Ứng dụng phương pháp tọa độ hóa giải bài tập hình học không gian

THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA TRONG KHƠNG GIAN DẠNG GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CĨ SẴN MƠ HÌNH TAM DIỆN VNG Phương pháp Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp Trong gốc tọa độ giao điểm chung ba đường đơi vng góc với nhau, tia Ox, Oy , Oz nằm ba đường Bước 2: Xác định toạ độ điểm toạ độ véc tơ có liên quan Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải tốn có liên quan Đây phẩn chun đề, thầy truy cập tải đầy đủ địa http://bit.ly/2HJSPsf Loại Hình chóp có đáy tam giác Ví DỤ AD   ABC  AC  AD   cm  ; AB   cm  ; BC   cm  Cho tứ diện ABCD có , Tính BCD  khoảng cách từ A đến mặt phẳng  Tam giác ABC có AB  3, AC  4, BC  nên tam giác ABC vng A Do tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC , AD đơi vng góc A 0;0;0  , B  3; 0;0  , C  0; 4;  , D  0; 0;  Chọn hệ trục hình vẽ Khi đó:  x y z  BCD  :     x  y  3z  12  4 Phương trình mặt phẳng 4.0  3.0  3.0  12 12 d  A,  BCD     16   34 Vậy THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Đây phẩn chuyên đề, thầy truy cập tải đầy đủ http://bit.ly/2HJSPsf Ví DỤ Cho hình chóp có ba cạnh đơi vng góc uuuu r OM Gọi trung điểm cạnh Tính góc tạo hai vectơ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ ta có a a O(0;0;0), A(0; a ;0), B(a ;0;0), C(0;0; a), M ( ; ;0) 2 uuur uuuuur a a BC  ( a ;0;a) ; OM  ( ; ;0) 2 Ta có : uuuruuuu r uuuu r uuuuu r BC.OM r  cos( BC ,OM )  uuuur uuuuu | BC | | OM | a uuuuu r uuuuu r    ( BC ,OM )  1200 a a 2 Đây phẩn chuyên đề, thầy truy cập tải đầy đủ địa http://bit.ly/2HJSPsf Loại Hình chóp có đáy hình thang Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB  2a, CD  DA  a Cạnh bên SA  2a vuông góc với đáy ABCD Tính cosin SBC  SCD  góc hai mặt phẳng   Giải : THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 A  O  0; 0;0  , D  a;0;  , B  0; 2a;  , S  0; 0; 2a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho , C  a; a;0  uur uuu r uur uuu r uuu r 2 SB   0; 2a; 2a  , SC   a; a; 2a  , SD   a;0; 2a   SB, SC   2a ; 2a ; 2a Ta có , , uuu r uuu r u r  SC , SD   2a ;0; a n   1;1;1 SBC    Suy mặt phẳng  có véc tơ pháp tuyến , uu r SCD  n   2;0;1 mặt phẳng  có véc tơ pháp tuyến   Ta có   ur uu r cos   SBC  ,  SCD    cos n1 , n2    3  15 Ví DỤ Đây phẩn chun đề, thầy truy cập để tải đầy đủ địa chỉhttp://bit.ly/2HJSPsf Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vuông A D , AB  2a, CD  DA  a Cạnh bên SA  2a vng góc với đáy ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng BD, SC A  O  0; 0;0  , D  a;0;  , B  0; 2a;  , S  0; 0; 2a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho , C  a; a;0  uuur uuu r uuur uuu r uur 2 BD   a; 2a;0  , SC   a; a; 2a  , SB   0; 2a; 2a   BD, SC   4a ; 2a ;3a Ta có , , uuur uuu r uur  BD, SC  SB 2a 2a   d  BD, SC     u u u r u u u r uuur uuu r uuur uuu r uur 2 29a 29  BD, SC   BD, SC  SB  2a  BD, SC   29a      ,  Suy  THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175  Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB  2a, CD  DA  a Cạnh bên SA  2a vng góc với đáy ABCD Gọi M trung điểm SD , G trọng tâm tam giác SBC Tính thể tích khối tứ diện ACMG A  O  0; 0;0  , D  a;0;  , B  0; 2a;  , S  0; 0; 2a  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho , C  a; a;0  2a  a  a M  ;0; a , G  ; a;   2  3 uuuu r a uuur  a 2a   uuur uuuu r uuur uuur AM   ;0; a , AC   a; a;0  , AG   ; a;   AM , AC  AG  a 3   2  3  Ta có r uuur uuur a uuuu   V  ACMG    AM , AC  AG  6 Đây phần chuyên đề, thầy cô tải full tại: bit.ly/2HJSPsf Ví DỤ Đây phẩn chuyên đề, thầy tải full - http://bit.ly/2HJSPsf: Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  ; M , N hai  x, y  a  điểm nằm hai cạnh BC , CD Đặt BM  x , DN  y  Xác định hệ thức liên hệ x y để hai mặt phẳng  SAM   SMN  vng góc với nhau? Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Tọa độ hóa với O  A , Ox  AD , Oy  AB , Oz  AS S 0; 0; z  M  x; a;  N  a; y;  Đặt SA  z  , ta có  , , uuu r  uuu r uuuu r  AS   0;0; z      az; xz;0   AS ; AM u u u u r    AM  x ; a ;0     Do uuur  SM   x; a;  z  uuur uuu r   SM ; SN    yz  az; xz  az; xy  a  r  uuu  SN   a; y;  z  uuu r uuuu r  AS ; AM    az; xz;0  SAM   Mặt phẳng  nhận  VTPT uuur uuu r  SM ; SN    yz  az; xz  az; xy  a  SMN    Mặt phẳng nhận  VTPT uuu r uuuu r uuur uuu r  SAM    SMN    AS ; AM   SM ; SN   Ta có  az  az  yz   xz  xz  az    a  a  y   x  x  a    x  a  a  x  y  Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, cạnh bên SA vng góc với đáy, AB  a , AD  2a, SA  3a Gọi M , N hình chiếu A lên SB, SD P giao điểm  AMN  Tính thể tích khối chóp S AMPN SC với mặt phẳng Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ A  0;0;0  , B  a;0;0  , D  0;2a;0  , C  a;2a;0  , S  0;0;3a  Ta có tọa uurđộ điểm uuu r uuu r SB   a;0; 3a  , SD   0;2a; 3a  , SC   a;2a; 3a  Suy x  a  t  SB :  y   z  3t  Phương trình uuuu r  M  a  t ;0; 3t   AM   a  t;0; 3t  uuuu r uur a  M  9a ;0; 3a  AM  SB  AM SB    a  t   9t   t     10 10  10 Mà  18a 12a  N  0; ;  Tương tự ta tìm  13 13  ur uuuu r uuur 27a n1   AM , AN     1;2; 3 65 Suy  AMN  : x  y  3z  Do ta có phương trình xt  SC :  y  2t  z  3a  3t  Phương trình nên tọa độ điểm P nghiệm hệ  xt  y  2t 9a 9a 15a   9a 9a 15a  x ,y  ,z   P ; ;   14 14  14 14   y  2t  x  y  z  2 uuuu r uuu r uuur uuu r 27a 27a  AM , AP     AN , AP   1;2;     1;2; 3     70 91 Ta có: , r uuu r uuur uuu r 9a  uuuu 621 14.a      d  S ,  AMN    S AMPN  AM , AP    AN , AP      14 1820 Suy 9a 621 14.a 1863.a VS AMPN   14 1820 1820 Vậy Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tan góc tạo AMC  SBC  hai mặt phẳng   Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 A 0;0;  B  0;1;0  Chọn hệ trục tọa độ chuẩn hóa cho a  cho  , , D  1; 0;  S  0; 0;  , 1   M  ;0;1 2  , C  1;1;  Ta có M trung điểm SD uuuur  uuuu r uuur   AM , AC    1;1;  AM   ;0;1  uuur      AMC  có vtpt 2  , AC   1;1;0  ,  r n   2; 2;1 uur uuu r uur uuu r r SB   0;1; 2  SC   1;1; 2   SB, SC    0; 2;1   SBC  k   0; 2;1 , , có vtpt rr n.k cos   r r  AMC SBC n.n    Gọi  góc hai mặt phẳng  Do tan   nên tan   1  cos  Ví DỤ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a , AD  a 2, SA  a ABCD  SA vng góc với mặt phẳng  Gọi M , N trung điểm AD SC , I giao điềm BM AC Tính thề tích khối tứ diện ANIB Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A , tia Ox chứa B , tia Oy chứa D tia Oz chứa S Khi đó:  a  a a a A  0;0;  , B  a;0;0  , C a; a 2;0 , D 0; a 2; , S  0;0; a  , M  0; ;0  , N  ; ;           uuu r uuur  a a a  AB   a;0;0  ,Q AN   ; ;  2 2   Ta có  IAM đồng dạng với  ICB (góc-góc) a a  uur uu r IC BC I ;0   ;    IC  2 IA  3  Suy ra: IA AM Từ tìm  uur  a a  uuur uur  a 2 a    AI   ; ;0    AN , AI    ; ;   3  ,   uuur uur uuur a a VANIB   AN , AI  AB    6 36 Thể tích khối tứ diện ANIB Ví DỤ 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , SA  SA ABCD  vng góc với mặt phẳng đáy  Gọi M , N hai điểm thay đổi hai SMC  SNC  cạnh AB , AD cho mặt phẳng  vuông góc với mặt phẳng  Tính 1 T  AN AM thể tích khối chóp S AMCN đạt giá trị lớn tổng Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 A 0;0;  B  2;0;  D  0; 2;0  S  0; 0;  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho  , , , C 2; 2;0  x, y   0; 2 M  x;0;0  Suy  Đặt AM  x , AN  y , , suy , N  0; y;  uuur uuu r uuu r SM   x;0; 2  SC   2; 2; 2  SN   0; y; 2  , , ur uuur uuu r uu r uuu r uuu r  n1   SM , SC    4; x  4; x  n2   SN , SC     y; 4; 2 y  , ur uu r n n     y    x    xy  SMC    SNC  Do  nên  xy   x  y    2x  2x y   x 1 y  x  , nên x  S AMCN  S ABCD  S BMC  S DNC     x     y   x  y 2  x  x2  VS AMCD  SA.S AMCN   x  y    x   3 x    x2 Do 2 x  4x  x2  f  x  f  x   x  2 x  với x   1; 2 , Xét f   x    x  x    x  2  x  2  ; (loại) max f  x   f  1  f    Lập BBT ta suy  0;2  x   1 1 y  max VS AMCN    T    2  2  x  AM AN x y    y  Vậy Loại Lăng trụ đứng tam giác Ví DỤ 11 ABC tam giác vng A có AB  , AC  Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có mặtuuđáy uuur uu r AA '  Tính cosin góc hai vectơ AB ' BC Bài giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Chọn hệ trục toa độ hình vẽ Khi ta có: A  0; 0;  B  3; 0;  C  0; 4;  B '  3; 0;  , , , uuuu r uuur AB '   3;0;  , BC   3; 4;0  Ta có: uuuu r uuur uuuu r uuur  3  0.4  2.0 AB '.BC 13 cos AB ', BC  uuuu  r uuur  65 AB ' BC 32   2  3   Khi : Đây phẩn chuyên đề, thầy cô tải full tại: bit.ly/2HJSPsf   Ví DỤ 12 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có mặt đáy ABC tam giác vng B có AB  , AC   A ' BC  A ' B  Gọi M trung điểm AC Tính khoảng cách từ M đến Bài giải Chọn hệ trục toa độ hình vẽ 2 2 Ta có: AA '  A ' B  AB    BC  AC  AB  Khi ta có: 1  THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175   M  ; ;0  ;0;0 A ' 0;1; 2    , ,  B  0; 0;  A  0;1;  C , , uuur uuur BA '  0;1; , BC  Ta có: uuur uuur  BA '  BC  0; ;     Khi phương trình Suy   2; 0;   A ' BC  d  M ,  A ' BC        3y  z  Ví DỤ 13 O Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh bên 2a , góc tạo A ' B mặt đáy 60 Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A ' C AM Bài giải Ta có: AB  AC  BC  2a 2a BC a   MC   o tan 60 3 AB a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ AM   a  C ;0;0  M  0;0;  A  0; a ;   , A '  0; a ; a  Khi đó: , ,  uuuur  a  4a A 'C   ;  a ;  2a   A ' C    Ta có : uuuu r AM   0;  a ;0   AM  a THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 uuuu r uuuu r AC AM cos  AC , AM   uuuu r uuuu r  AC AM Khi có Ví DỤ 14 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' với đáy ABC tam giác vng C có AB  8cm , · BAC  600 , diện tích tam giác A ' CC ' 10cm Tính tang góc tạo hai mặt phẳng  C AB   ABC  Bài giải Ta có : sin 60o  BC o AB  BC  AB sin 60  A ' C '  AC  AB  BC  2S S A ' CC '  CC ' A ' C '  CC '  A 'CC '  A'C ' Chọn hệ trục toa độ hình vẽ   C 0;0;  A  0; 4;  B ; 0;0 C '  0; 0;5  Khi ta có :  , , , ABC    Oxy   ABC  Ta có :  Phương trình  z  uuuur uuuur C ' A   0; 4;   C ' B  ;0;  Lại có , uuuur uuuur  C ' A  C ' B  20;  20 ;  16  4 5;5 ; r ur n  5;5 3; ABC  n   0;0;1   ( C AB ) Suy có VTPT có VTPT r ur n.n cos   C AB  ,  ABC    r r  37 n n Khi         THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175  tan    tan   C AB  ,  ABC    cos  Mà: Loại Lăng trụ đứng tứ giác Ví DỤ 15 Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a a Chứng minh giao điểm đường chéo AC mặt phẳng ( ABD) trọng tâm tam giác ABD b.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( ABD) (C BD) c.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng ( DAC ) ( ABBA) ( Dựa SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Bài giải Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc sau : ; A(0;0; a) ; B(a; 0; a) ; ; C (a; a; a ) ; ; D(0; a; a) a Gọi G trọng tâm tam giác ABD uuuu r u A ' C  (1;1; 1)  A C Đường thẳng nhận véc tơ phương qua A nên phương trình đường x  t  (t  ¡ ) y  t z  a  t  Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABD) ur n1  (1;1; 1) ur uuuu r uuuur n1   AB ', AD '  ( a ; a ; a ) Phương trình tổng quát mặt phẳng ( ABD) hay x yz 0 Gọi G  AC  ( ABD) Toạ độ giao điểm G đường thẳng AC mặt phẳng ( ABD) nghiệm hệ Mặt khác : (2) THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175  a a 2a   G ; ;   3  (1) Từ (1), (2) ta có giao điểm G đường chéo mặt phẳng ( ABD) trọng tâm tam giác ABD d  ( ABD), (C BD)  b Tính uu r uuur uuuur 2     n  C B , C D   (a ; a ;  a )  ( C BD ) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng hay uu r n2  (1;1; 1) Phương trình tổng quát mặt phẳng (C BD ) x  y  z  a  Phương trình tổng quát mặt phẳng ( ABD) x  y  z   ABD  / /  C BD  c Tính  d  ( ABD),(C BD )   d  B,( ABD)   cos  ( DAC ), ( ABBA)  a 00 12  12   1  a r Oy  ( ABB ' A ') nên véc tơ pháp tuyến j  (0 ; ; 0) uu r uuuu r uuur uu r n3   DA ', DC   (0; a ; a ) n  (0;1;1) Vectơ pháp tuyến hay cos  ( DA ' C ),( ABB ' A ')   Do  ( DA ' C ), ( ABB ' A ')   450 Ví DỤ 16 Cho hình lập phương có cạnh a Chứng minh hai đường chéo hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài giải Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc sau : , A(0;0; a ) , B( a; 0;0) , B( a;0; a) , , C (a; a; a ) , D(0; a; 0) , D(0; a; a) uuuur uuur uuur    B D  (  a ; a ;0) A B  ( a ;0;  a ) Ta có , , BB  (0;0; a ) nên uuuur uuur uuuur uuur uuur  BD, AB   (a ; a ; a )  BD, AB  BB  a     ,  uuuur uuur uuur ba vectơ BD; AB, BB không đồng phẳng Hay BD AB chéo Khoảng cách hai đường THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 uuuur uuuur uuur [ BD, AB].BB a3 a3 a    d  B D , A B     uuuur uuur 4 a [ BD, AB] a a a Ví DỤ 17 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có cạnh AB  a , AD  2a AA  a AM 3 a Gọi M điểm nằm AD cho MD Tính khoảng cách từ M đến (ABC) b Tính thể tích tứ diện (ABDC) Bài giải a) Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc sau : A(0;0;0) ; A(0;0; a) ; ; B(0; a; a) C (2a; a; 0) ; C (2a; a; a) ; D(2a; 0; 0) ; D(2a;0; a) Vì M điểm nằm AD cho AM 3a 3 M ( ; 0; 0) MD nên uuuuur uuuu r uuur  , AC   ( a ; 2a ; 2a ) n  AB  Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) (AB'C)  hay uuuuur n(AB'C)  (1; 2; 2) Phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) x  y  z  Do khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABC) là: a  2.0  2.0 a d ( M , ( ABC ))   1  r uuur 1 uuur uuuu VABDC  Vhop   AB, AD  AC 6 b) Theo công thức uuuu r uuur uuur Mà AD  (2a;0; a ); AB  (0; a; a ); AC  (2a; a; a ) 2a  VABDC  ( dvdt ) Ví DỤ 18 THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 2a  , khoảng Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D Biết khoảng cách AB BC 2a a cách BC AB , khoảng cách AC BD Gọi M trung BMD   BAD  điểm BC Tính tan góc tạo hai mặt phẳng  Lời giải  Đặt BA  x, BC  y, BB  z Gọi O tâm ABCD AB //  B  DC   d  AB , BC   d  AB,  BDC    d  B ,  BDC   Ta có  BDC    BBCC  cắt theo giao tuyến BC Ta dễ dàng chứng minh Kẻ BK  BC  BK   BDC  , hay d  AB , BC   BK  2a 5 1 1      (1) 2 2 BC BB y z 4a Xét BB C vuông B , ta có BK  BC //  B AD   d  BC , AB   d  BC ,  BAD    d  B,  BAD   Lại có  BAD    BBAA cắt theo giao tuyến AB Kẻ Ta dễ dàng chứng minh  2a 5 , hay 1 1      (2) 2 BA BB 4a x z Xét BBA vng B , ta có BH Từ (1) (2) , suy x  y , hay ABCD hình vng BH  AB  BH   BAD  Ta dễ dàng chứng minh d  BC , AB   BH  AC   BBDD   Kẻ OI  BD , suy AC  OI , hay OI đoạn vng góc chung AC BD , suy d  AC , BD   OI  a 3 THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175  BBDD  , kẻ Trong DJ / / OI ( J  BD)  DJ  2OI  2a 3 ( OI đường trung bình BDD ) 1 1      (3) 2 2 BD DD 4a 2x z Xét BDD vuông D , ta có DJ Giải (2), (3) ta x  a, z  2a B  0;0;0  B  0; 0;  C  1; 0;  A  0;1;  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với : , , , , D  1;1;0  , 1  M  ; 0;1 2  M trung điểm BC , suy uuur uuuu r uuur uuuu r     0;  2;  1   B A , B D BA   0;1; 2  BD   1;1; 2    +) Ta có , , r  BAD  có véctơ pháp tuyến n   0; 2;1 Suy mặt phẳng uuuu r 1 uuuu r uuur   BM , BD    1;1;  BM   ; 0;1 uuur   2 2  , BD   1;1;0  ,  +) Ta có r n   2; 2;1 BMD   Suy mặt phẳng có véctơ pháp tuyến BAD  BMD  Gọi  góc tạo hai mặt phẳng   , ta có: r ur | n.n | 5 cos   r ur   2  sin    tan   5.3 | n | n DẠNG GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VÀO CÁC HÌNH ĐA DIỆN CĨ SẴN MƠ HÌNH TAM DIỆN VNG AB   BCD  Dạng tốn : Cho tứ diện ABCD có BCD tam giác vuông C , Cách dựng : Ta dựng hệ trục tọa độ Oxyz cho C  O, D  Ox , B  Oy , Oz qua C vng góc với  BCD  Loại Tứ diện có cạnh vng góc với mặt đáy Ví DỤ 19 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B cạnh AB  3a Cạnh bên THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AB SC Lời giải Chọn hệ trục tọa độ cho: Khi A  0; 3a;  ,   B  0; 0;  C  3a; 0;  S 0; 3a; a , , uuu r r BA   0; 3a;  u   0; 3a;  , suy AB có vectơ phương uuu r r SC  3a;  3a;  a v  3a;  3a;  a , suy SC có vectơ phương r r 2 u , v   3a 6; 0;  9a Suy   r r uuur u , v  BC 9a 3a 10   d  AB; SC     r r 3a 15 u , v    Khi       Ví DỤ 20 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B cạnh AB  3a, BC  4a Tam giác SAB vuông cân A SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AC SB Lời giải Ta có SA  AB  3a (do tam giác SAB vuông cân A ) Chọn hệ trục tọa độ cho: Khi uuur AC   4a;  3a;  A  0; 3a;  , B  0; 0;  C  a; 0;  S  0; 3a; 3a  , , r u   4a;  3a;  AC , suy có vectơ phương THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 uuu r r BS   0; 3a; 3a  v   0; 3a; 3a  , suy SB có vectơ phương r r u , v    9a ;  12a ; 12a  Suy   r r uuu r u, v  BA 36a 12a 41   d  AB; SC     r r 41 3a 41 u, v    Khi Ví DỤ 21 SA   ABC  Cho hình chóp S ABC có , đáy ABC tam giác vuông B cạnh AB  3a, BC  4a Góc tạo SC  ABC  600 Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo AM SC với M trung điểm BC Lời giải Ta có AC  AB  BC   3a    4a   5a ·  60  ABC  nên ·SC ,  ABC    ·SC , AC   SCA Mà AC hình chiếu SC (do tam giác SAC vuông A )  Khi SA  AC.tan 60  5a  Chọn hệ trục tọa độ cho: S 0; 3a; 5a A  0; 3a;   , B  0; 0;  C  a; 0;  , , M trung điểm BC nên M  2a; 0;  Khi uuuu r r AM   2a;  3a;  u   2a;  3a;  , suy AM có vectơ phương r uuu r SC  4a;  3a;  5a v  4a;  3a;  5a , suy SB có vectơ phương r r u , v   15 3a ; 10 3a ; 6a Suy   r r uuur u , v  AC 30 3a 30   d  AB; SC     a r r a 1011 1011 u , v    Khi       Ví DỤ 22 SC   ABC  Cho hình chóp S ABC có Tam giác ABC vng A , điểm M , N THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 thuộc SA, BC cho AM  CN Biết SC  CA  AB  a Tìm giá trị nhỏ đoạn MN ?   A  a; a;0  , B  2a;0;0  , C  0; 0;0  , S 0;0; a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có : x  a  t  SA :  y  a  t   z  2t Phương trình đường thẳng uuuu r M a  t0 ; a  t0 ; 2t0  SA, t0   0; a  AM  t0 ; t0 ; 2t0  AM  2t0 Gọi Ta có: Vì N  BC : NC  AM nên uuuu r N  2t0 ;0;0   MN  3t0  a; t0  a;  2t0  MN  12t02  8at0  2a , t0   0; a  a 2a MN  t0  Suy giá trị nhỏ       Ví DỤ 23   · ·ABC  BCD · ·ADC  90 AD, BC  60 BC  3,  ABCD CD  Cho tứ diện có , , Tính Cosin góc hai mặt phẳng  ABC   ACD  THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Gọi H chân đường cao tứ diện ABCD  BC  AB  BC  HB  BC  AH Ta có:  (1) CD  AD  CD  HD  CD  AH Lại có:  (2) · Mà BCD  90 Từ ta suy HBCD hình chữ nhật ·AD, BC  ·AD, HD  ·ADH  60 Mặt khác: Suy ra: AH  HD tan 60  3 Chọn hệ trục Oxyz  H DBA hình vẽ       H 0; 0;  A 0;0;3 B  0; 4;  D 3;0;  C  3; 4;0  Ta có:  , , ,  , uuur uuur uuur AD  3;  0;  3 AC  3; 4;  3 AB  0; 4;  3 , , ur uu r ABC  ABD  Gọi n1 , n2 véc tơ pháp tuyến   ur uuur uuur uu r uuur uuur n   AB, AC   0;  3;  12 n2   AD, AC   12 3;0;12 Suy ra:  ; ur uu r 0.12  3.0  12.12 43 n1.n2   2 cos   ABC  ,  ADC    ur uu r 2 43 02  9   12  12    12  n1 n2 Vậy               Loại Chóp tam giác Ví DỤ 24 a Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên Gọi M , N lần AMN    SBC  lượt trung điểm SB, SC Chứng minh rẳng:  a a a a , OH  OA  , AH  OA  , OB  OC  3 Ta có 2 3a a 5a a 15 2 SH  SA  AH     SH  12 Tam giác SAH vuông H nên Chọn hệ trục hình vẽ Ta có: OA  THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175  a  a   a  O  0; 0;0  , A  0;  ;0 , B  ;0;0 , C  ; 0;0        2   a a a 15   a a a 15  a a 15  S  0;  , , M , ,   ; , N  ;   6  12   12 12     12 ur uuuu r uuur   a 15 5a  n1   AM , AN    0; ;  24 24  AMN     Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến uu r uur uuu r  a 15 a  n2   SB, SC    0; ;  6  SBC     Mặt phẳng có vec tơ pháp tuyến ur uu r ur uu r AMN    SBC  Khi n1.n2   n1  n2 Vậy  Ví DỤ 25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân ·ASB  120 với nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN Gọi H trung điểm AB SAB    ABC  SH   ABC  Vì  nên Oxyz Chọn hệ trục tọa độ , với O  H , HB  Ox , HC  Oy , HS  Oz Ta có : HC  AC  AH  3a ; H  0; 0;  , S  0; 0; a  ,  SH  A a ;0;0 AH a tan ASH ,  B a ;0;0   3a a   9a a  M  0; ;  N  0; ;  C 0;3a ;0   2,  4 ,  , 2 uuuur uuur uuuu r  3a a  uuur  9a a   AM , BN     3a ;  3a ; 15 3a   AM   a ; ;  BN   a ; ;     4  2, 4,     THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 uuuu r uuur uuu r 3a  AM , BN  AB 237a   d  AM , BN     uuuur uuur 79 711a  AM , BN    Khoảng cách AN , BN : Ví DỤ 26 Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm AMN  cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN biết mặt phẳng  vng góc với mặt phẳng  SBC  Lời giải ABC  Gọi O hình chiếu S  , ta suy O trọng tâm tam giác ABC Gọi I trung a a a AI  OA  , OI  Suy điểm BC , ta có Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với O trùng với gốc tọa độ Đặt SO  h , ta a   a  A  ; 0;  I   ; 0;    O  0; 0;0  S  0;0; h  ,   , ,   a a   a a   a a h  a a h B   ; ;0  C  ;  ;0 M  ; ; N ; ;          12    12 2         Suy , , , Ta có uuuu r  5a a h  uuur  5a a h  uur  a a r  a a  uuu  AM    ; ;  AN   ;  ; SB   ; ;  h SC    ;  ; h            2 2  12  ,  12  ,   , uuuu r uuur  ah 5a  uur uuu r  a2  r r     n AMN    AM , AN    ;0; n SBC    SB, SC    ah; 0;   24       Suy a h 15a 5a 2 r r      h   AMN    SBC   n AMN  n SBC   144 12 THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175  S AMN  uuuu r uuur a 10 a 10  AM , AN   S AMN    16 Vậy 16 Ví DỤ 27 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  2a , AB  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính SAB  khoảng cách từ M tới mặt phẳng  ... SC với mặt phẳng Lời giải THẦY GIÁO LÀNG - 0973640175 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ A  0;0;0  , B  a;0;0  , D  0;2a;0  , C  a;2a;0  , S  0;0;3a  Ta có tọa uurđộ điểm uuu r uuu r SB... 12 Cho hình lăng trụ ? ?ứng ABC A ' B ' C ' có mặt đáy ABC tam giác vng B có AB  , AC   A ' BC  A ' B  Gọi M trung điểm AC Tính khoảng cách từ M đến Bài giải Chọn hệ trục toa độ hình vẽ...  450 Ví DỤ 16 Cho hình lập phương có cạnh a Chứng minh hai đường chéo hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài giải Chọn hệ trục toạ độ Đề vng góc sau : ,