2,1 Ir fe % 1 2 3 4 5 — 0 2 3 4 5 & i N Í % 2 3 4 5 & % 2 3 4 3 Ê
Điều này có nghĩa là hàm cơ sở ở dạng tham số trái với dạng tham sô trong
phương pháp phân tử hữu hạn (dùng đa thức Lagarange lam hàm nội suy )
ye
Các hàm cơ sở B-spline có các tính chat sau:
- - Tính chất bao lồi: đường cong nằm trong đa giác điểm điều khiển
Trang 122.N„(@ =1 i=]
- Giống như hàm dạng của FEM, các hàm dạng B-spline độc lập tuyến tính
»4,N,,(€) =0 <> a, =0,1,2, n
i=]
- Không giống ham dang FEM, cac ham dạng B-spline luôn dương N,,() 20
- Khéng gidng ham dang FEM, ham dang cta B-Spline cé (p-) dao ham lién
tục nếu véctơ nút không tuần hoàn Đối với véctơ nút khơng tn hồn, hàm cơ sở của bậc p có C”” qua các nút é, Trong đó ø, là số nút bội của giá trị nút E
Đạo hàm của hàm cơ sở cần thiết cho việc xây dựng ma trận đạo hàm của hàm
dạng B trong việc xây dựng ma trận độ cứng k Đạo hàm của hàm dạng thứ ¡ của hàm cơ
sở bậc p xây dựng dựa trên véctơ nút [I] được xác định như sau:
Mu )= h
Vi du: Ham co sở bậc 2 (p=2) và đạo hàm của hàm cơ sở bậc 2 được xây dựng từ
Trang 13<< Sonne <— P 0 L 4 i 0,0.0,0.0 l 2,2 S53 4.4.4.4 595,55
Figure 2.6 Quartic ( p=4) basis functions for an open, non-uniform knot vector = = {0 0.0.0.0 1,2, 2, 3.3.3.4, 4 4 4,5, 5,5, 5,5} The continuity across an interior element boundary
is a direct result of the polynomial order and the multiplicity of the corresponding knot value
2.1.3 Diém diéu khién[7,8]
Để có thể sử dụng hàm cơ sở trong việc xây dựng đường cong Bspline, chúng ta cần
thêm w điểm điều khiển Điểm điều khiển được biểu diễn dưới dạng PER? Vol a=0,1,2, , n,„; #¿; là sô điêm điêu khiên phải băng số hàm cơ sở Ví dụ: Pi] fl 10 P,|_ |2 1 0 IPI=Ipl=l5 2 g P,| {110
2.1.4 Xây dựng đường cong B-Splines[7,S]
Đường cong B-Splines được xây dựng bằng cách kết hợp tuyến tính giữa hàm cơ sở
và điểm điêu khiến
Trang 15r : 4 Ị 7 WT ` $ T T —— elements : Sean r P, —O— controlpoints —-— controlpoints 1 @ knots k e knots orn (a) p= 2 = = {0.0,0.1,2,3.4,5,5,5} (b) p= 2, == {0,0,0,1,2,3,4,4.5,5,5} Đạo hàm đường cong B-Spline có dạng C= NOP B-spline surface Figure 2.7: B-spline surface for the control net B;; given in Table 2.1 and knot vectors = om {0 0 0,0,5, Ì; 1, 1} and H = {0, 0, Q, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1, 1} of degree 2 2.3 Nurbs[7,8]
2.1.1 Điểm điều khiển
Điểm điều khiển sử dụng cho NURBS, ngoài tọa độ các điểm sử dụng cho đường
Trang 16dt, = |X, yy, 2 w,i Toa độ điểm điều khiển của B-spline thay đổi và trở thành tọa độ đồng nhất lệ — [w, X; Wy, WZ; w; | Tọa độ điểm điều khiển NURBS Pp” —=[x, y, z, I M, i P= Va ham trong số được xác định như sau
W(E) = DIN, (E)w, t=] 2.1.2 Ham co sé Hàm cơ sở NURBS được định nghĩa như sau: N.,(M, — N, (60M, RG) =e = Nah 2 Nin (Sm Các tính chất của hàm cơ sở NURBS: - Chuẩn hóa >_N, ,() =1 i=]
- Ham co sé NURBS ké thira từ hàm cơ sở của B-Spline, do vậy cũng có các
tính chất như: liên tục qua các nút, hỗ trợ trong miền và luôn dương
- _ Hàm cơ sở NURBS có dạng hàm hữu tỉ, không phải là đa thức
- Nếu trọng số tại các điểm đều băng nhau, thì hàm cơ sở là đa thức Do vậy B-
Spline là một trường hợp đặc biệt của NURBS 2.1.3 Xây dựng đường cong Nurbs
Cách xây dựng đường cong NURBS cũng tương tự như cách xây dựng đường cong B-Spline Tuy nhiên, hàm cơ sở NURBS được sử dụng
C(S) = DR, (E)P
i=]
2.1.4 Xây dựng mặt cong NURBS và khối NURBS
- - Mặt cong NURBS (trong không gian 2 chiều)
Trang 17C(E,n) = » "(E,n)P., i=] j=l Với hàm cơ sở N (€)M - RPA (En) = — Nips) jg MW > N;, (2M, (?)M; ; ¿=l /=Ì
- Khoi NURBS(trong khéng gian 3 ehiey)
Trang 180.8 B-spline curve NURBS curve "— += Projective control polygon — — — Control polygon ® Control points
(b) NURBS and B-spline in the xy-plane
2.4 Patch va Element (phan ti) [7,8]
- _ Số phân tử là số khoảng nút Ví dụ: Véctơ nút [0 000,511 1]>c62 phần tử
- Trong hau hết các trường hợp thực tế, cần thiết phải mô tả miền thành nhiều patch Ví dụ, nếu khác nhau về vật liệu hay mô hình vật lý khác nhau trong miễn, hay gặp
Trang 222.4.4 So sanh su khac nhau gitta FEM va IA So sanh giữa LA và FEM{7] Phuong phap dang hinh hoc Phương pháp phần tử hữu hạn
Điêm điêu khiển Điêm nút
Biên là điểm điêu khiển
(giá trị chuyên vị điểm điều khién) Biên là nút phân tử (giá trị chuyên vị nút) Knots Lưới Hình học chính xác Hình học xâp xỉ Hàm cơ sở NURBS Hàm cơ sở Lagarange
Hàm cơ sở không nội suy điểm điều khiên Hàm cơ sở nội suy ở nút
Trang 23Chirong 03:
VIDU SO
31 Giới thiêu
Trong chương 2 tác giả đã trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp đẳng hình học
cũng như sự khác nhau giữ phương pháp đăng hình học và phương pháp phần tử hữu hạn
Trong chương này tác giả ứng dụng phương pháp đăng hình học giải một số bài tốn đàn
hơi 2 chiều Các bài toán bao gồm:
- Bai toan Cook — Cook’s Problem [9] - Bài toán dầm cong — Circular beam [9,10]
Các bài toán này được khảo sát trong miền đàn hồi chịu biến dạng phẳng Ngôn ngữ
lập trình MATLAB[5] được sử dụng để viết chương trình khảo sát các bài toán này
So sánh và đánh giá kết quả với với lời giải giải tích
3.2 Các bài toán 2 chiều
3.2.1 Bai toan Cook
Mô hình bài tốn[14] có các thơng số như sau:
- _ Mô đun đàn hồi vật liệu £ =1 MPa - Tải phân bố đều ạ=1/16
- Hésé6 Poison v =1/3
Trang 25NURBS contrd mesh - Elements mesh NURBS control mesh - Elements mesh s 0 a ~ | aa | + _ + + 40 HH“ Ƒ be xố _ +} “ | | # ™~ 304 im fF | a 20 AT th ⁄ | | (J Elements mesh 10! L_—— ]Elements mesh 10! so =vEÊ= ÑÍPE YWesh ye Nurbs mesh “i 0 1 1 1 0 | L 1 1 0 10 20 30 40 0 10 20 30 40 x x
Hình 3.2 : Mơ hình lưới bài tốn
Kết quả biến dạng lưới điều khiển
Trang 26Wi | ~ 30] UF oe I L⁄ mS 4 lvl A 7y 20 20 | Ae as từ F ⁄ L——]Elements mesh
10' L—]Elements mesh đô ự — & — Nurbs mesh
— & — Nurbs mesh ⁄
Wa
0 Ht L 1 1 L 0 H 1 ï 8 ;
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
x x
Hình 3.2 : Mô hình lưới bài toán So sánh chuyển vị giữa FEM và IA tại điểm C Bảng 3.1: Chuyên vị theo phương đứng tại điêm C của bài toán Cook — Lời giải giải tích =23,966
FEM — Q4 [14] IGA p=] IGA p=2
DOF Mesh Vo Mesh Ve Mesh Ve 50 4x4 18,299 4x4 18,2992 3x3 162 8x8 22,079 8x8 22,0792 7x7 578 16x16 23,430 16x16 23,4304 15x15 2178 32x32 23,818 32x32 23,8176 31x31 8450 64x64 23,925 64x64 63x63
3.2.2 Bài tốn dầm cong
Mơ hình bài tốn[14] có các thơng số như sau: - _ Mô đun đàn hồi vật liệu EZ = 10000 Ä⁄Pa
- Chuyển vị ban đầu = 0,01
- Hés6 Poison v =0,25
Trang 27— N E = 10 000 v= 0.25 t= 1.0 LAAN VZV VT ~ < ~ .“ u = 0.01
Hình 4.1 : Mơ hình bài tốn
Mô hình lưới Nurbs và lưới phân tử
Trang 2833 Kết luận
- Ung dung ly thuyết chương 2, xây dựng chương trình phương pháp đắng hình
học để giải hai bài toán ví dụ
- Kết quả của hai bài toán so với kết quả tham khảo có saI số tương đối tốt
- _ Trong bài toán số 2, phương pháp đẳng hình học cho kết quả tốt hơn FEM với
số bậc tự do nhỏ
Trang 29Chuong 04:
KET LUAN VA KIEN NGHI
41 Kếtluân
- Dé tai đã hoàn thành mục tiêu đề ra:
+ Nghiên cứu lý thuyết phương pháp đẳng hình học + Xây dựng thuật toán
+ Viết chương trình giải một số bài toán và so sánh kết quả
- Phuong phap đắng hình học là phương pháp chính xác hình học Do vậy, sẽ
cho kết quả tốt hơn với các biên cong
- _ Chỉ phí tính toán cũng thấp hơn nhiều so với FEM (Bậc tự do nhỏ hơn nhưng cho kết quả chính xác hơn)
42 Kiến nghị
- Nghiên cứu IA áp dụng cho các bài toán khác: phân tích giới han (limits load analysis), bai toan Composite, |
- Nghién ciru T-Spline, Bezier Extraction cho bai toan JA
-_ Kết nỗi giữa CAD và IA
-_ Kếtnối FEM và IGA
Trang 30TAI LIEU THAM KHAO
TIENG VIET
[1] PGS.TS Dé Kién Quéc, Dan héi Ung dung, NXB DHQG Tp.HCM, 2004
[2] GS.TS Nguyễn Văn Phái, Tính oán độ bền mỏi, NXB Khoa học & Kỹ Thuật,
2004
[3] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Dire Dai, Phuong phdp Phan tử Hữu hạn trong Tính tóan Kết Cấu, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2008
[4] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Th.S Lê Thanh Phong, Th.S Mai Đức Đãi, Ứng dựng Phương pháp Phân tử Hữu hạn trong Kỹ thuật, NXB ĐHQG Tp.HCM, 2007
[5] PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn, Phương Pháp Phân Tử Hữu Hạn với Marlab, NXB
ĐHQG Tp.HCM, 2001 |
[6] GS.TS Nguyén Van Phai, Nguyén Van Khiém, Phương pháp phần tử hữu hạn
thuc hanh trong co hoc , NXB Giáo dục, 2000 TIENG NUOC NGOAI
[7] J.A Cottrell, T.J.R Hughes, and Y Bazilevs Isogeometric analysis toward
integration of CAD and FEA Wiley, 2009
[8] Piegl, L and W Tiller (1997) The NURBS Book (2 ed.) Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
(9] Timoshenko, S P and J N Goodier (1970) Theory of Elasticity (3 ed.)
McGraw-Hill, New York
[10] Zienkiewicz, O C., R L Taylor, and J Z Zhu (2005) The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford
[11] Basis and Fundamentals (6 ed.) Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford
[12] Per Stale Larsen A comparison between the finite element method (FEM) and the isogeometric analysis (IA) Master Thesis, Norwegian University of Science and
Technology
Trang 31[13] Alessandro Reali An Isogeometric Analysis Approach for the Study of Structural Vibrations Master Thesis, Universit‘a degli Studi di Pavia
[14] Thanh Ngan Nguyen Isogeometric Finite Element Analysis based on Bézier
Extraction of NURBS and T -Splines Master Thesis, Norwegian University of Science
and Technology
[15] H Nguyen-Xuan, Chien H Thai, T Nguyen-Thoi, /sogeometric finite element
analysis of composite sandwich plates using a new higher order shear deformation theory, Composite Part B, in press, doi.org/10.1016/j.compositesb.2013.06.044, 2013 [16] Loc V Tran, Chien H Thai, H Nguyen-Xuan, An isogeometric finite element
formulation for thermal buckling analysis of functionally graded plates, Finite Element in Analysis and Design, Vol 73, p 65-76, doi.org/10.1016/).finel.2013,04.003, 2013
[17] Loc V Tran, A J Ferreira, H Nguyen-Xuan, Jsogeometric approach for analysis of functionally graded plates using higher-order shear deformation theory, [18] N Nguyen-Thanh, H Nguyen-Xuan, S Bordas, T Rabczuk, 'sogeomefric analysis using polynimial splines over hierarchical for two-dimensional elastic solids, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol 200, p 1892-1908,
)1.018, 2011 (Top 25 hottest articles, June 2011) 2011, Doi:10,1016/j.cma.201 1.0]
[19] Vinh Phu Nguyen, Isogeometric analysis: an overview and computer
implementation aspects Elsevier September 30, 2013